2025年新高考数学重难点专项复习：圆的切线相关十二大题型（原卷版）

重难点08圆的切线相关十二大题型汇总

题型解读

满分技巧/

技巧一.过圆上一点的圆的切线

2

①过圆，―上一点M(x0,»方的切线方程是XQX+y°y=r.

②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(xg,。的切线方程是的-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2.

2

③过圆x+，=/外一点M(x0,y/乍圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x必+W=/

技巧二.过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M的，州)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率左,

从而得切线方程；若求出的上值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x=

技巧.解决有关弦长问题的常用方法及结论

几何法-Q)

如图所示，设直线1被圆c截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线

的距离为d,则有关系式：|叫=2^-d2

代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(XA,yA),B(XB,/)两点，贝!J|45|二

11+k27XA+XB2-4XAXB=1中胖0)■特别地，

当左=0时，=\xA-xB\；当斜率不存在时,\AB\=\yA-ys\,当直线

与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意

把它和点到直线的距离公式结合起来使用

技巧三.切线长

①从圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点M(xo,y徒引圆的两条切线，切线长为

\jxo+yo+Dxo+Eyo+F.

②两切点弦长：利用等面积法,切线长a与半径r的积的2倍等于点/与圆心的距离d与两切点弦长b的

积，即6=苧

注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数.

技巧四圆与圆相交时

/.公共弦直线的方程：两个交点所在的直线即公共弦，其方程等于两个圆方程相减

2.圆与圆相交时，求交点坐标：

⑺联立两个圆的方程，相减得到公共弦的直线

⑵公共弦直线与其中一个圆的方程再进行联立，解出交点的坐标

3.求公共弦的弦长

方法一：求出交点，利用两点间的距离

方法二：求出公共弦直线方程，利用其中一个圆的圆心，求其圆心到公共弦直线的距离d,再利用弦长公式

题型提分练

题型1圆上一点求圆的切线问题

【例题1](2023•江苏•高二专题练习)已知点M(1，圾在圆C：/+必=小上，过M作圆C的切线/,则/的

倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【变式1-1]1.（2023秋•全国•高二期中）圆光2+/一4%=。在点P（l,8）处的切线方程为（）

A.x+V3y-2=0B.%+V3y-4=0

C.x—V3y+4=0D.x—V3y+2=0

【变式1-1]2.（2023秋•全国•高二期中）圆/+*一©=0在点P（l,遍）处的切线方程为（）

A.x+V3y—2=0B.x+V3y-4=0

C.x—V3y+4=0D.x—V3y+2=0

【变式1-1J3.（2023秋・河北沧州•高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知实数满足曲线C的方程/+

y2-2%-2=0,则下列选项错误的是（）

A./+、2的最大值是4+2次

B.的最大值是2+V6

C.\x-y+31的最小值是—V3

D.过点（0,迎）作曲线C的切线，则切线方程为久-V2y+2=0

【变式1-1]4.（2023•全国•高二专题练习）过点P（l,l）作圆氏/+*—4*+2y=0的切线,则切线方程

为（）

A.x+y—2=0B.2x—y—1—0

C.x—2y+l=0D.%—2y+1=0或2x-y-1=0

【变式1-1]5.（多选）（2023秋•高二课时练习）下列说法正确的是（）

A.过点（1,3）,在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条

B.过点P（2,l）作圆/+*=5的切线,切线方程为2x+y-5=0

C.经过点P（l,l），倾斜角为。的直线方程为y-1=tan。。-1）

D.直线2x—y—1=0的一个方向向量为（1,2）

题型2圆外一点求圆的切线问题

【例题2](2023・江苏•高二专题练习)过点(―4,3)的圆(x+3)2+(y—I/=1的切线方程

为.

【变式2-1]1.(2023秋・广西贵港•高二统考期末)已知圆C：(x-2)2+(y+1)2=9.

Q)若过点P(T1)向圆C作切线1,求切线1的方程；

⑵若Q为直线a:2x-y+5=。上的动点，M是圆C上的动点，定点N(-2,6)，求|QM|-|QN|的最大值.

【变式2-1]2.(2023秋•高二课前预习)过点P(2,l)作圆。:x2+y2=1的切线I,求切线I的方程.

【变式2-1]3.(2023秋・云南大理・高二云南省下关第一中学校考阶段练习)已知点2(4,4),B(0,3),圆。的

半径为1.

