2025年新高考数学重难点专项复习：不等式易错题七大题型（解析版）

重难点06不等式易错题七大题型汇总

题型解读

题型5多次使用基本不等式

忽略等号成立的条件

题型6分式根式不等式等价

转化不全

题型7混淆不等式能成立、

恒成立、恰成立

’?量满分技巧/

技巧一.忽略二次项系数为零

解形如ax2+bx+c>0类型的不等式的步骤首先判断二次项系数与0的大小，否则分类讨论，当a<0时，

利用不等式性质化为正值，然后若能分解因式，则分解因式，然后判断根的大小，写出解集）；若不能分

解因式，需判断判别式，若判别式符号不确定，则分类讨论；在解题中注意三个二次（二次函数、二次方

程、二次不等式）之间的联系，同时要树立起函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想方法.

技巧二.分类讨论不全

含参数不等式求解的通法是"定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键"，注意解完之后要写

上："综上，原不等式的解集是……”.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知

数讨论，最后应求并集

注意：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

技巧三.忽略基本不等式成立的条件导致错

利用基本不等式求函数最值时，注意其前提："一正、二定、三相等"，如果没有满足前提，则应根据题

目创设情境；还要注意选择恰当的公式；"和定积最大，积定和最小"，可用来求最值；基本不等式具有

放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致.

技巧四.多次使用均值忽略等号

连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用

基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立.

技巧五.解不等式时等价转化条件不全

注意用"根轴法"解整式(分式)不等式的注意事项及分式不等式祟>a

0(%)

(a/0)的一般解题思路：移项通分.注意转化为整式,不等式后需要确保分母对应的因式不能为0根式不等

式要注意保证根号有意义等隐含条件.

技巧六.混淆不等式的恒成立、能成立、恰成立

不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题，不等式成立问题的常规处理方式(常应用函数方程思想和"分

离变量法"转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法).(1)恒成立问题

若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A;

若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max<B.

(2)能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A;

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上的f(x)min<B.

(3)恰成立问题

若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D;

若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.

用M题型提分练

题型1忽略不等式成立的条件

【例题1】（2023秋•四川南充高一阊中中学校考开学考试）已知a-l>0,则下列结论正确的是（）

A.-1V—CL<a<1B.—ciV—1<1<a

C.-a<—1<a<1D.-1V—a<1Va

【答案】B

【分析】先得到a>1,再由不等式基本性质得到-a<-1,从而比较出大小关系.

【详解】因为a-l>0,所以a>1,由基本不等式性质可得-a<-1,

故-a<—1<1<a,B正确，ACD错误.

故选：B

【变式1-1]1.（2023春•江西吉安•高一校联考期中）如痴>b,那么下列运算正确的是（）

A.a-3<6-3B.a+3<b+3C.3a<3bD.

【答案】D

【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.

【详解】解：因为a>b,

所以a—3>5-3,故A错误；

a+3>b+3,故B错误；

3a>3b,故C错误；

故D正确.

-J—j

故选：D.

【变式1-1]2.（2022秋•天津滨海新•高一校考期中）已知a>0,b>0,M=+Vb,N=V^+b,则

A.M>NB.M<NC.M>ND.M<N

【答案】A

【分析】平方后比较大小即可

【详解】由题意得“2=a+b+2y[ab,N?=a+b,而a>0,b>0,得M>N,

故选：A

【变式1-1]3.（多选）（2023•全国•高一专题练习）已知a,6,c为实数，若a>b,则下列不等关系一定正

确的是（）

A.a-c>b—cB.a2>b2C.a3>b3D.ac>be

【答案】AC

【分析】利用不等式性质可知A正确，D错误；利用作差法然后进行因式分解即可知B错误，C正确.

