2025年中考数学二轮复习：命题与证明 压轴填空题练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：命题与证明压轴填空题练习题

—.填空题（共25小题）

1.如图，一块含30°的三角板。和直尺A8HG拼合在同一平面上，边在射线GA上，DF=AB=

4旧cm.点P从点A出发沿A8方向滑动时，点。同时在射线GA上滑动.当点歹从点A滑动到点8

时,△AOF面积的最大值_________cm2；连结AE,BE,则XABE外接圆的圆心运动的路径长_______cm

Hi~iB

-E

GA（F）D

2.如图，已知平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为（3,3）,点。的坐标是（6,0）,点8是x轴上一

动点，过点A作ACLAB,垂足为A,且.当点5从坐标原点。起沿％轴向右运动到终点。

时，点C运动的路径的长度是__________________

y木

0BDX

3.如图，在边长为3旧的菱形A8C。中，ZC=60°,点、E,E分别是AB,AO上的动点，且

DE与BF交于点、P,当点E从点A运动到点B时，则点尸的运动路径长为_________.

C<^BA

D

4.如图，AB为。。的直径，且43=8,点C在半圆上，OCLAB,垂足为点O,尸是就上任意一点，过

P点作PELOC于点E,M是的内心，连接0M、,PM,当点尸在弧BC上从点B运动到点C时，

求内心M所经过的路径长

5.如图，正△ABC中，AB=2,ADIBC^D,P,。分别是AB,8C上的动点，且PQ=A。，点M在尸。

的右上方且PM=QM,NM=120°,当尸从点A运动到点B时,M运动的路径长为

6.如图，在矩形A8CD中，AB=V3,AD=1,E是线段。C上的一动点，连接AE,点K在线段AE上且

满足条件4炉=47~4£,则当点E从点。运动到点C时，点K移动的路程为.

7.如图，已知有一张正方形纸片ABC。，边长为9。加，点E,尸分别在边CDA3上，CE=2cm.现将四

边形8CEF沿跖折叠，使点8,C分别落在点斤，C,上当点8恰好落在边上时，线段8尸的长为

cm-,在点F从点B运动到点A的过程中，若边F8与边AD交于点G,则点G相应运动的路径长为

8.如图，在△ABC中，ZABC=90°,AB=16；BD=3CD,E是边AC上的一个动点（可与A、C重合）,

ACDE

连接OE,在DE右侧作。尸，。区且——=—=2,连接ER点M为后方的中点，则当点E从A运动

BCDF

到C的过程中，点M所走过的路径长为

B

12

9.如图，抛物线一x-*的图象与坐标轴交于A、B、D,顶点为E,以为直径画半圆交y轴的

正半轴于点C,圆心为尸是半圆A8上的一动点，连接EP,N是PE的中点，当尸沿半圆从点A运

动至点B时，点N运动的路径长是.

10.如图，在△ABC中，ZB=90°,ZBAC=60°,AB=1,若点E为8c上一动点，以AE为边在AE

右侧作等边连接CF,G为线段CF中点.若点E从点8出发，沿着BC方向运动到点C,则在

此过程中，点G运动的路径长为.

11.2020年中考在即，为了同学们更好地适应中考，重庆某中学初2020级举行了最后一次模拟适应性考

试.几周前Z、卬、人L四名老师接到本次模拟考试某学科的命题任务.该学科试卷总的试题数大于

20且不超过30.Z老师与J老师命题的数目之和乘以Z老师与L老师的命题数目之和其结果为132.W

老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与L老师的命题数目之和其结果为210.已知W老师与J老

师命题的数目之和为偶数.Z老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与J老师的命题数目之和其结果

为.

12.如图，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,A8=6,点。，E分别在边AB,AC上，AD=2,AE

=2近，点/从点Z）出发沿向点B运动，运动到点B结束，以为斜边作等腰直角三角形EBP

（点E,F,P按顺时针排列），在点尸运动过程中点P经过的路径长为.

B

13.如图，。。的半径为2,弦A8的长为2百，点C是优弧A8上的一动点，8OLBC交直线AC于点

当点C从AABC面积最大时运动到8c最长时，点D所经过的路径长为.

