2025年中考数学《锐角三角函数》知识点及其运用练习题（含答案解析）

2025年中考数学锐角三角函数知识

点及其运用练习题（含答案解析）

一、单选题

1.（2024・云南•中考真题）在中，/ABC=90。,AB=3,BC=4,则tanZ的值为（）

44-33

A.-B.—C.—D.一

5354

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【详解】解：•.•在中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

,BC4

tanA=----=—,

AB3

故选：B.

【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义.

2.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在矩形Z8CD中，E『是边上两点，且BE=EF=FC,连接

。£,工厂,。£与N尸相交于点G,连接8G.若48=4,BC=6,贝|sin/G8尸的值为（）

，

BEFC

AMR3Vw「1D-t

10103

【答案】A

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点G作GHL8C,证明

FGFF\

△AGDs/GE,得到——=——=—,再证明产,分别求出"G,五8的长，进而求出8〃的长,

AGAD3

勾股定理求出5G的长，再利用正弦的定义，求解即可.

【详解】解：■:矩形/BCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

；.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,

*t.AAGDS^FGE,BF=4,

FG_EF

••前一而一记

FG1

"IF"4

过点G作GHJ_8C,贝!J：GH//AB,

FHGHFG_1

"ZB-4,

：.FH=-BF=\,GH=-AB=\,

44

:.BH=BF-FH=3,

■■BG=Vl2+32=Vw，

HG

sinZGBF

~BG

故选A.

3.（2024・四川雅安・中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房C。的高度（如图），他们在/

处仰望楼顶，测得仰角为30。，再往楼的方向前进50米至2处，测得仰角为60。，那么这栋楼的高度为（人

的身高忽略不计）（）

A.25a米B.25米C.25及米D.50米

【答案】A

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三

角形.

设。C=x米，在中，利用锐角三角函数定义表示出NC,在必ABCD中，利用锐角三角函数定义

表示出3C,再由NC-3C=4B=50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可.

【详解】解：设DC=x米，

在必A/CD中，N/=30。，

2

nrY

tanJ=—,gptan30°=——

ACAC

整理得：AC=也丫米,

在必ABC。中，ZDBC=60°,

tanZDBC=—,BPtan60°=—=73,

BCBC

整理得：BC=迫x米，

3

•・•/2=50米，

.­.AC-BC=50,即底-4=50,

3

解得：X=25A/L

侧这栋楼的高度为25石米.

故选：A.

4.（2024•四川资阳•中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME-14）会标如图1所示，会标中心的图案

来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形ABCF,

△CDG,^DAH）和一个小正方形EFGA拼成的大正方形/BCD.若EF：4H=1：3,贝|sin//5E=（）

图1图2

A.—B.-C.-D.—

5555

【答案】C

【分析】设跖=工，则/〃=3x,根据全等三角形，正方形的性质可得ZE=4x,再根据勾股定理可得

4B=5x,即可求出sin//5E的值.

【详解】解：根据题意，设所=x,贝U/〃=3x,

•••/\ABE^/\DAH,四边形EFGH为正方形，

:.AH=BE=3x,EF=HE=x,

・•.AE=4x,

-：ZAEB=90°,

•••AB=^AE2+BE2=5x，

.-.sinZABE=-=—=

AB5x5

故选：c.

【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解

题的关键.

5.（2024・四川达州•中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,

443。=120。，其中点A,B,C都在格点上，贝hanNB。的值为（)

D.3

仁1

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长5c交格点于点尸，连接4尸，E,G分别在格点上,

根据菱形的性质，进而得出乙4FC=90。，解直角三角形求得"，/C的长，根据对顶角相等，进而根据正

切的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，延长3C交格点于点尸，连接/尸，E,G分别在格点上,

依题意，NEGF=120°,EG=GF,GF=GC,ZFGC=60°

NCEF=30°,NECF=60°

ZAFC=90°

又尸C=2,

・•・AF=2EF=4EGcos30。=4x2x—=473

2

AF4A/3r

・•・tanZBCD=tanZACF=—==2V3

FC2

故选：B.

