2025年新高考数学重难点专项复习：空间向量中的易错题型（六种）（解析版）

重难点05空间向量中的易错题型（六种）汇总

题型解读

好量满分技巧/

易错一.向量概念的问题，忽略了零向量的特殊性.

易错二.五方的夹角问题，注意去掉共线的问题.

易错三.混淆异面直线的夹角与向量的夹角

1.两异面直线所成角的范围是ee（0,自，两向量的夹角a的范围是［0,扪，所以要注意二者的区别与联系，

应有cose=|cosa\.

易错四.易混淆直线与平面所成角与向量角

用向量法求直线OP与a成的角时一般有两种途径:一是直接求线面角；二是通过求＜万丽〉进而转化求解,

其中元为平面a的法向量，此时应特别注意OP与平面a所成角8与＜元丽〉的关系，它们互为余角，注意最

后转化.

易错五.二面角的求解注意判断钝角与锐角

1.二面角注意区分锐角与钝角

2.两个平面所成角为,不需要判断锐角与钝角.

却*题型提分练

题型1忽视零向量

【例题1]（2023秋•高二单元测试）给出下列命题：

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②在正方体力BCD-4/1的。1中，必有芯=不互；

③⑷=同是向量五=B的必要不充分条件；

④若空间向量而无力满足而〃元元〃力，则下〃户.

其中正确的命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【分析】对于①，有向线段不是向量，只是可以表示向量；对于②，根据向量相等的定义可知命题正确；

对于③，若向量相等，则模一定相等，但若模相等，则方向不一定相同；对于④，当元=6时，成万不一定

平行.

【详解】对于①，有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；

对于②，根据正方体4BCD-4/声心中，向量尼与咫的方向相同，模也相等，则衣=，故②正确；

对于③,因为五=3可以推出同=同，⑷=同推不出2=b,故③正确；

对于④，向量的平行不具有传递性，比如当元为零向量时，零向量与任何向量都平行，则而万不一定平行.故

④不正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了命题真假的判断，考查了必要不充分条件，考查了空间向量的有关概念，属于基础题.

【变式1-1]1.（2020秋•北京平谷•高二校考阶段练习）给出下列命题:

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②在正方体ABC。-A%G5中，必有前=兀石；

③⑷=网是向量a=b的必要不充分条件；

④若空间向量m,n,p满足7n\\n,n\\p,则mIIp.

其中正确的命题的个数是

A.1B.2

C.3D.0

【答案】B

【分析】①有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的；②前和az,大小一样方向相同，

二者相等；③⑷=网不能推出a=b；④n为零向量时，这一特殊情况要注意，就不成立.

【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体4BCD-&%的5中，向量而与砧:

的方向相同，模也相等,则尼=砧T，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传

递性，比如当"为零向量时，零向量与任何向量都平行，则巾,n不一定平行.故选B.

【点睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量与任何向量都是平行向量

【变式1-1]2.（多选）（2022秋•广东阳江•高二校联考期中）以下关于向量的说法正确的有（）

A.若五=b,则|五|=同

B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

C.若五=-bS.b--c,贝!]五

D.若五与3共线，B与，共线，贝皈与3共线

【答案】AC

【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.

【详解】若五=石，则蒲丽的大小相等，方向相同，故A正确；

将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；

若五=-b,b--c,贝!]五=-（-c）=c,故C正确；

若汇与旗线，B与洪线，则当B=。时，无法判断五与汨勺关系，故D错误.

故选：AC.

【变式1-1]3.（2022•全国•高二专题练习）下列命题正确的是（）

A.若d与另共线,另与0共线，贝心与0共线

B.向量房共面就是它们所在的直线共面

C.零向量没有确定的方向

D.若明/另，则存在唯一的实数4使得3=Ab

【答案】C

【分析】根据向量共线、共面、零向量等知识确定正确选项.

【详解】若2与3共线，B与0共线，则五与0共线，如果3=0,2与0不共线，4不正确.

向量a3,共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线.B错误.

零向量没有确定的方向，满足零向量的定义C正确.

若附加，则存在唯一的实数4使得。=焉,不正确，因为另=0,时不成立.D错误.

故选：C.

题型2忽略向量夹角定义

【例题2]（2023春・河南南阳•高二校考阶段练习）如图，四面体ABCD中，M,N分别为AB和CD的中点,

AD=2,BC=4,且向量而与向量近的夹角为120。，则线段MN长为（）

A.V3B.V7C.W或板D.3或3百

【答案】A

【分析】取AC的中点E,可得标=ME+EN,然后利用模长公式即得.

