2025年中考数学分类复习：函数综合压轴题（原卷版）

专题20备救除合人枯泉

■

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024•广东：相似三角形的判定和性质、解直角三角形、一次函数的中考试卷中，代几

性质、反比例函数的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、轴综合题属于必考

对称的性质、圆的性质题目，这类试题常

2023•广东：全等三角形、相似三角形、特殊四边形的判定和性质、以三大函数为背

四点共圆的性质景，综合考察一次

广东卷

2021•广东：二次函数的综合应用、二次函数与不等式组、平行四边函数的性质、反比

形的存在性问题、中点公式2020•广东：反比例函数系数的性质、相例函数的性质、二

似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、平行线的性质次函数的性质、函

2020•广东：二次函数、一次函数、相似三角形的判定和性质、锐角数与方程和不等

三角函数式、全等三角形、

2024•广东广州：二次函数的图象与性质、一次函数的性质、坐标与相似三角形、平行

图形面积、一元二次方程根与系数的关系、数形结合四边形及特殊平

2023,广东广州：反比例函数和二次函数综合运用、一次函数基本知行四边形、圆、三

识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识角函数、动点最值

2022•广东广州：二次函数的综合问题、待定系数法求二次函数的关问题等，该题型综

广州卷系式、求二次函数的极值合性强，难度系数

2021•广东广州：一次函数的图像与性质、三角形面积计算、圆的相较大，既能考察基

关性质础知识和基本技

2020•广东广州：待定系数法求解一次函数的解析式、二次函数的能，又考查数学思

解析式、二次函数图像上点的坐标特点、二次函数的性质、二次函想方法和数学能

数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系力，区分度较大，

同学们在复习时，

2024•广东深圳：二次函数的综合应用、抛物线的平移

要注重总结解题

2023•广东深圳：二次函数的实际应用、数形结合的思想

技巧，灵活运用数

深圳卷2021•广东深圳：一元二次方程的应用、根的判别式

形结合及分类讨

2020•广东深圳：二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分

论思想，举一反

类讨论思想和存在性问题

0

5年真题•分点精准练

广东卷

1.（2024•广东•中考真题）【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点S。是直线,=依（。>0）上第一象限内的两个动点（OD>C®）,以线段BD

为对角线作矩形ABC。，AD〃彳轴.反比例函数y=8的图象经过点A.

X

【构建联系】

k

（1）求证：函数y=—的图象必经过点C.

（2）如图2,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点8的坐标为2）时,

求人的值.

【深入探究】

（3）如图3,把矩形A3CD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接AC交于点P.以

点。为圆心，AC长为半径作O.若。尸=3顶，当.。与VABC的边有交点时，求上的取值范围.

ffll图2脚

2.(2023・广东•中考真题)综合运用

如图1,在平面直角坐标系中，正方形Q4BC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2,将正方形OABC绕点。逆

图1图2图3

⑴当旋转角为多少度时，OE=OF-(直接写出结果，不要求写解答过程)

(2)若点4(4,3),求尸C的长;

(3)如图3,对角线AC交V轴于点交直线＞=了于点N,连接FN,将△OHV与△Ob的面积分别记为

S|与$2，设5=5]-星，AN=n,求S关于"的函数表达式.

3.（2021•广东・中考真题）已知二次函数xaY+bx+c的图象过点（-1,0）,且对任意实数无，都有

4x—12<ax2+bx+c<2x2-8x+6.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与无轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上

的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所

有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Q

4.（2020・广东•中考真题）如图，点3是反比例函数》=一（x>0）图象上一点，过点5分别向坐标轴作垂

x

k

线，垂足为A,C,反比例函数>=一（尤>0）的图象经过03的中点与AB,分别相交于点。，E.连

x

接DE并延长交x轴于点尸，点G与点。关于点C对称，连接BG.

（1）填空：k=:

（2）求ABZ）厂的面积；

（3）求证：四边形8DFG为平行四边形.

5.(2020,广东•中考真题)如图，抛物线丫=1±3/+云+。与x轴交于A,3两点，点A,3分别位于原点

6

的左、右两侧，30=340=3,过点B的直线与V轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=y/3CD.

(1)求6,c的值；

(2)求直线的函数解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点。在射线班上，当4曲与ABPQ相似时，请直接写出所

有满足条件的点。的坐标.