【详解】对于A,由不等式性质可知不等式两边同时加减同一个实数，不等号方向不改变，即A正确；

对于B,易知a?—b2—（a—b）（a+b）,又a>b,若a+b>0时,a2>b?;若a+b<0时，a2<炉；若

a+b=0时，a?=炉；

所以a?>人2并不一定成立，即B错误；

对于C,由a3—=（a—b）（a2+ab+b2）=（a—b）[（a+触）+於？可知，当a>6时，a—b>0,

（a+割2+於2>0,所以>/,即c正确；

对于D,当c<0时，由不等式性质易知a>b时，ac<6c,即D错误；

故选：AC

【变式1-1]4.（多选）（2023秋•湖南娄底高一校考期末）对于实数a,b,c下列说法正确的是（）

A.若a>b>0,则:<-B.若a〉b,贝！jac?>be2

C.若a>0>6,贝！1ab<a2D.若c>a>6,则，->—

【答案】ABC

【分析】利用不等式的性质，分析、推理判断ABC;举例说明判断D作答.

【详解】对于A,a>6>0,两边同时除以ab，则:<)A正确；

对于B,a>6,c220,贝Dae?>be2,当且仅当c=0时取等号，B正确；

2

对于C,因为a>0>b,贝！Jab<0<arC正确；

对于D,取c=-l,a=-2,b=-3,满足c>a>b,而士=-2<-1=刍，D镯吴.

故选：ABC

题型2忽略二次项系数为零

【例题2](2023秋•全国•高一期中)已知不等式小/一小刀+1>o,对任意实数%都成立，则小的取值范

围()

A.(—8,—4)U[0,+8)B.[0,4)

C.(—co,0]U(4,+oo)D.[—4,0)

【答案】B

【分析】分两种情况考虑，爪=0时，不等式成立；小大。时，需满足%/n，综上，即可得到

(A=4一4m<0

本题答案.

【详解】①当巾=。时，不等式成立，:.m=0；

②当小中0时，则有｛7>?/n，解得0(巾<4；

LA=-4m<0

综上I0<m<4.

故选：B.

2

【变式2-1]1.(2023•全国•高一专题练习)若不等式小久2+mx-4<2x+2x-1对任意实数x均成立，

则实数m的取值范围是()

A.(—2,2)B.(—10,2]C.(—8,—2)U[2,+8)D.(—8,—2]

【答案】B

【分析】化简已知不等式，对也进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得小的取值范围.

【详解】依题意，不等式+mx-4<2x2+2x-1对任意实数X均成立，

即不等式(m-2)x2+(m-2)%-3<0恒成立,

当爪=2时，不等式可化为-3<0恒成立，

当m<2时，△=(m—2)2+12(m-2)=m2+8m-20

=(m+10)(m—2)<0,解得-10<m<2,

综上所述，山的取值范围是(-10,2].

故选：B

【变式2-1]2.(2023秋•内蒙古呼和浩特•高一统考期末)若不等式2k/+依一?<。对一切实数x都成

O

立，则k的取值范围是()

A.-3<fc<0B.-3</c<0

C.fc<-3或k>0D.k<—3或k>0

【答案】A

【分析】由2k/+for-|<。对一切实数x都成立，结合函数的性质分成k=0,k手0讨论进行求解.

【详解】2kxz+依_|<。对一切实数%都成立，

①k=0时，—|<。恒成立，

O

②"。时，｛△=/；*<()，解得一3“<0，

综上可得，—3<kW0.

故选：A.

【变式2-1J3.(多选)(2023秋•高一课时练习)(多选)若命题"存在实数x，使得(a-2)/+2(a-2)x-

4>0成立"是假命题，则实数a可以是()

A.—2B.—1

C.1D.2

【答案】BCD

【分析】根据条件得到原命题的否定"任意实数x，使得(a-2)%2+2(a-2)%-4<0成立"为真命题，再

分类讨论二次项系数为0和不为0,结合二次函数的图象与性质即可求解.

【详解】命题"存在实数％，使得(a-2)/+2(a-2)%-4>0"是假命题，

则其否定为"任意实数无，使得(a-2)%2+2(a-2)x-4<0成立"是真命题，

当a=2时，原不等式化为—4<0恒成立；

当a02时,贝山(a_2,；嬴0■幻<0，解得：二<a<2.

