2025年新高考数学重难点专项复习：集合常考题型十一大题型（原卷版）

重难点01集合常考题型十一大题型汇总

题型解读

满分技巧/

技巧一.解决集合定义类型题要注意以下两点：

①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性;

②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.

技巧二.判断元素和集合关系的两种方法

1.直接法：集合中的元素是直接给出的.

2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

技巧三.用列举法表示集合应注意的两点

1.应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；

2.若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.

技巧四.利用描述法表示集合应关注五点

1.写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合｛x£R|x<l｝不能写成｛x<l｝.

2.所有描述的内容都要写在花括号内.例如，｛xwZ|x=2四,kRZ,这种表达方式就不符合

要求，需将ZeZ也写进花括号内,即｛X£Z|X=2Z,AreZ）.

3.不能出现未被说明的字母.

4.在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程/-2x+1=0的

实数解集可表示为｛xeR|/-2x+1=0｝,也可写成例4-2x+1=0｝.

技巧五.由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤

1.根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值

2.根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验

3.写出所有符合题意的字母的取值

技巧六判断集合间关系的方法

1.用定义判断

①任意XW/时，XW6,则A^B.

②当6时，存在xw8,且双Z,则A^B.

③若既有AQB,又有比Z,贝U/=B.

2.数形结合判断

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.

技巧七.子集与真子集的个数

①力的子集的个数有2"个.

②/的真子集的个数有（2"-1）（优1）个.

③力的非空子集的个数有(2"-1)(/721)个.

④力的非空真子集的个数有(2"-2)(7721)个.

技巧八.求给定集合的子集的两个关注点

1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写.

2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.

技巧九.符号问题辨析

1.元素与集合、集合与集合的关系.

"G"是"元素"与"集合"之间的从属关系，如ae{a}.

或是"是两个集合之间的包含关系.

2.0、{0}、0、{0}的关系

Q)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0},0,{0}都为集合，其中{0}是包含一个元

素0的集合；

0为不含任何元素的集合；{0}为含有一个元素0的集合，此时0作为集合{0}的一个元素.

(2)联系：0£{0},0€0,030},0C{O},0士0},0C{0},0C{0}.

技巧十.解决集合交、并、补运算的技巧

/.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集

的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直

观、形象且解答时不易出错.

2.如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行

交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

0*题型提分练

题型1集合的定义与性质

【例题1](2022春•陕西咸阳•高一校考期末)下列各组对象中不能形成集合的是()

A.高一数学课本中较难的题B.高一(2)班全体学生家长

C.高一年级开设的所有课程D.高一（12）班个子高于1.7m的学生

【变式1-1]1.（2017春•山西朔州•高一校考期末）已知x,y,z为非零实数，代数式中+含+高+器的

1*1\y\\z\\xyz\

值所组成的集合是M,则下列判断正确的是（）

A.4eMB.2eMC.0eMD.—4cM

【变式1-1]2.（2021秋・天津静海・高一静海一中校考期末）已知A是由0,m,m2-3m+2三个元素组

成的集合，且2WA,则实数m为（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可

【变式1-1]3.（2022春・山东临沂•高一统考期末）已知X£{2,3},yG{-31,-24,4）,则（%,y）可表示不同

点的个数是（）

A.1B.3C.6D.9

【变式1-U4.（2023春・北京石景山•高一统考期末）若集合{附,四}={1,2,3,4},且下列四个关系：①a=l;

②b/1；③c=2；④d/4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a,b,c,d）的个数是（）

A.7B.6C.5D.4

【变式1-1]5.（2022春・吉林长春・高一统考期末）下列四组集合中表示同一集合的为（）

A.M={（-1,3）},N={（3,-1）}

B.M={-1,3},N={3,-1}

C.M={（x,y）|y=x2+3x）,N={x[y=x2+3x}

D.M={0},N=0

【变式1-1]6.（2021秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期末）设Q是有理数，集合X={x|x=a+

b42,a,beQ,x0）,在下列集合中；

（1）（y\y=2x,xGX）；（2）（y\y=^=,xGX}；（3）（y\y=1,xGX]；（4）{y\y=x2,xGX）；与X相

同的集合有（）

A.4jB.3jC.2jD.lj

题型2集合的表示方法

【例题2]（2023春・广西北海•高一统考期末）用列举法可将集合{（居y）l%£[0.1},ye{1,2}}表示为（）

A.{0,1}B.{（1,2））

C.{（0,1）,（1,2）}D.{（0,1）,（0,2）,（1,1）,（1,2）}

【变式2-1J1.（2023春辽宁沈阳•高一校联考期末）方程（7-4x）2-（一一4x）-20=o的解集为.