Q)若圆C的圆心坐标为。(3,2),过点4作圆C的切线，求此切线的方程；

(2)若圆C的圆心C在直线Ly=久-1上，且圆C上存在点“，使|MB|=2\MO\,。为坐标原点，求圆心C的横

坐标a的取值范围.

【变式2-1]4.(2023•全国高二专题练习)已知圆E经过点4(0,1),B(l,4),S_______.从下列3个条件

中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线％-5y-5=0与直线x-2y-8=0的交点C；②圆E

恒被直线1：(m+l)x+(m—3)y-6m-2=0(meR)平分；③与y轴相切.

(1)求圆E的方程；

(2)求过点的圆E的切线方程.

题型3平行垂直与切线问题

【例题312022秋•广东潮州高二统考期末在圆(x-1产+y2=5上一点P(2,2)的切线与直线a久-y+l=

。垂直，则a=()

A.2B.|C.-|D.-2

【变式3-1]1.(2020秋•甘肃武威•高二民勤县第一中学校考期中)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程

为/+y2一4尤=o,若直线y=/+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取

值范围是

A.(-2V2,2V2)B.(-OO.-2V2)u(2V2,+00)

C.[-2V2,2V2|D.(-oo,-2V2]U[2V2,+00)

【变式3-1]2.(2022•全国•高三专题练习)点M(0,2)为圆C:(-4)2+(y+I)2=25上一点,过M作圆的

切线L且直线1与直线上4x-ay+2=0平行，则/与之间的距离是()

A.2B.-C.-D.-

555

【变式3-1】3.(多选)(2023秋•山东荷泽・高二山东省邺城县第一中学校考阶段练习)在平面直角坐标

系xOy中，圆C的方程为/+f—4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切

线相互垂直，则实数k的取值可以是()

A.3B.1C.2D.-2

【变式3-1]4.(2022高二课时练习)过点P(-2,4)作圆0:。-2)2+(y-I)2=25的切线/,直线机:ax-

3y=0与直线I平行，则直线1与血的距离为

【变式3-1]5.(2022秋•山东荷泽•高二山东省郭城第一中学校考阶段练习)过点”(-2,4)作圆C:(%-2)2+

(y-I)2=25的切线/,且直线ax+3y+2a=。与I平行，则%与/间的距离是

【变式3-1】6(2020秋•湖南邵阳•高二湖南省邵东市第三中学校考学业考试)已知直线匕与直线％：3x+4y+

1=。平行且与圆C：/+V+2y-3=0相切,则直线。的方程是.

题型4切点弦相关问题

【例题4](2023秋•江苏扬州・高二扬州中学校考阶段练习)已知圆C:Q-2)2+(y-3)2=4,若点P

在直线x-y-4=0上运动，过点P作圆C的两条切线24,PB,切点分别为A,B,则直线48过定点坐标

为()

A6）B.管，）C.（抬）D.（3勺

【变式4-1]1.（2023•全国•高二随堂练习）过点（3,1）作圆O-+y2=1的两条切线,切点分别为A,

B,求直线AB的方程.

【变式4-1]2.（2023・全国•高二随堂练习）过原点O作圆/+外—6%-8y+20=。的两条切线，设切

点分别为P,Q,求线段PQ的长.

【变式4-1】3.（2023・全国•高二随堂练习）直线。和％是圆/+*=2的两条切线，若4与"的交点为（1,-3）,

求。与％的夹角的正切值

【变式4-1】4.（2023秋•贵州•高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）已知圆C：/+y2=1,直线

+3y-10=0,P为直线Z上一点,过点P作圆C的两条切线P4P8,其中48为切点，目|P川最小.

（1）求直韧B的方程；

（2）Q为圆C与x轴正半轴的交点，过点P作直线1与圆C交于两点M,N，设QM,QN的斜率分别为七也，求证：

自+优为定值.

【变式全国高二随堂练习）由动点向圆广+引两条切线，切点分别为

4-1]5.（2023••Py2=1pa,PBA,

B/APB==,求动点P的轨迹方程.

【变式4-1】6.（2022・全国•高三专题练习）过圆/=16外一点P（4,2）向圆引切线.

（1）求过点P的圆的切线方程；

（2）若过点P的直线截圆所得的弦长为4b，求该直线的方程；

（3）若过P点引圆的两条切线，切点分别为七、P2,求过切点Pi、P2的直线方程.

