2025年新高考数学重难点专练：函数的周期性、对称性十大题型（解析版）

重难点07函数的周期性、对称性十大题型汇总

题型解读

满分技巧/

技巧一.函数周期的常见结论设函数y=/(%),%eR,a>0.

1.若+a)=f(x-a),则函数的周期为2a；

2若+a)=-f(x),则函数的周期为2a;

3.若/(x+a)=为则函数的周期为2a；

4.若/(x+a)=-六，则函数的周期为2a；

技巧二.对称轴常见类型

1./(%+a)=f(b-x)=y=/(%)图像关于直线x=审对称

2./(%+a)=/(a一乃qy=f(%)的图象关于直线％=a对称

3./(%)=/(2a一％)=y=/(%)的图象关于直线％=a对称

4./(-x)=/(2a+%)=y=/(%)的图象关于直线％=。对称

技巧三.对称中心常见类型

1.7(%+a)+/(b一％)=2cQy=/(%)图像关于直线(巴鼻-,c)对称

2.f[x+a)+f(_a-x)=2b<=>y=/(x)的图象关于点(a,。)对称

3.f(x)+f(2a一x)=26oy=f(久)的图象关于点(a,。)对称

4.7(-x)+f(2a+x)=2boy=/(x)的图象关于点(a,0)对称

技巧四.周期与对称性的区分

L若+a)=±/(x+b),则f(x)具有周期性；

2.若f(x+a)=±f(b-x)厕f(x)具有对称性：

口诀：”内同表示周期性，内反表示对称性"。

技巧五.周期的计算

L若函数关于直线x=8与x=。对称，那么函数/(久)的周期为2|6-a\；

2.若函数f(x)关于点(切0)对称，又关于点伯,0)对称，则函数/O)的周期是2|6-a|;

3.若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(立0)对称，则函数f(x)的周期是4|6-a\;

4.若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为2a;

5.若函数/■(%)是奇函数，其图象关于直线x=a对称,则其周期为4a

，]要题型提分练

题型1简单的周期性求值

【例题1](2023秋•高一课时练习)若函数f⑺是周期为3的周期函数，且〃-1)=3，则”2)=

【答案】3

【分析】根据函数的周期性结合已知直接求解即可

【详解】因为函数f(%)是周期为3的周期函数，且f(-1)=3,

所以f(2)="2-3)=1)=3,

故答案为：3

【变式1-1J1.(2020•浙江•高一期末)已知函数f⑺对于任意实数x满足条件“X+2)=-，若/'(2)=,

则/(2020)=()

A.-iB-C.-2D.2

22

【答案】C

【解析】根据条件得函数周期，再根据周期求结果.

【详解】•••/(尤+2)=-念/(%+4)==fix)T=4

1

••"(2020)=/(4)=-扃=-2

故选：C

【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.

【变式1-1]2.(多选)(2023春•安徽蚌埠•高一统考期末)若定义在R上的函数f(x)分别满足下列条件，

其中可以得出人乃的周期为2的有()

A./(x)=f(x-2)B.f(x+2)=f(x—2)

C./(—%)=f(x+2)D.f(x-1)=f(x+1)

【答案】AD

【分析】根据周期性的定义即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,7(x)=fix-2)可知f(x)的周期为2,故A正确，

对于B,由/(%+2)=f(x-2)得/(X+4)=f(x),故了。)的周期为4,故B错误，

对于C,由f(-乃=/(%+2)得f(久)关于x=1对称，故C错误，

对于D,7(X-1)=f(x+1)=f(x)=+2),f(x)的周期为2,故D正确,

故选：AD

【变式1-1]3.(2023秋•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足

f(x+4)=/(%)恒成立，且f(1)=1,则f(2)+/(3)+f(4)的值为

【答案】-1

【分析】由函数的奇偶性得到f(0)=0，且f(-x)=-TO),结合函数的周期和f(l)=1，求出f(2)J(3)J(4),

得到答案.

【详解】因为人%)是定义在R上的奇函数，

故/X0)=0,且/(T)=-/(X),

又以X+4)=f(x),所以/'(4)=5(0)=0,

目/'(%+4)=f(x)=-/(-x),

当x=一2时，f⑵=-/(2),故2/(2)=0,解得：/⑵=0,

/(—X)=-/0)种,当x=1时，/(T)=一/(I)=-1,

又/■(%+4)=f(x),所以/'(3)=f(-l)=-1,

故/(2)+/(3)+/(4)=0-1+0=-1.

故答案为：-1

【变式1-1J4.(2023春・安徽亳州•高一涡阳县第二中学校联考期末定义在R上的函娄好⑴满足八久+3)+

/(%+D=f(2),贝好(2024)=

【答案】0

【分析】根据题意得到4为函数f(x)的周期，求出f(0)=0得到/(2024)=0.