综上，实数a的取值范围是(-2,2].

故选：BCD.

【变式2-1]4.(2023秋・广西南宁•高一校考阶段练习)若不等式2k/+kx-l<0对一切实数x都成立，

则k的取值范围为

【答案】(-3,0]

【分析】根据题意，分2k=。和2k*0,两种情况，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】由不等式2k/+kx_l<0对一切实数x都成立，

当2k=。时，即k=0,可得-：<0,此时对一切实数x都成立；

O

(2fc<0

当2k*0时，则满足*2_4x2kx(―三)<0，解得一3<k<0,

综上可得，实数k的取值范围是(-3,0].

故答案为:(—3,0].

题型3二次不等式的讨论情况不全

【例题3](2023秋・湖北荆州•高一沙市中学校考阶段练习)若。>1，则关于x的不等式(％-a)1-?>0

的解集为

【答案】｛x|x<:或x>a｝

【分析】由a>1可得0(工<1,则可求出一元二次不等式的解.

a

【详解】a>1,o<i<1,则a>-,

aa

•・•(％-a)D>0,

•••x<!或%>a.

a

故答案为：[x|x<(或X>a｝.

【变式3-1]1.(2023•全国•高一专题练习)已知函数y=mx2-mx-l.

(1)若y<。时，对任意的％GR都成立，求实数小的取值范围；

(2)求关于x的不等式y<(1-m)x-1的解集.

【答案】(1)一4<m<0

(2)答案见解析

【分析】(1)分m=0、m丰。两种情况讨论，在爪=0时，直接验证即可；在山牛0时，根据二次不等式

恒成立，可得出关于小的不等式组，综合可得出实数小的取值范围；

(2)由y<(1-m)x-1可得出一X<。，分爪=0、巾>0、m<。三种情况讨论，利用一次不等式、

二次不等式的解法解原不等式，即可出原不等式的解集.

【详解】(1)解：因为y<。对任意的XeR都成立，

当巾=0时，则有一1<0,合乎题意；

当m丰0时，即zu/一小》一1<0对任意的xeR都成立，贝皿4/n，解得一4<m<0.

综上所述，实数小的取值范围是-4<m<0.

(2)解：由y<(1—m)x—1可得nt/—mx—1<(1—m)x—1,

BPmx2—x=x(mx-1)<0,

当血=o时，解得％>0,则原不等式解集为｛%|%>0｝；

当小>。时，即!>o,可得皿-5)<0,则原不等式解集为核［o<x<5｝；

当山<0时，即!<0,可得%-5)>0,则原不等式的解集为上|%<'或%>0｝.

综上所述：当巾=0时，原不等式解集为｛“国>0｝；

当山>0时，原不等式解集为｛%|0<%<^］；

当m<0时,原不等式解集为｛%,'或x>0｝.

【变式3-1］2.(2023・全国•高一专题练习)

解关于x的不等式a/+(1—a)x+a—2<a—l(aG/?).

【答案】答案见解析

【分析】将所求不等式变形为(〃+1)(%-1)<0,对实数a的取值进行分类讨论，利用二次不等式或一次

不等式的解法解原不等式，综合可得出原不等式的解集.

【详解】解：不等式a/+(1—d)x+a—2<a—1等价于a/+(1-a)x—1<0,

不等式可化为(3+l)(x-l)<0,

当a>0时，则=<1,解原不等式可得-工<%<1；

aa

当a=-1时，则—；=1,原不等式即为一0-I)2<0,解得比丰1；

当-1<a<0时，则=>1,解原不等式可得x<1或%>一；

aa

当a<一1时，则一：<1,解原不等式可得x<—(或久>1；

当a=0时，原不等式即为％-1<0z解得％<1.

