2025年中考数学二轮复习：矩形 练习题汇编（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：矩形专题练习题汇编

一.矩形的性质

1.矩形的性质：

（1）角：四个角都是直角；

（2）对角线：对角线相等且互相平分；

（3）四个等腰三角形面积=长、宽=2区蹲4丛形（如图）

（4）直角三角形斜中线等于斜边一半；

有直角求长度可以用勾股或者相似；

（5）折叠问题，对应的角相等，对应边相等，注意平行线有等腰三角形，折痕和对应点的连线垂直。

矩形特有的条件：直角和对角线相等。

1.（2024•黄岩区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2,对角线AC与相交于点O,钻垂直平

分OB于点、E,则的长为（）

C.4D.2

2.（2024•丽水一模）如图，在矩形ABCD中，AC与交于点O,点E是3C上一点，连结DE交对角

线AC于F.若NCFD=2NBAC,则下列结论错误的是（）

A.ZAOD=ZDFCB.ZDFA^ZDOCC.ZEFC^2ZACBD.Z.DCF=2Z.FDO

3.（2024•浙江校级模拟）如图，在矩形A3CD中，AB=2,E,F分别是OC的中点.若

则斯=()

A.y/6B.A/7C.272

BC

4.（2024•下城区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC和3£>相交于点O,过点O的直线分别交AD

和BC于点E,F.若BC=3,CD=2,则图中阴影部分的面积为（

5.（2024•萧山区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是3C上一点，沿DE折

叠，点C恰好落在点。处，则的度数为（）

BEC

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

6.（2024•台州一模）如图，在矩形ABCD中，BC>AB,先以点A为圆心，AB长为半径画弧交边4）于

点E；再以点。为圆心，DE长为半径画弧交边OC于点尸；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边BC

于点G.求3G的长，只需要知道（）

AED

A.线段AB的长B.线段4）的长C.线段DE的长D.线段CF的长

7.（2024•杭州二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=y/2,E是AB边上的中点，以E为圆心，AD

长为半径画弧，交边3c于点尸，连结EF交对角线比»于点G,则空的值是（）幺______________

B.V2-1C.2-73

8.（2024•丽水一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,①在边CD上取一点E,连结BE,②

以点5为圆心，然长为半径画弧，以点E为圆心，镒长为半径画弧，两弧相交于点A,M；③类比②

以点B为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，田长为半径画弧，两弧相交于点。，N.连结

当恰好经过点C时，DE的长是.

M

9.（2024•上城区二模）如图，矩形ABCD,点£、尸分别是5C,CD上一点，连接EF,令/AEB=a,

3

已知y4E=AF,BE=5CE,sina=-,则sinZAFD=

5

10.（2024•钱塘区三模）如图，在矩形ABCD中，点E为"）上一点，连结3E,作NEBC的平分线交CD

3DF

于点F,连结AF交BE于点G.若AB=BG,tanZABE=~,则——的值为（）

4FC

11.（2024•拱墅区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，ABEC与AFEC关于直线EC对称,

点3的对称点尸在边上，G为CD中点，连结3G分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,

MG=1,则3N的长为,sin/AFE的值为.A--------------------------

A/

BC

12.（2024•嘉兴二模）用两对全等的直角三角形（RtAADE三RtACBG,RtAABF三RtACDH）和一个矩形

EFG”拼成如图所示的口ABCD（无缝隙且不重叠），RtAADE和RtAABF的面积相等，连结DF,若

AD.LDF,-=贝iJtanNS4F的值是（）

DE2

13.（2024•浙江模拟）如图所示，矩形ABCD由两直角边之比皆为1:2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙

拼接而成，它们之间互不重叠也无缝隙，则矩形ABCD与矩形EFGH的面积之比为

14.（2024•西湖区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,E是矩形内部的一个动点,

连接AE,BE,CE,DE,下列选项中的结论错误的是（）

A.0<CE<2A/61

B.无论点E在何位置，总有人彦+^:彦二郎②+小？

C.若MLBE,则线段CE的最小值为8

D.若NE4D+N包C=60。，M+BE的最大值为23

15.（2024•拱墅区一模）如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3jlO,点P是AD的中点，点E在3c上,

CE=2BE,点、M、N在线段上.若"MN是等腰三角形且底角与"EC相等，则"N的值为（

或”

A.6或2B.3

8

或空

C.2或3D.6

8

16.（2024•柯桥区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=W,E,F,G,"分别是边4）,AB,

BC,CD上的动点，若AE=CG=a,当四边形EFG//为矩形时，则。的取值范围是.