6.（2024•四川南充•中考真题）如图，在及A/5C中，ZC=90°,4=30。，BC=6,AD平分/C4B交BC

于点。，点E为边上一点，则线段OE长度的最小值为（）

4

c

D

AEB

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】C

【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得/A4c和/C,结合

角平分线的性质得到和。C,当。E2AB时，线段。£长度的最小，结合角平线的性质可得DE=DC

即可.

【详解】W：vZC=90°,Z5=30°,

ABAC=60°,

Ar1

在RM/BC中,tanZB=—,解得ZC=2Q,

JCn

•・•/O平分/C48,

・・・/。。=30。，

DC

tanZC4D=——,解得OC=2,

C4

当。时，线段。E长度的最小，

•••40平分/C48,

:.DE=DC=2.

故选:C.

7.（2024•江苏无锡•中考真题）如图，在菱形48CD中，ZABC=60°,E是CD的中点，则sin/E3C的值

V21

14

【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助

线，构造直角三角形求解.

延长3C,过点E作8c延长线的垂线，垂足为点^BC=CD=x,易得N4BC=NDCH=60。,则

CE=gcD=gx,进而得出防■uCE-sinGO。x,CH=CE-cos60°=-x,再得出B”=BC+CH=：x,

444

FH

最后根据=即可解答.

【详解】解：延长3C,过点E作2C延长线的垂线，垂足为点H,

••・四边形Z5CD是菱形,

.-.BC=CD,AB//CD,

ZABC=ZDCH=60°,

设8c=CD=x,

••・E是CO的中点,

.■.CE=-CD=-x,

22

•••EHVBH,

EH=CE-sin60°=-x,CH=CE-cos60°=-x,

44

.-.BH=BC+CH=-x,

4

BE="EHT

4

誓

FH4

,-.smZEBC=——S-

BE2

二、填空题

8.（2024・四川巴中•中考真题）如图，矩形/BCD的对角线/C与8。交于点。，1/C于点E,延长。E

与5c交于点尸.若/8=3,BC=4,则点尸到50的距离为,

DC

6

【答案】养21

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点尸作垂足为H,

利用勾股定理求出4C的长，利用角的余弦值求出。尸的长，再利用勾股定理求出尸C,从而得出利

用三角形面积求出尸”即可.

【详解】解：如图，过点歹作垂足为〃,

四边形/3C0为矩形，

ABAD=ZBCD=90°,AC=BD,

•.♦/3=3,BC=4,

AC=BD=^AB2+BC2=732+42=5，

:.S.=-ADDC=-AC-DE,Bp-x4x3=-x5xD£',

皿nr2222

17

解得：DE=5,

12

DEDC

...cosZEDC=——即

DCnF3一DF

解得：*，

97

:.BF=BC—FC=4——=—,

44

••SRDF=-BD•FH=—BF.DC,BP—x5xFH=—x—x3,

△BDF22224

21

解得：FH=—,

21

故答案为：—-.

9.（2024・四川雅安・中考真题）如图，把矩形纸片/BCD沿对角线助折叠，使点。落在点£处，BE与AD

交于点尸，若43=6,BC=8,则cos/43/的值是

24

【答案】石

【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键.

折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证8尸=。尸，再利用火厂求出边长，从而求解即可.

【详解】解：•.•折叠，

ZDBC=ZDBF,

•••四边形/5CD是矩形，

AD||BC,AD=BC=8,

zLADB=NDBC,

ZDBF=NADB,

BF=DF,

AF=AD-DF=S-BF,

在&A/3尸中，AB2+AF2=BF2,

6?+(8-8尸＞=BF2,

解得

AR24

...cos/ABF=——

BF25

故答案为：—.

10.（2024•四川资阳•中考真题）在“8C中，44=60。，AC=4.若“8C是锐角三角形，则边长的

取值范围是.