广州卷

6.（2024•广东广州•中考真题）已知抛物线G:y=a/-6办-/+2/+1（。>0）过点4（和2）和点3（孙2）,直

线/:y=m2x+n过点C（3,l）,交线段AB于点。，记CDA的周长为G,MDB的周长为G,且Q=C?+2.

⑴求抛物线G的对称轴；

（2）求机的值；

⑶直线I绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转f秒后（0<?<45）得到直线厂，当r〃AB时，直线「交抛物线G于

E,尸两点.

①求/的值；

②设△AEF的面积为S,若对于任意的。>0,均有52人成立，求左的最大值及此时抛物线G的解析式.

P(\y=―一(x<o)

7.(2023•广东广州•中考真题)已知点门<m牡n叼在函数X的图象上.

(1)若机=一2,求〃的值；

(2)抛物线y=(x—〃2)(x—〃)与X轴交于两点M,N(/在N的左边)，与y轴交于点G,记抛物线的顶

点为E.

①加为何值时，点E到达最高处；

②设GMN的外接圆圆心为C,。与y轴的另一个交点为凡当加+〃WO时，是否存在四边形尸GEC为

平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.

8.（2022•广东广州•中考真题）已知直线/：>=依+6经过点（0,7）和点（1,6）.

⑴求直线/的解析式；

（2）若点尸（m,»）在直线/上，以尸为顶点的抛物线G过点（0,-3）,且开口向下

①求机的取值范围；

②设抛物线G与直线/的另一个交点为。当点。向左平移1个单长度后得到的点也在G上时，求G

在+1的图象的最高点的坐标.

9.（2021•广东广卅中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=；x+4分别与x轴，y轴相交于

A、8两点，点P（x»）为直线/在第二象限的点

（1）求A、8两点的坐标；

（2）设..以。的面积为S,求S关于尤的函数解析式：并写出尤的取值范围；

（3）作一出。的外接圆【C,延长PC交C于点°,当△尸0。的面积最小时，求C的半径.

10.（2020•广东广州•中考真题）平面直角坐标系xOy中，抛物线6:丁=如2+及+。（0<〃<12）过点4。,。-5。）,

5（/3）,。（马,3）,顶点。不在第一象限，线段5C上有一点石，设△Q5E的面积为S.△OCE的面积为S2,

3

外灯+7

（1）用含。的式子表示人；

（2）求点E的坐标；

（3）若直线OE与抛物线G的另一个交点歹的横坐标为9+3,求安加+bx+c在l<x<6时的取值范围（用

a

含。的式子表示）.

深圳卷

11.（2024・广东深圳・中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直

放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选

择不同位置测量数据如下表所示，设5。的读数为x,CD读数为》抛物线的顶点为C.

(1)(I)列表:

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描点：请将表格中的（x,y）描在图2中；

（III）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-/z）2+上的顶点为C,该数学兴趣小组用水平和

竖直直尺测量其水平跨度为A3,竖直跨度为CD,且=m，CD=n,为了求出该抛物线的开口大小，

该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数y=a（x-/z）2+左平移，使得顶点C与原点。重合，此时抛物线解析式y^ax2.

①此时点B'的坐标为；

②将点3'坐标代入y=a/中，解得。=；（用含机，”的式子表示）

方案二：设C点坐标为（加女）

①此时点B的坐标为；

②将点2坐标代入y=。（％-//）一+左中解得。=；（用含机，〃的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系中有A,8两点，AB=4,且AB〃龙轴，二次函数

。1：%=2（%+/?）2+左和。2：%=。（％+力）2+人都经过48两点，且G和G的顶点RQ距线段的

距离之和为10,求。的值.

12.（2023•广东深圳•中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以

吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就

形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABC。和抛物线血（构成,其中AB=3m,

BC=4m,取中点。，过点。作线段8C的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以。点为原点，BC

所在直线为无轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

（1）如图，抛物线的顶点石（0,4）,求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若

电=丽=Q75m,求两个正方形装置的间距GM的长；

13.（2021•广东深圳•中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、；倍、k倍.

（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？

（填"存在"或"不存在"）.