17.（2024•镇海区一模）如图，已知矩形ABCD,过点A作AE_LAC交CB的延长线于点E,若

18.（2024•婺城区模拟）如图，在矩形ABCD中，E是上一点，且AE=A£>,过点。作£衣，AE于

点F.

(1)求证：AF=BE.

(2)已知3c=5,CD=3.求EF的长.

19.（2024•拱墅区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E,尸分别是BC,AD边上的点，^.AE=CF.

(1)求证：AABE=ACDF；

(2)当AC_LE/时，AE=W,AC=16,求四边形AECF的面积.

20.(2024•镇海区校级四模)如图,在矩形ABCD中，尸为边他的一点，的中垂线分别交矩形两边4),

BC于点、E,F,交DP于点H,BF=CD,连结。尸，PF.

(1)判断ADFP的形状，并说明理由.IJv^7|

(2)若AP=BP=2,求EH,EF的长.\/

F~~C

21.(2024•临安区二模)如图，在矩形ABCD中，E为边上一点，连结CE,DE.若CE=CD,过

点。作CE于点P.

AD

(1)求证：ACFD三AEBC.I—

(2)若AE=1,sin/BEC=M求3c的长.卜、/

22.(2024•龙湾区二模)如图，在矩形ABCD中，ZACB=60°,分别过点3,。作3E_LAC,DF±AC

交AC于点E,F,连结所，DE.

(1)求证：四边形阻出为平行四边形.

(2)分别取DE,族的中点M,N,连结FM,EN.若AF=1,求四边形AffWE的面积.

AB

二.矩形的判定

(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形；

(2)有三个角是直角；

(3)对角线相等的平行四边形.

23.(2024•下城区校级三模)如图，已知尸为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF,

(1)求证：AABE=ACDF；

(2)若ZAEC=90。，求证：四边形A£CF为矩形.

24.(2024•镇海区一模)如图，已知AABC和AAER均是等边三角形，P点在AC上，延长EF交3c于点

D,连接4),CE.

(1)求证：四边形AfiDE是平行四边形;

(2)当点。在线段3C上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由.

答案解析

一.矩形的性质

1.矩形的性质：

（1）角：四个角都是直角；

（2）对角线：对角线相等且互相平分；

（3）四个等腰三角形面积=长乂宽=2以加4见速（如图）

（4）直角三角形斜中线等于斜边一半；

有直角求长度可以用勾股或者相似；

（5）折叠问题，对应的角相等，对应边相等，注意平行线有等腰三角形，折痕和对应点的连线垂直。

矩形特有的条件：直角和对角线相等。

1.（2024•黄岩区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2,对角线AC与如相交于点O,/正垂直平

分OB于点、E,则3C的长为（）

C.4D.2

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形,

:.AO=BO=CO=DO,

AE垂直平分OB,

AB=AO,

/.AB=AO=BO,

/.AAOB是等边三角形，

/.ZBAC=60°,

:.BC=^3AB=2y/3,

故选：B.

2.（2024•丽水一模）如图，在矩形ABCD中，AC与3。交于点O,点E是3C上一点，连结DE交对角

线AC于F.若NCFD=2NBAC,则下列结论错误的是（）

A.ZAOD=ZDFCB.ZDFA=ZDOCC.ZEFC=2ZACBD.ZDCF=2ZFDO

【解答】解：•四边形ABCD是矩形，

:.AC=BD,AO=-AC,BO=-BD,

22

AO—BO,

.\ZOAB=ZOBA,

ZAOD=ZOAB+AOBA=2ZBAC,

,.・/CFD=2ZBAC,

:.ZAOD=ZCFD,故A不符合题意；

ZDFA=180°-ZDFC,ZDOC=180°—ZA8,

:.ZDFA=ZDOC,故3不符合题意；

ZDFA=180。—ZDFC=180。—2ZB4C,ABAC+ZACB=90°,

:.ZDFA=2ZACB,

又•••NDE4=NEFC,

:.ZEFC=2ZACB,故C不符合题意；

ZAOD=2ZBAC=2NBDC,ZAOD=ZBDC+ZDCF,

ZBDC+ZDCF=2ZBDC,

ZDCF=ZBDC=ZBDF+ZFDO,故。符合题意；

故选：D.