【详解】由/1(x+3)+f(x+1)=/(2),

代入x-2得，f(x+1)+f(x-1)=/⑵.

两式相减得,fix+3)=/(%-1),gp/(x+4)=f(x),所以4为函数/(x)的周期.

因此/'(2024)=/(4X506)=f(0),

在/0+3)+/(%+1)=/⑵中,令"=-1,则f(2)+/(0)=f(2),

所以/'(0)=0,即f(2024)=0.

故答案为：0

【变式1-1】5.(2023•全国•高一课堂例题)已知偶函数，(久)满足f(x+4)=f(x)+2/(2),则

/(2022)=

【答案】0

【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可.

【详解】令x=-2,则f⑵=/(-2)+2/(2),又f(-2)=f⑵,

所以八2)=0,于是"X+4)=fix)+2/(2)化为:fix+4)=/(%),

所以f(x)的周期T=4,

所以“2022)="以5x4+2)=/(2)=0.

故答案为：0.

【变式(2023春湖北咸宁•高一统考期末定义在R上的函数f(x)满足/(尤+2)+/(%)=3且/⑴=

0,贝疗(2023)=()

A.-3B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】判断出函娄好0)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期可求解.

【详解】fix+2)+/(x)=3,则f(X+4)+f(x+2)=3,从而/(x+4)=f(x),

即"无)以4为周期，故/(2023)=/(3)=3-/(1)=3.

故选：D.

题型2对称中心问题

【例题2](2022秋•河北保定•高一河北省唐县第一中学校考期中)设函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，

则下列函数中为奇函数的是()

A.f(x-1)—1B.y7(%—1)+1

C./(x+1)—1D./(x+1)+1

【答案】C

【分析】根据奇函数图象关于(0,0)对称，可通过函数平移变换得到所求函数.

【详解】由题意知：将“功图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数关于点(0,0)对

称，则所得函数为奇函数，

•••fix+1)-1为奇函数.

故选：C.

【变式2-1]1.(2023秋•湖南湘西•高一校考期中)已知函数y=%+b的图象关于原点对称，贝！=()

A.0B.-1

C.1D.无法确定

【答案】A

【分析】根据函数特征，图象关于原点对称，则函数必过原点，代入方程求出6的值.

【详解】因为函数y=%+b定义域为R,且图象关于原点对称，

则有图象必过原点，

即0=0+b,解得b=0,

当b=0时，贝!]一(一x)=x,可知y=%图象关于原点对称，

所以6=0.

故选：A.

【变式2-1]2.(2023春・云南普洱•高一校考阶段练习定义在R上的函数f(切为奇函数,/(1)=1，又gQ)=

/(%+2)也是奇函数，贝疗(2021)=

【答案】1

【分析】根据f(久)为奇函数,9(久)=+2)也是奇函数，结合奇函数的定义化简变形可得f(x)的周期为4,

然后利用周期可求得结果.

【详解】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-/(%),

因为g(x)=fix+2)为奇函数,所以/(―x+2)=-/(%+2),

所以/1-(%-2)+2]=-f(x-2+2),EP/(-x+4)=-f(x),

所以+4)=f(-x),所以/O+4)=f(x),

所以f(久)的周期为4,

因为/1)=1,所以“2021)=/(505x4+1)=/⑴=1,

故答案为：1

【变式2-1]3.(2021春•江西抚州•高一临川一中校考期末)已知函数f0)对任意xGR都有f(x+2)+

f0-2)=0,若旷=f(x+1)的图象关于点(一1,0)对称，且f(1)=2,贝妤(2019)=()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】由对任意xeR都有/(久+2)+f(x-2)=0,得周期7=8,由丫=f(x+1)的图象关于点(一1,0)对

称，得V=/(%)为奇函数，将"2019)逐步转化，即可得到本题答案•

【详解】由对任意xeR都有/(x+2)+/(%—2)=。①，得/(x+6)+/(%+2)=0②，

两式相减得，/■(久+6)=f(x-2),所以周期T=8,

由y=/(x+1)的图象关于点(-1,0)对称，得y="X)的图象关于点(0,0)对称，

则y=f(%)为奇函数，

在①式中，令％=3,得/(5)=-/(I),又f(-5)=-/⑸,所以/(-5)=2,

所以,f(2019)=f(252X8+3)=f(3)=f(-5)=2.

故选：D

【变式2-1]4.(2022秋•浙江嘉兴•高一统考期末)已知定义在R上的函数f(久)满足f(x+6)+/(%)=0,

且函数y=f(x-1)的图象关于(1,0)对称，则“2022)=

【答案】0

【分析】求出函数的周期为12,即可得到f(2022)=-/(0),又外0)=。即可得解.