【答案】2<4B<8

【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线.作“5C的高CO,BE,根据题意可

得4B>AD,AC>AE,在MA/CD中，根据三角函数可得4。=4c・cos乙4=2,即>2,再根据

ApAT

AB=——-<——即可求解.

COSZACOS

【详解】解：如图，作的高co,BE,

8

•・・是锐角三角形,

CD,仍在的内部，

AB>AD,AC>AE,

在RM4CQ中，N4=60。，AC=4,

AD=AC»coszA=4x—=2,

2

AB>2,

AEAC4o

乂•「coszAcoszA，

2

故答案为：2<AB<8.

11.（2024•福建•中考真题）无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知

帆船航行方向与风向所在直线的夹角/PZM为70。，帆与航行方向的夹角/尸。。为30。，风对帆的作用力尸

为400N.根据物理知识，尸可以分解为两个力片与工，其中与帆平行的力耳不起作用，与帆垂直的力月

仪可以分解为两个力力与力，工与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；力与航行方向一致，是真正推动帆船

前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：尸=4。=400,则

f2=CD=.（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cos40°=0.77）

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出400=40。，Zl=ZPDQ=30°,由得到

ABAD=AADQ=40°,求出£=8。==256,求出N3OC=90。-/1=60。在RMBCD中，根

据力=CD=8。•cos/BDC即可求出答案.

【详解】解:如图，

航行方向

,••帆船航行方向与风向所在直线的夹角NPDA为70。,帆与航行方向的夹角NPDQ为30。,

AADQ=ZPDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Zl=ZPDQ=30°,

AB//QD,

ABAD=AADQ=40°,

在RtZUBO中，尸=40=400,AABD=90°,

...K=BD=AD-sin/BAD=400xsin40°=400x0.64=256,

由题意可知，EDLDQ,

.­.ZSZ>C+Z1=9O°,

zsr>c=90°-Zl=60°

在RtABCD中，BD=256,ZBCD=90°,

:$=CD=fir>-cosZ5Z>C=256xcos60°=256x-=128,

22

故答案为：128

12.（2024・四川眉山・中考真题）如图，斜坡C。的坡度i=l:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树48,

当太阳光与水平面的夹角为60。时，大树在斜坡上的影子成长为10米，则大树45的高为米.

【答案】（4715-275）/（-2V5+4V15）

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形.

如图，过点E作水平地面的平行线，交45的延长线于点“，设=x米，EH=2x米,勾股定理求出

10

x=2yj5,解直角三角形求出/〃=tan44£7/£〃=6即=4a，进而求解即可.

【详解】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交N8的延长线于点

贝I]ZBEH=ZDCF,

RH1

在RtASEH中，tan/BEH=tan/BCF=i=-----=—,

EH2

设=x米，EH=2x米,

BE=>]EH2+BH2=氐=10,

x=2Vs,

:.BH=2加米,EH=4亚米,

■：ZAEH=60°,

AH=tanZAEH-EH=^EH=4715（米），

AB=AH-BH=（4715-275）（米），

答:大树48的高度为（4屏-2⑹米.

故答案为：（4V15-2V5）.

13.（2024・湖南・中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（ch6ng）捣谷物的工具——“碓

（dui）”的结构简图，右图为其平面示意图，己知于点与水平线/相交于点O,

OEVI.若3。=4分米，03=12分米.ABOE=60°,则点C到水平线/的距离CV为分米（结果

用含根号的式子表示）.

天

工

^

物

【答案】（6-2@/卜2行+6）

【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC交/于点连接0C,根据题意

及解三角形确定8〃=46，OH=8也，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键.

【详解】解：延长。C交/于点，，连接OC,如图所示：

在RdOBa中，Z80//=90°-60°=30°,OB=12dm

二8〃=12xtan3O°=45OH=84

•S^OBH~S&JCH+S/XOBC

:.-OBBH=-OHCF+-OBBC

222

BP-x4V3xl2=-x8V3xCF+-xl2x4,

222

解得：CF=6-2A/3.

故答案为：6-2J3.