【详解】取AC的中点E,连接ME、EN,又M,N分别为和CD的中点，

.-.MEllBC,且ME==2,ENIIAD,且EN=1,

一.向量而与向量前的夹角为120。，

，向量前与向量丽的夹角为120。,

又而=流+丽，

二|丽?=(而+丽『=砒2+2M£,EN+EN2=22+2x2xlx(-|)+l2=3,

=V3,即线段MN长为禽.

故选：A.

—>—>

【变式2-1]1.(2022•全国•高二专题练习)已知空间中四个不共面的点0、A、B、C,若|。8|=\OC\,且

—>—>—>—>—>—>

cos<0A,OB>=cos<0A,OC>,贝!]sin<0A,BC>的值为()

A.1B.-C.-D.-

222

【答案】A

【分析】根据cos<0A,OB>=COS<0A,OC>和|赤I=I而I可得正•砺=OA-OC.故而就•丽=瓦?•

{OC-OB)=0,彳导出1BC.

【详解】.COS<OA,OB>=COS<0A.,OC>,

.OAOB_OAOC

,'\OA\-\OB\=\OA\-\OC\'

♦I画二|南,

.\OA•OB=OA^OC,

.<OA-BC=OA^OC-OB)=0,

：^0A1BC.

.­.sin<01,BC>=sin^=l.

故选：A

【变式2-1]2.（2021・高二课时练习）如图所示，在正三棱柱TWC-&B1G中，若[4即=V3I5BJ,则

向量福与向量画的夹角为（）.

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

【答案】C

【解析】先建立建直角坐标系，设=V3,根据关系写点和向量画，跖,计算向量夹角余弦值，求角

即可.

【详解】以4为原点，4C为y轴，44为Z轴，建立如图空间直角坐标系，

设|4Bi|=V3IBBJ=V3,故底面等边三角形的边长MB|=V2,

则4（0,0,0）,8（苧净0）,Bi（y,-y,l）,^（0,72,1）,

则福.跖号X（—?）+枭¥+1*1=0,

二福1跖，二（福，跖）=90".

故选：C.

【变式2-1]3.（多选）（2023秋•四川成都•高二校考阶段练习）如图，在平行六面体力BCD

其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60。,下列说法中不正确的是（)

A.ACr=6V6

8.ACrlBD

C.向量瓦1与河夹角是60。

D.向量西与前所成角的余弦值为彳

【答案】CD

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.

【详解卜在平行六面体4BCD-4/165中其中以顶点力为端点的三条棱长均为6目彼此夹角都是60。，

AA1-AB=AAj^-AD=AD-AB=6x6xcos60°=18.

对于A,（AAl+AB+AD）2=AA[+AB2+AD2+2标­AB+2AB-AD+2标•AD

=36+36+36+3x2x18=216,\ACr\=\AA1+AB+AD\—V216=6V6,A正确；

对于B,宿.丽=（近+AB+ADy（AB-AD）

=AA1-AB-AAl-AD+AB2-AB-AD+AB-AD-AD=0,

.■.ACllBD,即AC11BD,B正确；

对于C,连接，由题意可知△是等边三角形，则乙=60°,

•••瓦Z=初，且向量初与五二的夹角是120。，

向量瓦下与西夹角是120。,C错误；

对于D,•••西=AD+AAI-~AB,AC=AB+AD,

：.~BDI.尼=（诟+矶-硝•（乐+砌

=AD-AB+AD2+AA^-AB+矶-AD-AB2-AB-AD=36,

|西|+AA^-AB）2=6V2,\AC\=J（AB+AD）2=6A/3,

cos<BD1，AC>=温氤=6日陋=弓'D错误，

故选：CD

【变式2-1J4.（2023秋•重庆石柱•高二校考阶段练习）如图，空间四边形04BC的各边及对角线长都为2,

E是48的中点，尸在。C上,且赤=2FC,则向量屈与向量方所成角的余弦值为

【答案】-鬻

【分析】由题设。-ABC是棱长为2的正四面体，数形结合可得加=^AO+^AC-AB.OE=^AB-AO,

利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求向量丽与向量不所成角的余弦值.