综上所述，当a<-1时，原不等式的解集为比卜<-：或x>1｝

当a=-1时，原不等式的解集为｛x|xHl｝；

当—1<a<。时,原不等式的解集为｛x|x<1或%>-3；

当a=0时，原不等式的解集为｛x|x<1］；

当a>0时，原不等式的解集为3

【变式3-1]3.(2021秋辽宁朝阳•高一建平县实验中学校考阶段练习)(1)不等式皿2一2机久+1>o,

对任意实数x都成立，求m的取值范围；

(2)求关于x的不等式a/一g+1)乂+1<。的解集.

【答案】(1)[0,1),(2)见解析，

【分析】(1)由题意列不等式求解，

(2)分类讨论求解，

【详解】(1)当巾=0时，不等式恒成立，满足题意，

M>0

当时，由题意得｛AA2./。，解得0<小<1,

综上，山的取值范围是[0,1),

(2)①当a=。时,原不等式的解集为(1,+8),

当a*0时，不等式可化为a(x-^)(x-1)<0,

②当a<0时,^<1,原不等式的解集为(—8,》u(1,+8),

③当a=1时，原不等式的解集为0,

④当0<a<1时，5>1,原不等式的解集为(1,》,

⑤当a>1时，，<1,原不等式的解集为。,1).

【变式3-1]4.(2020秋河北石家庄•高一石家庄外国语学校校考期中)已知函数y^mx2-mx-l.

(1)若y>0,对任意的久eR都成立，求实数小的取值范围；

(2)求关于x的不等式y<(-2m-2)x-3/的解集

【答案】Q)me0

(2)见解析

【分析】(1)对小进行分类讨论，分为巾=0与小丰。两种情况；(2)对不等式变形，对二次项系数和根

的分布进行分类讨论，结合二次不等式的解法，求出不等式的解集

Q)

y>。对任意的％eR都成立，

当m=0时，y=-1V0,不合题意，舍去

当TnH。时，二次函数y=mx2一mx-1一定要开口向上，所以m>0，且A=(-m)2+4m<0,解得：-4<

m<0,结合zn>0,则THG0,所以实数血的取值范围为0

(2)

y<(—2m—2)x—3x2,BPmx2—mx—1<(-2m—2)x—3x2

2

整理得：(血+3)x+(m+2)x—1<0z即[(m+3)x—l](x+1)<0

当m+3=0,即TH=—3时,—%—1V0,解得：]>—1；

当771+3>0,即771>—3时,此时->0,解得：—1V%V1；

m+3m+3

当m+3<-1,即TH<一4时，此时一1<<0,解得：x<一1或％>；

当TH+3=—1,即?71=—4时，此时二=—11解得：％H—1

m+3

当一1Vm+3<0,即一4<m<一3时，此时<-1,解得：x>一1或％<

综上：当血=一3时，解集为(一1,+8);

当TH>一3时，解集为(一；

当m<—4时，解集为(―8,—1)u(]},+8)

当7n=-4时,解集为(―8,—1)u(―1,4-oo)

当—4<m<—3时,解集为(-8,笠0U(―1,+8)

【变式3-1]5.(2023•全国•高一专题练习)解关于%的不等式：ax2-(2a+l)x+2<0.

【答案】答案见解析

【分析】分成a=0,0Va<Ja=Ja>Ja<0几种情况分别讨论不等式的解集；

【详解】原不等式可化为(a%-1)0-2)<0.(*).

(1)当a=。时,有一(一％—2)<0<=>x>2.

(2)当a>0时，(*)式=(x-(%-2)<0,vi-2=^,

①当0<a<:时,^>2,：.2<x<［.

②当a=］时，［=2，0—2)2<。，此时解集为0.

③当a>5时(~<2..<x<2.

(3)当a<0时，(*)式Q(%—：)(x—2)>0,ravO,：.；<2..'.x<1或x<2.