题型5圆的弦长问题

【例题5]（2023春诃南周口•高二校联考期中）在x,y轴上的截距分别为4,-3的直线1被圆。：/+必—

10%-4y+19=0截得的弦长为（）

A.3B.6C.2V3D.4或

【变式5-1J1.（2023•江苏•高二专题练习）与圆/+f_4丫=0相交所得的弦长为2,且在y轴上截距为

-1的直线方程是

【变式5-1】2.（2023・吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）已知直线％-y-l=0与圆C相交于A,

B两点，其中点4（2,1）,若[4B|=2V2,且圆C与y轴相切，则圆C的方程为

【变式5-1J3.（2023秋•高二课时练习）已知直线x-y+m=0与圆C:x2+y2+4y=0相交于4B两点，

若方-CB=0,则根的值为（）

A.—4或0B.-4或4C.。或4D.-4或2

【变式5-1]4.（2023秋•全国•高二专题练习）已知A,B是圆C:（久-3/+（y-1）2=9上的两个动点,

且=2V5,若P（0,-3），则点P到直线AB距离的最大值为（）

A.2B.3C.4D.7

【变式5-1]5.（2023•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）已知直线x-y-l=。与圆C相交于A,

B两点，其中点4（2,1）,若|AB|=2V2,且圆C与y轴相切，则圆C的方程为

题型6弦长最短问题

【例题6]（2022秋・山西•高二长治市上党区第一中学校校联考期中）已知直线&-y-A+l=。和圆

C-.x2+y2-4y=0交于48两点，则|4B|的最小值为（）

A.2B.V2C.4D.2V2

【变式6-1J1.（2022秋•山东淄博•高二校联考阶段练习）已知直线y=kx+m（爪为常数）与圆/+^=5

交于点M、N,当k变化时，若|MN|的最小值为2,则爪=（）

A.+1B.+V2C.+V3D.+2

【变式6-1]2.（2023•江苏•高二专题练习）已知圆C:（%-2）2+（y—4）2=35,直线/:（2m+l）x+（m+

l）y-7m-4=0则直线许皮圆C截得的弦长的最小值为（）

A.5B.4V5C.10D.2V5

【变式6-1]3.（2023秋广东高三校联考阶段练习）直线x+y-2cos0=。被圆/+必++2=0截

••2A/3X

得的弦长最大值为（）

A亚B.®C.2D.延

5105

【变式6-1J4.（多选I2023•河北保定•统考二模圮知直线Z:——y—k=0，圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=

0的圆心坐标为（2,1）,则下列说法正确的是（）

A.直线胆过点（1,0）

B.0=-4,E=-2

C.直线，被圆M截得的最短弦长为2旧

D.当k=1时，圆”上存在无数对点关于直线/对称

【变式6-1]5.（多选X2023秋•河北沧州•高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知圆C：/+（y一i）2=5,

直线以-2y-8=0,点P在直线I上运动，直线PA,PB分别切圆C于点A,B则下列说法正确的是（）

A.四边形PACB的面积最小值为5次

B.M为圆C上一动点，则|MP|最小值为2代

C.|P川最短时，弦4B直线方程为2x-4y-1-0

D.|P川最短时，弦4B长为后

【变式6-1]6.（2022秋•吉林长春・高二长春外国语学校校考期中）直线/过M（-1,1）目与圆C：/+y2=4交

于48两点，当弦最长时，直线珀勺方程为

题型7取值范围相关问题

【例题7]（2023•江苏高二专题练习）已知圆C:（%-2¥+*=1,点p是直线[：x+y=。上一动点，过

点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B.

⑴若P的坐标为P（-1,1）,求过点P的切线方程；

（2）直线x-y+m=。与圆C交于E,F两点，求而.赤的取值范围（O为坐标原点）.

【变式7-1]1.(2022•高二课时练习)我们知道:当P(x0,yo)是圆O：x2+y2=产上一点,则圆O的过

点P的切线方程为尤°”+yoy=产；当P(x0,y。)是圆O：/+*=产外一点，过p作圆。的两条切线，切点

分别为4B,则方程而久+yoy=N表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下

问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上泮径为3，且与直线y=X+3&相切，点P在直线2比+y=9上，

过点P作圆C的两条切线，切点分别为4B.

(1)求圆C的方程；

⑵当P(3,3)时，求线段AB的长；

⑶当点P在直线2x+y=9上运动时，求线段AB长度的最小值.