14.在平面直角坐标系中，。为原点，点A(-2,0),点G(0,2),点E,点尸分别为。4,0G的中点.若

正方形OE。/绕点O顺时针旋转，得正方形OED尸，直线AE与直线GP相交于点P,当E'第一次落

在x轴上时，则点P走过的路径长为.

15.如图，在等腰直角△ABC中，ZB=90°,D,£分别为BC、上的点，AB=1W,BE=V3,BD=

2次，点尸从点E出发沿BA方向运动，连接PD,以PD为边,在PD右侧按如图方式作等腰直角

当点尸从点E运动到点A时，点f运动的路径长是.

A

\

BDC

16.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,点B在x轴上从（-3,0）运动到（3,0）.将线段

绕点2顺时针旋转90°至线段过点M作及加〃》轴，点N在M的下方，且MN=B。，则B在

x轴上从（-3,0）运动到（3,0）的过程中，点N运动的路径长为.

17.在矩形ABC。中，已知AB=4,BC=3,矩形在直线/上绕其右下角的顶点2向右旋转90°至图①位

置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90。至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点

A在整个旋转过程中所经过的路程之和是.

18.如图，线段长为6c〃z,点C是线段AB上一动点（不与A,B重合），分别以AC和BC为斜边，在

A8的同侧作等腰直角三角形△AOC,△CEB,点尸是。后的中点，当点C从距离A点1c优处沿A8向

右运动至距离B点1cm处时，点尸运动的路径长是cm.

19.A,B,C,D,E五省统计学家奔赴地震灾区进行灾情统计，每省派2人.到达时要进行介绍，10人

中互相认识的握一下手，且本省的2人没有握手，也没有人和同一人握两次手.介绍结束后，A省统计

学家Ai分别问其他9人：“你今天握了几次手”使他惊讶的是9人握手次数各不相同.问Ai自己握手

次数是次.

20.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物,

不同的种植方法共有种.

21.甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变(忽略掉头等时间).其中甲车从A城开出，乙车从

8城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇.当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里

的某处第二次相遇，并且后来再在距8城36公里处第三次相遇.那么第二次相遇时，两车距离B城

公里.

22.“并字横”想必大家都应该玩过，两名玩家在3X3的横盘上轮流落子，先将自己的3枚棋子连成一线

的玩家获胜，在棋盘摆放确定之后，一共有8种可能的胜利方法，如图：

考虑两名玩家在4义4义4的立方体上轮流落子的“立体并字俱”，先将自己4枚棋子连成一线的玩家获

胜，那么在立方体摆放确定之后，“立体并字填”一共有种胜利方法.

23.如图，A,B在坐标轴的正半轴上移动，且42=10,反比例函数(尤＞0)的图象与有唯一公

共点P,点M在x轴上，△(?尸M为直角三角形，当点〃从点(5V2,0)移动到点(10,0)时，动点

P所经过的路程为.

24.如图，的直径A8与弦C。互相垂直，垂足为点E,AB=4,CD=243,动点P从8出发，沿劣

弧BD运动到点D,AFLCP于点F,则线段的中点M所经过的路径长为

1

25.如图，已知在△ABC中，ZC=90°,AC=4,点。从点A出发沿AC以每秒1个单位的速度向点C

运动，连接过点A作于点E,当运动10秒时，ZABD=45°,则当点。从A出发运动

10秒时，点E经过的路径长是.

参考答案与试题解析

填空题（共25小题）

1.如图，一块含30°的三角板DEF和直尺48HG拼合在同一平面上，边在射线GA上，DF=AB=

4百cm.点尸从点A出发沿A8方向滑动时，点。同时在射线GA上滑动.当点/从点A滑动到点8

时，厂面积的最大值12cm2：连结AE,BE,则△ABE外接圆的圆心运动的路径长2cm.

Hi~

GA(F)

【考点】轨迹；勾股定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能

力.

【答案】12,2.