综上所述，原不等式的解集为：

当a<0时，为<［或无>2］；

当a=0时,为｛巾>2｝；

当0<a<(时，为｛%|2<%<,｝；

当a=省寸，为0；

当a>用寸，为｛久［^<%<2］.

【变式3-1］6.(2023•全国•高一专题练习)解关于x的不等式/一3-2a2>0.

【答案】答案见解析

【分析】对参数a分类讨论，结合二次函数的性质,分别求出不等式的解集.

【详解】由题意(％-2a)(%+a)>0,分以下三种情形来解不等式：

情形一：当a=0时，不等式变为久2>0,解得x丰0；

情形二：当a>0时，一a<0<2a,不等式的解为x>2a或久<-a；

情形三：当a<0时，a<0<-2a,不等式的解为x<2a或x>-a；

综上所述：当a=0时，不等式的解集为｛用久丰0｝；

当a>0时，不等式的解集为｛x|x>2a或x<-aj；

当a<。时，不等式的解集为｛x|x<2a或x>-a］.

题型4忽略基本不等式的成立条件

【例题4］（2023秋•辽宁沈阳・高一沈阳铁路实验中学校考期末）当x<0时，函数y="+：（）

A.有最大值-4B.有最小值-4C.有最大值4D.有最小值4

【答案】A

【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.

【详解】••,%<0,-x>0,

y=x+£=-［（一x）+（―£）］W-2J（-%）X（-£）=-4,当且仅当x=一2时等号成立，

故选：A

【变式4-1】1.（多选）（2023春•安徽滁州•高一统考期末）已知正数a,b满足a+"1,则（）

A.ab的最大值为:B一+甘勺最小值为4

4ab

C.Va+也的最小值为近D.a-1的最大值为一1

【答案】AB

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断.

【详解】对于选项A,正实数a,b满足a+b=l,由基本不等式得ab<（等产=］,当且仅当a=b=（时

取等号，则A正确；

对于选项B,-+i=—+^=2+-+^>2+2^=4,当且仅当a=b=为寸取等号，则B正确；

ababab7ba2

2

对于选项Cz（Va+VF）=a+b+2yl~ab=1+2^ab<l+a+b=2，当且仅当a=b=决寸取等号，即VH+

血工夜，则C错误;

对于选项D,a=l—h>0,贝！］0<b<1,

a--=1—b--=1—<1—2b--=—1,

bb\bJAJb

当且仅当b=*,即b=1时，取等，但0vb<1,故等号无法取到，故D错误.

故选：AB.

【变式4-1]2.（多选）（2023秋•浙江杭州•高一杭十四中校考期末）下列选项正确的是（）

A.若a力。，则a+士的最小值为4B.若xeR,则茎的最小值是2

aVxz+2

C.若ab<0,贝哈+2的最大值为—2D.若正实数x,V满足％+2y=1,则乙+生勺最小值为6

【答案】CD

【分析】A选项，分a<0与a>0时，利用基本不等式求解；B选项通过使用基本不等式，一正二定三相等，

发现等号不成立；C选项，先判断出<0,^<°，再基本不等式进行求解；D选项，1的妙用，使用基本

ab

不等式进行求解

【详解】当a<0时，a+（=—（—a-2卜.㈢=—2，当且仅当—a=,即a=—1时取等号，

则a+工有最大值为一2，当a>0时，a+工22『=2,当且仅当a=工，即a=1时取等号，

aaaa

则a+二的最小值为2,故A错误；

CL

因为，龙2+2>2,>0,所以+2+后*>2Jvx2+2-=2,

等号成立的条件是=鼻,即/+2=1,方程无解，即最小值不为2,B错误；

VX2+2

若ab<0,故：<0，£<0,则£+：=-[（-^）+（-/宅-2J常—=-2,

当且仅当-9=—即a=时取等号，此时取得最大值-2,C正确；

ab

正实数%,y满足％+2y=1,贝!]2+2=生也+±=2+把+、22+2/—•-=6,

xyxyxyxy

当且仅当?=,即X=2y=泄取等号，贝u|+英勺最小值为6,D正确.