3.(2024•浙江校级模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=2,E,尸分别是45,OC的中点.若EF上BD,

则斯=()

A.A/6B.77C.2A/2D.3

【解答】解：连接OE,BE,DF,过F作HF//CD交OD于点、H,

四边形ABCD是矩形，

AO=OD,AD±CD,石是AO的中点,

OE±AD,

OE//CD且FH//CD,

OE//FH,

OEHCD,

ZAEO=ZADCfZAOE=ZACD,

AAE0czW1ZX7,

FH//CD,

NOHF=NODC,/OFH=NOCD,

NOHF^NODC，

OEAOFHOF

而一耘'CD-OC?

四边形ABCD是矩形，

AB=CD=2,且AC=2AO,

尸为oc的中点，

OC=2OF,

FH_OEOFAO_1।

FH=OE=1且FH//OE,

CD~CD~OC~AC~2"

ZOEG=ZHFG,

^OEG=AHFG(AAS),

EG=FG,

EFLBD,

ZBGE=NBFG=9。。,

AOEG=AOFG(SAS),

OE=OF=\,

OC=2OF=2,

四边形ABCD是矩形，

44E=90。，AO=OC=2且OE_LAD,

ZOEA=90°,

在直角三角形OE4中，由勾股定理得：AE=y/o^-OE2=A/3,

ABEG^ABFG(SAS),

:.BE=BF,

22

在直角三角形ABE中，由勾股定理得：BE=4AB+AE=77,

：.BF=BE=sf7,

4.（2024•下城区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC和3。相交于点O,过点O的直线分别交AD

和3c于点E,F.若3c=3,CD=2,则图中阴影部分的面积为（）

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形,

\OA=OC,AD!IBC,

:.ZAEO=ZCFO.

-.-ZAOE^ZCOF,

/.AAOE=ACOF,则S^OE=SACOF，

一S阴影=^AAOE+SAAOB+SABOF=S&COF+S岫OF+^ACOD=^ABCD，

•■•5ABCD=^BC-CD=1X3X2=3,故S阴影=3・

故选：B.

5.（2024•萧山区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是3C上一点，沿上折

叠，点C恰好落在点。处，则NDBC的度数为（）

BEC

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【解答】解：・.•四边形ABCD是矩形，

:.AC=BD,OC=-AC,OB=OD=LBD,ZBCD=90°,

22

OB=OC-OD,

:.ZDBC=/OCB,

根据折叠的性质得，CD=OD,

:.CD=OD=OC,

」.△OCD是等边三角形，

ZCOD=6Q°,

ZCOD=ZDBC+ZOCB,

;.ZDBC=30°,

故选：C.

6.（2024•台州一模）如图，在矩形ABCD中，BC>AB,先以点A为圆心，45长为半径画弧交边相>于

点E；再以点。为圆心，DE长为半径画弧交边DC于点尸；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边3c

于点G.求BG的长，只需要知道（）

A.线段AB的长B.线段AD的长C.线段DE的长D.线段CF的长

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形，

:.AB=CD,AD—BC,

\AB=AE,DE=DF,CF=CG,

设AB=AE=CD=x,CF=CG=yf

:.DE=DF=x-y,

.,.AD=BC=x+x-y,

/.BG=BC-CG=2x-y-y=2(x-y)=2DEf

.•.求3G的长，只需要知道线段DE的长，

故选：C.

AED

7.（2024•杭州二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=^2,石是AB边上的中点，以石为圆心，AD

长为半径画弧，交边BC于点F,连结£F交对角线BD于点G,则变的值是（）

DG

A.—B.A/2-1C.2—6D.—

23

【解答】解：延长所交。C的延长线于〃，

・・・£是边上的中点，

:.BE=-AB=1,

2

•/EF=AD=叵,

,BF二^EF2-BE2=1,

.\CF=A/2-1,

・：CD11AB,

:.\CHF^\BEF,

CF

•乌---,

BEBF

CH_应-1

一f

一11

:.CH=yf2-l,

\-DH//BE,

:.\DHG^\BEG,

BG

DH0+1夜-

一~DG

故选：B.

在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,①在边CD上取一点E,连结BE,②

以点3为圆心，然长为半径画弧，以点E为圆心,隹长为半径画弧，两弧相交于点A,M；③类比②

以点3为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心,团长为半径画弧，两弧相交于点。，N.连结

当恰好经过点C时，DE的长是3.