【变式7-1]2.(2023秋•江苏扬州•高二扬州中学校考阶段练习)已知圆”:%2+(y-3)2=10，点B(l,0)

与C(3,2)为圆H上两点.

(1)若直线/过点C,且被圆“截得的弦长为2,求直线珀勺方程；

(2)对于线段上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N，使得点M是线段PN的中点，

求圆C的半径r的取值范围.

【变式7-1]3.(2023秋・河北邢台•高二河北南宫中学校考阶段练习)已知圆c：X2+(A-2)x+y2+2Ay+

1—A=0.

(1)证明：圆C过定点.

(2)当4=2时，求直线y=%被圆C截得的弦长.

(3)当2=2时，若直线/:y=kx-1与圆C交于M,N两点，且丽-ON<-2,其中。为坐标原点，求k的取值

范围.

【变式7-1]4.(2022秋・江苏连云港•高二统考期中)已知圆C:x2+y2-2x-6=0和定点4(-4,0),直

线I：y=m(x+6)-8(mG/?).

Q)当租=1时，求直线I被圆C所截得的弦长;

（2）若直线I上存在点M,过点M作圆C的切线，切点为B,满足|AM|=V2|MB|,求m的取值范围.

【变式7-1]5.（2023・全国•高三专题练习）在直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：/+必—©=0.若

4（勺,%）,BQ2,%）是圆C上不同的两点，且=2V2,求久1久2+为为的最大值.

题型8切线长问题

【例题8]（2023•江苏,高二专题练习）已知直线1:久+ay-1=0（aeR）是圆C:一+必一6久-2y+1=0

的对称轴，过点P（-4,a）作圆C的一条切线，切点为2，则|P*=（）

A.2B.±4V3C.2V10D.7

【变式8-1]1.（2022秋•福建宁德•高二统考期中）设P是直线1:x+y+1=。上的动点,过P作圆C:

（%-3尸+（y-4）2=4的切线，则切线长的最小值为（）

A.4B.4V2C.2V5D.2V7

【变式8-1]2.（2022秋福建漳州•高二校考期中）若圆C：/+必+2%-4y+3=0上任意一点关于直

线2ax+力+6=。的对称点都在圆C上,由点（a,b）向圆C作切线，则切线段长的最小值为（）

A.2B.4C.5D.6

【变式8-1]3.（2023秋•江苏泰州•高二泰州中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:

（%-+V=4,若直线|：刀+y+6=0上有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,

切点分别为M,N,且使得四边形PMCN为正方形，则负实数m的值为（）

A.-1B.-2V2C.-3D.-5

【变式8-1]4.（2023秋・广东珠海•高三珠海市第二中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过直线2%-

y-3=0上一点P作圆C：X2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为4B,贝（Isin/APB的最大值为（）

【变式8-1]5.（2023•江苏•高二专题练习）已知圆C与直线x-2y-2=。相切于点M（2,0）,且圆心C在

直线y=-x上.过原点引圆C的切线，则切线长为

【变式8-1]6.（2023•江苏•高二专题练习）已知。M：（久一1乃+（y—1尸=4,直线I:2x+y+2=0,

点P为直线I上的动点，过点P作。M的切线24,切点为A,则切线段|P川长的最小值为.

题型9两圆公共弦长（方程）问题

【例题9]（2023春•全国•高二校联考阶段练习）若圆/+丫2=4与圆/+y2+2%+町_8=0的公共弦

长为2虎，贝!]a=（）

A.±2B.+4C.2D.4

【变式9-1]1.（2022秋•福建漳州•高二校考期中）已知圆G：/+外一4%一句/+4=。与圆C2:/+/_

4=0交于2,3两点，贝（][4引=（）

A.V2B.V3C.2D.2V2

【变式9-1]2.（多选）（2022秋•吉林长春•高二长春外国语学校校考期中）已知圆G:（x-I）2+（y-3）2=

11与圆C2：x2+y2+2%-2my+m2-3=0,则下列说法正确的是（）

A.右圆C2与久轴相切，则爪—2

B.若爪=-3,则圆6与圆。2相离

C.若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+（6-2m）y+m2+2=0

D.直线for+y-2k-1=。与圆前始终有两个交点

【变式9-1]3.（多选）（2023秋•贵州•高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy

中，圆M:（x-a）2+（y-a）2=1（a为实数），点4（2,0）,B（—l,0），点P为圆N:（x+2）2+y2=4上的动点,

则（）

A.若Q（-1,2）,过点Q可以作圆N的两条切线

B.当a=0时，圆”与圆N的公共弦长为学

4

C.圆M上始终存在两点与点B的距离为1,贝必的取值范围为（三,笞）

D.PA-而的取值范围为[-2,18]