（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3,宽为2的矩形的2倍？

同学们有以下思路：

fx+y=10

设新矩形长和宽为X、y,则依题意x+y=10,孙=12,联立[得炉-10工+12=0,再探究根的情

[xy=12

况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的1倍；如图也可用反比例函

2

12

数与一次函数证明4：y=-x+10fl2：y=—,那么，

①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？.

②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的;，若存在，用图像表达;

③请直接写出当结论成立时上的取值范围：.

14.(2020・广东深圳,中考真题)如图1,抛物线y=ax2+bx+3("0)与x轴交于A(-3,0)和8(1,0),与

y轴交于点C,顶点为D

(1)求解抛物线解析式;

(2)连接AD,CD,BC,将AOBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到AOEC',点O、B、

C的对应点分别为点。，B',C,设平移时间为f秒，当点。与点A重合时停止移动•记AO'3'C'与四边

形AOCD的重叠部分的面积为S,请直接写出S与时间t的函数解析式；

(3)如图2,过抛物线上任意一点M(如n)向直线/：y二;作垂线，垂足为已试问在该抛物线的对称

轴上是否存在一点凡使得ME-MF=:?若存在,请求E点的坐标；若不存在，请说明理由.

1年模拟•精选模考题

15.（2024・广东东莞・三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地,

只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系X0X,对两点力（久1，%）和

8（%2，为），用以下方式定义两点间距离：d（AB）=W-即+瓦-%].（其中。均为坐标原点）

【数学理解】

⑴①已知点A（-2,l）,贝|d（O,A）=,②函数y=—2x+4（0<x<2）的图象如图①所示，3是图象上

一点，d（O,B）=3,则点B的坐标是；

（2）函数y=[（无>0）的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点C,使d（O,C）=3.

⑶函数y=/-5x+7（xW0）的图象如图③所示，。是图象上一点，求4（0,0）的最小值及对应的点。的坐

标.

16.(2024•广东广州,二模)在平面直角坐标系中，设直线/的解析式为：>=h+加(左、机为常数且发工0),

当直线/与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线/与这条曲线"相切"，这个公共点叫做"切点

9

⑴求直线/：y=-x+6与双曲线y=—的切点坐标；

x

⑵已知一次函数％=2x,二次函数以=，+1，是否存在二次函数为=G^+6X+C,其图象经过点A(-3,2),

使得直线％=2尤与%=/+1,%="2+厩+。都相切于同一点？若存在，求出为的解析式；若不存在，请

说明理由；

⑶在(2)的条件下,抛物线方的顶点坐标为B,点、P为丫轴上一点.在平面内存在点M，使NAMB=2NAPB,

且这样的点尸有且只有一个，则点尸的坐标为.

17.（2024•广东湛江•一模）（1）如图1,点8是线段C。上的一点，ACA.BC,ABLBE,EDYBD,垂足

分别为C,B,D,AB=BE.求证：ACB-BDE；

（2）如图2,点A（-3,a）在反比例函数y=［图象上，连接Q4,将Q4绕点。逆时针旋转90。到02,若反比

例函数y='经过点8.求反比例函数y=—的解析式；

x尤

（3）如图3,抛物线y=/+2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与，轴交于C点，已知点

18.(2024•广东东莞•二模)在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形卬上的所有点都在一个矩形的内

部或边界上(该矩形的一条边平行于x轴)，这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的"美好矩形例如：如

图1,已知VABC,矩形ADEF,/⑦〃x轴，点3在OE上，点C在砂上，则矩形AOEF为VABC的美好

矩形.

(1)如图2,矩形ABCD是函数y=2x(-LWxWl)图象的美好矩形，求出矩形ASCD的面积;

4

(2)如图3,点A的坐标为(1,4),点B是函数y=—(x>0)图象上一点，且横坐标为加，若函数图象在A、B之

X

间的图形的美好矩形面积为9,求优的值；

⑶对于实数当aVxVa+若时，函数y+云图象的美好矩形恰好是面积为3,且一边在x轴上的

3

正方形，请求出b的值.

16

19.（2024•广东中山•一模）如图，一次函数y=；；x+2的图象与反比例函数）=—（左W0,%>0）的图象相交于

2x

点A（2,a）,与不轴交于。点，与y轴交于5点.

（2）求出4,%的值；

7

⑶若为x轴上的一动点，当，AMB的面积为,时，求机的值；

⑷在x轴上是否存在点O,使得ZB（M=NO4D,若存在，请直接写出点。坐标，若不存在，请说明理由.