【变式2-1]2.（2023秋・湖南长沙•高一统考期末）用列举法表示{含eN|aeN）=

【变式2-113.（2019春咛夏•高一校考期末）不等式阿+1|<3的解集是

A.{x\x<—4或%>2}B.{x|—4<x<2]

C.{x[x<-4或x>2}D.{x|-4<x<2}

【变式2-1]4.（2023秋•江西南昌・高一统考期末）已知集合”=（（x,y）|xeN,yeN,x+y<2},则M中

元素的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

题型3元素与集合、集合与集合间的关系

【例题3]（2023秋・全国•高一专题练习）已知集合4={x\x=2m-l,meZ）,B={x\x=2n,n&Z}且

孙x2EA,x3eB,则下列判断不正确的是（）

A.•上"B.x2"x3GB

C.x1+x2EBD.+x2+x3EA

【变式3-1]1.（2023秋•山东荷泽•高一山东省东明县第一中学校考期末）已知集合力=（x|x2-l=0},

则下列结论错误的是（）

A.l"B.{-1}£XC.02XD.{-1,1]=X

【变式3-1]2.（2023春•陕西宝鸡•高一统考期末）下列五个写法:①{0}G[1,2,3}；00£{0};@{0,1,2）£

[1,2,0）；④。€0；⑤0n0=0,其中错误写法的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3-1]3.（2023秋•重庆渝中•高一重庆巴蜀中学校考期末）已知集合4={xER\x2+3x=0},则有

（）

A.0cxB.-3eC.A有4个子集D.{3}UA

【变式3-l】4.（2023秋•四川眉山•高一校考期末塔集合4={x|x=*2k+l）,keZ},B={*=触土/金z},

则集合A,B之间的关系表示最准确的为（）

A.AQBB.B^AC.A=BD.4与8互不包含

【变式3-1]5.（2022秋•陕西安康•高一校考期末波集合4=[1,-1-a,a2+3a-3）,B={%|%2-2%+1=

0},C={x\x2—（a+l）x+a=0}.

（1）讨论集合B与C的关系；

（2）若a<0,且CU4,求实数a的值.

题型4子集真子集个数问题

【例题4]（2022秋•江西宜春•高一校联考期末）集合{yGN|y=-x2+6,xeN}的真子集的个数是（）

A.15B.8C.7D.63

【变式4-1]1.（2022春•河北保定•高一河北省曲阳县第一高级中学期末）集合M={久|aX2+3x-1=0}

至多有1个真子集，贝必的取值范围是（）

或

A.a<—44B.aN—C.o=0D.a=40a<—

【变式4-1]2.（2023秋•江西新余•高一统考期末）已知集合4={-1,0},B={1,2},则集合C=

{z[z=/+丫2,力eB}的真子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【变式4-1]3.（2023秋•辽宁沈阳•高一沈阳二十中校联考期末）已知集合M满足{2,3}cMc{1,2,3,4,5},

那么这样的集合M的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【变式4-114.（2023秋•甘肃酒泉•高一统考期末）已知集合4={x|（m-I）%2+3%-2=0}恰有两个非

空真子集，则m的值可以是.（说明：写出满足条件的一个实数m的值）

题型5集合的并交补运算

【例题5]（2022春•陕西西安・高一长安一中校考期末）已知集合M={%|%=华+,keZ},集合N=

卜卜=等一ez},则MnN=（）

A.0B.MC.ND.Z

【变式5-1]1.（2023秋•江苏盐城•高一校联考期末）设全集U=R,集合4={%|%<2},B=[x\x<-2

或x>6},贝！Mn（（：胫）=（）

A.{x\x<2}B.{x|2<%<6]

C.{x\—2<x<2]D.{x\—2<x<6]