【详解】f(x+6)+/(%)=0,f(x+6)=-/(x),

•••fix+12)=-f(x+6)=/(x),所以函数/'(x)是以12为周期的函数,

/(2022)=/(12x168+6)=/(6)=-/(0)

又函数y=/(%-1)的图象关于(1,0)对称，利用函数图像平移知，

函数y=/■(*)的图象关于(0,0)对称，即/(0)=0,所以/(2022)=0

故答案为：0

【变式2-1]5.(2021秋广东茂名•高一校考期末)已知/Xx)=詈,则舄)+f(言)+f(言)+-+

/(—)=

八100，

【答案】100

【解析】分析得出/<2-£)+/(无)=2得解.

【详解】

2-X+1+x+1

•・./（%）=二7/■（2一x）+/（%）=2-x-lx-1

1QR199

•"（丽）+"丽）+"赤）+…+"赤）

1199319799101

rf（—）+f（—）］+1*（—）+f（—）1+,••rf（—）+f（—）］

L74oo7八ioo417hoo7八loo刀17hoo7八100刀

=2X50=100

故答案为：100.

【点睛】由函数解析式得到/(2-%)+/(%)=2是定值是解题关键.

【变式2-1]6.(2022秋•上海松江•高一上海市松江二中校考期中)函数y=合的图像关于点(3,c)中心对

称，则6+c=

【答案】4

【分析】根据分式函数的对称性进行求解即可.

【详解】因为〃x)=U=W^=l+合

所以该函数的对称中心为(41),由已知可知该函数的图像关于点(3,c)中心对称，

所以有6=3,c=l0b+c=4,

故答案为：4

【变式2-1】7.(多选)(2022秋•山东潍坊•高一校考期中)若定义在R上的减函数y=f(x-3)的图象关

于点(3,0)对称，且gO)=/(x)-2,则下列结论一定成立的是()

A.g⑶=-2B.g(0)=-2

C.f(x+2)+/(3x—4)>。的解集为(—8,D.g(—2)+g(l)>—4

【答案】BCD

【分析】分析出函数/(x)为奇函数，且在R上为减函数，分析出函数gQ)的对称性和单调性，可判断ABD

选项的正误；利用函数/(%)的单调性解不等式f(x+2)+f(3x-4)>0,可判断C选项.

【详解】因为函数y=*-3)的图象关于点(3,0)对称，且在R上为减函数，

将函数y=f(%-3)的图象向左平移3个单位，可得到函数y=f(%)的图象，

所以，函数f(x)的图象关于原点对称，即为奇函数，且该函数在R上为减函数.

对于AB选项，g(0)=/(0)-2=-2,且g(x)=/(%)-2,

故函数g(x)在R上为减函数,所以，g(3)<g(0)=-2,A错B对；

对于C选项,由f(x+2)+f(3x-4)>0可得f(x+2)>-f(3x-4)=f(4-3%),

因为函数/0)在R上为减函数，贝收+2<4-3x,解得“<1C对；

对于D选项，因为g(-K)+g(x)=/(-x)+/(x)-4=-4,

g(—2)+g(l)>g(—l)+g(l)=-4,D对.

故选:BCD.

题型3对称轴问题

【例题31(2021秋•上海长宁•高一上海市延安中学校考期末)奇函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，

/⑶=3,则/(-1)+/(0)=

【答案】-3

【解析】根据函数是奇函数，求f(0),利用函数的对称性求“D

【详解】因为函数是奇函数，所以f(0)=0,

因为函数关于直线X=2对称，/(4-x)=f(x),则/(I)=/⑶,

f(-l)=-/(D=—f⑶=-3,所以〃一1)+f(0)=-3.

故答案为：-3

【变式3-1J1.(多选)(2023秋•内蒙古呼和浩特•高一统考期末)已知定义在R上的函数/(久)满足/(久-2)

为偶函数，且在［-2,+8)上单调递减.则下列判断正确的是()

A.f(-4)>f(0)B.f(-3)>f(0)

C./O)图象的对称轴为x=-2D.若f(a)>/(l),则-5<a<l

【答案】BCD

【分析】运用偶函数性质得函数对称性可分析A项、C项，再运用函数的对称性及单调性可分析B项、D

项.

【详解】"(x-2)为偶函数,

."(%-2)=f(-x-2),

."(x)图象关于直线久=-2对称，故C项正确；

.•将x=-2代入f(X-2)=f(-x-2)得:f(-4)=f(0),故A项错误；

将%=-1代入-2)=/(-X-2)得:f(-3)=/(-I),

又"(久)在［-2,+8)上单调递减，

•/(-I)>/(0),即：/(-3)>f(0),故B项正确；

■./(a)>/(l),/(%)图象关于直线x=-2对称，/。)在[-2,+8)上单调递减，

''-la—(—2)|<|1—(—2)|,即：|a+2|<3,解得：-5<a<1.故D项正确.