【详解】由题意，。-4BC是棱长为2的正四面体,

_------»------>------>------>1--->--->--->7--->1--->7--->---»

而BFnBE+EO+OF'Ba+M+AO+iOC'AO+pCfB,

---»--->---»1---»--->

OE=OA+AE=-AB-AOl

所以|函=J(|Z04-|ZC-Z5)2=J而2+［前2+荏2+(而.尼_|而.荏前.荏

(4,16,4,848277

=-H------F4H-------------=-----,

7999333

\OE\=J(|AB-Zo)2=IAB2-AO-AB+AO2=V1-2+4=V3,

•~BF=AB-ZO)•(-ZO+-AC-AB)=-AB-AO+-AB-AC--AB2--AO2--AO-AC+AO-

、27k33763233

AB

445

=-+--2--+2=-

33333

所以3西明=京=e=-管

故答案为：-限

【变式2-1】5.（2023•全国•高二专题练习）如图，在平行六面体4BCD-4当6。1中，以顶点4为端点的

三条边的长度都为1,且两两夹角为60。.求西与前所成角的余弦值.

【分析】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出袍=-a+b+c,AC=a+1进而

根据数量积的运算律求出向量的模以及数量积，即可根据数量积的定义公式得出西以及就夹角的余弦值.

【详解】设48=a,AD=b,AAt=c,

由已知可得五-b=d-C=b-c=lxlxcos60°=

因为BO】=BA+BC+BBi=—AB+AD+AA-1=—CL+b+3,

AC=AB+AD=a+bt

所以，丽2=(一/+3+。2=^2+p+-2_2-,g+2g,-_2-,-=1+1+1_2xl+2x|-2xi=

2,

AC2=(a+b)2=a2+b2+2a-b=1+1+2x(=3,

BD],AC—(—CL+b+c)•(a+b)———a,b+a•b+b2+a•c+b•3——1——4--+1+—+—=1,

所以网二鱼，国二百，

所以，cos(BD；就)=竺।=-厂1厂=—,

八八'\L'忸D/|AC|V2XV36，

故国与北所成角的余弦值为言

6

题型3忽略异面直线所成角的范围

【例题3]（2023秋•宁夏银川•高二校考阶段练习）已知直平行六面体ABCD-2/心必中，AA.=AB

BC=2,乙BAD=60°,则直线8&与3也所成角的余弦值为（）

A.-B.C.-D.0

424

【答案】A

【分析】以｛而，而，高｝为一组基底，利用向量法求解.

【详解】解：如图所示：

以｛屈，而，丽]为一组基底，

则友7=AD+AA1,B]D；=AD-AB,

则跖-B]D；=(AD+AA^)■(AD-AB},

=AD2-AD-AB-AAl-AB+矶-AD,

=AD2-\AD\­\AB\■cos60°-\AA^\■\AB\•cos90"+\AA^\■\AD\■cos90°,

=4-2-2・|-22。+22。=2,

2----->>>------>>2>—

+240.初+|皿=2近，

-2AD-AB+\AB\2=2,

以cos(BC；,B[D；)=BC],B’D]2_V2

瓯H旃I2V2-2-4'

故选：A

【变式3-1]1.（2023秋•江苏常州•高三常州高级中学校考开学考试）在空间直角坐标系。-孙z中,已知

异面直线4,%的方向向量分别为a=（1，-1,-2）,b=（1,1,2），则4,%所成角的余弦值为（）

A.|B.*C.-|D..f

【答案】A

【分析】根据向量的夹角公式结合已知条件直接求解即可

【详解】设异面直线人，G所成角为。，

因为异面直线4,%的方向向量分别为之=（1,-1,-2）,b=（1,1,2）,

所以cos。=|cos(a,h)|=Iab|1-1-4|_2

I㈤同V1+1+4XV1+1+4—3

故选：A

【变式3-1]2.（2023秋•河南商丘•高二校考阶段练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱

^lABCD-a/iGA中，A4i=2AB=2,则异面直线4/与4必所成角的余弦值为（）

【答案】D

【分析】以点。为坐标原点，04DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量

法可求得异面直线&B与力久所成角的余弦值.

【详解】在直四棱柱4BCD-48停1。1中，四边形ABC。为正方形，

以点。为坐标原点，DA,DC、DA所在直线分别为％、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

贝1M(1,0,0)、8(1,1,0)、4式1,0,2)、M0,0,2),

所以，币=(0,1,-2),M=(-1,0,2),

所以,cos(4B,4Di)=篇.篙=而泉=—1

因此，异面直线&B与2么所成角的余弦值为，

故选：D.