【变式5-1]2.（2023秋•北京昌平•高一统考期末）已知集合4B都是N*的子集，4B中都至少含有两个元

素,且4B满足：

①对于任意x,y”,若x7y,则孙eB;

②对于任意x,yeB,若无<y,则（eA

若4中含有4个元素，贝必UB中含有元素的个数是（）

A.5B.6C.7D.8

【变式5-1]3.（2023春•四川绵阳•高一期末）集合A={（%,y）|y=x,xeR],B={（%,y）|y=x2,x&R},

则AnB的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.8

【变式5-1]4.（2023秋•河北邯郸・高一统考期末）设4、々、4、…、必是均含有2个元素的集合，且

&n&=0An4+i=0。=1,2,3,…,6）记B=&u4u&u…u/,则B中元素个数的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

题型6集合关系求参数

【例题6]（2023春•辽宁葫芦岛•高一统考期末）已知集合a={1,㈤，8={0,m+—1},aU8,则

实数m的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式6-1]1.（2023春•云南曲靖•高一统考期末）已知集合4={1,2},B={%|ax+1=0},若BUA,则

a的取值集合为（）

A-{-l,TB.{-1}C.{-|}D.

【变式6-1]2.（2023春•重庆北倍・高一西南大学附中校考期末）已知集合M={x|x=3k-2,keZ},集

合N={x\x=6k+l,keZ），则（）

A.M=NB.MUN

C.NUMD.MnN=0

【变式6-1]3.（2023春•四川成都•高一校联考期末）下面有四个命题：

①{3}£1x\x>3]；

②若a=2^2,B=[xER|x>2+V2）,贝[]aGB；

③若-a不属于N*，则a属于N*；

④若A=[x]y=V1-x2],B=[y\y=V1-%2},贝=B

其中真命题的个数为（）

A.0jB.ljC.2jD.3j

【变式6-1]4.（2023秋•吉林・高一统考期末）设a,6eR,P={1,a},Q={2a+3,6},若「=Q,则a-

b=

【变式6-1]5.（2022秋•江苏连云港•高一期末）集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3GM且

N《M,则a的取值为

【变式6-1]6.（2022春・吉林长春・高一长春市第五中学校考期末）含有三个实数的集合可表示为{a,%1）,

也可以示为{a?,a+b,0）,贝以2°13+。2。14的值为

题型7集合运算求参数

【例题7]（2023春・贵州毕节•高一统考期末）设集合2=[2,0,x},B={2,/}且4CB=B,则x的取值集

合为（）

A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-V2,1,72}

【变式7-1J1.（2023春•宁夏石嘴山•高一平罗中学校考期末）已知集合4={0,4,m},B={O,m2}，且AUB=

a,则m的值为（）

A.0B.-2或2

C.—2或1或2D.-2或0或1或2

【变式7-1]2.（2023春・湖南衡阳•高一衡阳市一中校考期末）已知集合M={0,2,a},N={2a,4-a）,

MnNH0,则a的可能取值的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式7-1]3.（2023春•山东滨州•高一校考期末）已知全集U={-1,1,3},集合4={a++2},且

CuA={一1}，贝必=•

【变式7-1]4.（2021秋•四川成都•高一成都七中校考期末）已知集合4={x|2a+1W%W3a+5},集合

B=<%|3<%<33},若Au（AnB）,贝1|ae（）

A.[1,9]B.[1潦]

C.(―8,—4)U[1,9]D.(―8,—4)u

题型8集合与不等式求参数

【例题8](多选)(2023秋•四川南充•高一四川省南充高级中学校考期末)已知集合4={%I-1<x<7},

8={"。+23比32。-1},若使8=4成立的实数2的取值集合为乂，则乂的一个真子集可以是()

A.(—oo,4]B.(—00,3]C.(3,4]D.[4,5)

【变式8-1]1.(2023春广东汕头•高一统考期末)若Z={%|%2+%-a>0},且1人，贝必的取值范围

为

【变式8-1]2.(2022秋,全国•高一期末)设M为实数，集合2={x|-2<%<4],B=(x\m<x<m+2].

(1)若机=3,求4UB,CR(4nB)；

(2)若4nB=0,求实数m的取值范围.

