2025年中考数学复习：动点在二次函数图象中的分类讨论提升训练 （含解析）

动点在二次函数图象中的分类讨论

1、如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,cosA=1，点P是边AB上的动点，以B4为半径作。尸.

4

(1)若。.尸与AC边的另一个交点为。，设AP=尤，APC。的面积为》求y关于x的函数解析式，并

直接写出函数的定义域；

(2)若。尸被直线8C和直线AC截得的弦长相等，求4尸的长；

(3)若。C的半径等于1,且。P与。C的公共弦长为应，求AP的长.

2、如图1,在四边形OA8C中，AB//OC,轴于点C,A(l,-1),8(3,—1),动点尸从。出发，沿着x

轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点尸作P。垂直于直线。4,垂足为Q.设点尸移动的时间为

f秒(0«2),AOP。与四边形042c重叠部分的面积为S.

(1)求经过。、A、8三点的抛物线的解析式，并确定顶点〃的坐标；

(2)用含f的代数式表示点尸、。的坐标；

(3)如果将AOP。绕着点尸按逆时针方向旋转90。，是否存在3使得AOP。的顶点。或。在抛物线

上？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由；

(4)求出S与/的函数关系式.

3

3、如图1,△A8C是以BC为底边的等腰三角形，点A、。分别是一次函数y=—+3的图像与y轴、x

轴的交点，点2在二次函数y=g/+笈+c的图像上，且该二次函数图像上存在一点。使四边形ABC。能

构成平行四边形.

(1)试求6、c的值，并写出该二次函数的解析式;

（2）动点P从A到。，同时动点。从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，由PQLAC?

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

4、如图1,抛物线？=2_/一3工一9与无轴交于A、8两点，与y轴交于点C,联结BC、AC.

22

（1）求A2和0C的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于

点。.设AE的长为机，AADE的面积为s,求s关于相的函数关系式，并写出自变量机的取值范围；

（3）在（2）的条件下，联结CE,求ACDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与8C相切的

圆的面积（结果保留兀）.

5、如图1,图2,在AABC中，AB=13,8C=14,cosZABC=--

13

探究如图1,AHL8C于点“，则A”=,AC=,A4BC的面积SAABC=.

拓展如图2,点。在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线8。的垂线，垂足为E、F.设

BD=x,AE=m,CF=n.（当点。与点A重合时，我们认为SAABD=O）

（1）用含X,机或〃的代数式表示SxABD及SACBD；

（2）求（“z+”）与x的函数关系式，并求（"z+a）的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点。，指出这样的x的取值范围.

发现请你确定一条直线，使得A、3、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这

个最小值.

AA

BH

6、如图1,在RtA4BC中，ZC=90°,AC=8,8C=6,点尸在AB上，AP=2.点、E、E同时从点尸出发，

分别沿B4、以每秒1个单位长度的速度向点A、8匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿A8向点

8运动，点尸运动到点8时停止，点E也随之停止.在点E、尸运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,

使它与AABC在线段的同侧.设E、下运动的时间为f秒Q>0),正方形E尸G8与AABC重叠部分的面积

为S.

(1)当f=l时，正方形EFGH的边长是；当f=3时，正方形EFGH的边长是；

(2)当1<二2时，求S与f的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

AEP

1.思路点拨

1.APCO的底边C£>上的高，就是弦A£>对应的弦心距.

2.若。尸被直线和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等.

3.OC的半径等于1,公共弦MN=0,那么ACMN是等腰直角三角形.在四边形CMPN中，利用

勾股定理列关于x(。2的半径)的方程.

满分解答

(1)如图2,在RtAABC中，AC=4,cosA=-,所以A8=16,BC=4715.

设弦AD对应的弦心距为PE,那么AE=-AP=_x,PE=

所以y=SAPco=LcD.PE=L(4—'x)x^

2224

定义域是0<x<8.

(2)若。尸被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距尸b=PE.

因此四边形AEP尸是正方形(如图3),设正方形的边长为江

由SAABC=SAACP+SABCP，得ACBC=m(AC+BC).所以m=4、彳妙=30-2后

4+4岳7

此时A£="30.2诟=口叵二2,……8A-8

AP=4AE=-.....

777

(3)如图4,设。C与。尸的公共弦为MMMN与CP交于点、G.

由于CM=CN=1,MN=也,所以ACMN是等腰直角三角形，CG=NG=—.

2

如图5,作于〃，由AC=4,那么AH=1,CH2=15.

所以CP=dcH2”H2=J15+(x—1)2.因止匕/G=J15+(X-1)2—与(如图4).

由勾股定理，得Y=“15+(x—»一与Y+(与丫.

如图4,在RtAPNG中,

整理，得2f—64x+257=0.解得玉=%二手见，々=卫苧迈(舍去).

2.思路点拨

1.AOP。在旋转前后保持等腰直角三角形的形状.

