2025年新高考数学重难点专练：双曲线方程及性质十三大题型（原卷版）

重难点11双曲线方程及性质十三大题型汇总

题型解读

1^/满分技巧/

技巧一.双曲线定义的应用

(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程.

⑵在"焦点三角形"中，当NFIPF2=90°时，SAPFiF2=b2,常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PFi|

-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PFi|与|PF2|的关系.

注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双

曲线的一支，则需确定是哪一支.

技巧二.求双曲线标准方程的常用方法

Q)定义法：根据双曲线的定义确定力,加的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程.

(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是p轴上，设出标准方程，再由条件确定字,岳的值，即"先定型,

再定量"，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为三-击=X(芯0)或m*-n*=l(m/7>0),

m2ri2

再根据条件求解.

注意：待定系数法求双曲线方程的5种类型

//解/

类型一与双曲线三--=1有公共渐近线的双曲线方程可设为与-&=4/1/0)

bb解

若已知双曲线的一条渐近线方程为y=x或p=-x,则可设双曲线方程为3-

33cr

类型二

必

类型三与双曲线W-口=1共焦点的双曲线方程可设为G—7-——7=1(-岳<左<力)

乎a宇-k»+k

A2J/2M〃

过两个已知点的双曲线的标准方程可设为一—一二1(6">0)或者一+一二l(mn

类型四mnmn

<o)

^2^2^2i2.

与椭圆Q2+l(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为G-一不=1("

类型五aZx/-X才-"

<A<a2}

技巧三.双曲线的几何性质

(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：

①求出a,b,c直接求离心率e,写渐近线方程.

②列出a,6,c的齐次方程(或不等式),然后解方程或不等式.

(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系.

技巧四.求双曲线中焦点三角形面积的方法：

①根据双曲线的定义求出||用|-|所||=2a;

②利用余弦定理表示出|所|,|M|,|后£|之间满足的关系式；

11

③利用公式SAPF】B=『|所卜|〃小皿/月所求得面积利用公式SA咫0(方为"点的纵坐标)

求得面积

b2

@:SRPFFZ=e

tan-

技巧五.和差最值问题：

利用三角形：和最小问题，两边之和2第三边，三点共线，动点必须在中间。

差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值4第三边，三点共线，动点必须在两边。

技巧六.1,求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法

(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线

的定义和平面几何的有关结论来求解.

(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)

问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、

函数的单调性及三角函数的有界性等求解.

(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.

2.解决与双曲线有关的范围(或最值)问题时的注意点

(1)双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a(实轴长).

(2)双曲线上的点到定点的距离最值，常用两点间的距离公式转化为区间上的最值问题，有时也用双曲线的

参数方程转化为三角函数的最值问题.

(3)双曲线上的点到定直线的距离的最值解法同(2)所述，或用平行切线法.

(4)点在双曲线上，求相关式子(目标函数)的取值范围，常用参数方程转化为三角函数的最值问题，或根据平

面几何知识，或引入一个参数转化为函数问题解决.

⑸由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来

求解.

(6)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线自变量范围的影响.

技巧七.求轨迹方程的常见方法有:

①直接法，设出动点的坐标G,y）,根据题意列出关于的等式即可；

②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；

③参数法，把久,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；

④逆代法，将押2需代入„=0.

技巧八.直线与方程的位置关系

22

将直线的方程y=kx+爪与双曲线的方程京-^=l,a>0,b>。联立成方程组，消元转化为关于x或y的

一元二次方程，其判别式为△.

（Z72—a2k2）x2—2a2mkx—a2m2—a2b2=0

若〃—/左2=o,即k=±2,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

若〃一"左2w0,即左二士2,

a

①A>0o直线和双曲线相交o直线和双曲线相交，有两个交点;

②A=0o直线和双曲线相切=直线和双曲线相切，有一个公共点；

③AvOo直线和双曲线相离=直线和双曲线相离，无公共点.