【变式3-1]3.(2023秋•江西抚州•高三黎J11县第二中学校考开学考试)在正方体4BCD-4/道1劣中，E

是棱4。上一点,DE=24E,F是棱上一点，FC=3。/,则异面直线&E与BF所成角的余弦值为()

AV85B叵c—D—

34683468

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】不妨设4B=1,

以D为坐标原点，DADGDDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

贝必E(|,0,0),£>1(0,0,1),5(1,1,0),C(0,l,0),

所以硬=(一：,0,-1),珂==(0,1,-1),

所以方=西+印=西+]9=(-1,一滂),

所以COS(丽硒==_迤，

所以异面直线&E与BF所成角的余弦值为萼.

故选：A

【变式3-1J4.（多选）（2023秋・宁夏银川•高二校考阶段练习）如图，在平行六面体4BCD-2/164中,

以顶点A为端点的三条棱长都为1,且=功力4=ABAAr=60°,则下列说法中正确的有（）

A.异面直线B4与CQ所成的角为120。

B.西=~BA+JB^+JC

C.BD1=2

D.直线DB与CG所成角的余弦值为0

【答案】BD

【分析】A选项，由异面直线夹角范围可判断选项正误；B选项，由向量首尾相连法则结合图形可判断选项

正误；C选项，由B选项结合向量模长公式可判断选项正误；D选项，注意到砺=AB-AD,后由向量夹

角余弦公式可判断选项正误.

【详解】A选项，因异面直线夹角范围为（0,5,故A错误；

B选项，由图可知西=^A+AD+西,又说=就，西=西,则西=瓦？+两+阮，故B正确.

C选项，由题可得，|朗=\AD\=|西I=1,(BA,AD)=~,(BA,AD)=g,(福西)=|,

贝!|画|=J®+AD+

-------->--->2-->-->-->>>>

22

BA+AD+DD1+2BA■AD+2AD-DDr+2BA-DDr

=3-2xlxlxi+2xlxlxi-2xlxlx-=V2,KC错误;

Y222

D选项，施=屈_而，因I屈I=|AD|=1,（AB,AD）=]n\DB\=1.

又殖=说,则cos（屈-AD.AAi）=党=AB-AA^-AD-AAl=

lxlx|-lxlx|=O,S^D正确.

故选:BD

题型4忽略五是的夹角为（锐）钝角的条件中共线部分

【例题4】(2023秋•山东德州•高二校考阶段练习)已知向量N=(1,1,0)5=(-1,0,2).

(1)若(a+fch)II(2a+h),求实数k；

⑵若向量N+癌与22+防斤成角为锐角，求实数k的范围.

【答案】(畴

(2)(-1,i)ug,+00)

【分析】(1)利用向量的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解；

(2)根据已知条件及(1)的结论，利用数量积为正求出k的范围，再去掉两向量共线的情形即可.

【详解】(1)因为江=(1,1,0),b=(-1,0,2),

所以d+kb=(1—k,1,2k),2a+b=(1,2,2),

因为(d+)||(2五+3),

所以—=；与，解得々，

(2)由(1)矢口，a+kB=(1—k,1,2k),2a+b=(1,2,2),

因为向量2+k另与2N+而斤成角为锐角，

以(a+kb),(2a+b)=(1—fc)X1+1X2+2X2k=1—k+2+4k>0，角单彳导k>—1,

又当k=1时，(N+小)||(2a+b),

所以实数k的范围为(—I,1)U6,+8)

【变式4-1】L(2023・全国•高三专题练习)下列命题不正确的是()

①空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底.

②直线的方向向量是唯一确定的.

③若直线a的方向向量和平面a的法向量平行，则alia.

④在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c).

⑤若日•石<0,则值研是钝角.

A.①③④B.②③⑤C.③④⑤D.①②④

【答案】B

【分析】利用基底向量的定义、空间向量的坐标特征以及向量的夹角以及直线的方向向量的定义逐一判断

五个选项的正误即可求解.

【详解】对于①：空间中任意一个向量都可以用三个不共面的向量作为基底来表示，选项正确；

对于②：由直线的方向向量定义知，直线的方向向量有无数多个，故选项错误；

对于③：直线a的方向向量和平面a的法向量平行，则a1a,选项错误；

对于④：Oyz平面上的点的久坐标一定是0,选项正确；

对于⑤：若2不<0,则何研是钝角或者夹角为n,选项错误；

故选：B.