14.（2024•江西•中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形/BCD,连接/C,则

tanZCAB=

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1,设等腰直角

的直角边为。，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根

据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图1,设等腰直角△儿WQ的直角边为。，则翅=缶，小正方形的边长为

・•.MP=2a,

12

•••EM=J(2af+(2af=2缶,

；•MT=EM=2®a，

■,■QT=2A/2G-6a=ga，

如图2,过点C作的延长线于点〃，则S=8D,BH=CD,

由图（1）可得，AB=BD=2垃a,C。=+=2也a，

•••C”=2缶，BH=2几，

,'•AH=2>fia+2V=4A/2(Z，

…nCH26a1

•*•tanNCAB=-----——产-=—

AH442a2

故答案为：Y.

15.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形/5C的顶点A的坐标为（0,4）,点反C

均在x轴上.将“BC绕顶点A逆时针旋转30°得到AAB'C,则点C的坐标为.

【答案】（4,4-殍）

【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.作C户，工。,

求出。尸，CN的值即可得到答案.

【详解】解：作C'PLN。，交y轴于点尸，

由题可得：0A=4,

是等边三角形，A01BC,

・・.40是/A4c的角平分线，

...ZOAC=30°f

OC=-AC,

2

在Rt“OC中，AO2+OC2=AC2,

1,,

即16+（万/。）2=3,

解得/C二更

3

OF=AO-AF=4-AC-cos600=4一一—,

3

FCAC-sin6Q0=—x—=4,

32

.9（4,4一哈，

故答案为：（4,4-殍）.

、解答题

14

16.（2024•黑龙江大庆•中考真题）求值：2-2卜（2024+兀）°+tan60。.

【答案】1

【分析】本题主要考查了实数运算.直接利用特殊角的三角函数值以及零指数嘉的性质、绝对值的性质分

别化简即可得出答案.

【详解】解：|6-2-（2024+7t）°+tan60。

-2-V3-1+V3

=1.

17.（2024・湖北・中考真题）小明为了测量树43的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：

方案一：如图（1）,测得C地与树48相距10米，眼睛。处观测树48的顶端A的仰角为32。：

方案二：如图（2）,测得C地与树N8相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E,眼睛。在镜子

C中恰好看到树48的顶端A.

已知小明身高L6米，试选择一个方案求出树N8的高度.（结果保留整数，tan32。*0.64）

【答案】树N2的高度为8米

【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题.

方案一：作DE"B,在RtZk/DE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【详解】解：方案一：作垂足为E,

则四边形8CDE是矩形,

：.DE=BC=\Q^z,

在RtZ\4D£中，/ADE=32。,

-tan32°®10x0.64=6.4(米),

树的高度为64+1.6=8米.

方案二：根据题意可得乙4c5=/DCE,

•・•ZB=ZE=90°,

MACBS^DCE

ABBCAB10

——=——,即Rn——=——

DECE1.62

解得：45=8米,

答：树力5的高度为8米.

18.（2024•山东泰安・中考真题）（1）计算:2tan60°+

..上X(2x—1)—1

(2)化简：i-------------------

VxJx

x—1

【答案】(1)7；(2)—

x+1

【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幕，二次根式和

绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键.

（1）利用特殊角的三角函数，负指数幕，二次根式和绝对值进行实数的运算;

（2）利用分式的运算法则化简即可.

【详解】解：（1）2tan60°

=273+4-273+3

=7；

-2x+1x

xx2-1

(IFX

=--------------------------------

x-1

x+1

19.（2024•辽宁•中考真题）如图1,在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提

起.起始位置示意图如图2,此时测得点A到比所在直线的距离4。=3m,ZCAB=60°；停止位置示意

16

图如图3,此时测得/CD2=37°(点C,A,。在同一直线上，且直线C0与平面平行，图3中所有点在

同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.(参考数据：sin37°«0.60,

cos37°®0.80,tan37°»0.75,V3®1.73)

Ml图2M3

(1)求的长；

(2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1m).