技巧九.双曲线中点弦的斜率公式：

r2v2h2

设股（工,%）为双曲线二-9=1弦A5（AB不平行y轴）的中点，则有的=—

ab"a

i_i，」,

b\=1两式相减得：丘H-士工=0

证明：设A（和必），,则有^二三£

b

再~X2x；矿

[a2b2

整理得：工二4=1，即（X—%）=2,因为加（易,%）是弦AB的中点,

再一％2a（再+%2）（工1一天2）a

所以：后用=&=%=&±21,所以以B.后用=1_

xQ2X0xl+x2a

-3*题型提分练

题型1双曲线的定义

【例题IX2022上•上海黄浦・高三上海市大同中学校考阶段练习施平面直角坐标系xOy中，已知点M（2,-1）,

N（-2,1）,动点P满足|PM|2—|PN|2=a（aGR）,记点P的轨迹为曲线C,则下列命题中，可能成立的个数

为（）

（I）曲线C上所有的点到点（1,£）的距离大于2

（II）曲线C上有两点到点（-b,0）与（逐,0）的距离之和为6

（III）曲线C上有两点到点（-病,0）与（逐,0）的距离之差为2

（IV）曲线C上有两点到点（a,0）的距离与到直线x=-a的距离相等

A.ljB.2jC.3jD.4j

【变式1-1]1.（2023下•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期中）已知定圆M:（%-+必=16,点A

是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段24的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹

可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有（）.