【分析】（1）作于H,取。E的中点。，连接。4,可得出进一步得出结果；

（2）由/衣4。+/8所=180°得出点2、D、E、尸共圆，从而/DAE=/DFE=30°,从而得出点E

在与AD成30°的直线上运动，设△A2E的外接圆的圆心为/,则/是AB和AE的垂直平分线的交点,

当点尸在点处，点/在A3的中点，当点P在A2中点处时，客人得出△ABE是等边三角形，从而得出

/G的长，进而得出结果.

【解答】解:如图b

Hi~

作于H,取DE的中点。连接。4,

AZAHD=90°,

：.AH^OA,（当点H和点。重合时，AO=OA,此时AE=A。）

9：ZBAD=90°,

I

0A=*E=2Wcm,

:・AHW2同

1i

，SAAOF最大=2。尸,AH=2x4V3x2V3=12cm~,

图2

ZBAD+ZBEF^180°,

.•.点8、D、E、F共圆，

:./DAE=/DFE=30°,

...点E在与A。成30°的直线上运动，

设AABE的外接圆的圆心为/,则/是AB和AE的垂直平分线的交点,

因为A8是定线段，所以点/运动路线是一条线段，

如图3,

GH是A8的垂直平分线，此时/在店G处（即A8的中点处）

如图4,

当点F在的中点G处时，止匕时8E=AE,

VZBA£=60°,

.,.△ABE是等边三角形，

1

/ABI=专乙BAE=30°,

.../G=GG・tan30°=2®x堂=2cm,

故答案为：12,2.

【点评】本题考查了确定圆的条件，解直角三角形，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知

识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.

2.如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,3),点。的坐标是(6,0),点8是x轴上一

动点，过点A作AC_LAB,垂足为A,且AC・A8=6.当点8从坐标原点。起沿x轴向右运动到终点。

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；图形的相似；

运算能力；推理能力.

【答案】TT.

【分析】作于H,作AG_Ly轴于G,在AG上截取AF=2,设AC的延长线交y轴于E,可证

得△">£1义△AO2,从而AE^AB,从而AC-AB^AC'AE^6,进而证得△ACFMAGE,从而NACF

=NAGE=90°,进一步得出结果.

【解答】解：如图，

作于”，作AG_Ly轴于G,在AG上截取AF=2,设AC的延长线交y轴于E,

VA(3,3),D(6,0),

：.AH=OH=DH=3,

J.OA=AD,ZDAO=90°,ZAOD^ZADO^45°,

AZAOE=ZADO=45°,

\'AC±AB,

：.ZBAC=ZDAO,

：.ZCAO=ZBAD,

；.AAOE也八ADB(ASA),

：.AE=AB,

：.AC'AB=AC'AE=6,

'：AF'AG^6,ZCAF^ZEAG,

：.△ACFs△AGE,

?.ZACF=ZAGE=90°,

当点B从坐标原点。起沿尤轴向右运动到终点。时，点C运动的路线是半圆,

\"AF=2,

半圆WV的长是TT,

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，弧长公式等

知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

3.如图，在边长为3百的菱形ABCD中，/C=60°,点E,E分别是AB,AO上的动点，S.AE=DF,

DE与BF交于点P,当点E从点A运动到点B时，则点尸的运动路径长为2TT.

【考点】轨迹；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质.

【专题】推理填空题；动点型；图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】2n.

【分析】】如图，作△C8O的外接圆。0,连接03,OD.利用全等三角形的性质证明NOP8=120°,

推出'C,D,尸四点共圆，利用弧长公式计算即可.

【解答】解：如图，作△CB。的外接圆。。连接。5,0D,

・・•四边形A3C。是菱形，

AZA=ZC=60°,AB=BC=CD=AD,

AAABD,△BCD都是等边三角形，

：.BD=AD,NBDF=NDAE,

在△3。厂和△ZME中，

BD=AD

Z-BDF=/-DAE,

DF=AE

：./\BDF^ADAE(SAS),

・•・ZDBF=NADE,

VZADE+ZBDE=60°,

ZDBF+ZBDP=60°,

：.ZBPD=120o,

VZC=60°,

.•.ZC+Zr)PB=180°,

：.B,C,D,尸四点共圆，

,;BC=CD=BD=3®

：.OB=OD=3,

'：ZBOD=2ZC=120°,

/.点P的运动的路径的长=12鬻3=2.

loU1T

故答案为2n.