【变式9-1J4.(2023秋•山东泰安•高三统考阶段练习)已知圆Ax2+y2-4y=0与圆B:x2+y2-2x=0

相交于O,C两点，其中点。是坐标原点，点48分别是圆4与圆B的圆心，贝!JCOSNCMC=()

A.--B.-C.--D.-

5555

【变式9-l]5.(2023春・浙江•高二校联考开学考试)若圆Q：/+*=4与圆金:(x-a)2+y2=16(a6R)

相交于4B两点，且两圆在力点处的切线互相垂直，则线段4B的长是

题型10公切线相关问题

【例题10](2023秋•高二课时练习)圆。1：/+>2+2久+2y—2=0和圆C2：/+y2-4%-2y+1=0的

公切线的条数为()

A.1B.2C.3D.4

22

【变式10-1J1.(2023秋・全国•高二阶段练习W：(x-2/+(y—=1，圆N：(x+2)+(y+l)=1,

则两圆的一条公切线方程为()

A.x+2y—0B.4x+3y—0

C—2y+V5=0D.x+2y—V5=0

22

【变式10-1]2.(多选)(2023秋辽宁朝阳•高二建平县实验中学校考期末)已知OC1：x+y=1与。

22

C2：(x-3cos0)+(y-3sine)=4,则下列说法正确的是()

A.OG与。Q有2条公切线

B.当8=即寸，直线x+y-V2=0是。C]与。C2的公切线

C.若MN分别是。G与。上的动点，则|MN|的最大值是3

D.过点6作。。2的两条切线，切点分别是P,Q,则四边形QPC2Q的面积是2遍

【变式10-1J3.(多选J2023・全国•高三专题练习)已知圆/+外=4和圆M:x2+y2-4%+2y+4=0

相交于4B两点，下列说法正确的是()

A所有过点4,B的圆系的方程可以记为+y2-4)+A(x2+y2-4x+2y+4)=0(其中46R力一1)

B.直线48的方程为y=2%+4

C.线段2B的长为华

D.两圆有两条公切线y=-2与4x+3y-10=0

【变式10-1]4.(2023秋・全国,高二阶段练习)过P(x,y)作圆G：x2+y2-2x=。与圆Q：比之+y2-6x-

6y+14=0的切线，切点分别为4,B,若伊川=|PB|,则久2+必的最小值为.

【变式10-1]5.(2023秋河南焦作・高二校考阶段练习)已知圆C]必+*=1与圆C2必+/一2%—2y+

1=0

(1)求经过圆G与圆C2交点的直线方程；

(2)求圆q与圆。2的公共弦长.

【变式10-1】6.(2023•全国•高二课堂例题)证明圆的:x2+y2-4x-16=。与圆Q：产+y2+2y-4=0

内切，并求它们的公切线方程.

题型11中点弦问题

【例题11](2023•湖南郴州•统考模拟预测)已知A,B是。C：(X-2¥+。-4尸=25上的两个动点,

P是线段4B的中点，若|AB|=6,则点P的轨迹方程为()

A.(x—4)2+(y—2尸=16B.(x—2)2+(y—4)2=11

C.(x—2/+(y—4)2—16D.(x—4)2+(y—2)2=11

【变式11-1】1.(2023秋•高二课时练习)设半径为3的圆C被直线1:x+y-4=。截得的弦的中点为

P(3,l),且弦长=2V7，则圆C的标准方程.

【变式11-1]2.(2023•江苏•高二专题练习)点力(3,5)是圆一+于一4久一8y-80=0的一条弦的中点,

则这条弦所在直线的方程为.

【变式11-1]3.(2023•全国高二专题练习)已知圆M：(%-4)2+/=16,过点N(2,0)的直线与圆M交

于4B两点，。是AB的中点，则。点的轨迹方程为

【变式11-1]4.（2022•全国•高三专题练习）已知圆。:产+4=1,直线/：久+y-2=0,过/上的点P作

圆。的两条切线，切点分别为48,则弦48中点M的轨迹方程为.

【变式11-1]