2025年中考数学复习：垂线相关的辅助线 方法讲解及巩固练习

垂线相关的辅助线

典例精析

【典型题如图所示,AABC中,AB=AC,/BAC=12（T,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.

求证:BF=2CF.

A

【思路分析】思路一（正向推导法）：从题目条件分析，EF是AC的垂直平分线，因此连接AF.可得AF=FC,即

将要证明BF=2CF转化为证明BF=2AF,再由已知角度容易得出/B=3（）o,NBAF=90。,可得BF=2AF.

思路二（逆向分析法）：从结论出发分析，要证明BF=2CF,自然想到应用“直角三角形30。角所对的直角边等于

斜边的一半”这条性质,再从题目条件“AB=AC,/BAC=120。”求出NB=/C=30。,从而连接AF构造R3BAF,又根

据中垂线定理可得AF=CF,问题得证.

【答案解析】解：连接AF,

VAB=AC,.\ZB=ZC;

又：ZBAC=120°,.\ZB+ZC=60°

ZB=ZC=30°,

EF垂直平分AC；.FA=FC,

ZFAC=ZC=30°,

又：/BAC=120°,

•••ABAF=120°-30°=90°,

,.•ZB=30°.\BF=2AF,

,--FA=FC，BF=2CF.

【规律总结】辅助线作法：方法①：垂直平分连两端.方法②：构造特殊三角形.

【典型题2】★★★如图，在AABC中,/B=45o,AB=6/,D、E分别是AB、AC的中点，连接DE,在直线DE和

直线BC上分别取点F、G,连接BF、DG.若BF=3DG,且直线BF与直线DG互相垂直,则BG的长为.

A

D,E

【思路分析】本题比较难，需从题目条件入手分析，正向推导，作垂线构造直角三角形.注意需分点F在点D

的两侧分类讨论.

注：本题同学们也可尝试其他方法，比如过点F作BF的垂线（或者DG的平行线，道理相同，目的是构造直

角三角形）.

【答案解析】解：如图，当点F在点D的右侧时，过点B作BT±BF交ED的延长线于T,过点B作BH

_LDT于H.

•:DG±BF,BT_LBF,:.DG//BT,

AD=DB,AE=EC,JDE//BC,

・•・四边形DGBT是平行四边形，

・・・BG=DT,DG二BT,

ZBDH=ZABC=45°,

AD=DB=3Vx•••BH=DH=3,

ZTBF=ZBHF=90°,

・•・ZTBH+ZFBH=90°,

ZFBH+ZF=90°,

AZTBH-ZF,

•••tanZ.FL=t.anZ-rTrfTB-tHTT=——BT=——DG=1

BFBF3

,TH_1

••BH・3，

・•・TH=1,1.DT=TH+DH=1+3=4,

・・・BG=DT=4.

当点F在点D的左侧时，如下图，同法可得MD=BG=3-1=2侗学们自行写出过程）.

巩固练习

【巩固练习1]

如图,在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫"三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴

上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是1,则“猫”爪尖F的坐标是______.

【巩固练习2]

已知△ABC与AABD在同一平面内，点C,D不重合,/ABC=ZABD=30°,AB=4,AC=AD=2&,,则CD长

为.

【巩固练习3]

如图，在正方形ABCD中,AB=6,M是AD边上的一点,AM:MD=1:2.将ABMA沿BM对折至ABMN,连接DN,则

D.运

5

【巩固练习4]

如图，在四边形ABCD中，^ADC=NB=90。,过点D作.DE1于E,若.DE=BE.

D

C

B

E

⑴求证：DA=DC;

⑵连接AC交DE于点F,若NADE=30o,AD=6,求DF的长

【巩固练习5］

在AABC中,/ACB=90。,分别过点B,C作NBAC平分线的垂线，垂足分别为点D,E,BC的中点是M,连接

CD,MD,ME.则下列结论错误的是（）

A.CD=2MEB.ME//AB

C.BD=CDD.ME=MD

【巩固练习6］

如图，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2V5边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点

C重合，连接AD,BE.

⑴求证：△ACD=ABCE;

⑵当点D在.ATIBC内部,且^ADC=90。时，设AC与DG相交于点M,求AM的长；

⑶将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长.

【巩固练习7】

［问题提出］如图⑴在AABC和ZkDEC中,NACB=/DCE=9（T,BC=AC,EC=DCj^E在AABC内部，直线AD

与BE交于点F,线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系？

［问题探究］⑴先将问题特殊化.如图⑵，当点D,F重合时，直接写出一个等式，表示AF,BF,CF之间的数量关

系;

（2）再探究一般情彩如图①，当点D,F不重合时，证明⑴中的结论仍然成立.

［问题拓展］如图③，在AABC和ADEC中,/ACB=NDCE=90o,BC=kAC,EC=kDC（k是常数），点E在AABC内

部，直线AD与BE交于点F,直接写出一个等式，表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.

图③

1.思路分析：设大正方形的边长为2a,则大等腰直角三角形的腰长为四a,中等腰直角三角形的腰长为a,小等

腰直角三角形的腰长为号a,小正方形的边长为号a,平行四边形的长边为a,短边为日a,用含有a的代数式表示点

A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.

故答案为（-竽，竽）

2.如图,当C,D同侧时,过点A作AE±CD于E.