20.（2024•广东汕头•一模）如图，一次函数y=履+2的图象与反比例函数y=言1的图象交于点A（-l,a）,

与龙轴交于点8.

⑴求上的值;

⑵把一次函数>=依+2向下平移加（祖>0）个单位长度后，与y轴交于点C,与x轴交于点。.

①若机=4,求SACD的面积；

②若四边形A3CD为平行四边形，求机的值.

21.（2024•广东广州•一模）如图，四边形ABC。为正方形，点A在V轴上，点8在x轴上，且Q4=4,03=2,

反比例函数y=二0）,在第一象限的图象经过正方形的顶点C.

⑴求点C的坐标和反比例函数的解析式：

⑵若点N为直线OZ）上的一动点（不与点。重合），在'轴上是否存在点使以点A、M、C、N为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（2024•广东珠海,一模）如图1,已知点A（a,0）,B（0,b）,且a、Z?^i>£^/a+T+（a+Z?+3）2=0,ABCD

的边AD与y轴交于点E,且E为AD的中点，双曲线y="经过C、。两点.

⑴。=_'b=_；

⑵求反比例函数解析式；

⑶以线段A5为对角线作正方形（如图2）,点T是边AF上一动点，M是的中点，MN±HT,交AB

于N,当点T在AF上运动时，粤的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，

rll

并给出你的证明.

k_/、

23.（2024•广东珠海•一模）如图，一次函数，=依+。的图象与反比例函数y=：的图象相交于A（加,1）,

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

k

（2）根据图象直接写出不等式ax+b>-的解集.

⑶设。为线段AC上的一个动点（不包括A,C两点），过点。作。E〃y轴交反比例函数图象于点E,当

的面积最大时，求点£的坐标，并求出面积的最大值.

24.（2024•广东汕头•二模）如图，抛物线+c与x轴交于A（_3,0）、B两点,与y轴交于点C,对

称轴为x=-0.5.

⑴求抛物线的解析式；

（2）点。在抛物线的对称轴上，若SvBCO=SvABC，求点。的坐标；

⑶点M在抛物线上，若948。中有一个内角为45。，请直接写出点M的坐标.

25.(2024•广东东莞三模)如图,抛物线y=加+法+3与无轴交于A(_3,0),8(1,0)两点,与y轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式;

⑵如图1,点尸是直线AC上方抛物线上的动点，过点P作连〃工轴交直线AC于点E,作收〃t轴交直线

AC于点E求E,尸两点间距离的最大值；

(3)如图2,连接BC,在抛物线上存在点。，使NQAC+NOCB=45。，请直接写出符合题意的点。坐标.

26.（2024・广东广州•二模）已知抛物线>=亦2一无一1和直线，=丘-2左，抛物线的顶点为

⑴若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围；

2

（2）存在实数％>2,使得当x=x0时，ax_x—i<3x—6,并且存在实数左，使依?_彳_]>履—2发对于任意实

数尤都成立，求。的取值范围；

⑶已知直线了=丘-2左与抛物线丁="2_》_1交于4（石,为），8（久2，先），且（:+1））尤2+（12）.+。=_2.

x2

①求。的取值范围；

②求抛物线的顶点M到直线y=kx-2k距离的最小值.

27.(2024•广东惠州,二模)综合与探究：

如图，在平面直角坐标系中，直线、=丘+4与无轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线yn-J+bx+c

经过A,C两点且与x轴的正半轴交于点8.

⑴求k的值及抛物线的解析式.

⑵如图1,若点。为直线AC上方抛物线上一动点，当NACD=2/54C时，求。点的坐标；

⑶如图2,若尸是线段OA的上一个动点，过点F作直线即垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E,

连接CE.设点尸的横坐标为机.

①当机为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少；

②是否存在以C,G,E为顶点的三角形与，AFG相似，若存在，直接写出加的值；若不存在，请说明理

由.

28.(2024•广东东莞•一模)如图1,抛物线〉=⑪2+：》+。经过点£(0,5),(1,5),矩形A2CD的点A,。在

⑴求该抛物线的解析式；

(2)求点2,C的坐标；

⑶如图2,垂直于OE的直线机从底边AD出发，以每秒1cm的速度沿OE方向匀速平移，分别交折线OC-CE,

AB-BE,OE于M,N,H,当直线能到达点E时，停止运动，连接ON,ON,设运动时间为，秒(0<"5),

_沏的面积记为》请用f表示y,写出r的相应的取值范围，并求y的最大值.