【变式4-1】2.(2023秋•湖北武汉・高二华中师大一附中校考阶段练习股动点P在棱长为1的正方体力BCD-

的对角线BDi上,记若=上当乙4PC为钝角时，贝IU的取值范围是

【答案】0,1)

【分析】建立空间直角坐标系，求得刀，而，根据可•同<0求得力的取值范围.

【详解】由题设可知，以。为坐标原点，以瓦I比，西的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

则有4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),(0,0,1),

则取=(1,1,-1)，得取=4点=(A,A,-A),

所以PAPD]+D^A=(—A,—A,A)+(1,0,—1)=(1—A,—A,A—1),

PC=PD]+D[C—(—A,—A,A)+(0,1,—1)=(-A,1—X,A—1),

显然乙4PC不是平角，所以乙4PC为钝角等价于方-PC<0,

即—4(1—A)—2(1—2)+(2—1)2<0,即(2-1)(32-1)<0,

解得?<A<1,因此4的取值范围是G，1).

X

【变式4-1]3.（2023秋•高二课时练习）如图，设4BCD-4/传也为正方体，动点P在对角线8%上,

⑴证明：4P1BiC；

(2)若异面直线4P与D/i所成角为；,求4的值；

(3)当乙4PC为钝角时，求义的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)4=1

(3)1<A<1

【分析】(1)建立坐标系，利用向量数量积为0,证明线线垂直；

(2)写出向量坐标，利用夹角公式可得答案；

(3)利用钝角可得数量积小于零且不等于-1,求解即可.

【详解】(1)以。为坐标原点，。4。&。。1所在直线分别为招力2轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1,则,Di(0,0,1),4(1,0,0),C(0,l,0)；

取=(1,1,-1),即=(-1,0,-1),

因为需=4,所以取=2用，

所以标=河+印=河+W^B=(-1,0,1)+2(1,1,-1)=(A-1,2,1-A),

因为存•BZC=1-/L+A-1=O,所以4P1SjC.

(2)瓦瓦=(1,1,0),AP(A-1,A,1-A)；

因为直线4P与AB1所成角为，，

而、J丽丽=以-1|==叱.

所以向H瓦瓦厂V2x^+2(A-iy—C°S4—2，

解得％=±i,因为动点P在对角线BA上,所以a=1.

(3)PC——PB+BC——(1—+BC=(—A,1—A,A—1),PX=(1—A,—A.,A—1),

因为“PC为钝角，所以而•PC=322-4A+1<0,解得2<A<1.

又因为"2—奴+1K—1在R上恒成立，所以:<A<1.

【变式4-1]4.(2023春・江苏淮安•高二统考期末)如图，正方体4BCD-A/1G5的棱长为1，点P是对

角线8%上异于B,%的点，记黑=A.

(1)当NAPC为锐角时，求实数4的取值范围；

(2)当二面角P-4C-B的大小为患寸，求点当到平面P4C的距离.

【答案】(1)|<A<1；

⑵手

【分析】(1)利用坐标法，表示出向量方，刀,然后结合条件列出不等式，进而即得；

(2)利用面面角的向量求法可得力=等，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.

【详解】(1)以胸，比，两｝为单位正交基底，建立空间直角坐标系。-％".

贝必(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0)血(0,0,1).

因为生=2,0<A<1.则品=ABDl=(-A,-A,A).

则对=BA-BP=(A,A-1,-A),PC=BC-BP=(A-1,A,-A).

z

由乙4PC为锐角，贝Ucos乙4PC=赢赢>0且COSNAPC力1.

则P7•元=3万—24>0.又0<2<1,

所以|<2<1；

(2)设平面4PC的法向量4=(x,y,z),则演­(=0且叶五=0,又同=GU-1,-4),

AC=(-1,1,0),所以+(4—l)y—Az=0,—x+y=0.

令x=1,则y=1,z=2—.

A

故平面P4C的一个法向量苏=（1,1,2-Q.

易知平面4BC的一个法向量底=（0,0,1）.因为二面角P-AC-B为？,则|cos（可矽|=日,

彳，解得4=等

因为o<%<1,则％=

则平面4PC的一■个法向量4=（1,1,-或），又向量函=（0,1,1）,

所以点当到平面24c的距离d=噜守=符.