【答案】(l)6m

(2)2.7m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)解RtZX/BC即可求解；

(2)在RtZXABC中，由勾股定理得，BC=3。,解RtABCD求得8。=56,由题意得,

BC+AB=BE+BD,故BE=BC+AB-BD=6-25贝UCE=8C-BE*2.7m.

【详解】(1)解：由题意得，ZBCA=90°,

■■■AC=3m,ZCAB=60°,

Ar

・•・在RtZ\48C中，由cos乙4二——,

AB

31

得：—=cos60°=-,

AB2

AB=6m,

答:AB=6m；

(2)解：在RtZ\48C中，由勾股定理得，BC=dAB。-AC2=36，

在RtA5c〃中，sinZCDB=—,

BD

.•■sin37°=—=0.6,

BD

BD=5y/3,

由题意得，BC+AB^BE+BD,

■■BE=BC+AB-BD=343+6-543=6-2y/3，

：.CE=BC-BE=3m-(6-2塔=5&6a2.7n\,

答：物体上升的高度约为2.7m.

20.(2024•四川内江•中考真题)(1)计算：|-l|-(V2-2)°+2sin30o

(2)化简：(x+2)(x-2)-x2

【答案】(1)1;(2)-4

【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的运算.

(1)先计算绝对值，零次基和特殊角的三角函数，再计算加减即可.

(2)先计算平方差公式，再合并同类项即可.

【详解】解：(1)原式=「l+2x；

=1-1+1,

=1

(2)原式=%2—4-，

=-4

21.(2024・湖南・中考真题)计算：I—31+1—+cos60°-V4.

【答案】I

【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次基的运算等，先化简绝对值、零次累及

特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键.

【详解】解：1一3|+|-；)+cos600-V4

=3+1+--2

2

"2-

22.(2024•四川广安•中考真题)计算：［，一31+2sin60°+|.

【答案】1

【分析】先计算零次幕，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数暴，再合并即可.

18

【详解】解：^-3^|+2sin60°+|V3-2|-Q^|

=l+2x—+2-V3-2

2

=l+V3+2-V3-2

=1

【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次嘉，负整数指数累的含义，化简绝对值,

掌握相应的运算法则是解本题的关键.

23.（2024•江苏盐城•中考真题）计算：/2|-（l+;r）°+4sin30。

【答案】3

【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数幕、代入特殊角三角函数值，再进行混合运算

即可.

【详解】解：/2|-（1+乃）°+4sin30。

=2-l+4xl

2

=2-1+2

=3

24.（2024・四川遂宁•中考真题）小明的书桌上有一个Z型台灯，灯柱高40cm,他发现当灯带8c与水

平线如夹角为9。时（图1）,灯带的直射宽。£（50,8C,CE，8C）为35cm,但此时灯的直射宽度不够,

当他把灯带调整到与水平线夹角为30。时（图2）,直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距

离.（结果保留1位小数）（sin9°«0.16,cos9°«0.99,tan9°®0.16）

图1图2

【答案】此时台灯最高点C到桌面的距离为57.3cm

【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，BC=BM-3S9。，在图2中求得CN,进而根据灯

柱高40cm,点C到桌面的距离为N3+CN,即可求解.

【详解】解：由已知，BM//AE,

在图1中，DE//BM

­：BD±BC,CE1BC

■■.BD//CE

••・四边形BDEM是平行四边形，

.-.BM=DE=35

在中，BC=BM-cos90

在图2中，过点C作CN18M于点N,

图2

CN=2?Csin30°=-cos90-sin30°=35x0.99x—«17.3cm

2

"灯柱AB高40cm,

点C到桌面的距离为+CN=40+17.3=57.3cm

答：此时台灯最高点C到桌面的距离为57.3cm.

-1

25.（2024•四川泸州•中考真题）计算:|-V3|+(TI-2024)°-2sin60°+

【答案】3

【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幕，负整数指数暴，特殊角的三角函数值，二次根式的

加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.先化简各式，然后再进行加减计算即可解答.