29.(2024・广东河源•一模)如图，已知抛物线>与y轴交于点A(0,g),且经过点8(1,1),过点8作x

轴的平行线，交y轴于点C,交抛物线于点D,点尸(孙〃)是抛物线在第一象限内的一动点，过点尸作PM±x

轴，垂足为

⑴求该抛物线的解析式；

⑵判断△CPM的形状，并说明理由；

⑶点N是无轴上的一点，当△CPM与相似时，求w的值.

30.（2024•广东清远三模）如图，在平面直角坐标系X0V中，抛物线y=*+bx+c过点A（TO）,8（2,0）和

C（0,2）,连接BC,（机＞0）为抛物线上一动点，过点尸作PNLx轴交直线BC于点交x轴于点

N.

⑴求抛物线和直线BC的解析式；

（2）如图1,连接CP,CN,当△CPN是直角三角形时，求相的值；

（3）如图2,连接OM,当OC0为等腰三角形时，求机的值；

⑷点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点。，使得以O,P,Q为顶点的三角形与以2,C,N

为顶点的三角形相似（其中点尸与点C相对应），请直接写出根的值.

31.(2024•广东佛山•三模)综合应用

如图L顶点为P的抛物线y=炉+6X+C与X轴交于点A(-3,0)和点C(l,0),与y轴交于点B,连接48、BP.

⑴求6、c的值及4P8A的度数；

(2)如图2,动点M从点。出发，沿着。4方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，

沿着48方向以&个单位/秒的速度向8匀速运动，设运动时间为，秒，上/，彳轴交45于尽轴交

抛物线于凡连接MN、EF.

①当EF〃跖V时，求点尸的坐标；

②直接写出在运动过程中，使得△3NP与W相似的f的值.

32.(2024・广东汕头•三模)如图L抛物线y=-x?+3x+4和直线y=x+l交于A,B两点，过点8作直线

轴于点C.

⑴求N5AC的度数.

(2)如图2,点P从点A出发，以每秒四个单位长度的速度沿线段向点8运动，点。从点C出发，以每

秒2个单位长度的速度沿线段C4向点A运动，点P,。同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随

之停止运动，设运动时间为f秒«>0).以PQ为边作矩形尸QVM,使点N在直线上.

①当，为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当/为何值时，恰好有矩形尸的顶点落在抛物线上.

33.（2024•广东广州•二模）已知抛物线y=%2一（机+1）%+加（机＜。）

（1）当机=0时，求抛物线与无轴的交点坐标；

⑵若抛物线与冗轴有两个不同的交点4B（点A在点8的左侧），与，轴交于点C,过点C作直线/〃入轴,

点七是直线/上的一动点，点尸是y轴上的一动点，且所=20.

①当点石落在抛物线上（不与点。重合），且AE=£F时，求旭的值；

②取斯的中点闻,是否存在4〃的最小值为专？若存在，求出此时机的值，若不存在，请说明理由.

34.（2024•广东广州•二模）在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=Y+fec+c与x轴交于4（一1,0）、B（A在8

的左边），与丁轴交于C,且OB=4Q4.

⑴求抛物线的解析式；

（2）如图1,直线＞=彳交抛物线于。、E两点，点下在抛物线上，且在直线。E下方，若以月为圆心作F,

当〈尸与直线OE相切时，求厂最大半径，•及此时下坐标；

⑶如图2,M是抛物线上一点，连接AM交'轴于G,作AAf关于无轴对称的直线交抛物线于N,连接AN、

点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是八〃.直接写出"的数量关系.

35.（2024•广东揭阳•一模）综合与探究:

如图1,抛物线-=&+在+：与无轴相交于«别,两点,与y轴交于点C,连接BC,抛物线

⑴求抛物线解析式及点M的坐标；

（2）平移直线BC得直线y=nix+n.

①如图2,若直线y=过点交x轴于点在X轴上取点E[,O],连接EM,求NOME的度数.

②把抛物线丫=依2+法+；在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3中的形曲线）.当直线

y