【变式4-1]5.（2023春•四川绵阳•高二统考期中）在三棱锥4-BCD中，满足AD1AB,AD1AC,给出

下列结论：

①丽-DC=DA2-AB-AC；②若NB4C是锐角，则丽-XC>0；

③若NB4C是钝角,贝LkBDC是钝角；④若|AC|<\AD\^\AB\<\AD\,贝IkBDC是锐角.

其中正确结论的序号为（）

A.①②④B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】易得砺=DA+AB,DC=DA+AC,再根据数量积的运算律即可判断①；由NB4C是锐角，得荏■

AC>0,再根据数量积的运算律即可判断②；举出反例即可判断③，如="=4。=1./.BAC=120°；

由|4C|<\AD\S.\AB\<\AD\,可得|而『>\AC\\AB\,再结合①即可判断④.

【详解】因为4。1AB,AD1AC,所以而-AB=0,AD-AC=0l

对于①，砺=瓦？+南，反=瓦？+近，

则笳.反=(瓦？+屈).画+硝

=DA2+DA-AB+DA-AC+AB-AC=DA2+AB-AC,故①错误；

对于②，若NB4C是锐角,则屈-AC>0,

DB-AC=(DA+AB)-AC=DA-AC+AB-AC=AB-AC>0,故②正确；

对于③，若NB4C是钝角,则四AC<0,

若AB=AC=AD=l.^LBAC=120°,

则笳-DC=DA2+AB-XC=l-|^|>0,

此时NBDC是锐角，故③错误；

对于④,若MCI<\AD\S.\AB\<\AD\,

DB-DC=DA2+AB-AC=[DA^+|AB|■何cosNB"

>|AB||XC|+|AB|•\AC\cos/-BAC=\AB\■|xc|(l+cos^BAC),

因为NBACe(O,TT),\AB\■|Ic|(l+cos/B力C)>0,

所以丽DC>0,所以NBOC是锐角,故④正确.

故选：D.

题型5线面角与向量角的转化不清楚

【例题5]（2023春•河南周口•高二统考期中）如图，在三棱柱ABC-2/iG中，A4]="=2,AB=

243,BC=4,且的1BiC,N&AC为锐角.

证明：

（1）AB1AAr；

（2）若二面角4-AB-C的大小为],求直线AC】与平面力BiC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵R

【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，从而证明线线垂直，再利用勾股定理证明线线垂直，进而利用

线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可证明线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面A/C的法向量，利用线面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）连接&C,如图所示.

因为44i=AC,所以四边形力&QC是菱形，所以1ACr,

又aq1BrC,ArCnBtC=C,又C,B1Cu平面4/停,所以4G_L平面A/C,

又A/】u平面4/iC,所以AR14久,又AB||4%,所以4的1AB.

在小ABC中，AC=2,ZB=2V3,BC=4,所以AC?+人炉=BC2,所以AC±AB,

又4cHAC1=A,AC,ACru平面力力1CiC,所以4B1平面44i&C,

又A4iu平面44©。,所以AB1AAt；

(2)因为4B1AAVAC1AB,所以二面角力i-4B-C的大小为乙生4C,即乙％力C=热

以4为坐标原点，ABAC所在的直线分别为无轴，y轴，垂直于4B,4C所在的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

所以1(0,0,0),41(0,1,⑹,G(0,3,⑹,)(0,2,0),B(2心0,0),

所以尼=(0,2,0),福=屈+西=屈+标=(2V3,0,0)+(0,1,V3)=(2V3,1,V3),

'TT

设平面44C的一个法向量为元=(x,y,z),所以__nAC=2y=°

n-ABr=2V5%+y+V3z=0

令％=1,解得y=0,z=-2,所以平面//C的一个法向量为元=(1,0,-2),

又温=（0,3,V3）,设直线4cl与平面所成角为8,

所以sin。=|cos（n，M）|=母=7g=f，

所以直线4G与平面2B]C所成角的正弦值为

【变式5-1]1.（2023秋•广东深圳•高二深圳大学附属中学校考期末）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面

4BCD边长为2旧是菱形/DAB=60。，0是对角线AC和BD的交点,AB=4P/B4P为锐角,SAABP=子，

点M为线段P。上一动点，且始终有AM1BD.

⑴求三棱锥。-4BP的体积；

（2）若二面角M-AB-。为:,求此时直线BM与平面MCD所成角的正弦值.