故选：BCD.

【变式3-1]2.(多选)(2023秋・湖南衡阳•高一统考期末)奇函数/(比)0eR)满足"%)=/(I-无)，则

下列选项正确的是()

A./(x)的一个周期为2B./(100.4)</(2.6)

C./(2x-为偶函数D./(2x—4)为奇函数

【答案】ACD

【分析】由/⑴=/(I-x)得4)的对称轴为％=1结合/(%)的奇函数性质对选项逐一辨析即可.

【详解】f(x)=f(l-%)，/■(%)的对称轴为X=|,

f(x+2)=/(-%-1)=-f(x+1)=-/(-X)=f(x),-T=2,A正确;

T=2,故f(100.4)=/(0.4),/(2.6)=f(0.6),

/⑺关于x=司寸称,故f(0.4)=f(0.6),B错误；

f(2%-1)=-2x)=-fG+2x)=f(—2x-0,f(2x-偶函数,C正确；

f(2x-4)=f(2x+4)=-f(-2x-4),f(2x-4)为奇函数,D正确,

故选:ACD.

【变式3-1]3.(多选)(2023秋•湖北十堰•高一统考期末)已知定义在R上的函数f(x)在(-8,2]上单调递

增,且/+2)为偶函数，则()

A.〃久)的对称中心为(2,0)

B.”切的对称轴为直线x=2

C./(-I)>/(4)

D.不等式+3)>f(4%)的解集为(—8,gu(1,+8)

【答案】BD

【分析】由题意可得/(%)图象的对称轴为直线x=2,即可判断A,B;结合对称性可得f(x)在[2,+8)上单

调递减，从而/(-1)=f⑸<f⑷，即可判断C;由不等式/(%+3)>f(4切结合/"(X)的对称性及单调性,

可得|x+3-2|<|4x-2|,解不等式即可判断D.

【详解】因为“久+2)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f(久)图象的对称轴为直线％=2,故A错误，B

正确；

又“X)在(-8,2]上单调递增，所以f(x)在[2,+8)上单调递减，所以八-1)=/(5)<f(4),故C错误；

由不等式f(x+3)>/(4x)结合f(x)的对称性及单调性,得|%+3—2|<|4>—2|,即(为+3-2》<

(4x-2)2,即(5x-1)(3%-3)>0,解得x<]或%>1,所以不等式+3)>/'(4%)的解集为(一8,g)u

(1,+°°),故D正确，

故选:BD.

【变式3-1]4(2022秋・浙江绍兴•高一统考期末匿函数=(x2-1)(%2+ax+b)=f(4一x),

则a+b=.

【答案】7

【分析】由题得f(D=f⑶,/(0)=/(4)，得到方程组，解出即可.

【详解】•••/(x)=/(4-x),.-./(I)=/⑶，/(0)=/⑷,

EP(°=著£：黑广窑，解得仁，故a+b=7,

l-b=15x(16+4a+b)lb=15

此时/(%)=(%2-l)(x2-8%+15),

/(4—x)=[(4—x)2—1][(4—x)2—8(4—x)+15]=(%2—l)(x2—8%+15)=/(%)

故答案为：7.

【变式3-1]5.(2021秋•江苏苏州•高一统考期末)已知函数/(%)=(%2-x)(%2+ax+b)的图象关于直

线％=2对称，贝［Ja+b=函数y=/(%)的最小值为

【答案】5-：

4

【分析】根据函数图像的对称性可得/(2+%)=/(2-乃问对%进行赋值，求见历构造函数，根据二次函数的

性质，即可得出结果.

【详解】因为y=/(%)图像关于直线％=2对称，所以/(2+%)=7(2-x)

当％=1时,/(3)=f(1)得(9-3)(9+3。+b)=0①

当％=2时,/(4)=/(0)得(16-4)(16+4a+b)=0②

联立①②可得:a=-7,b=12,所以a+b=5；

所以/(%)=(%2—x)(x2—7x+12)=x(x—l)(x—3)(%—4)=(x2—4%)(%2—4%+3),

令t=x2-4x=(x—2)2—4>—4,

则f(t)=t(t+3)=t2+3t,tN—4,

因为/'(t)=t2+3t是开口向上，对称轴为t=-1,

所以函数f(t)=t2+3t在(-4,-1)上单调递减，在(_*+8)上单调递增，

所以/'(t)min=/(-J)=一.

故答案为:-3

【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的

性质即可，属于常考题型.