【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找全

等三角形解决问题，属于中考常考题型.

4.如图，A8为。。的直径，且AB=8,点C在半圆上，0CLAB,垂足为点0,尸是就上任意一点，过

尸点作PELOC于点E,M是的内心，连接。M、PM,当点尸在弧BC上从点8运动到点C时,

【考点】轨迹；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心.

【专题】推理填空题；动点型；运算能力；推理能力.

【答案】V2it.

【分析】首先证明/。0。=/尸加。=135°,推出当点尸在弧BC上从点2运动到点C时，点M在以

0c为弦，并且所对的圆周角为45。的劣弧上(丽)，利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：:△OPE的内心为

ZMOP=ZMOC,ZMPO=NMPE,

；./PMO=180°-ZMP0-180°CZEOP+ZOPE),

'：PE.LOC,即/PE。=90°,

ii

：.ZPMO=1SO°-j(NEOP+NOPE)=180°(180°-90°)=135°,

：OP=OC,OM^OM,

而NMOP=NMOC,

MOPM以OCM,

：.ZCMO=ZPMO=135°,

所以当点尸在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦,

并且所对的圆周角为45°的劣弧上(丽)，

点M在扇形30C内时，

过C、M、。三点作。。，连O'C,O'O,

在优弧CO取点。，连OC,DO,

u：ZCMO=135°,

：.ZCDO=1SO°-135°=45°,

：.ZCOr0=90°,而。4=OC=*A5=4,

：.O'O=*OC=2/,

/.弧OMC的长=9噫乎=V2TT,

故答案为：V2TT.

【点评】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆

的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

5.如图，正△ABC中，AB=2,AD±BC^D,P,Q分别是A3,BC上的动点，且PQ=A。，点M在尸°

的右上方且ZM=120°,当尸从点A运动到点8时，M运动的路径长为3.

【考点】轨迹；等边三角形的性质.

【专题】动点型；图形的全等；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图1中，作ME_LAB于E,于尸，连接8M.首先证明平分/ABC,推出点M

的在射线BM上运动，求出BM的最大值和最小值，根据点M的运动路径G-求解即可.

【解答】解：如图1中，作MELAB于E,MFLBC于F,连接BM.

图1

VAABC是等边三角形,

ZABC=60°,

•：NMEB=NMFB=90°,

AZEMF=ZPMQ=120°,

：.ZPME=ZQMFf

9：MP=MQ,

：.AMEP^AMFQ(A4S),

：.ME=MF,

平分NA5C,

・・・点M的在射线BM上运动.

如图2中，由题意，当尸。〃AC时，3M的值最大，最大值BM=段不=3=2,

CUS3UCUSDUV□

T

工ZD叵

当P1Q落在8C上时，得到8Ml的值最小，最小值8Ml=；^而=磊=1,

T

图2

设交AC于G,

点M的运动路径是G-M-Mi

点M的运动路径的长=加6+政0=2知-BG+BM-BMi=2—W+2-1=3一百.

故答案为：3—V3.

【点评】本题考查轨迹，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点"的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

6.如图，在矩形ABC。中，AB=V3,AD=1,£是线段。C上的一动点，连接AE,点K在线段AE■上且

1

满足条件AQ2=AK・AE,则当点E从点。运动到点。时，点K移动的路程为一兀.

-3-

DEC

【考点】轨迹；相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推

理能力.

【答案】，

【分析】连接AC,可得出/ZMC=60°,可证得从而得出/人陋＞=90°,从而得出

点K的运动轨迹，进一步得出结果.