A.3B.4C.5D.6

【变式（2023下•江苏南京•高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知圆/+川—4By=

0的圆心为S，过点7（0,-2百）的直线ni交圆S于C、。两点，过点7作SC的平行线，交直线SD于点M，则点M的

轨迹为（）

A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.双曲线一支

【变式1-1]3.（多选）（2023上•广东深圳•高二统考期末）已知P是圆心为4,半径为2的圆上一动点,

B是圆4所在平面上一定点，设=t（t>0）.若线段BP的垂直平分线与直线4P交于点M,记动点M的

轨迹为E，则（）

A.当0<t<2时，E为椭圆B.当t>2时，E为双曲线

C.当t>2时，E为双曲线一支D.当t力2且t越大时，E的离心率越大

2

【变式1-114.（多选）（2023上•河南•高二校联考期中）0°<a<180。变化时,方程式+ycosa=1表

示的曲线的形状可以是（）

A.两条平行直线B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线

【变式1-115.（多选）（2023下•重庆璧山•高二重庆市璧山来凤中学校校考期中）以下关于圆锥曲线的

说法，不正确的是（）

A.设4B为两个定点，k为非零常数,\\PA\-[PB\\=k,则动点P的轨迹为双曲线

B.过点（0,1）作直线，使它与抛物线f=4x有且仅有一个公共点，这样的直线有3条

22

C.若曲线C:A+{=1为双曲线，贝收<1或k>4

4-kk-1

D.过定圆。上一定点4作圆的动弦AB,。为坐标原点，若而=*工？+而），则动点P的轨迹为椭圆

【变式1-1]6.（多选）（2023下•湖北孝感•高二统考期中）已知圆。的半径为定长R,4是圆。所在平面内一

个定点，P是圆。上任意一点，线段4P的垂直平分线/和直线。P相交于点Q，当点P在圆上运动时，关于点Q的

轨迹，下列命题正确的是（）

A.若2是圆。内的一个定点（非点。）时，点Q的轨迹是椭圆

B.若4是圆。外的一个定点时，点Q的轨迹是双曲线的一支

C.若4与点。重合时，点Q的轨迹是圆

D.若力是圆。上的一个定点时，点Q的轨迹不存在

题型2双曲线定义的应用

2222

【例题2]（2023上•上海•高二上海师大附中校考期中）若椭圆舄+^=l（m>n>0）和双曲线?-彳=

l（s,t>0）有相同的焦点6和尸2,而P是这两条曲线的一个交点，则IP6I•IP&I的值是（）

A.m-sB.j（m—s）C.m2—s2D.Vm—Vs

【变式2-1]1.（2023上•河南南阳•高二统考期末）已知双曲线C：/—y2=1的左，右焦点分别为见尸2,

过&的直线与双曲线C仅有一个公共点P,则|PFzl=（）

A.-B.-C.-D.-

2222

【变式2-1]2.（2023上•江苏常州•高二统考期中）已知双曲线C的中心为。，离心率为企，焦点为&出，

M为C上一点，=8,则|。陷=（）

A.2&B.3C.4D.8

【变式2-1]3.（2022上•内蒙古呼和浩特•高二呼市二中校考期中）已知双曲线《-总=l（a>0,b>0）的

左，右焦点分别为&月，过&的直线与左支相交于4B两点.如果+\BF2\=2|4切,那么|4B|=（）

A.aB.2aC.4aD.8a

【变式2-1]4.（多选）（2023上•辽宁锦州•高二统考期末）已知双曲线C：=-1=1,P是该双曲线上

任意一点，&,&是其左、右焦点，4（6,0）,则下列说法正确的是（）

A.若IPF2I=8,则IPF"=12B.|P川的最小值为代

C.|P&|的最小值为1D.若小&P4是直角三角形，则满足条件的P点共4个

22

【变式2-1]5.（2023下•上海嘉定・高二统考期末）已知圆锥曲线/的方程：8+E=1.当"n为正整

y—K4—K

数，且M<71时，存在两条曲线J、Cn,其交点P与点&（-病,0）、尸2（逐,0）满足「&1PF2，则满足题意的

有序实数对（成践）共有对.

22

【变式2-1】6.（2022上•四川达州•高二统考期末）已知F是双曲线C曝-色=l（a>0,b>0）的一个焦点,

C的离心率为|,MN是C上关于原点对称的两点，-|FN|=6.则双曲线C的标准方程为

题型3双曲线的标准方程

22

【例题3]（2023湖南校联考模拟预测）若双曲线C：^-^=l（a>0,b>0）其中一条渐近线的斜率为

2,且点（退2）在C上，则C的标准方程为（）

A.@—些=1B.次一些=1C.x2-^=1D.—-y2=1

288223/

丫2

【变式（2023•全国校联考三模搭双曲线G与双曲线。2：三-f=1有相同的焦距目G过点（3,1）,

则双曲线Q的标准方程为（）

2-.22

ry/

A.上一匕=1B.=1

629-V73V73-1

2

C_1=1或$—X=1D.菅一？=1或y2-^-=1

629—V73v73-1

【变式3-1]2.（2022•全国模拟预测）已知双曲线C：A=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为0,F2,

点M在双曲线C的右支上,MFX1MF2，若M0与C的一条渐近线I垂直，垂足为N，且IN&I-|ON|=2,

其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（）

A.亡一竺=1B.过一竺=1

2016204

c=1DY-艺=1

416420

【变式3-1]3.（2022上•江苏南通•高二统考期中）已知双曲线C的焦点为a（-逐,0）,F2（V5,0），点P在

双曲线C上,满足P&1F#2,PFI=4,则双曲线C的标准方程为（）

2,22-,22-,2

vB.x2-^A=1C.V上一匕=1D.v上一匕=1

A.2=I43223

【变式3-1]4.（2022・湖南岳阳・岳阳一中校考一模）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金

杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主

体部分的轴截面可以近似看作双曲线c的一部分，若c的中心在原点，焦点在久轴上,离心率e=2,且点

P（V6,3）在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）

c“22”2

A“2—匕=1B.Lr—匕=1

326

C.--^=1D.--^=1

39412

【变式3-1]5.（2022•江西南昌・统考一模）已知中心在原点的双曲线E的离心率为2,右顶点为4,过E的

左焦点F作%轴的垂线且/与E交于M,N两点，若44MN的面积为9，贝！|E的标准方程为（）

A.x2-^=1B.E—艺=1C.史—艺=1D./_先=i

3264124

22

【变式3-1]6.（2023上•广东清远•高三统考期末）已知P为双曲线C：^-^=l（a>0,b>0）上异于

顶点力i,4的任意一点，直线P4,P4的斜率分别为七，B,写出满足C的焦距小于8且3<krk2<4的

C的一个标准方程：

题型4双曲线的几何性质

22

【例题4]（2023上•山西晋中•高二统考期末）已知双曲线口鼻-竟=1（0<b<2）的左、右焦点分别为

&尸2,0为坐标原点，。为双曲线上一点，满足|OP|=\PF2\,\PFr\=V3|PF2|,则该双曲线的右焦点F2到渐近

线的距离的平方为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

【变式4-1]1.（2023下•陕西安康•高二校联考期末）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双