【变式3-1J6.(2022秋•广东广州•高一广东实验中学校考期中)若函数f0)=3一/)(/+法+c)(c>

0)的图象关于直线x=-2对称，则2+：+为勺最小值是

【答案】j/0.375

O

【分析】根据函数解析式确定函数有零点/=-a,£2=a,又结合函数/(久)关于直线乂=-2对称，可得另

外两个零点忆=-4,久4=a-4,即可得关于a,b,c的等式关系，结合基本不等式求最值即可.

【详解】解:由于/(x)=(a2-x2)(x2+bx+c)(c>0),且a中0,所以/(a)=0=/(-a)

则=-a,x2=a是函数f（%）的两个零点

又函数/(x)=(a2-x2)(x2+bx+c)(c>0)的图象关于直线％=-2对称，则函数/(x)另外两个零点为冷=

-ci_4,X4=Q—4

则方程/+bx+c=0的两根分别为—a-4,a-4,所以｛/二薪工,二

则b=8,c+a?=16,又c>0,所以0<c<16

9

于是2+=*+"A偿+,(a2+c)x专+；i+4+-+1x

azc)i+i

11113

x-1—=—|—=一

168488

当且仅当白=贮，即c=a2=8时，等号成立，所以2+*单勺最小值是|.

azcbc8

故答案为：|.

O

题型4对称轴、对称中心问题

【例题4]（2023秋•安徽芜湖•高一安徽师范大学附属中学校考期末）设/（%）是定义域为R的奇函数，且

/(I+X)=f(-x),若f（-AI则呜）=（）

A「|B./C.|D.|

【答案】B

【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.

【详解】因为/（X）是定义域为R的奇函数,

所以由/(I+X)=/(-X)=-/(X)0/(2+x)=-/(I+x)=>f(2+x)=f(x),

函数该函数的周期为2,

喈)=/(4+A「—=/

故选：B

【变式4-1]1.（2023秋•湖北孝感•高一湖北省孝感市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数f（久）的定

义域为R,fix+2）为偶函数，/（-2%+1）为奇函数，则（）

A./(-I)=0B./(2)=0C./(4)=0D./g)=0

【答案】A

【分析】根据f(x+2)为偶函数,f(-2x+1)为奇函数，可得了(久)是周期为4的周期函数进而可得/(-1)=0.

【详解】因为"％+2)为偶函数,所以/•(%+2)=/(2-x),

因为/'(-2x+1)为奇函数,所以/'(-2久+1)=-f(2x+1),

即/(一(2x+1)+2)=-f(2x+1),以x替代2x+1得/(r+2)=-/(x),

所以f(x+2)=-/(x),故/1(%+4)=-/(x+2)=/(%),

可知/(")是周期为4的周期函数，

由/'(-x+2)=-f(x)得/'(-x+2)+/(x)=0,所以/Xx)关于(1,0)对称，

所以/(―1)=/(-I+4)=/(3)=/(2+1)=-/(I)=0,

所以A选项正确，BCD选项无法判断.

故选：A

【变式4-1]2.(2023秋•吉林•高一长春市第二实验中学校联考期末)若“X)是定义域在R上的奇函数，且

/(-%+2)=+2),则下列结论错误的是()

A./(4)=0B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称

C./(X+8)=/(x)D.若/(—3)=-1,贝仔(2023)=-1

【答案】B

【分析】A选项，由奇函数性质得到/(0)=0,再用赋值法得到f(4)=“0)=0；B选项，由八-x+2)=

/(x+2)得到函数关于x=2对称；C选项，有奇偶性和f(一乂+2)=/(%+2)推导出f(x+8)=/(%)；D选

项，利用函数周期性和奇偶性求出答案.

【详解】因为久%)是定义域在R上的奇函数，所以f(o)=o,且--久)=-/(%),

A选项,f[-x+2)=f(x+2)中,令x=2得:/⑷=/(0)=0,A正确；

B选项，因为T+；x+z=2,故)/=/(x)的图象关于直线％=2对称，B错误；

C选项,f[-x+2)=/(%4-2)中,将久替换为x+2得：/(-%-2+2)=f(x+4),即/(-%)=/(%+4),

所以-7'(久)=/(x+4),故-f(x-4)=/(x),

所以+4)=f(x-4),所以/(x)的—•7个周期为8,则f0+8)=/(x),C正确;

D选项，因为f(x)的一个周期为8,所以/(2023)=/(8x253-1)=/(-I),

因为"x)为奇函数，所以/(2023)=/(-I)=-/(I),

-fix-4)=f(x)中,令x=1得：f(-3)=-/(I),

因为八―3)=-1,所以-f⑴=-1,故〃1)=1,所以“2023)=-/(I)=-1,D正确.