•.•四边形ABCD是矩形，

AZA£)C=90°,CD=AB=V3,

rri

*

..tanZJDAC=Jg=V3,

：.ZDAC=60°,

•・・A£>2=AK・AE，

.ADAE

••—,

AKAD

•IZDAK=/EAD,

：.AAKD^AADE,

：.ZAKD=ZADC=90°,

・•・点K在以A。为直径的麻'上运动，K移动的路程是麻'的长,

*：AK'=Ak',

：.ZDOK'=2ZDAC=12Q°,

.120TTX|i

,•IAKr=-J8Q-=W兀，

1

故答案为：-7T.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，确定圆的条件，弧长公式等知识，

解决问题的关键是由“定弦对定角”确定点K的运动轨迹.

7.如图，已知有一张正方形纸片ABCD,边长为9。〃，点E,尸分别在边CD,4B上，CE=2cm.现将四

边形BCEF沿EF折叠,使点C分别落在点夕，C,上当点9恰好落在边AO上时，线段的长为

5cm；在点尸从点8运动到点A的过程中，若边与边AO交于点G,则点G相应运动的路径长为

【考点】轨迹；翻折变换（折叠问题）；正方形的性质.

【专题】压轴题；动点型；转化思想；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力；应用意识.

【答案】5cm,15-8V2.

【分析】连接BE、B'E,由翻折性质得：BE=B'E,BF=B'F,在△BEC与△BOE中，由勾股定理得8/

=5cm；连接EG,并作G关于EF的对称点G,连接EG,由对称性知，GE=GE,由点到直线垂线段

最短知EG最小值为9,从而DG最小值为29?—7?=4位,AG最大值为9—4/，再由于9恰好

落在边上G、8重合时，AG=AB'=3,故G点在上先向上再向下运动，即可得相应运动的路径

长为9-4V2-3+9-4V2=15-8V2.

【解答】解：①当点8恰好落在边上时，

由翻折性质得：BE=B，E,BF=B'F,

在△8EC与△87JE中，由勾股定理得：BE2=CE2+BC2=DE^+B'D2,

,:BC=9cm,CE=2cm,DE=lcm,

：・DB'=6cm,AB'=3cm,

设5/=工0机，则3户=不(?加，AF=(9-x)cm,

,1222

\BA+AF=B'Ff

32+(9-x)2=x2,

解得：％=5,

BF=5cm；

②如图，连接EG,并作G关于所的对称点G,连接EG,

由对称性知，GE=GE,

过点E作EH±AB于H,

:点到直线垂线段最短，

.,.EG最小值为9=9,

,:/B=NC=NEHB=90°,

四边形EM3C为矩形，

:.EH=BC=9,

EG最小值为9,

；DG2=EG2-ED2,

：.DG最小值为，92-72=4V2,

：.AG最大值为9-4V2,

由①知，点8’恰好落在边上G、月重合时，止匕时AG=A8=3,

点G相应运动的路径长为9-4V2—3+9—4/=15-8V2.

故答案为：5cm,15-8V2.

【点评】本题主要考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理知识，点到直线垂线段最短，解题的关键是

作G关于EF的对称点G,连接EG,将GE转化为GE.

8.如图，在△A8C中，ZABC=90°,A8=16；BD=3CD,E是边AC上的一个动点（可与A、C重合）,

连接小在OE右侧作。口服且而=而=2,连接防点M为跖的中点，则当点E从A运动

32

到C的过程中，点M所走过的路径长为

B

【考点】轨迹；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质.

【专题】动点型；解直角三角形及其应用；推理能力.

32

【答案】y.

【分析】首先证明点M在。的垂直平分线上运动，如图2中，当点£与A重合时，过点M作必

BC于H.再求出落在特殊情形，的长即可解决问题.

【解答】解：过点。作。N〃AB交AC于N,连接CRDN,CM,DM.

9：ZEDF=ZNDC=90°,

：.ZEDN=ZFDC,

:AEDNs/\DFC,

ENDE

：・/DEN=NDFC,

CF~DF

：.ZEDF=ZECF=90°,

丁点M是所的中点,

:.EM=FM,

•：NEDF=NECF=90°,

DM=CM=EM=FM,

：.点M在线段CD的垂直平分线上运动,

如图2中，当点E与A重合时，过点M作⑼/_L5C于〃.