连接AM、BM、BN、ME、EN,

由题意可得=AE=ME,BD=BN,DE=NE,

AB^MB,AE=ME,

.•.3石是40的垂直平分线,

♦・・BD=BN,DE=NE,

：.BE是DN的垂直平分线，

/.四边形AAWD关于直线5石对称，

.\AD=MN,

•・•四边形ABCD为矩形，

.\ZBAD=ZADC=90°fCD=AB=8fAD=BC=10,

MN=10,

在ABAD和ABMZV中,

AD=MN

<AB=MB,

BD=BN

:.ABAD=ABMN(SSS),

:.ZBAD=ZBMN=90°f

•・・AB=8,

又・・・BC=1。,

MC=^BC2-MB2=A/102-82=6,

..CN=MN-MC=W-6=4,

同理可证AMNE=AADE(SSS),

:.ZMNE=ZADE=90°,

设DE=EN=x,则CE=8—x,

在RtACNE中，EN2+CN2=CE2,

x2+42=(8-x)2

解得％=3,

/.DE=3,

故答案为：3.

9.(2024•上城区二模)如图，矩形ABCD,点E、尸分别是3C,CD上一点，连接EF,令AAEB=a,

374

已知钻=AF,BE=5CE,sina=—,贝!]sinZAFD=—.

5一25一

【解答】解：在矩形ABCD中，ZB=ZD=9O°,AD=BC,

ZAEB=a,

./4厂八.3AB

sinAAEB=sma=—=,

5AE

设AB=3x,贝!!AE=5x,

BE=y/AE2-AB2=4x,

\-AE=AF,

:.AF=5x，

♦;BE=5CE,

I4V

CE=-BE=—

55

24r

..AD=BC=BE+EC=5CE+CE=6CE=——

5

.-.sin==

AF55x25

故答案为：—

25

10.（2024•钱塘区三模）如图，在矩形ABCD中，点E为上一点，连结3E,作N£BC的平分线交CD

3

于点F,连结AF交BE于点G.若AB=BG,tanZABE=-,则——的值为（）

4FC

【解答】解：如图，延长班1,交AD的延长线于延长AF,交3c的延长线于N,

3AF

RtAABE中，tanZABE=-=——，

4AB

设AE=3x,贝！jAB=4x,

...BE=A/A£2+AB2=5x,

AB=BG=4x,

GE=BE-BG=x,

AE//BN,

AAGE^ANGB,

AEEG1

砺一而一"

BN=4AE=12x,

•;BF平分/EBC,EM//BN,

:.ZEBM=ZCBM=ZM,

BE=ME=5x,

AM=AE+ME=3%+5x=8x,

AM!/BN,

AAFM^ANFB,

DFAM8x2

FC~BN~12x~3t

11.（2024•拱墅区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，ABEC与AFEC关于直线EC对称,

点3的对称点/在边"）上，G为CD中点，连结3G分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,

MG=1,则BN的长为2,sin/AFE的值为.

【解答】解：•.•8W=BE,

:.ZBEM=ZBME,

■.■AB//CD,

:.ZBEM=ZGCM,

又Y/BMEUNGMC,

:.ZGCM=ZGMC,

:.MG=GC=1,

•••G为CD中点，

:.CD=AB^2.

连接加1,FM,

由翻折可得NFEM=NBEM,BE=EF,

:.BM=EF,

\ZBEM=ZBME,

:.ZFEM=ZBME,

:.EF//BM,

/.四边形5EF70为平行四边形，

•：BM=BE,

.•.四边形的河为菱形，

•:ZEBC=ZEFC=90。,EF/IBG,

:.ZBNF=90。,

・・・3尸平分NABN,

:,FA=FN,

RtAABF工RtANBF(HL),

：,BN=AB=2.

•・FE=FM,FA=FN,ZA=ZBNF=90。,

RtAAEF二RtANMF(HL),

:,AE=NM,

^AE=NM=x,

贝lj鹿=而=2—％,NG=MG-NM=l-x,

•:FMIIGC,

:.AFMN^ACGN,

.CGGN

…FM-NM'

即，=土三，

2—xx

解得x=2+(舍)或x=2—A/2,

EF=BE=2—x="\/2,

?.sinZAFE=—

EF

故答案为：2；72-1.