故选：B

【变式4-1】3.(2022秋・内蒙古鄂尔多斯・高一鄂尔多斯市第一中学校考期末)已知函数/(%-1)(%6R)是

偶函数,且函数f(x)的图象关于点象0)成中心对称,当久e[-1,1]时,f(%)=x-1,则/(2017)=()

A.—2B.—1C.0D.2

【答案】C

【分析】利用函数f(X-1)(%GR)的奇偶性和函数/(X)的对称性，推出/(X)的周期为8,再根据周期可求出

结果.

【详解】因为函数/(久-DOGR)是偶函数，所以“―X—1)=f(x-1),

因为函数/'(X)的图象关于点(1,0)成中心对称，所以/'(2-x)+/(%)=0,所以/'(2-久)=-/(%),

将%换为x+3，得/(—%—1)=—f(%+3),

又f(-久-1)=/(x-1),所以f(x-1)=-/(x+3),

将x换为％+4,得/(x+3)=-f(x+7),

所以/(%-1)=f(x+7),

将x换为x+1，得/'(x)=/(x+8),所以/'(%)是周期函数，且周期为8,

所以f(2017)=f(252x8+1)=/(I)=1-1=0.

故选：C

【变式4-1]4.(2023秋㈣I卜高一四川外国语大学附属外国语学校校考期末)已知/⑺是定义在R上的函

数，且满足“3久-2)为偶函数,fQx-1)为奇函数，则下列说法一定正确的是()

A.函数f(x)的图像关于直线x=1对称B.函数人为的周期为2

C.函数"%)关于点(0,0)中心对称D./(2023)=0

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.

【详解】因为人久)是定义在R上的函数，且满足f(3久-2)为偶函数，

所以-2)=所以-2),

令t=3%—2,贝！]比=等

所以f(t)=/(-t-4)即/(%)=/(—4-x),所以函数关于x=-2对称，

又f(2x-1)为奇函数

所以/'(-2x-1)=-f(2x-1),

令m=2x—1,贝!!久="黄,

所以fg)=/(-m-2),SP/(-x-2)=-/(x),

所以f0)+所一x-2)=0,

所以/0)关于(T0)对称,

所以/'(-4-%)=-f(-x-2),所以-4)=-f(x-2),即一/'(%)=f(x+2),

所以+4)=f(x),即函数的周期7=4,

综上可得ABC错误；

又由“2"-1)为奇函数可得/(—I)=0,

所以“2023)=f(-l+506X4)=/(-I)=0,D正确；

故选：D

【变式4-1]5.(2023秋•河北邯郸•高一校考期末)已知定义在R上的函数〃久)满足〃久+6)+f(6-久)=0,

且/0)的图象关于直线久=3对称，函数y=f(x-1)的图象关于(1,0)对称，则/'(2022)=

【答案】0

【分析】根据函数的对称性结合条件可得函数是以12为周期的函数进而可得“2022)=/(6)=-/(0),

然后结合条件可得f(0)=0,即得.

【详解】fix+6)+/(6-x)=0,/(x+6)=-/(6一x),又/(x)的图象关于直线比=3对称，则/(%+3)=

f(3-%),

所以/1(x+6)=/(3-x-3)=/(-%),-/(6-x)=/(-%),

•••/(x)=-/(6+x),f(x+12)=-/(x+6)=/(x),

所以函娄好是以12为周期的函数，

•••f(2022)=/(12X168+6)=f(6)=-/(0),

又函数y=fix-1)的图象关于(1,0)对称，

利用函数图像平移知，函数y=f(x)的图象关于(0,0)对称，即f(0)=0,

所以f(2022)=0.

故答案为：0.

题型5函数值求和问题

【例题5](2023秋•安徽淮南•高一校考阶段练习)已知f(x)是定义域为(-8,+8)的奇函数，满足/(1-%)=

/(I+%),若/⑴=3,则/⑴+/⑵+f(3)+-+/(2023)=()

A.2023B.0C.3D.-2023

【答案】B

【分析】根据已知求出人久)的周期、f(l),f(2),f(3),f(4)可得答案.

【详解】因为/0)是定义域为(-8,+8)的奇函数，所以/(-x)=-/(%),/(0)=0,

因为f(1-x)=/(I+久),所以/'(一无)=/(I+1+x)=f(2+x)=-/(x),

可得/(2+2+x)=—f[x+2)=可%),所以/(久)的周期为4,

因为f(0)=f⑷=0,/(I)=3,/(I-x)=f(l+x),所以/Xo)=/⑵=0,

/(-I)=7(3)=-/(l)=-3,

所以AD+"2)+”3)+/⑷=0,

则/'(1)+f⑵+/(3)+…+/(2023)=505X0+0=0.

故选：B.

【变式5-1J1.(2023春•云南红河•高一校考期中股/。)的定义域为R，目满足f(1—x)=/(I+x),/(x)+

f(-x\-2若*1)=3则f(l)+f(2)+f(3)+…+f(2022)

八)'石7()'人Jf(2023)+f(2028)+f(2030))

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】D

【分析】由题设递推关系可得“X+2)4-f(x)=2、f(x+4)=/'(%)且/(0)=/(2)=-f(3)=1,进而求目

标式的值.

【详解】由/(I—乃=/(I+%),则/(2-x)=f(x),又+/(-x)=2,易得〃0)=1,

所以f(2-%)+/(-%)=2,即f(%+2)+/(%)=2,又f(1)=3,易得f(2)=1J(3)=-1,

所以+4)+/(x+2)=2,则"X+4)=/(x),即/(4)=/(0)=1,

综上,/(I)+/(2)+/(3)+-••+f(2022)=505X[/(I)+/(2)+/(3)+/(4)]+f⑴+/(2)=2024,

/(2023)+f(2028)+/(2030)=f(3)+/(0)+f(2)=1,

所以"1)+”2)+/3)+…+"2。22)=2024

f(2023)4-7(2028)4-/(2030)

故选：D

【变式5-1]2.(2023•全国•高一专题练习)已知函数f⑺的定义域为R,若“2久+1)为偶函数，且f(久)+

/(4-%)=2/(1)=2,则2：："(般)=()

A.23B.22C.19D.18

【答案】A

【分析】由已知条件推导出函数周期为4,/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,可求

【详解】由/0)+/(4—x)=2,令乂=2得/(2)=1.

令％=1,得f⑴+/(3)=2,7/(I)=2,Af(3)=0.

因为/'(2x+1)为偶函数,f(2x+1)=/(-2x+1),即/(I+x)=/(I-x),.•.曲线/(%)关于直线x=1对

称.

又/(x)+5(4一x)=2,图像关于点(2,1)中心对称,

/(%)=2-/(4-x)=2-/[l-(x-3)]=2-f[l+(%-3)]=2-f(x-2),

可得/1(%+2)=2-7(x),gp/(x)=2-f(x+2),

又f(x+4)=f\2+(x+2)]=2-f(x+2)=f(x),

・•.的周期T=4.

⑴=2f(4)=f(0)=2-”2)=1,/(l)+f(2)+f(3)+f(4)=4,

2jj"(n)=5x4+/(l)+/(2)=23.

故选：A.

【变式5-1]3.(2023秋•全国•高一专题练习)设f(久)是定义在R上的奇函数，且fC-x)=f《+久)，

则f(1)+f⑵+/⑶+f(4)+/(5)=

【答案】0

【分析】根据奇函数求出〃0)=0,再由所给条件结合奇函数求出周期即可得解.

【详解】因为/（%）是定义在R上的奇函数，且/c一％）=/©+%），

所以/1Q-x)=-/(x-1)=/■Q+x),

BP/(x+1)=-/(X)=f(x+2)=/(%),

所以函数周期为T=2,

由”均是定义在R上的奇函数知，/(0)=0,

在/G_x)=/G+*)中，令X=(可得/(I)=/(°)=0,

又/⑵=/(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2[/(l)+f(2)]+f⑴=0,

故答案为：0

【变式5-1J4.(2022秋•河南信阳•高一统考期中)已知函数〃”)是定义域为(-8,+8)的奇函数，满足f(2-

%)=/W,若/⑴=2,则f⑴+/⑵+/⑶+-/(2022)=()

A.-2B.2C.0D.2022

【答案】B

【分析】由奇偶性和对称性求出函数周期，求出一个周期内函数值，进而得解.

【详解】/(x)是奇函数,/(2-x)=/(%),故/'(%)关于x=1对称,

f(x+2)=f(2-(x+2))=/(-x)=-f(x),

f(x+4)=/(x+2+2)=-f(x+2)=-(-/(%))=/(x),

故T=4,所以f(0)=0,

/(l)=2/(2)=/(2-2)=/(0)=0J(3)=/(-l+4)=/(-l)=-/(I)=-2,

f(4)=f(0+4)=/(O)=0,所以f⑴4-f(2)+/(3)+/(4)=0,

由于2022=505x4+2,所以/(I)+/(2)+/(3)+…+/(2022)=/(I)+f(2)=2.

故选：B.

题型6已知部分函数问题

【例题6】2021秋•陕西渭南•高一统考期末圮知定义在R上的偶函数/(久)对任意的x满足/(“)=，(2-久),

且％e[0,1]时，/(久)=%2,贝!If(一|)=.

【答案】；/0.25

【分析】根据偶函数的性质，结合函数的周期性，利用代入法进行求解即可.

【详解】因为函数f(x)是偶函数,

所以/'(—X)=/(X)=/(2-%)=>fix)=f(2+%),

因此函数f(x)的周期为2,

于是f(-X歼2)=呜=(丁=工

故答案为：;

【变式6-1]1.(2023春河南信阳•高一统考期末)设/⑺是周期为3的奇函数，当-1Wx<0时,/(%)=

2/—1,贝叶◎等于()

A.-iB.-iC.D.i

2442

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和周期性得到/图=-/(-|),计算得到答案.

【详解】/(久)是周期为3的奇函数，则/Q=/G_3)=/G)=_/(_习=_G_1)=

故选：D.

【变式6-1]2.(2021秋•安徽安庆•高一安庆市第七中学校考期中)设f(x)是定义域在R上的奇函数，

/(X+2)=-/0),当0<xW1时，/(x)=x,则/'(5.5)的值为.

【答案】0.5/|

【分析】转化条件得/(%+4)=f(x),进而可得/5.5)=/(1.5),再利用条件与奇函数的性质即可得解.

【详解】因为+2)=-/(%),所以f(久+4)=-f(x+2)=/(x),

则“乃是以4为周期的周期函数,

又f0)是定义在R上的奇函数，且当oWXW1时，f(X)=X,

所以/'(5.5)=/(5.5-4)=/(1.5)=/(-0.54-2)=-/(-0.5)=/(0.5)=0.5.

故答案为：0.5.

【变式6-1]3.(2022春•四川南充•高一四川省南充高级中学校考开学考试)已知定义在R上的函数f(©满

足f(%)=2-7'(一久),且函数y=/■(久+1)是偶函数，当xe时，f(%)=1-x2,则

/(2022)=

【答案】1

【分析】由于函数y=/(%+1)是偶函数，可得函数/(%)的图像关于直线x=1对称，从而有/(-©=f(x+2),

再结合/(%)=2-/-吗可得函数f(x)的周期为4然后利用周期和f(x)=2-f(-x)将2022化到久G[-1,0]

上即可求解.

【详解】因为函数y=f(x+1)是偶函数,所以/1(1一x)=f(l+x),所以f(-%)=f(x+2),

因为/'(%)=2-/(-%),所以/(x)+/(x+2)=2,所以/O+2)+/(x+4)=2

所以/0)=/(%+4),所以函数f(x)的周期为4,

所以“2022)=/(2)=/(0)=1—()2=1,

故答案为：1.

【变式6-1]4.(2023秋・全国•高一专题练习)定义在R上的奇函数/(%)满足V*6R,/(%)=/(2-%),且

当0<%<1时，/(久)=%2-3%+a,则2音31fq)1=.

【答案】2024

【分析】由奇函数的性质及f(x)=f(2-久)求出函数的周期，由f(0)=。求出a，从而求出“1),f(2),/(3),

/(4),最后根据周期性计算可得.

【详解】因为fO)是奇函数,所以/■(%)=-/(-X),又久x)=f(2-x),

所以/1(2-%)=-/(-%),即+2)=-/(%),所以/(x+4)=-f(x+2)=-[-/(x)]=/(x),

所以八支）是周期为4的周期函数.

因为/(x)是奇函数，所以/(0)=0,又当0WxW1时，/(%)=/一3x+a,所以/(O)=a,则a=0,

所以当0<%<1时/(久)=x2-3x，所以f(l)=-2,/(2)=/(O)=0,/(3)=-/(I)=2,/(4)=/(O)=0,

所以|/(1)|+|/(2)|+|f⑶|+|/(4)|=4,

所以干普1/(。=505-SUIAOI+(1/■⑴I+lf(2)I+If(3)1)=505x4+4=2024.

故答案为：2024

【变式6-1]5.(2023春•四川德阳•高一统考期末)已知函数f(%)满足f(x+4)=/(%),/(-%)=/(%),且

当％e[0,2]时，/(x)-x2+1,则/(2023)=.

【答案】2

【分析】根据题意求得函数/O)是周期为4的函数，结合f(2023)=/(-I)="1),代入即可求解.

【详解】由题意，函数f(%)满足/(久+4)=/(%),可得函数f(x)是周期为4的函数，

又因为当％6[0,2]时，/(x)=x2+1,/(-x)=/(%),

所以“2023)=f(505X4+3)=/(3)=/(-I)=/(I)=I2+1=2.

故答案为：2.

【变式6-1]6.(2023・全国•高一专题练习)已知定义在R上的函娄好(x)满足f(2x+2)=-f(2x),且y=

f(2x-1)的图象关于直线x=:对称.若Xe(|,£)时，f(x)=