.1673

•*BC-，

：.AC=2BC=

■:BD=3CD,

3r-4A/3

：.BD=^BC=4V3,CZ)=苧，

43

:.DN=4,NC=2CO=零，

：.AN=AC-NC=-竽=8V3,

：.CF=S,

在RtZkACF中，ZACF=9Q°,

：.AF=VXC2+CF2=J(咚％+£=缉Z,

4J57

CM=AM=FM=

•：DM=CM,MHLCD,

:.CH=DH=1,

22

：.MH=yJCM-CH=J售勺_（竽）2=10,

rn4

如图3中，当点E与。重合时，DF=^=

12

：.MH=^DF=j,

・・・当点E从A运动到C的过程中，点M的运动的路径的长=10+f=^.

32

故答案为：—.

【点评】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

9.如图，抛物线y=一无一?的图象与坐标轴交于A、B、D,顶点为E,以为直径画半圆交y轴的

正半轴于点C,圆心为M,P是半圆AB上的一动点，连接EP,N是PE的中点，当尸沿半圆从点A运

动至点B时，点N运动的路径长是n.

【考点】轨迹；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点.

【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先证明点£在OM上，利用垂径定理证明推出点N的运动轨迹是以为直径

的半圆，由此可得结论.

【解答】解：连接EM,MN.

：.E(1,-2),

由题意A(-1,0),B(3,0),

：.M(2,0),

轴.EM=MA=MB=2,

...点E在0M上，

,:EN=NP,

：.MN±EP,

:./MNE=90°,

点N的运动轨迹是以EM为直径的半圆,

点N运动的路径长=1X2TT1=TT,

故答案为死

【点评】本题考查轨迹，圆，垂径定理，二次函数等知识，解题的关键是发现点E在上，属于中

考填空题中的压轴题.

10.如图，在△ABC中，ZB=90°,ZBAC=60°,AB=1,若点E为3C上一动点，以AE为边在AE

右侧作等边△AER连接CRG为线段CB中点.若点£从点B出发，沿着BC方向运动到点C,则在

此过程中，点G运动的路径长为—.

-2-

G

【考点】轨迹；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.

【专题】推理填空题；动点型；运算能力；推理能力.

【答案】y.

【分析】延长AB至点。，使连接。E,证明△AOE空△ACF可得CF=DE,所以

AF=CF,得点尸在AC的垂直平分线上，作F7/LAC于点H,G/LAC于点/，点G的运动路线为射线

IG,当点E运动到点C时，停止运动，根据含30度角的直角三角形即可求出结果.

【解答】解：如图，延长至点。，使BD=AB,连接DE,

则AD=2AB=AC,AE=DE,

,.,Zl=600-ZCAE=Z2,AE=AF,

在△AOE和△ACE中，

AD=AC

=N2,

.AE=AF

：.AADE^/\ACF(SAS),

J.AF^AE,CF=DE,

：.AF=CF,

点尸在AC的垂直平分线上.

作FHLAC于点H,GILAC于点I,

1

则G/=^H,GI//FH,

，点G的运动路线为射线IG,

当点£运动到点C时，停止运动，如图,

B

在图2中，AF=AE=AC=2AB=2,

：.FH=V3,G/=*

V3

...点G的运动路径长为万.

V3

故答案为：—.

【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，

解决本题的关键是综合运用以上知识.

11.2020年中考在即，为了同学们更好地适应中考，重庆某中学初2020级举行了最后一次模拟适应性考

试.几周前Z、W、人L四名老师接到本次模拟考试某学科的命题任务.该学科试卷总的试题数大于

20且不超过30.Z老师与J老师命题的数目之和乘以Z老师与L老师的命题数目之和其结果为132.W

老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与L老师的命题数目之和其结果为210.已知W老师与J老

师命题的数目之和为偶数.Z老师与J老师命题的数目之和乘以W老师与J老师的命题数目之和其结果

为154.

【考点】推理与论证.

【专题】推理填空题；数感；推理能力.

【答案】154.

【分析】根据题意，可以得到这样三个关系式：①20<Z+W+J+LW30,②(Z+J)(Z+L)=132,③(W+J)

(W+E)=210,分别对132和210进行因数分解，结合整体范围，可以得到W+J=14或10,进行分类

讨论即可.