故选：CD

【变式4-1]3.（多选）（2023秋・安徽黄山•高一统考期末）已知a>0、b>0,a+26=ab,则下列说

法正确的是（）

A.a>2,fa>1B.ab的最小值为8

C.a+6的最小值为3D.（a-2）2+（匕-1）?的最小值为4

【答案】ABD

【分析】对于A,将a+26=ab化为6=2与a=金；对于B,直接利用基本不等式构造一元二次不等式

a—2b—1

可求出ab的最小值；对于C,a+2b=ab化为2+J=1,禾烟乘T法可求a+b的最小值；对于D,将

ab

b=言代入(a-2)2+(6-1)2,利用基本不等式即可求解.

【详解】因为a+2b=ctb,所以b=——>。且a>0可得a>2.

a—2z

又a=金>0且b>0,可得6>1,故A正确；

ab=a-^-2b>27a.2b,即ab>8,当且仅当b=2,a=4时等号成立，故B正确；

因为a+2b-db,所以:+，=1.

所以a+h=(a+h)Q+0=3+^+^>3+2J?•\=3+2A/2Z

当且仅当a=2+鱼力=&+1时等号成立，故C错；

将b=六代入(。一2/+(b-1下,可得(a-2)2+(匕-I)2=(a-2)2+(£-1)=(a-2)2+(£)=

(”2)2+备

N2卜2)27=4,

当且仅当a=2+々时等号成立，此时b=a+1,故D正确.

故选：ABD.

【变式4-1】4.(多选)(2023秋㈣“绵阳高一统考期末)设正实数a,b满足a+6=4,则()

A.-+1的最小值为2aB.Va+伤的最小值为

ab

C.“后的最大值为2D.a2+炉的最小值为8

【答案】CD

【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.

【详解】正实数a,b满足a+b=4,

对于人，：+£=h。+>)。+》=13+千+32((3+2舟)=宇，

当且仅当空=E,即a=8—4a,b=4a-4时取等号，A错误；

ab

对于Bim+&=4a+b+2^ab<Ja+b+(a+b)=242,当且仅当a=b=2时取等号，B错误；

对于C,病<手=2,当且仅当a=b=2时取等号，C正确；

对于D,a2+b2-(a+b)2-2ab>(a+b)2—2(^)2=(°；')=8,当且仅当a=b=2时取等号，D正

确.

故选：CD

【变式4-1]5.（多选）（2023秋・江西萍乡•高一统考期末）下列说法正确的是（）

3

A奉

>-

22%-3

B.器的最小值为4

Vx2+1

C.若x>0,y>0,且x+y=1,则泻的最小值为2

D.若x>0,y>0,且x+y=l,则上+会的最小值为―

【答案】BD

【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断，即可得到本题答案.

【详解】A选项,x>|,x-1>0,2%-3>0,

5

2

当且仅当X-1=七,X=省寸等号成立，所以A选项错误；

zz.x-Jz

B选项，"舞=^=^TI+占.4=4,

当且仅当&E=高,X=8时等号成立，所以B选项正确；

C选项，x+y=l,沁工"+也=11122泞+」,

xyxyxy

当且仅当r=^,x=y=粗寸等号成立，所以C选项错误；

D选项,x+y=1,2%+2+2y+l=5,

TT^+ir^=l(rli+iT2S；)(2x+2+2y+1)

“2+1+也+文为>“3+2呼分)=，

5V1+x2y+lJ-5\1+x2y+lJ5

当且仅当筌=矢,鱼（l+x）=2y+l,x=4-竽,y=苧一3时等号成立，

所以D选项正确.

故选:BD

题型5多次使用基本不等式忽略等号成立的条件

【例题5】（2023•全国•高三专题练习）已知正实数比,y满足4久2+25必=1,则升羊勺最小值为（）

A.20B.40C.20V2D.40V2

【答案】C

【分析】由（1+（）2=（等?=空1等胆两次应用基本不等式即可求解•

【详解】（鸿）24x2+25y2+20xy40xy400、400

>-------------222=800

-%2y22x5y-4x+25y

2

当且仅当2x=5y=噂，即「一，时等号成立,

（y=百

故?+司勺最小值为2。鱼.