【答案】⑴|

⑵牛

【分析】（1）由小4BP面积为斗，求得sin/BAP=g，解三角形力8P得8P=V6，证明BD1平面P"得8。1

PO,得PO=V3,证明PO1AC，得P。，平面力BCD,利用等体积法求。—ABP的体积；

（2）由二面角M-AB-。为:，解得M。=|,建立空间直角坐标系，计算直线BM与平面MCD所成角的

正弦值.

【详解】（1）在小月BP中，48=4P=，SAABP=[x4BxBPxsin^BAP=",

则sin/BAP=­,且NB4P为锐角，cos^BAP=Vl-sin2zB4P=-,

44

由余弦定理,BP2=AB2+AP2-2AB-AP•cos/BAP=6,即BP=V6,

由于四边形ABC。为菱形，贝帕。1AC,且8。1AM,

ACAM=A,AC,AMu平面P4C,贝!]BD1平面PAC,

因为P。u平面JMC,所以8。1PO,

因为△48。为正三角形,BO=6，AO=3,贝[]P。=y/PB2-BO2=V3,

因为「。2+AO2=AP2,所以P。1AC,由于ACCBD=0,AC,BDu平面4BC0,

所以P。，平面ABCD,

如图，过点。作。“1AB,连接M”，

由(1),PO_L平面力BCD,SABu平面4BCD,贝！]P。1AB,

所以NMH。=-,则M。=OH=三，

42

由于OP,OB,OC两两垂直，如图建系，

M(0,0,|),B(V3,0,0),BM=(-V3,0,|),C(0,3,0),D(-V3,0,0),

则说=(-V3,-3,0),CM=(0,-3,1),

设元=(x,y,z)是平面PCD的一个法向量，

—yj3x—3y=0z-、

BP.3，W=l，W=(V3,-l,-2),

＜：g：o3y+z=0

设所求角为。，那么sine=*=半

则所求角正弦值为华.

【变式5-1]2.(2023秋•河南新乡•高二统考期末)如图，正三棱锥P-ABC的所有侧面都是直角三角形，

过点P作PD,平面ABC,垂足为。,过点。作DE1平面248,垂足为E,连接PE并延长交4B于点F.

(1)证明：F是AB的中点.

(2)求直线DE与平面BCE夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)^.

【分析】(1)连接DF,根据题意证得4B1平面PDF,得到4B1PF,结合P4=PB,即可得到F是的中

占.

八、、/

(2)以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，把直线DE与平面8CE的夹角即直线PC与平面8CE的夹角，求

得平面E8C的一个法向量为沆=(2,1,1),结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)证明：连接。尸,因为1平面ABC,ABu平面4BC,所以P。1AB,

因为DE1平面P4B,4Bu平面P4B,所以DE1AB,

因为DECPD=D,S.DE.PDu平面PDF,所以48_L平面POF,

又因为PFu平面POF,所以AB1PF,

因为P4=PB,所以F是2B的中点.

(2)解：因为正三棱锥P-力BC的所有侧面都是直角三角形，可得P4PSPC两两垂直，

以P为坐标原点，P4PB,PC所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系，如图所示,

p

不妨设P4=2,则4(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2)/(1,1,0),

由PC1PA,PCLPB,S.PAr\PB=P,PA,PBu平面P48,

所以PC1平面P4B,因为DE1平面24B,所以PC〃DE,

直线DE与平面BCE的夹角即直线PC与平面BCE的夹角，且丽=(0,0,2),

连接CF,由正三棱锥性质可知，点。是△4BC的重心，所以*=2,故鲁=2,

则E(|,|,0),丽=(一|彳,0),丽=(0.-2.2),

(24

设平面EBC的法向量为记=(x,y,z),贝［］一十孑丫一U,

1―2y+2z=0

令y=1可得尤=2,z=1,所以沅=(2,1,1).

因为cos(而,m)=藤=磊=彳，

所以直线DE与平面BCE夹角的正弦值为萼.

O

【变式5-1J3.(2023春•四川成都•高二四川省成都市新都一中校联考期末)如图，在四棱锥Q-4BCD中,

底面48CD是矩形，若2。=QD=Q2=2,CD=1,QC=V5.