【详解】解：原式=^+l-2x也+2,

2

=6-6+3,

=3.

26.（2024•四川自贡•中考真题）计算：（tan45°-2）°+|2-3|-V9

【答案】-1

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正切值，再运算零次塞，绝对值，算术平方

根，再运算加减，即可作答.

ZU

【详解】解：(tan45°-2)°+|2-3|-V9

=(l-2)°+|2-3|-V9

=1+1-3

=-1.

27.（2024・重庆・中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向8,。两港运送物资，最后到

达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达8港，再沿北偏东60。

方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60。方向航行一定距离到达。港，再沿南偏东30。方向

航行一定距离到达C港.(参考数据:72«1.41.月，1.73,卡a2.45)

（1）求A,C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）;

（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠5、。两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明.

【答案】（1）A,C两港之间的距离77.2海里;

（2）甲货轮先到达。港.

【分析】（1）过3作庞，4S于点E,由题意可知：NG4B=45°,ZEBC=60°,求出

4E=ABcosNBAE=2072，CE=BEtanNEBC=20a即可求解；

（2）通过三角函数求出甲行驶路程为：48+8C=40+56.4=96.4,乙行驶路程为：

+8=66.8+38.6=105.4,然后比较即可；

本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.

【详解】（1）如图，过B作座，4S于点E,

ZAEB=ZCEB=90°,

由题意可知：NG4B=45。,NEBC=60°,

；./BAE=45°,

AE=ABcosABAE=40xcos45°=20A/2，

■■CE=BEtanNEBC=2072tan60°=2072x退=2076,

•••NC=/E+CE=20拒+20指弓20x1.41+20x2.45土77.2（海里），

.•■A,C两港之间的距离77.2海里；

（2）由（1）得：ZBAE=45°,NEBC=60°,AC=11.2,

•••BE=ABsinNBAE=40xsin45°=20五，

BE20V220V2r-

BC=-------------=----------=——；——=40V2«56.4

cosZEBCcos60°j_，

2

由题意得：NADF=60°,ZCZ）F=30°,

:.NADC=90°,

11173

.•.CD=—/C=—x77.2=38.6,AD=ACcos300=77.2x^»66.8（海里），

222

•••甲行驶路程为：AB+BC=40+56.4=96.4（海里），乙行驶路程为：AD+CD=66.8+38.6=105.4（海

里），

••-96.4<105.4,且甲、乙速度相同，

•••甲货轮先到达C港.

28.（2024•重庆・中考真题）如图，A,B,C,。分别是某公园四个景点，3在A的正东方向，。在A的

正北方向，且在。的北偏西60。方向，C在A的北偏东30。方向，且在5的北偏西15。方向，4B=2千

米.（参考数据：友“41，6。1.73,屈n2.45）

22

(1)求8C的长度(结果精确到0.1千米)；

(2)甲、乙两人从景点。出发去景点8,甲选择的路线为：D-C-B,乙选择的路线为：D-A-B.

算说明谁选择的路线较近？

【答案】(1)2.5千米

(2)甲选择的路线较近

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用:

(1)过点3作跖，ZC于E,先求出//C3=45。，再解RtA15E得到8£=有千米，进一步解RtA^CE

RFI-

即可得到BC=———=V6«2.5千米；

smZBCE

(2)过点C作C尸J.于D,先解RAABE得到AE=1千米,则AC=AE+CE=(1+9千米,再RtA^FC

得到(才=土叵千米，AF=心叵千米，最后解RMDC尸得到。尸=2±3千米，。。=2±且千米，即

2263

可得到CD+8。=士芭+痛a4.03千米，20+48”5.15千米，据此可得答案.