【解答】解：分别以Z,W,J,L表示四位老师命题数量，

根据题意，可以得到以下关系式：

①20<Z+W+J+LW30,

②(Z+J)(Z+L)=132,

(3)(W+J)(W+L)=210,

•.•试题总数不超过30,

，②中132可以拆成11X12或者22X6,

又为偶数，

③中210可以拆成10X21或者14X15,

则W+J=14或者w+J=10,

对W+J的值进行分类讨论：

第一种情况：

若W+J—10,

则W+L=21,

则L-J=ll,

若每个老师都命题，则

L=ll+412,

同理Z21,

则Z+LN13,

则Z+L=22,

此时则有W+J=10,

W+L=21,

Z+L=22,

Z+/=6,

此时无解，

所以只能满足：W+J=14,

则W+L=15,

Z+J=l\,

z+L=n,

则所求(Z+J)(W+J)=11X14=154.

故答案为：154.

【点评】本题主要考查了学生的推理能力，数的因式分解，尤其是面对四个未知数时，对题目进行分类

讨论是解题的关键.

12.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,AB=6,点。，E分别在边AB,AC上，AD=2,AE

=2鱼，点F从点D出发沿DB向点2运动，运动到点B结束，以EF为斜边作等腰直角三角形EFP

（点E,F,尸按顺时针排列），在点歹运动过程中点P经过的路径长为，血

【考点】轨迹；等腰直角三角形.

【专题】动点型；图形的相似；应用意识.

【答案】2V2.

【分析】如图，连接QE,DP,过点。作。KLAE于K.利用相似三角形的性质证明/OP,DP

//AC,求出两种特殊情形时DP的值即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。E,DP,过点。作QKL4E于K.

:.AC=BC=3五,ZA=ZB=45°,

'：DK±AE,4。=2,

：.AK=DK=V2,

VAE=2V2,

；.AK=EK=V2,

：.DA=DE,

：.ZDAE=ZDEA^45°,

AZADE=90°,

：.AE=五DE,

'：EF=yj2EP,

.AEEF

••—,

DEPE

:NAED=NFEP=45°,

：./AEF=ZDEP,

：.△AEFsADEP,

AFAE

：.—=—=Vr2,NZME=NEDP=45°,

DPDE

：.AF=五DP,

：.ZPDE=ZAED=45°,

J.DP//AC,

当点E与。重合时，DP=*AD=立,

当点尸与8重合时，DP=^AB=3版

在点F运动过程中点P经过的路径长为3V2-V2=2近，

故答案为2立.

【点评】本题考查轨迹，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

13.如图，。。的半径为2,弦A2的长为2旧，点C是优弧上的一动点，5c交直线AC于点。，

2A/3

当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点。所经过的路径长为——TT.

-3----

【考点】轨迹；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】动点型；与圆有关的计算；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，以为边向上作等边三角形连接。4,OB,OF,DF,OF交AB于H.说明

点。的运动轨迹是以厂为圆心，胡为半径的圆，再利用弧长公式求解即可.

【解答】解：如图，以A3为边向上作等边三角形连接。4,OB,OF,DF,OF交AB于H.

：FA=FB,OA=OB,

OFA.AB,AH=BH=V3,

\sinZBOH=^-,

,./BOH=/AOH=60°,

\ZAOB=120°

1

,・NC=*NAOB=60°,

CDBLBC,

\ZDBC=90°,

9.ZCDB=30°,

.*ZAFB=60°,

1

,・ZADB=专NAFB,

••点。的运动轨迹是以尸为圆心，阴为半径的圆，

••当点。从△ABC面积最大时运动到8C最长时，8C绕点5顺时针旋转了30°,

・・绕点6也旋转了30°,

,•点。的轨迹所对的圆心角为60°,

..运动路径的长="潸=孥TT,

【点评】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键

是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

14.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(-2,0),点G(0,2),点E,点产分别为OA,OG的中点.若

正方形/绕点O顺时针旋转，得正方形OEZXF,直线AE与直线GF相交于点P,当E'第一次落

2V2

在x轴上时，则点P走过的路径长为---H.