在RtAAEB中,ZAEB=90°,AB=4,ZABE=30°,

AE=-AB=2,

2

AD=AC=2V2,

22

DE=^/(2A/2)-2=2,EC=[(2，5)2—22-2)

；.DE=EC=AE,

/•△ADC是等腰直角三角形，

.*.CD=4,

当C,D异侧时，过当乍（CH1CO于H,

△BCC是等边三角形,BC=BE-EC=2V3-2,

CH=BH=y/3-1,CH=V3CH=3-73,

在RtADC'H中，

/22

DC-VOW2+CH2=J（3+V3）+（3-V3）=2倔

•••△DBD是等边三角形，

DD'=2V3+2,

•,.CD的长为2四±2或4或2限

3.连接AN交BM于点O,作NH14D于点H.如图：

AB=6,:MD—1:2.

・•.AM=2,=4.

'.,四边形ABCD是正方形.

BM=y/AB2+AM2=2V10.

根据折叠性质,AO±BM,AO=ON.AM=MN=2.

11

'.-AB•AM=-BM•AO.

22

AO=2x62V10=3V105.

•••AN=6V105.

NH1AD.

：.AN2-AH2=MN2-MH2.

（5）2一（2+MH）2=22-MH2.

・•・MH=1■

26

HN='MN2-MH?=2=

5

.：HD^AD-AM-MH=-.

：.DN=y/HD2+HN2=J(y)2+(|)2="

故选:D.

.*.ZADE=ZCDG,

在AADE和ACDG中，

(AADE=Z.CDG

\DE=DG,

\/.AED=Z.CGD

：.AADE^ACDG(ASA),

；.DA=DC;

(2)­.•^.ADE=30°,AD=6,/.DEA=90°,AE=3,DE=^AD2-AE2=V62-32=3b)由(1)知，AADE=

ACDG,,四边形DEBG是正方形，DG=DE=3y[3,AE=CG=3,

BE=DG=BG=3V3,

•••BC=BG-CG=343-3,

AB=AE+BE=3+3用,

•••FE1AB,LAB,

：.FE\\CB,

△AEF△ABC,

AE_EF

"AB-BCf

即=|V3-3,

解得EF=6-3V3,

•••DF=DE-EF=343-{6-3V3)=3V3-6+3V3=68一6

即DF的长是（6V3-6.）

5.根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM交BD于点F,延长DM交AB于点N,

ffiAABC中，NACB=90。，分别过点B,C作NBAC平分线的垂线，垂足分别为点D,E,

ZADB=90°=ZACB,

・・・D点在4ABC的外接圆上，即点A,C,D,B四点在同一圆上，

VAD平分NCAB,

:"ZCAD=ZBAD,

/.CD=DB,故选项A正确；

・・,点M是BC的中点,

ADM1BC,又DZACB=90°,

AAC/7DN,

・•・点N是线段AB的中点，，AN=DN,

・•・NDAB二NADN,

VCEXAD,BDXAD,

・・・CE〃BD,

AZECM=ZFBM,ZCEM=ZBFM,

点M是BC的中点,・•・CM=BM,

在/kCEM^QABFM中，

{NECM=ZFBM

Z.CEM=^BEM,

CM=BM

，ACEM^ABFM(AAS),

EM=FM,EM=FM=DM,故选项D正确：

ZFED=ZMDE=NDAB,

；.EM〃AB,故选项B正确，

综上，可知选项C的结论不一定正确.

故选:C.

6.(1)如图1,•••四边形

DEFG是正方形，

ZDCE=90°,

CD=CE;

ZACB=90°,

NACD=NBCE=90°-/BCD,在AACD和ABCE中,

(AC=BC

IZ.ACD=/.BCE,

(CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS).

(2)如图2,过点M作MH±AD于点H,则NAHM=ZDHM=90°.

ZDCG=90°,CD=CG,

:.ZCDG=ZCGD=45°,

ZADC=90°,

・•・乙MDH=90°-45°=45。，

MH=DH-tan45°=DH;

-：CP=PGsin45°=2x¥=6,AC=1瓜

：.AD=J(2))2-(6)2=3C,

・•・—=CDAD=tan^CAD=V23V2=13,

AH=3MH=3DHf

3DH+DH=3V2;

MH=DH=4,

••­—=CDAC=sinzCXD=V22V5=1V10,

B

(3)如图3,A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间.

vCD=CE=CF,乙DCE=乙ECF=90。，

・•・乙CDE=Z.CED=乙CEF=乙CFE=45°;

由△ACDBCE,得乙BEC=^ADC=135。，

由4ACD也△BCE,得NBEC=ZADC=135。，

・•・ZBEC+ZCEF=180°,

・••点B、E、F在同一条直线上，

AZAEB=90°,

•・•AE2+BE2=AB2,S.DE=2,AD=BE,

22

(AD+2)2+AD2=(2V5)+(24)，

解得4D=g-1或AD=-V19-1(不符合题意，舍去)；

如图4,A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上.

ZBCF=ZACE=90°-ZACF,BC=AC,CF=CE

.,.△BCF^AACE(SAS),

/.ZBFC=ZAEC,

,/ZCFE=ZCED=45°,E

D

图4

・•・ZBFC+ZCFE=ZAEC+ZCED=180°,

・••点B、F、E在同一条直线上；

・.•AC=BC,ZACD=ZBCE=90°+ZACE,CD=CE,

・•・AACD^ABCE(SAS),

AD=BE;

222

vAE+BE=ABf

22

•••(AD-2)2+AD2=(2V5)+(2花)，

解得AD=1+g或AD=1-g(不符合题意，舍去)。

综上所述，AD的长为g-1或1+V19.

7.(1)结论：BF-AF=V2CF;

理曲如图(2),：/ACD+/ACE=90。，

ZACE+ZBCE=