2.试探取不同位置的点尸，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论.

满分解答

(1)由A(l,—1)、8(3,—1),可知抛物线的对称轴为直线尤=1,点。关于直线r1的对称点为(4,0).

于是可设抛物线的解析式为y=ox(x—4),代入点A(l,-1),得-3a=-1.

解得a=；.所以y=gx(x_4)=；(x—2)2.顶点Af的坐标为(2,—：).

(2)AOPQ是等腰直角三角形，P(2t,0),

(3)旋转后，点。，的坐标为(2f,—2f),点。，的坐标为(3f,—t).

将。'⑵,一2f)代入y=g尤(无-4),得-2f=gx2f⑵-4).解得r.

将0(3乙一。代入了=3尤(无-4),得T=；x3«3t-4).解得f=L

因此，当f=g时，点。落在抛物线上(如图2)；当f=l时，点落在抛物线上(如图3).

(4)①如图4,当0</1时，重叠部分是等腰直角三角形。尸。.此时S=P.

②如图5,当1〈云1.5时，重叠部分是等腰梯形OP朋.此时Ab=2f—2.

此时S=：(2t+2/-2)xl=2-l.

③如图6,当时，重叠部分是五边形OCEFA.

此时CE=CP=2t—3.所以BE=BF=l-(2/-3)=4-2f.

所以S=；(3+2)xl-g(4-2。2=-2«+&-?.

图6

3.思路点拨

1.求抛物线的解析式需要代入8、。两点的坐标，点8的坐标由点C的坐标得到，点。的坐标由AO

=BC可以得到.

2.设点产、。运动的时间为3用含有f的式子把线段AP、CQ、A。的长表示出来.

3.四边形PDC。的面积最小，就是AAP。的面积最大.

满分解答

(1)由y=—工》+3,得A(0,3),C(4,0).

-4

由于2、C关于OA对称，所以3(—4,0),BC=8.

因为AD//BC,AD=BC,所以。(8,3).

将3(—4,0)、。.(8,3)分另1]代入)=—X2+以+°,得4

-8[8+8b+c=3.

解得6=-工，c=—3.所以该二次函数的解析式为>=工/—Lx—3.

4-84

(2)①设点尸、。运动的时间为

4

如图2,在AAP。中，AP=t,AQ=AC~CQ=5~t,cosZPAQ=cosZACO=-.

当PQLAC时，蛋=3.所以解得AP=，=空.

AP5t59

图2图3

②如图3,过点。作QHLAO,垂足为H.

111333

由于SA”°=——AP-AQsin/PAQ=—f(5—t)x—=——t2+-t，

2225102

SAACD=—AD-OA=—x8x3=12>

22

所以S四边形P»C2=SAAC»—SAAP2=12—(——Z2+—Z)=—(Z——)2+—•

1021028

所以当AP=|■时，四边形POC。的最小值是£.

4.思路点拨

1.A4£)E与AACB相似，面积比等于对应边的比的平方.

2.ACDE与AAOE是同高三角形，面积比等于对应底边的比.

满分解答

1Q1

(1)由丫=±/—士》一9=上(》+3)(》一6)，得4一3,0)、8(6,0)、C(0,—9).

,222

所以AB=9,OC=9.

(2)如图2,因为DEHCB，所以△AOES/XACB.

所以黑些=(丝)2.

SAACBAB

1QI

而SAACB=5A3OC=5,AE=m,

所以S=S2DE=(若fX5MCB=(£)2X?=；加2•

AnyZZ

m的取值范围是0〈根<9.

(3)如图2,因为OE7/C8,所以02=殷='二生.

ADAEm

因为ACDE与AADE是同高三角形，所以&些=乌="”.

SgDEA°JTl

grpic9—m121291,9281

nTTASArnP=----------x—m=——m+—m=——(m——)-1----------

△CDEm222228

当机=2时，△CDE的面积最大，最大值为以.

28

此时E是AB的中点，BE=上

2

如图3,作EHLCB,垂足为

在R3B0C中，0B=6,。。=9,所以sinB=-J==^l

V1313

在RtAB即中，EH=BE-sinB=»=»屈.

21326

当。E与3c相切时，r=EH.所以s=yr/=%万.

52

6.答案探究AH=12,AC=15>SAABC~84.

拓展(1)S^ABD=_mx，S^CBD=—nx-

22

(2)由SAABC=SAAB£>+SACBO,W—mx+—=84•所以m+〃=

22x

由于AC边上的高3G=史，所以x的取值范围是变装14.

55

所以(/〃+〃)的最大值为15,最小值为12.

(3)尤的取值范围是尤=色或13c烂14.

5

发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为变.

5

6.思路点拨

1.全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工.

2.这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的

选择.

满分解答

(1)当£=1时，EF=2；当/=3时，EF=4.

(2