曲面，可以看成是双曲线C:1-2=1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的

最小直径为8cm,瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）

A.I6V2cmB.24cmC.32cmD.8V2cm

2222

【变式4-1J2.（2023下诃北•高二校联考期末）已知双曲线黄-9=1与双曲线磊-£=1（0<k<9）,

则两双曲线的（）

A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

22

【变式4-1]3.（2023上•北京东城•高三统考期末）已知双曲线-"=l（a>0,b>0）的左、右焦点

分别为&,F2,其渐近线方程为y=±2%,「是。上一点，且Pa1PF?•若△PF#2的面积为4,贝北的焦距为

（）

A.V3B.2V3C.2V5D.4V5

【变式4-1]4.（2022上•浙江台州•高二校联考期末）坐标系建立的方式不同，会导致曲线方程形式上的

不同,如初中学过的反比例函数y=热勺图象也是双曲线.已知形如y=ax+g（b片0）的函数图象均为双曲

线，则双曲线y=：久-部勺一个焦点坐标为

【变式4-1]5.（2023下•上海松江•高二上海市松江一中校考期末）已知a>b>0,双曲线圣-《=1的

22

两个焦点为a,F2，若椭圆m+琶=1的两个焦点是线段&尸2的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为.

2

【变式4-1]6.（2023上•北京怀柔高二统考期末）设双曲线J-y=1的左右焦点分别是&,F2,点P在

双曲线上，贝比IPaI—=；若N&P出为直角，则点P的纵坐标的是

题型5双曲线的离心率

22

【例题5]（2023上•天津北辰•高二校考期末）若双曲线C：京-a=l（a>0,6>0）的一条渐近线被圆/+

（y-2）2=4所截得的弦长为2百，贝北的离心率为（）

A.2B.2C.—D.，

333

22

【变式5-1J1.（2022上•浙江台州•高二校联考期末）已知双曲线C*-a=l（a>0,b>0）的左顶点为4,

过4的直线/与C的右支交于点B,若线段4B的中点在圆。:/+y2=a2±,且QB|=夕|0川，则双曲线C的

离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

【变式5-1]2.（2021上•陕西渭南•高二统考期末）已知双曲线C:/一3=1。>0）的左、右焦点分别

为乙、，过心的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段F?N的中点，且N&1NF2,

则双曲线C的离心率为（）

A.V3B.2V3C.2D.4

22

【变式5-1]3.（2023下•浙江•高二校联考期末）双曲线京一琶=1,（a>0,b>0）右焦点为F，离心率为e,

PO=kFO,（fc>1）,以P为圆心，|PF|长为半径的圆与双曲线有公共点，则k-8e最小值为（）

A.-9B.-7C.-5D.-3

22

【变式5-1]4.（多选）（2023下•浙江•高二校联考期末）已知6（—c,0）,F2（C,0）（00）是椭圆&竟+?=

22

Ka1>瓦>0）与双曲线=l（a2>0,b2>0）共同的焦点，0,02分别为Q,。2的离心率，点M是

它们的一个交点，则以下判断正确的有（）

A.△F1MF2面积为瓦匕2

B.若NF1MF2=9，则e】e（sin1,l）

C.若N&MF2=y,则0送2的取值范围为J?,+8）

D.若N&MF2=y,则督+瞭勺取值范围为（2,+8）

【变式5-1]5.（2022上•上海闵行•高二上海市七宝中学校考期末）如图,&、尸2是椭圆G与双曲线Q的

公共焦点，4B分别是G、。2在第二、四象限的交点，若乙4F*=y,则6与C2的离心率之积的最小值

为

22

【变式5-1】6.（2021下•四川成都・高二石室中学校考期中）设Fi无分别为椭圆J京+金=1@＞加＞0）

22

与双曲线C2:号-金=13＞近＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M,ZF1MF2=90°,若椭圆的离心

a2b2一

率ei,则双曲线C2的离心率e2的取值范围为

题型6双曲线的弦长

【例题6］（多选）（2023上•山西太原•高二统考期末）已知双曲线C：/-?=1,6,尸2为双曲线的左、右

焦点，若直线1过点尸2,且与双曲线的右支交于MN两点，下列说法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为百