故选：C.

【变式5-1]1.（2023•全国•高一专题练习）设。>2b>0,贝！]+4+的最小值为.

aba{a—2b）-----------

【答案】6

【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】。2+专+思丽=联”2切+2防+总+益丽

N2-26)x+242abx*=2+4=6,

ab=-(a=V3

ab取等号，即追取等号，

(a3—2b)=小\b=-

所以a?+彳+的最小值为6.

aba{a—2b)

故答案为：6

【变式5-1]2.（多选）（2022秋•安徽合肥•高一校考阶段练习）设。>b>c>0,则当2a2+吃+-

aba^a—b）

10ac+25c2取最小值时，下列说法正确的是()

A.a=V2B.b=2V2C.c=VD.a+b+c=3V2

【答案】AC

【解析】将原式整理为烹+ab++a(a-fa)+a2-lOac+25c2,根据基本不等式和二次函数的性质

可得选项.

【详解】因为a>b>c>0,所以

工(=-—一

abFab4--a-^-a---b-)--FCL、(CL—b'，)+a?lOtzc+25c2

119

———+abH—-----+CL(CL-b)+(CL-5c)

aba(a—b)

当且仅当a(a-6)=1,即a=/，b=j,c=争寸，等号成立，此时a+b+c=,

CL—5c

故选：AC.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【变式5-1]3.(2020秋广东•高二校联考阶段练习)已知机>0,n>0,则当81—+声+争取得最小

值时，n的值为()

1359

ABCD

2-2-2-2-

【答案】D

【分析】直接利用基本不等式用即可得解.

【详解】由血>0,n>0,得81zn2+九2+232.>18nm+>81,

9m=n9m=nm=-

当且仅当729=59=>«；时，等号成立

18mn=—mn=-

Qmn4n=-

2

故选：D.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【变式5-1]4.(2022・全国•高三专题练习)a,b,c是不同时为0的实数，则点累二的最大值为()

A-B.iC.-D.3

2422

【答案】A

【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【详解】若要使最大，贝，比均为正数，即符号相同，

az+2bz+czMba”,c

不妨设a,b,c均为正实数，

m.iab+bc_a+ca+c_a+c

人」西赤?=¥+2〃-2产+c2“如=2j2(a2+c2)

1la2+2ac+c2

2«2(a2+c2)

当且仅当亨=2b,且。=c取等，即a=b=c取等号，

即则丹累的最大值为1，

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.

题型6分式根式不等式等价转化不全

【例题6](2023秋•河北唐山•高一滦南县第一中学校考期末)已知x是实数，那么"久<1"是"I>1"

成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式工>1求出x的范围，再根据必要不充分条件定义判定可得答案.

X

【详解】由注1得号20,解得0<xWl,

所以"x<1"是"0<xW1"成立的必要不充分条件，

即"X<1"是>1"成立的必要不充分条件.

故选：B.

【变式6-1J1.(2022秋•安徽合肥•高一校考期末)已知集合4={%|-2<%<8]集合B={久<3),

则An8=()

A.{x|-2<x<3}B.{%|—2<%<8]

C.{x\l<%<3]D.{x|l<%<8]

【答案】D

【分析】先化简集合8,然后利用集合交集的定义求解即可.

【详解】由^<3可得0<%-1<9,解得1<%<10,

所以8={x|l<x<10},AC\B—{x\l<x<8},

故选：D

【变式6-1]2.(2021秋・江苏盐城•高一校联考期中)解下列不等式：

(l)|2x-1|<Vx2+1

(2)—<2

X

【答案】⑴[。曰

⑵92]

【分析】(1)将不等式两侧平方并化简得3/一4xW0,即可求解集，注意根式有意义；

(2)不等式化为{双0,即可得解集.