【变式8-1]3.(2022秋•全国•高一期末)已知非空集合4={x\2a+1<x<3a—5],B={x|3<x<22}.

(1)当a=10时，求4CB,2U8；

(2)求能使aUB=B成立的a的取值范围.

【变式8-114.(2023秋・浙江台州・高一统考期末)已知集合4=16川2£1-3<；1<£1+1},8=

{xGR|(x+l)(x—3)<0}.

(1)若a=0,nB；

(2)若An(CRB)=A,求实数a的取值范围.

【变式8-115.(2023秋•吉林长春・高一长春外国语学校校考期末)已知集合M={%|1<%<2},集合N=

{%|3<%<5}.

(1)求CRMMC(CRN)；

(2)设4=(x\a<x<a+3],若2U(CRN)=R,求实数a的取值范围.

题型9集合与方程求参数

【例题9](2022秋•湖南怀化•高一校联考期末)已知集合4=(x|x2-5x+6=0},B=(x\x2-Sx+a0].

若BU4,求实数a的取值范围.

【变式9-1]1.(2021秋•云南保山•高一校考期末)已知集合A=(%|%2-3%+2=0),B={x|x2-ax+

(a—1)=0},C={x|x2—mx+2=0}.

(1)命题p:\/xEB,都有％GX,若命题p为真命题，求a的值；

(2)若xe4是％eC的必要条件，求m的取值范围.

【变式9-1]2.(2022秋•河南开封•高一校考期末)设集合4={x|%2-l=0},S={x\x2-ax+b=0},

且8不。.

(1)若4UB,求实数a,b的值；

(2)若4£c,且C={-1,2m+1,m2),求实数m的值.

【变式9-1]3.(2022秋•上海崇明•高一上海市崇明中学校考期末)设集合A=(x\x2+3x+2=0),B=

{x\x2+(m+l)x+m=0}.

Q)用列举法表示集合A；

(2)若8£A,求实数小的值.

【变式】春福建福州高一校考期末股集合22

9-l4.(2023•4={X|/+4X=0}^={%|%+2(a+l)x+a-l=0}.

(1)若4UB=B,求实数a的取值范围；

(2)若AUB=4,求实数a的取值范围.

【变式9-1]5.(2021秋・上海宝山・高一上海交大附中校考期末)设集合M=[x\x2-mx+6=0,xeR],

且Mn{2,3}=M,求实数zn的取值范围.

题型10韦恩图的应用

【例题10](2023秋•浙江台州•高一统考期末)某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动

"你追我赶"和"携手共进”.数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我

赶"，20人参加了“携手共进"，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为()

A.36B.35C.34D.33

【变式10-111.（2023春•云南大理•高一统考期末）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有85%的学

生喜欢足球或游泳，70%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生

数占该校学生总数的比例是（）

A.15%B.63%C.67%D.70%

【变式10-1]2.（2022秋•海南•高一统考期末）已知集合4={0,1,2,3,4,5）,集合B={1,3,5,7,9},则Venn

图中阴影部分表示的集合中元素的个数为

【变式10-1】3.（2023秋•江苏淮安•高一统考期末）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫

大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙

宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点.则乙一定去过的景点是（）

A.淮安方特B.龙宫大白鲸世界

C.西游乐园D.不能确定

【变式10-1】4.（2023春•内蒙古赤峰高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）若全集U=R,集合4=

{0,123,4,5},B={x|x>3],则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{3,4,5}B.{0,1,2}C.[0,1,2,3}D.{4,5}

题型11新定义题型

【例题11]（2023秋•广西钦州•高一统考期末）当一个非空数集G满足:如果a,beG,+b,a-b,

abeG,且b力0时，£eG时，我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若

数域G有非零元素，则2019eG；③集合P={久|x=2k,keZ}是一个数域.④有理数集是一个数域.其中

正确的选项是（）

A.①②④B.②③④C.①④D.①②

【变式11-1]1.（2023秋•四川成都•高一成都实外校考期末）定义40B=[x\x=^,mGA,ne可若2=

[1,2,4},B={2,4,8}则40B中元素个数为（）

A.1B.2C.4D.5

【变式11-112.（2022秋•安徽芜湖•高一安徽师范大学附属中学校考期末淀义差集M-N=