B.若珀勺斜率为2,则MN的中点为（8,12）

C.AMN&周长的最小值为10

D.AMNF］周长的最小值为16

【变式6-1】1.（多选）（2022上福建南平•高二统考期末）在平面直角坐标系xoy中，动点P与两个定点

M（-2,0）、N（2,0）连线的斜率之积等于:，记点P的轨迹为曲线E,直线「y=M久-近）与E交于力，B两点，

则下列说法正确的是（）

A.E的方程为：?—y2=力±2）B.E的离心率为日

2

C.E的渐近线与圆（%-近）+y2=i相交D.满足I力B1=4的直线哨3条

【变式6-1】2.（多选）（2022下•江苏南京•高二统考期末）已知双曲线C:2-£=1的一条渐近线方程

L—/C

为4x-3y=0,过点（5,0）作直线Z交该双曲线于2和B两点，则下列结论中正确的有（）

A.该双曲线的焦点在哪个轴不能确定

B.该双曲线的离心率为?

C.若4和B在双曲线的同一支上，则2苧

D.若4和B分别在双曲线的两支上，则[48|28

【变式6-1]3.(2023上•辽宁沈阳•高二沈阳二十中校联考期末)已知双曲线-g=Ka,b>0)经过点

M(2,3),它的左焦点为&,且a到其渐近线的距离是次.

⑴求C的方程；

(2)过点M的直线/交C左支于一点N,且/的斜率是J求|MN|长.

【变式6-1】4.(2023上•河北邢台高二统考期末)已知为(-1,0)，42(1，0)，动点PQ,y)满足直线P4与P/

的斜率之积为3.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过原点O作直线I,直线I被曲线C截得的弦长为|48|,将直线I向左、右分别平移2个单位长度得到直

线人,,且直线%被曲线截得的弦长分别为|印，证明：2

124,C|MN|,|EF|+\MN\=\AB\.

【变式6-1]5.(2023上•浙江宁波•高二期末)已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为y=±2x,

(1)求双曲线C的离心率e

(2)若直线y=x+2与C相交于不同的两点A,B,且|4B|=字,求双曲线C的方程.

题型7双曲线的中点弦

【例题7](2022上•内蒙古包头•高二统考期末)已知点A,B在双曲线/-*=3上，线段AB的中点为

”(1,2),则|力例=()

A.2V5B.4V5C.2V10D.4V10

【变式7-1]1.(2023下•陕西榆林•高二统考期末)已知4B为双曲线/一9=1上两点，且线段4B的中

点坐标为(-1,-4),则直线48的斜率为()

2

【变式7-1]2.（2023•全国统考高考真题）设A,B为双曲线/—白=1上两点，下列四个点中，可为线

段AB中点的是（）

A.（1,1）B.（—1,2）C,（1,3）D.（—1,—4）

2

【变式7-1]3.（2023上•山东烟台•高二统考期末）已知直线1过双曲线C:%2-^=1的左焦点F,且与C的

左、右两支分别交于4B两点，设。为坐标原点，P为4B的中点，若A。尸P是以FP为底边的等腰三角形，则

直线珀勺斜率为（）

A_+VwVI3V15

-2—2—3—5

22_

【变式7-1J4.（2023•全国模拟预测）已知双曲线C：2-^=l（a>0,b>0）的实轴长为4，离心率为鱼，

直线1与C交于4B两点,M是线段AB的中点,0为坐标原点若点M的横坐标为1厕|。如的取值范围为

【变式7-1]5.（2023上•浙江宁波•高二统考期末）设椭圆?+^=l（a>b>0）的左焦点为F,下顶点为

A,若存在直线1与椭圆交于B,C两点，目448c的重心为F,则直线8c斜率的取值范围为.

【变式7-1]6.（2023上•内蒙古包头•高二统考期末）如图1、2,已知圆4方程为（久+2）2+*=12,点

（1）求点N的轨迹方程；

（2）记点N的轨迹为曲线「，过点P（|,|）是否存在一条直线/，使得直线]与曲线「交于两点C、D，且P是线段CD

中占

I八、、•

丫2

【答案】（l9—y2=i

（2）不存在这样的直线]

【变式7-1]7.（2022上•福建泉州•高二统考期末）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角

形叫做阿基米德三角形.在一次以"圆锥曲线的阿基米德三角形"为主题的数学探究活动中，甲同学以如图

示的抛物线C：y2=2Px（p>0）的阿基米德三角形P4B为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，贝！J：①

点P在定直线上；②PF1AB；③PA1PB.已知WAB为等轴双曲线「：%2-/=A（2>0）的阿基米德三

（1）试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）

（2）若4=2,弦AB的中点为Q,\AB\\FP\=3\FQ\,求点P的坐标.