12.（2024•嘉兴二模）用两对全等的直角三角形（RtAADE=RtACBG,RtAABF=RtACDH）和一个矩形

£FGH拼成如图所示的DABCD（无缝隙且不重叠），RtAADE和RtAABF的面积相等，连结DF,若

AD±DF,—=-,贝iJtanNS4F的值是()

DE2

【解答】解：如图，由题意知RtAADE三RtACBG,RtAABF=RtACDH,四边形EFGH为矩形,

:.DH=BF,DE=BG,HC=AF,AE^CG,HE=GF,HG=EF,

设EF=HG=x,AE=CG=a,DH=BF=b,

EF_1

贝UDE=BG=2x,AE=AE+EF=a+x,

RtAADE和RtAABF的面积相等，

-DEAE=-BFAF,

22

:.2xa=b(a+x)@,

\AD±DF,DELAF,

・•.ZEDF+ZEDA=ZEDA+ZDAE=90。,

:.ZEDF=ZDAE,

/SADEs\DFE,

DEAE

"~EF~~DE"

.'.DE1=AEEF,

(2x)2=ax,々=4%②，

结合①②可得人二总％,

5

8

—x

/.tanNBAF=竺^=—58

AFa+x4x+x25

故选：B.

13.（2024•浙江模拟）如图所示，矩形ABCD由两直角边之比皆为1:2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙

拼接而成，它们之间互不重叠也无缝隙，则矩形ABCD与矩形EFGH的面积之比为—

一9

【解答】解：设尸G=a,CG=b,

依题意得：EH=FG=a.AE=CG=b,

・・•甲、乙、丙三角形的两条直角边之比皆为1:2,

:.HG=2a,DG=2b,

:.DH=DG—HG=2b—2a,

,\AH=2DH=2（2b-2a）=4b-4a,

/.AE—AH—EH=4b—4a—a=4b—5ay

又・；AE=CG=b,

.\4b—5a=b,

/.a=0.6b,

HG=2a=1.2b?DH=2b-2a=O.8Z?,AH—4b—4a=1.6b,

11.11.

2

:.S9=-CG-DG=-xbx2b=b,S7=-DH-AH=-xO.8bxl.6b=O.Mb-

甲22乙22

11,,

S丙=-FGHG=-ax2a=a2=O.36Z?2,

丙22

S矩•必=2（S甲+S乙+S丙）=2x（从+0.64/+0.36必）=4/，

S矩形EFGH=2s丙=2x0.36b3=0.72厅，

S矩形ABCD_4b-_50

S矩形EFGH=Q.72H=W

14.（2024•西湖区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,E是矩形内部的一个动点,

连接AE,BE,CE,DE,下列选项中的结论错误的是（）

AD

B.无论点E在何位置，总有AE2+CE2=3E2+DE2

C.若则线段CE的最小值为8

D.若ZEAD+ZEBC=60°,M+BE的最大值为23

【解答】解：•.•在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,

AC=yjAB2+BC2=2-Jei,

又•.•点E在矩形ABCD内部，

0<CE<2A/61,

故选项A正确，不符合题意;

过点于/,ME的延长线交CD于P,EN±BC,NE的延长线交AD于。，如图1所示:

设EQ=a,EN=b,EM=c,EP=d,

•.•四边形ABCD为矩形，EM±AB,EN±BC,

:.EP±CD,EQ1AD,

二.四边形AME。，四边形瓦忸0,四边形CPEN,四边形均为矩形，

由勾股定理得：EA2=a2+c2,EC2=b2+d2,BE2=b2+c2,DE2=a2+d2,

:.AE2+CE2=a2+C2+b2+d2,BE2+DE1=b2+c2+a2+d2,

AE2+CE2=BE2+DE2,

故选项3正确，不符合题意；

以他为直径作圆，圆心为O,连接OC交。。于点K,如图2所示：

AD

贝|Q4=OB=OK」AB=5,

2

-.■AE±BE,即Z4EB=90°,

.♦.点E在矩形内部的半圆上运动,

根据点与圆的位置关系得：当点E与点K重合时，CE为最小，最小值为CK的长,

在RtAOBC中，OB=5,BC=12,由勾股定理得：OC^yjOB2+BC2=13,

:.CK^OC-OK=13-5^8,

即线段CE的最小值为8,

故选项C正确，不符合题意;

四边形ABCD为矩形，

:.ZCBA+ZBAD=180°,

-.■ZEAD+ZEBC=60°,

:.ZEAB+ZEBA=120°,

ZAEB=180°-(Z£AB+ZEBA)=180°-120°=60°,

在矩形ABCD内部，以M为一边作等边AA5G,以点G为圆心，以他为半径作OG,延长BE到尸，使

EF=AE,如图3所示:

图3

:.AE+BE=EF+BE=BF,ZEAF=ZEFA,NG=60。，0G的直径为20

5L-.-ZEAF+ZEFA=ZAEB=60°,

:.ZEAF=ZEFA=30°,

，点尸在优弧AFB上运动，加'为OG的弦，

根据“直径是圆内最大的弦”得：当所为OG的直径时为最大，最大值为20,

故选项。不正确，符合题意.