⑴证明：平面QAD1平面4BCD；

(2)若E,F分别是QC,QD的中点，动点P在线段EF上移动，设。为直线BP与平面ABCD所成角，求sin。

的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)殍，哥

【分析】(1)由QC2=QD2+,得到CD±QD,再由CD±AD,利用线面垂直的判定定理，证得CD1平

面Q4D,进而证彳导平面Q4D1平面4BCD；

(2)根据题意得到直线。Q,。7,。。两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，结合题

意设齐=4而(0<A<1),分别求出直线BP的方向向量和平面4BCD的法向量，利用向量的夹角公式得

【详解】(1)在小QC。中,QC，CD=\,QD=2'：.QC2=QD2+CD2,

QC。为直角三角形且CD1QD,

又底面4BCD是矢巨形,贝!]CD1AD,

•••QDQADD,且均含于面QAD内二CO1平面Q40,

又；CDu平面力BCD,.♦•平面QAD_L平面4BCD；

(2)在平面48CD内，取40中点为。，过点。作。TIICD,交8C于点T,CD1AD,0T1AD,

由题意可得Q01平面ABCD,S.0T,ADu平面ABCD,

贝[|0QLAD,0Q10T,.-.^,0Q,0T,。。两两互相垂直，

••・以。为坐标原点,0T,0D,0Q所在直线分别为x,y,z轴建如图所示的空间直角坐标系，

则。(0,1,0),Q(0,0,V3),,C(l,l,0),,

,•,CP=(-1,0,0),BF=(-|,|,y),

设前=A£T(0<A<1),

贝回=（丽=（-pO,o），前=屁+而=（_:3|,亨）,

又丽=(0,0,V3),

\BPOQ\_V3

贝。=

Hsin西丽=9+1)2+12

■■■Ae[0,1],苧<sine<唱,

...BP与平面4BCD所成角的正弦值的取值范围为谆，等]

413

【变式5-1]4.（2023秋・新疆乌鲁木齐•高二乌鲁木齐101中学校考期末）吴老师发现《九章算术》有"刍

V这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个学探究题，如图：E,F,G分别是正方形的三边AB、CD、

AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起,

连接AB、CG就得到一个"刍普".

图1图2

⑴若。是四边形EBCF对角线的交点，求证：AOWW-^GCF；

（2）若二面角A-EF-B的大小为我，求直线4B与平面GCF所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（1瞰线段CF中点H，连接。乩GH，则根据已知条件可证得四边形40HG是平行四边形，则40IIHG,

再利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)由题意可得Z4E8即为二面角A-EF-8的平面角，则乙4E8=|n,以E为坐标原点，EB,而分别为x

轴和y轴正向建立空间直角坐标系E-xyz如图所示，然后利用空间向量求解即可.

【详解】(1)取线段CF中点H,连接OH.GH,

由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB=2EB,

0是线段BF与CE的中点,

-1

•••OHWBCS.OH=^BC,

在图1中AGIIBC且4G=；BC,EF\\BC^.EF=BC.

所以在图2中，4GIIBCS.AG=^BC,

•••AGIIOHSAG=OH

••・四边形40HG是平行四边形，则40I1HG

由于4。，平面GCF,HGu平面GCF,

AOWW^GCF.

(2)由图1,EF14E,EF1BE,折起后在图2中仍有EF1AE,EF1BE,

NAEB即为二面角A-EF-B的平面角.

・2

••Z-AEB=3-n',

以E为坐标原点，EB,而分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E-xyz如图，

且设=2EB=2E4=4,

贝！|B(2,0,0),尸(0,4,0),4(—1,0,⑹,

.-.FG=TE+EA+AG=VE+EA+|EF=(-1,-2,V3),

BA=(-3,0,V3),FC=~EB=(2,0,0),

设平面GCF的一^个法向量完=(x,y,z),

由/If二;，得=取尸百，赃=2,

于是平面GCF的一个法向量元=(O,V3,2),

/-»n八n-BA2^3y/7

••・cos｛nfBA)=面前=尿■=~，

，直线4B与平面GCF所成角的正弦值为今

题型6二面角为钝角或锐角区分不清

【例题6](2023春•江苏扬州•高二统考期末)如图，在直三棱桓4BC-2/iG中,△4BC是以BC为斜边的等

腰直角三角形，AAr=AB=3,。*分别为8。,当6上的点,且兼=^=t(0<t<1).

⑴若土=/求证平面//E；

⑵若t>直线&C与平面&BE所成角的正弦值为当求二面角G-4。-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵更

'79

【分析】(1)当1=决寸可得点，E分别