27

（注：双曲线器-琶=1的以。0,%）为切点的切线方程为簧-矍=L）

题型8焦三角问题

【例题8]（2023下•广东广州•高二校联考期末）已知双曲线C：/-1=1的左、右焦点分别为国,,设

点P为C右支上一点，2点到直线x=扣勺距离为d,过Fz的直线1与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正

确的是（）

A.d+|P&|的最小值为2B,^=V8

C.直线/的斜率的取值范围是（百,+8）D.APF/2的内切圆圆心到y轴的距离为1

22

【变式8-1]1.（2023下•广西河池•高二统考期末）已知双曲线C:标-琶=l（a>0,6>0）的左、右焦点分

别是&尸2，焦距为2c,以线段为直径的圆在第一象限交双曲线C于点4sin4F#2=空，则双曲线C的

4

渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=+V3x

C.y=±2%D.y=±V2x

【变式8-1]2.（2023上•安徽滁州•高二校考期末）已知双曲线《-y2=i（a>0）的左、右焦点分别为&,

F2,离心率为子,P为双曲线右支上一点，且满足IPF/2_出尸2『=4V15，则△PF1F2的周长为.

【变式8-1】3.（2023下•四川遂宁•高二统考期末）设双曲线?=1的左、右焦点分别为B，&,P为

双曲线右支上一点，且IP&I=3|PF2|,贝LU&PF2的大小为

【变式8-1]4.（2023上•安徽宣城•高三统考期末）已知双曲线C：白-5=l（a>0,b>0）的左，右焦点

分别为&、F2，过点&作倾斜角为。的直线।交双曲线C的右支于A,B两点，其中点A在第一象限者|4B|=

IXFJ,且双曲线C的离心率为|,贝Ucos。=

【变式8-1]5.（2022上•山西朔州•高二校考期末）已知双曲线m-2=l（a>0,b>0）的虚轴长为2,离

心率为三，&典为双曲线的两个焦点，若双曲线上有一点P,满足“止?2=60°J!]A&PF2的面积为.

22

【变式8-1]6.（多选）（2022上•广东珠海•高二珠海市第一中学校考期末）已知双曲线r曝-竟=l（a>

0,b>0），左焦点为尸，左右顶点分别为&、A2,B（0,6）,P是「右支上一动点,S.\PF\+|PB|的最小值为（百+

2）a,P关于%轴的对称点为Q,则下列结论正确的是（）

A.r的离心率为28.PA21ArQ

C.sinNQPA】=sm^QA^D.41PBi>V6\PQ\

2

【变式8-1】7.（多选）（2023下•安徽阜阳•高二统考期末）已知双曲线C：^-y2=l（a>0）的左、右焦点

分别是&尸2，P为双曲线C右支上的动点，l&Fzl=4,则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的离心率6=警

B.双曲线C与双曲线1-久2=1共渐近线

C.若点P的横坐标为3,则直线P6的斜率与直线Pa的斜率之积为|

D.若N&PB=与，则4PF/2的内切圆半径为W

题型9和差最值问题

22

【例题上福建福州高二校联考期末)已知，双曲线彳-^=的左、右焦点分别为,F,

9](2022••4(0,4)45102

点P是双曲线左支上一点，则IP川+仍尸2|的最小值为()

A.5B.7C.9D.11

【变式9-1]1.(2023上•湖北黄冈•高二统考期末)已知P是双曲线?-g=l(a>0,h>0)右支上一点,

记P到双曲线左焦点&的距离为刈，P到双曲线一条渐近线的距离为dz,若刈+d2的最小值等于双曲线的焦

距长，则双曲线的渐近线方程为()

A.y=±1xB.y=±^xC.y=±|xD.y=±|x

222

【变式9-1]2.(2022下•安徽滁州•高二统考期末)已知双曲线C：京一a=l(a>0,6>0)与双曲线器-

%2=1有相同的渐近线，过双曲线C右焦点F的直线1与双曲线C相交于M,N两点，弦MN的中点为G(6,6),

点P是双曲线C右支上的动点，点4是以点尸为圆心，1为半径的圆上的动点，点B是圆/+于一6y+5=0上

的动点，贝LIIP川+|PB|的最小值为()