故选：D.

15.（2024•拱墅区一模）如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3-Jw,点P是AD的中点，点E在3c上,

CE=2BE,点、M、N在线段上.若APMN是等腰三角形且底角与"EC相等，则肱V的值为（

D.6或比

8

【解答】解：分两种情况：

①肱V为等腰APMV的底边时，作尸于/，如图所示:

贝I]NPFM=ZPFN=90°,

V四边形ABCD是矩形，

:.AB=CD,BC=AD=3AB=3A/10,ZA=NC=90。，

：.AB=CD=4W,BD=-JAB2+AD2=10,

♦.•点尸是A3的中点，

亚，

22

\ZPDF=ZBDA,

:."DFsgDA,

3M

:.里="即二

ABBD71010

3

解得：PF=—

2

\CE=2BE,

：.BC=AD=3BE,

BE=CD,

CE=2CD，

・・・APMV是等腰三角形且底角与ND£C相等，PF工MN,

;.MF=NF,ZPNF=ZDEC,

・・・N/Y7V=NC=9O。，

.NNFS^DEC,

NFCE、

.-----=-----=2,

PFCD

：.MF=NF=2PF=3,

..MN=2NF=6；

②MN为等腰APMN的腰时，作尸尸_LB£＞于尸，如图所示：

设.MN=PN=x,则RV=3—x,

在RtAPNF中，(1)2+(3-x)2=x2,

解得：x=—,即="；

88

综上所述，MN的长为6或”.

8

故选：D.

16.(2024•柯桥区二模)如图，在矩形XBCD中，AB=8,AD=1O,E,F,G,”分别是边AD,AB,

3C,8上的动点，若AE=CG=a,当四边形EFG”为矩形时，则a的取值范围是—魄k2或8釉10_.

【解答】解：当四边形£FGH为矩形时,

EH//FG,EH=FG,/EHG=90。,

•・・四边形ABCD是矩形，

,\ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=10,AB=CD=8f

...ZDEH+ZDHE=ZDHE+ZGHC=90°,

:.ZDEH=NGHC,

..AEDH^AHCG,

罪嚼‘且』CG=a,

设CW=%(啖8),贝ljDH=8—x,

ED=10—a,

10—a8—x

••—,

xa

整理得，尤2—8x+10o—a?=0,

Xy=4—J(<7—2)(a—8),x,=4+J(a-2)(a-8),

.•.阖-J(a-2)(a-8)4,

①0”J（a-2）（。-8）,

解得：藤上2或a.8,

解得：出10（负解集舍去），

综上所述：喷女2或8麴h10.

故答案为：噂W2或8张女10.

17.（2024•镇海区一模）如图，已知矩形ABCD,过点A作AE_LAC交CB的延长线于点E,若

ZAED=ZACB,则tai?ZBAE=夜一1

【解答】解：...四边形ABCD是矩形，

.,.ZBCD=ZABC=90。,ADIIBC,DC=AB,

222

由勾股定理得：DC+EC=EDf

,;ADIIBC,

:.AAFD^ACFE,ZADE=NCEF,

.ADDF

…~EC~~EF"

.ADED-EF

…耘一EF'

AD+EC

\-ZAED=ZACB,ZADE=NCEF,

:.^AED^NFCE,

.EFEC

一罚一访‘

ECEDEC

"AD\AD+EC)~~ED'

..ED1=Alf+ADEC,

/.DC2+EC2=AD2+ADEC,

\-AE.LAC,

.•.NC4E=90。，

..ZBAE-^-ZBAC=90°,

•/ZABE=ZABC=90°,

:.ZBAE^ZAEB=90°,

:.ZAEB=ZBAC,

/.AAEB^ACAB,

AB_BC

前一耘’

/.AB2=EBBC,

DC2=AB2=EBBC,

•.­CE2=(EB+BC)2=EB2+2EB-BC+BC2,

EB-BC+BC2+2EB-BC+BE2=BC2+EC-BC,

EBBC+2EB-BC+BE2=BC(BC+BE)=BC2+BCBE,

:.BE2+2EBBC-BC2=0,

-2署1=。

解得：匹=_i土夜（负值舍去），

BC

—=72-1,BPBE=（A/2-1）BC,

BC

BE2=(V2-1)2BC2,

AB2=(s/2-l)-BC2,

(3-1)2.叱

tan2ZBAE=(—)2==A/2—1,

AB(A/2-1)BC2

故答案为：\/2—1.