-3-----

【考点】轨迹；坐标与图形变化-旋转；正方形的性质.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图1中，设AE'交OG于N,连接AG,则点。在AG上.首先证明/APG=90°,推出点

尸在以。为圆心，为半径的圆上运动，轨迹是图中丽'，如图2中，在第一象限内，当点。与点尸

重合时，点尸的纵坐标最大，点尸的运动路径是朝的两倍，利用弧长公式求出圆心角，半径即可解决

问题.

【解答】解：如图1中，设AE'交。G于N,连接AG,则点。在AG上.

：.OE=OE,OF=OF,

・•・OE=OF,

,・Q=OG,

・•・AAOE^AGOF,

：.ZOAE=ZOGF,

u：ZOAE+ZANO=90°,/ANO=/GNE,

：.ZOGF+ZGNE=90°,

：.AELGF,

：.ZAPG=90°,

・••点?在以。为圆心，OO为半径的圆上运动，轨迹是图中赤',

如图2中，在第一象限内，当点。与点P重合时，点尸的纵坐标最大，点尸的运动路径是痈的两倍,

图2

VZAEO=90°,EO=1,A0=2,

：.ZEAO=30°,

：.ZD'DO=2ZErAO=60°,

U：OD=AD=DG=V2,

**•点P的运动路径的长=2x

loU3

2V2

故答案为

【点评】主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是正

确寻找点P的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

15.如图，在等腰直角△ABC中，ZB=90°,D,E分别为BC、AB上的点，AB=7W,BE=耳,BD=

2V3,点P从点E出发沿54方向运动，连接PD,以PD为边,在PD右侧按如图方式作等腰直角

当点尸从点E运动到点A时，点/运动的路径长是3巫）

【考点】轨迹；等腰直角三角形.

【专题】三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先证明点下的运动轨迹是线段为及，想办法求出8人、8放即可解决问题;

【解答】解：如图，作/于M,FNLBC于N.

:.E、B、D、尸四点共圆，

:./ABF=NEDF=45°,

/.点F的运动轨迹是图中线段F1F2.

当P与E重合时，易证AFME丝AFND,

：.FM=FN,ME=DN,可得四边形FM8N是正方形,

:.BE+BD=BM-ME+BN+DN=2FM=3^,

：.BM=FM=等,

.Dl?376

当点尸与A重合时，同法可得2痣=竽，

.口口_9甚3展j忆

••±1i2--2-2——3V6,

故答案为3A/6.

【点评】本题考查轨迹、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，勾股

定理等知识，解题的关键是准确寻找点的运动轨迹，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

16.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,点8在x轴上从（-3,0）运动到（3,0）.将线段

A8绕点8顺时针旋转90°至线段8W,过点M作〃，轴，点N在用■的下方，且MN=B。，则8在

x轴上从（-3,0）运动到（3,0）的过程中，点N运动的路径长为3+3有.

【考点】轨迹；坐标与图形变化-旋转.

【专题】动点型；平面直角坐标系；图形的全等.

【答案】见试题解答内容

【分析】分两种情形：当点8从（-3,0）运动到（0,0）时，在x轴的正半轴上取一点公使得OK

=。4=3,连接KN,延长KN交y轴于J,延长NM交OK于H.证明tanZNKH=器=2,推出点N

的运动轨迹是线段JK,由此即可解决问题.

当点8从（0,0）运动到（3,0）时，求出点N的运动轨迹即可解决问题.

【解答】解：在x轴的正半轴上取一点发,使得OK=OA=3,连接KN,延长KN交y轴于J,延长M0

交OK于H.

y

VZAOB=ZBHM=ZABM^90°,

ZABO+ZHBM=9Q°,ZHBM+ZBMH=90°,

・・・ZABO=ZBMH,

：.AAOB^ABHM（AAS）,

：.OB=HM=MN,AO=BH=OK,

：.OB=HK,

NH

：.tanZNKH=磊=2,

・・・当点8从（-3,0）运动到（0,0）时，点