A.5B.4C.3D.2

【变式9-1】3.(2022上•河南洛阳•高二统考期末)在平面直角坐标系中，已知点力(-2,0),B(2,0),C(2,2),

D(3,0),直线AP,BP相交于点P,且它们斜率之积是;•当|P4|<|P8|时,\PD\+|PC|的最小值为()

A.V29+4B.V29-4C.V5+4D.V5

【变式9-1]4.(2022上•河南南阳•高二校联考阶段练习)已知双曲线方程为5-5=1(爪>0),焦距为

8,左、右焦点分别为&，F2，点A的坐标为(1,2),P为双曲线右支上一动点，则|PFil+|P*的最小值

为

22

【变式9-1]5.(2022上•广东珠海•高二统考期末)已知双曲线C-三=1,&,尸2是其左右焦点.圆E:

x2+y2-4y+3=0,点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则|PQ|+|P&|的最小值

是

【变式9-1]6.（多选）（2022上•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考阶段练习）已知点，点P是双

22

曲线C：篙-套=1左支上的动点，F2为其右焦点，N是圆D：（久+5）2+*=1的动点，直线。P交双曲线

右支于Q（O为坐标原点），则（）

A.IPF2I28B.过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条

C.|PM|-|PN|的最小值为5-2有D.若^OPF2的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为日

22

【变式9-1】7.（多选）（2022上河北沧州高二任丘市第一中学校考期末）已知点P为双曲线卷-±=1右

••yio

支上一点，4B分别为圆Q：及+5/+必=4、C2：（%-5）2+y2m1上的动点,则闷|-|PB|的值可能

为（）

A.2B.6C.9D.12

题型10直线与双曲线位置关系

【例题10]（2021上•浙江杭州•高二统考期末）已知实数x,y满足到幻+孥=1，则|百万+y-4|的取值

范围是（）

A.[4-V6,2）B.[4-V6,4）C.（2-y,2）D.[2-y,4）

22

【变式10-1J1.（2023下河南洛阳•高二统考期末）已知双曲线标-色=1（a>0力>0）的离心率e=2,

4B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上异于4B的动点，直线P4PB的斜率分别为七，k2,

若1W自W2,则B的取值范围是（）

A.卜3,_|]B.[I，3]C.[―4,—2]D.[2,4]

【变式10-1】2.（2023上•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考期末）已知a尸2分别为双曲线C：[-1=1

41Z

的左、右焦点，E为双曲线C的右顶点.过尸2的直线与双曲线C的右支交于4B两点（其中点A在第一象限），

设MN分别为△4尸/2,△BF/2的内心，则|ME|+|NE|的取值范围是（）

A.S-竽）u（竽收）B.（一竽，争

C14，W）D.（-W，0）U（。爷

【变式10-1】3.（2022上•四川泸州•高二统考期末）关于曲线C:久田+y|y|=1有如下四个命题：

①曲线C经过第一、二、四象限；

②曲线C与坐标轴围成的面积为£；

③直线%+y=ni与曲线C最多有两个公共点；

④直线x-y=爪与曲线C有且仅有一个公共点.

其中所有真命题的序号是（填上所有正确命题的序号）.

【变式10-1】4.（多选）（2023下•江苏南通•高二期末）双曲线/=1的离心率为e,若过点（2,2）能

作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（）.

A.—B.V2C.-D.2

42

【变式10-1】5.（多选）（2023上浙江绍兴•高二统考期末）已知双曲线-《=l（a>0,b>0）与椭

圆「+?=1的焦点相同，双曲线£的左右焦点分别为尻、尸2，过点尸2的直线与双曲线E的右支交于P、Q两点，

P6与y轴相交于点4,AP4F2的内切圆与边如2相切于点8若|A8|=1，则下列说法正确的有（）

A.双曲线E的渐近线方程为y=±V3x

B.过点（1,1）存在两条直线与双曲线E有且仅有一个交点

C.点P在变化过程中，面积的取值范围是（譬，4遍）

D.若P01PF2,贝必P4F2的内切圆面积为

【变式10-1】6.（2023上河北•高三校联考期末）已知双曲线C