18.（2024•婺城区模拟）如图，在矩形ABCD中，E是3c上一点，且过点。作上_LAE于

点、F.

(1)求证：AF=BE.

(2)已知BC=5,CD=3.求EF的长.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABCD是矩形,

:.AD//BC,ZABE=90°,

:.ZDAF=ZAEB,

\DFLAE,

,\ZDFA=90°,

.\ZABE=ZDFA,

在AAOF和AE4B中，

ZAFD=ZEBA

<ZDAF=ZAEB,

AD=EA

:.\ADF=\EAB{AAS),

：.AF=EB；

(2)解：•.•四边形ABCD是矩形，BC=5,CD=3,

.•.AD=BC=5,AB=CD=3,4=90。，

\AD=AE,

AE=5,

BE=^AE2-AB2=6-3?=4,

由(1)知：AF=BE,

:.AF=4,

.-.EF=AE-AF=5-4=1,

即EF的长是1.

19.(2024•拱墅区校级模拟)如图，在矩形ABCD中，E,尸分别是BC,AD边上的点，且AE=CF.

(1)求证：A4BE=ACDF；

(2)当AC_LEF时，AE=10,AC=16,求四边形AECF的面积.

【解答】(1)证明：•.•四边形ABCD是矩形，

.-.ZB=ZD=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,

在RtAABE和RtACDF中,

AE=CF

AB=CD

RtAABE=RtACDF(HL)；

(2)解：\^ABE=\CDF,

:.BE=DF,

・・・BC=AD,

:.CE=AF,

•­CE//AF,

，四边形AECF是平行四边形,

又,.,AC_L£F,

四边形AECF是菱形，

设AC与£F交于点O,

AO=-AC=-xl6=8,EF=2OE,

22

OE=A/A£2-OA2=7102-82=6,

:.EF=12,

...S塞彩AS=-ACxEF=1x16x12=96・

交形Am*22

20.(2024•镇海区校级四模)如图,在矩形ABCD中，尸为边钻的一点，3尸的中垂线分别交矩形两边4),

3c于点E,F,交DP于点H,BF=CD,连结。F,PF.

(1)判断ADEP的形状，并说明理由.

(2)若AP=BP=2,求EH,EF的长.

【解答】解：(1)ADFP为等腰直角三角形，理由如下:

•・・£F是DP的中垂线,

:.DF=PF,

「.ADFP为等腰三角形，

•・,四边形ABCD为矩形，

:.ZA=ZB=ZC=90°,AB=CD,AD=BC

在RtABFP和RtACDF中，

[DF=PF

[BF=CD'

RtABFP三RtACDF(HL),

:.ZBFP=ZCDFf

・・・ZCDF+ZCFD=90°,

.•.ZBFP+NCFD=90。,

ZDFP=180。—(ZBFP+ZCFD)=90°,

「•AD"为等腰直角三角形；

(2)♦.・AP=BP=2,

..AB=CD=4,BF=CD=4,

由(1)可知：RtABFP=RtACDF,

.\BP=CF=2,

.,.BC=AD=BF+CF=6,

在放4PD中，由勾股定理得：DP=7AP?+AD2=2厢,

由(1)可知：AZ才尸为等腰直角三角形，

又・・•跖是。尸的中垂线，

.•.FH=PH=DH=LDP=回,ZDHE=900,

2

:.ZDHE=ZA=90°,

又・.・ZHDE=ZADP,

:.ADEH^ADPA,

..EH:AP=DH:AD,

即EH:2=M：6,

，EH=-----,

3

.­.EF=EH+切=叵+而.

33

21.(2024•临安区二模)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结CE,DE.若CE=CD,过

点。作DF_LCE1于点尸.

(1)求证：△CTOvAEBC.

2

(2)若AE