3

【详解】(1)解：如图所示，过点8作庞，ZC于E,

由题意得，NC42=90°-30°=60。,Z^5C=90°-15°=75°,

AACB=180°-ACAB-ZABC=45°,

在RtZ^4BE中，AAEB=90°,48=2千米,

BE=AB・cosZBAE=2•cos60°=G千米,

在RMBCE中，BC=———=4-=指它2.5千米,

sinZBCEsin45°

.・•3C的长度约为2.5千米;

(2)解：如图所示，过点C作CFL4D于。,

北

西]»乐

南

ASj

在RtZUBE中，AE=AB-cosNBAE=2•cos60°=1千米，

.•./C=N£+CE=（l+6）千米，

在RtZUFC中，C尸=NC.sin/G4尸=（1+百）与1130°=^^千米，

4F=/C•cos/C4尸=（1+百）•cos30°==8千米，

在RtADC/中，/DCF=3。。,ZDFC=90°,

DF=CF-tanZDCF=匕3.tan30°=士芭千米，

26

1+百_

8-CF二-3+6千米,

cos/DCFcos3003

•••Cr>+8C=^^+#x4.03千米，/。+/8=。/+/尸+/8=2+^^+^^土5.15千米,

362

•••4.03<5.15,

•••甲选择的路线较近.

29.（2024・四川遂宁•中考真题）计算：sin45°+*-l+"+（焉］.

乙\乙U41.J

【答案】2024

【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幕的性质、特殊角的三角函数

值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键.

Z4

-1

正一1+41

【详解】解：sin45°++

22021

-+1--+2+2021

22

二2024.

30.(2024・四川巴中•中考真题)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡

度i=l：G，BE=6m,在8处测得电线塔CD顶部。的仰角为45。，在£处测得电线塔。顶部。的仰角

(1)求点8离水平地面的高度48.

(2)求电线塔C0的高度(结果保留根号).

【答案】(l)/3=3m；

(2)电线塔CO的高度(66+6)m.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用.

(1)由斜坡3E的坡度，=1:6,求得理=二=",利用正切函数的定义得到乙8以=30。，据此求解

AE433

即可；

(2)作瓦nCD于点尸，设。尸=x,先解RtADB尸得到=解RtAOCE得到£C=g(x+3)米，进

而得到方程36+g(x+3)=x,解方程即可得到答案.

【详解】⑴解：,•,斜坡展的坡度，=1:6，

AB_1_拒

AE63

tanZBEA=,

AE3

/.ZSK4=30°,

BE=6m,

：.AB=^BE=3(m)-

(2)解：作3F，CD于点尸，则四边形4&FC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC,

设DF=xm,

r)F

在RtZXOAF中，tanZZ)5F=——

BF

BF=———=xm,

tan/DBF

在RtZUBE中，AE=ylBE2-AB2=373-

DC

在RtADCE中，DC=DF+CF=(x+3)m,tan/DEC=—

EC

x+3=，(x+3),

•••EC=

tan60°

；.BF=AE+EC,

•*-3A/3H———(x+3)=x,

,**x=6^/3+6,

答:电线塔8的高度(6g+6)m.

31.(2024,内蒙古赤峰•中考真题)(1)计算：＞/9+(7i+l)°+2sin60°+|2—Vs|；

(2)己知/—a—3=0,求代数式(a—2)"+(a—l)(a+3)的值.

【答案】(1)6；(2)7.

【分析】(1)利用算术平方根、零指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求

解；

(2)由一3=0得/_.=3,化简代数式可得(―2)2+(°-1)(°+3)=2(/-4)+1,代入计算即可求

26

解；

本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键.

【详解】解：(1)原式=3+l+2x走+2-6

2

=4+6+2-5

=6；

(2)。―3=0,

•••—。=3，

・•.(Q-2)2+(Q—1)(Q+3)

—ct~—4<7+4+a~+2a-3,

=24~—2a+1,

=2(a，-a)+1,

=2x3+1,

=7.

32.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图，C。是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路/上由北向南

行驶，在A处测得桥头C在南偏东30。方向上，继续行驶1500米后到达5处，测得桥头C在南偏东60。方

向上，桥头。在南偏东45。方向上，求大桥8的长度.(结果精确到1米，参考数据：V3«1.73)

【答案】548米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点C,。作48的垂线，垂足分别为尸,E,根据题意得出