22

【详解】(1)将两侧平方得(2x-I)<x+1,贝加2一©4o,可得o<x<i,经验证满足题设,

所以,不等式解集为[o,J

(2)由题设三二-2=U<o,即产x-2)^0可得0<%<2

尤％I%W0

所以，不等式解集为(0,2].

【变式6-1]3.(2023秋•浙江•高一期末)已知集合4={x|%2+3%-4<0},B={久<2}.

(1)求集合A;

(2)求(CRA)UB.

【答案】⑴{x|-4<x<l}

(2){x|x<—4或久>0).

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合A;

(2)解不等式求得集合B,求出集合A的补集，再进行并集运算即可.

【详解】(1).「/+3%-4V00(%+4)(%-1)<0=-4<%<1

.t.A={x|—4<x<1}.

(2),.，Vx<2=»0<x<4

：.B={x|0<x<4}

・「CRZ={x\x<-4或%>1]

「.(CR4)UB={x\x<-4或%>0}.

【变式6-1]4.(2023秋•重庆渝中•高一重庆巴蜀中学校考期末)若关于x的不等式{'I/+p%+q<0}的

解集是氏|-1<X<2},则关于x的不等式式黑工>0的解集是()

A.(―3,—2)U(4,+8)B.(—3,2)U(4,+8)

C.(一0,-3)U(2,4)D.(一8,-2)U(3,4)

【答案】B

【分析】根据关于x的不等式{x|%2+px+q<0}的解集是{x|-1<久<2}，利用韦达定理可得p=-1,q=

-2,将不等式等价转化为d)(；+3)>0,进而求解.

x—2

【详解】因为关于X的不等式{久|%2+px+q<0}的解集是{x|-1<%<2},

所以/+px+q=。的两根是一1或2,由韦达定理可得：p==-2,

所以巴炉>0可转化为(，-*+3)>0,解得_3<%<2或x>4.

x+qx—2

所以原不等式的解集为(-3,2)U(4,+8),

故选：B.

【变式6-1]5.(2023春•黑龙江大庆•高一大庆中学校考开学考试)不等式在^口>x的解集是.

【答案】[-2,a)

【分析】解根式不等式，要先求定义域，然后再解不等式，根据题意可知：不等式成立的条件是-2<%<2,

然后解不等式，取交集即可求解.

【详解】要使不等式VTF>X有意义，则有4一/20,解得：一2wXW2.

当一2WxW0时，不等式-刀2>久恒成立；

当0<%42时，不等式，4-叱>万可化为4—x2>x2，解得：x2<2，所以一夜<x<V2，因为0<xW2,

所以0〈尤<企，

综上：原不等式的解集为［-2,/)，

故答案为：［—2,V2).

题型7混淆不等式能成立、恒成立、恰成立

【例题7］(2021春•四川广安•高一校联考期末)已知a>0,若关于x的不等式(x-I)2>(ax)?的解集中

的整数恰有3个,则实数a的取值范围是

【答案】A

【分析】将不等式化为(a?-I)%2+2%-1<0,可知x=。满足不等式，%=1不满足不等式，由此可确定3

个整数解为-2,-1,0；当a=1和0<a<1时，解不等式可知不满足题意；当a>1时，解出不等式的解集,

-3<^<-2

z

要保证整数解为-2,-1,0,则需a-l解不等式组求得结果.

0<^<1

a2-l

【详解】由(％—I)2>(a%)2得：(a2—l)x2+2%—1<0

当％=0时,-1<0成立x=。必为不等式的一个整数解

当％=1时，a2-l+2-l<0不成立%=1不是不等式的整数解

・•.3个整数解分别为：-2,-1,0

当a=1时，*］不满足题意

当0<a<1时，解不等式得：%<目或x>黑

不等式不可能只有3个整数解，不满足题意

-l-a-1+a

当a>1时,~: