2025年新高考数学定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题、坎迪定理（五大题型）（学生版）

定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题、坎迪定理

目录

次口识点归纳..........................................................2

题型归纳.............................................................2

题型一：定比点差法..............................................2

题型二：齐次化...................................................6

题型三：极点极线问题............................................8

题型四：蝴蝶问题................................................13

题型五：坎迪定理................................................19

过关测试........................................................25

r

知识点归纳

1、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通过设定线

段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，解决相应的圆锥

曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解,而是通过代数运算消去未知

数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程，提高解题效率。

2、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式(即各项次数相等)来简化计算和提高求解效

率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。通过齐次化

联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程,从而更容易地求解斜率之和或斜率之积

等问题。

3、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，

其切线方程与曲线方程相同;对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轨点轨迹形成的直线也被称为极线。

极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线;对于曲线外的点，其极

线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦.

4、坎迪定理是数学领域中的一个重要定理，也被称为蝴蝶定理的一般形式。该定理描述了在圆内的一段弦上

任意一点与圆上任意两点相连并延长交圆于另外两点，连接这两延长交点与弦上另外两点相交，所得线段长

度的倒数之差为常数。

题型归纳

题型一:定比点差法

1.(2024.高三.江西吉安・期末)已知椭圆Ci：《+<=l(a>b>0)的离心率为平，且经过点

ab2

(一空符)・

(I)求椭圆G的标准方程；

(II)已知抛物线G的焦点与椭圆G的右焦点重合，过点F(0,-2)的动直线与抛物线&相交于43两

个不同的点,在线段上取点Q,满足|APHQ8|=•|P8|,证明：点Q总在定直线上.

2.已知椭圆名■+%=l(a>b>0),过椭圆的左焦点F且斜率为V3的直线I与椭圆交于/、8两点(A点

ab

在8点的上方)，若有#=2万，求椭圆的离心率.

3.(2024.重庆沙坪坝.模拟预测)已知a>b>0,直线Z过椭圆G：5+4=1的右焦点尸且与椭圆G交于

ab

v2

人、口两点"与双曲线G*/1的两条渐近线小。分别交于双、N两点.

⑴若|OF|=后且当Z，c轴时，ZWON的面积为|■，求双曲线&的方程；

⑵如图所示,若椭圆G的离心率e=空，U。且血=AAN(A>0),求实数A的值.

4.已知椭圆。：5+曾=1（。〉6〉。）的离心率为多'过右焦点干且斜率为卜（卜〉。）的直线与,相交于

4B两点，若乖=3万，求%

5.已知（+与=1,过点P（0,3）的直线交椭圆于4例可以重合），求肾取值范围.

yq\iJD\

6.已知椭圆春+9=1的左右焦点分别为E'W4bp是椭圆上的三个动点、，且屈=加’崩=

〃演若4=2,求〃的值.

题型二:齐次化

7.已知椭圆的中心为O,长轴、短轴分别为2a,2b(a>b>0),P,Q分别在椭圆上，且OP，OQ,求证:

|OF|2+|OQ|2为定值.

2

8.如图，过椭圆C：34=l(a>b>0)上的定点P(g,%)作倾斜角互补的两直线，设其分别交椭圆C

于A8两点，求证:直线A8的斜率是定值.

_______________5'

9.已知椭圆C：［+苧=1的左顶点为A,P,Q为。上的两个动点,记直线AP,AQ的斜率分别为自，无，

若fcifc2—2，试判断直线PQ是否过定点.若过定点，求该定点坐标;若不过定点，请说明理由.

22

10.已知椭圆C：^+^-=l.过点A（l,等），两个焦点为（-1,0）和（1,0）.设瓦斤是椭圆。上的两个动点.

（1）如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2,证明:直线EF恒过定点；

（2）如果直线4E的斜率与直线入尸的斜率之积为2,证明：直线班恒过定点.

___________昼

题型三:极点极线问题

n.(2024.湖南长沙.三模)已知椭圆。:《+4=1@>仇>0)的左、右焦点分别为为上顶点，离心

bi

率为直线8月与圆4/+4娟—3=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

22

(2)椭圆方程T:q+^=l(a>b>0),平面上有一点P(g,%).定义直线方程/:等+等=1是椭

abab

圆「在点p(g,%)处的极线.

①若P(g,"o)在椭圆。上,证明：椭圆。在点尸处的极线就是过点P的切线；

②若过点P(—4,0)分别作椭圆。的两条切线和一条割线,切点为X、V,割线交椭圆。于M、N两点、,

过点M、N分别作椭圆。的两条切线，且相交于点Q.证明：Q、X、K三点共线.

□

.阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey则称点

12+F=0,P（XQ,

yo）和直线I：Axox+Cyoy+D（x+x0）+E（y+y。）+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在

圆锥曲线方程中，以田/替换，，以考三替换刀；以yoy替换，，以誓幺替换“，即可得到,为）对

应的极线方程.特别地,对于椭圆［+y=1,与点P（T0,y0）对应的极线方程为苦+等=1；对于双

ab2a2b2

曲线与—£=1,与点P（g，U。）对应的极线方程为W—粤=1;对于抛物线/=2/，与点P（g,9。）

bba~

对应的极线方程为"o"=p（±o+为.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）

极点与极线的基本性质、定理:①当P在圆锥曲线G上时,其极线Z是曲线G在点尸处的切线;②当P在

G外时,其极线Z是从点尸向曲线G所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）;③当尸在G

内时,其极线Z是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知

椭圆G：亨+£=1.

（1）点P是直线Z：y=-ys+2上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为河，N,是否存

在定点T恒在直线上,若存在，当面=市时,求直线的方程；若不存在,请说明理由.

（2）点P在圆/+才=4上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为4,5求△RLB面积的最大值.

____________屈

13.阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：4/+°才+20X+2坳+斤=0,则称点P（&,仅））和直

线/：4刈）2+309+。（必+的）+后（?/+%）+尸=0是圆锥曲线3的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲

线方程中，以g/替换/，以生产替换以另一变量y也是如止匕），即可得到点P（g,队）对应的极线方

222

程.特别地，对于椭圆写+4=1,与点P（g,加对应的极线方程为考+铝>=1；对于双曲线9-

ababb

2

2

4=1,与点P（XO,队）对应的极线方程为考—衅=1；对于抛物线y=2pc,与点P（g,y0）对应的极

b~ab-

线方程为yoy=p（xo+x）.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时,其极线Z是曲线G在点P处的切线；

②当P在G外时,其极线Z是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；

③当P在G内时,其极线Z是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

（1）已知椭圆C：4+¥=l（a>b>0）经过点F（4,0），离心率是圣,求椭圆C的方程并写出与点P

azbz2

对应的极线方程；

（2）已知Q是直线Z：y=-j-x+4上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆。引两条切线，切点分别为

N,是否存在定点T恒在直线MN上,若存在，当而=赤时,求直线MN的方程；若不存在,请说明理

由.

_________/

题型四:蝴蝶问题

14.已知椭圆「三+点=l(a>b>0)的离心率为|■，半焦距为c(c>0),且a—c=L经过椭圆的左焦点

尸，斜率为红(自#0)的直线与椭圆交于人、8两点，O为坐标原点.

(1)求椭圆『的标准方程；

⑵当自=1时，求S^OB的值；

⑶设R(l,0),延长AR,访分别与椭圆交于C,。两点，直线CD的斜率为无，求证：旦为定值.

15.（2024.高三.江苏泰州.期末）如图，已知椭圆「:与+5=1,矩形ABCD的顶点A,B在①轴上，C,。在

椭圆「上，点。在第一象限.CB的延长线交椭圆「于点E,直线AE与椭圆「、沙轴分别交于点尸、G,直

线CG交椭圆「于点H,口4的延长线交FA于点河.

（1）设直线AE、CG的斜率分别为向、无，求证：为定值;

（2）求直线FH的斜率k的最小值；

（3）证明：动点河在一个定曲线上运动.

______________________________E

22

16.设椭圆E：与+7/%=l(a>b>0)的左、右焦点分别为E(—c,0),用(c,0),过焦点且垂直于；r轴的直线与

ab

椭圆E相交所得的弦长为3,直线夕=—3与椭圆E相切.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)斜率为自(自W0)的直线过E，与椭圆E交于48两点，延长4月,8用，分别与椭圆E交于C,D两点,

直线CD的斜率为无，求证g为定值.

«2

17.设抛物线C：娟=2pHp>0)的焦点为尸，点。(p,0),过F的直线交C于河，N两点.当直线垂直

于力轴时，同=3.

(1)求。的方程；

(2)设直线MD,ND与。另一个交点分别为A,记直线的斜率为自、防求g的值.

一&

_____________步

18.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：4+当=l(a>6>0),尸是椭圆的右焦点且，从下列条

ab

件中任选一个补充在上面问题中并作答:注:如果选择多个条件作答，按第一个计分.

条件①:椭圆。的离心率e=],焦点到相应准线的距离是3.

条件②:椭圆。与圆7W：(c—6y+才=16外切,又与圆N：x2+(y—2V3)2=3外切.

⑴求椭圆。的方程.

⑵已知48是椭圆。上关于原点对称的两点，4在2轴的上方，连接A尸，BF并分别延长交椭圆。于

。，后两点，证明：直线DE过定点.

_____________的

题型五:坎迪定理

22

19.椭圆C-+%=l(b>0)的左、右顶点分别为4,人2,上顶点为点,线8。的倾斜角为135°.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过D且斜率存在的动直线与椭圆。交于M、N两点，直线AM与4N交于P,求证：P在定直线上.

20.已知椭圆E:冬+4=l(a>b>0)的左、右顶点分别为4B，长轴长为4,离心率为警，点。在椭圆E

ab2

上且异于两点，M(4,yM),7V(4,yjv)分别为直线AC,上的点.

(1)求椭圆E的方程；

⑵求统T'N的值；

(3)设直线与椭圆E的另一个交点为。，证明：直线CD过定点.

______________________________B

21.（2024.全国.模拟预测）已知不过坐标原点O且斜率为1的直线与椭圆r：4+y2=l交于点A，B,M为

AB的中点.

（1）求直线（W的斜率；

⑵设P（—2,0）,直线E4,与椭圆r的另一个交点分别为C,0（均异于椭圆顶点），证明:直线CD过

定点.

22.在平面直角坐标系*;中，如图，已知<+1■=1的左、右顶点为48,右焦点为斤,设过点T（tm）的

直线刃4、TB与椭圆分别交于点河（如如）、NQ2,纺），其中m>0,%>0,纺<0.

T7V

⑴设动点P满足9加一p4=4,求点P的轨迹;

⑵设立1=2,*2=7,求点T的坐标；

O

（3）设力=9,求证:直线MN必过N轴上的一定点（其坐标与小无关）.

23.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Y+J/2=1的左，右顶点分别为人，过点M(-l,0)作直线I交

椭圆于两点，若直线皿的斜率分别为心.求证*为定直

24.已知椭圆+%=l(a>6>0)的左右顶点分别为A和离心率为喜，且点7心高)在椭圆上.

ab2'2'

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点M(l,0)作一条斜率不为0的直线交椭圆于P,Q两点,连接AP,BQ,直线AP与BQ交于点

N,探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程;若不在，请说明理由.

_______________________________B

2

25.（2024•上海杨浦・一模）设4,4分别是椭圆「4+y2=l（a>1）的左、右顶点，点B为椭圆的上顶点.

y

B

Ft)Aix

⑴若4K•母=—4,求椭圆「的方程；

（2）设a=2，月是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点M在“轴上，求

△月8Q的面积.

（3）设a=3,点P是直线T=6上的动点，点。和。是椭圆上异于左右顶点的两点，且C,。分别在直线

PA,和上42上，求证:直线CD恒过一定点.

过关测试

26.已知椭圆C：*+V=l（a>b>0）的离心率为过椭圆C的右焦点并垂直于c轴的直线交椭圆

C于P,M（点P位于x轴上方）两点，且△OPA1（O为坐标原点）的面积为1-.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线Z交椭圆。于4B异于点P）两点,且直线PA与PB的斜率之积为一年,求点尸到直

线/距离的最大值.

_______________________________B

27.（2024.全国.一模）如图，已知椭圆r的短轴长为4,焦点与双曲线产了一号=1的焦点重合.点尸（4,0）,

4——tt

（i）求常数力的取值范围，并求椭圆「的方程.

（2）（本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答）

极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐

述的.对于椭圆r：4+与=1，极点P（g,%）（不是原点）对应的极线为IP苦+等=1,且若极点P

ab

在立轴上，则过点尸作椭圆的割线交r于点4,四,则对于岳上任意一点Q,均有kQAi+kQB=2A；PQ（当斜

率均存在时）.已知点Q是直线Z1上的一点，且点Q的横坐标为2.连接PQ交夕轴于点E.连接PA,PB

分别交椭圆「于河,N两点.

①设直线AB、分别交y轴于点。、点T,证明：点E为。、T的中点；

②证明直线：AW恒过定点，并求出定点的坐标.

___________盟

28.(2024.云南昆明.模拟预测)椭圆方程「:4+M=l(a>b>0),平面上有一点。(如队).定义直线方程

ab

22

产+等=1是椭圆r在点P(x°,y。)处的极线.已知椭圆方程。:手+4=L

a~b43

(1)若P(l,%)在椭圆。上,求椭圆。在点P处的极线方程；

⑵若P(g,加在椭圆。上，证明:椭圆。在点P处的极线就是过点P的切线；

(3)若过点P(—4,0)分别作椭圆。的两条切线和一条割线,切点为X,Y,割线交椭圆。于两点，

过点河，N分别作椭圆。的两条切线，且相交于点Q.证明：Q,X,Y三点共线.

29.(2024.重庆.模拟预测)已知椭圆。：考■+笄=l(a>b>0)的右焦点为F(l,0),点A,B是椭圆C上关于

ab

原点对称的两点，其中/点在第一象限内，射线/尸，8斤与椭圆C的交点分别为“，N.

⑴若刀=屈，刀=2前,求椭圆。的方程；

(2)若直线MN的斜率是直线AB的斜率的2倍,求椭圆C的方程.

30.(2024•山东济南・二模)已知椭圆。的焦点坐标为E(—l,0)和E(l,0),且椭圆经过点

(1)求椭圆。的方程；

⑵若7(1,1),椭圆。上四点河，N,P,Q满足而=3亍4，病=3星,求直线MN的斜率.

22

31.已知椭圆。：曰+5■=1,E,月为其左右焦点，P为椭圆。上一动点，直线PE交椭圆于点A,直线PE

椭圆交于点8,设国=&而，崩=〃演，求证：4+〃为定值.

_________________①

32.（2024.河北沧州.一模）已知椭圆。考■+乌=1。（a>b>0）经过点（血,1）,离心率为