2025年中考数学二轮复习：锐角三角函数 压轴解答题练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：锐角三角函数压轴解答题练习题

填空题（共25小题）

1.如图，sin/O=1,长度为2的线段DE在射线。2上滑动，点C在射线。4上，且OC=5,△CZ）E的

两个内角的角平分线相交于点F,过点F作FGVDE,垂足为G,则FG的最大值

为____________________.

2.如图，△ABC为等边三角形，点。在△ABC外，连接2。、CD.^ZABD^2ZACD,tan/ACO=等,

BD=V37,则CD=.

3.如图，在四边形ABC。中，ZABC=90°,AB//CD,点E是四边形ABC。内一点，NBEC=90°,F

是AE的中点，连DF,若A3=3,BC=2,tanZBAD=2,贝UDF+^-AF的最小值

为.

4.如图，BE是△ABC的角平分线，歹是A8上一点，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于点G.若sin/AEB=

2R

-g-,BG=4,EG=5,贝IS^ABE=.

E

G

B'

5.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形A8C。是矩形，AB

=20cm,AD=30y/5cm,DE=60cm,8尸=30c〃z.点”在8c上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、

H、。转动并带动A/转动，支撑杆LK、不动.躺椅在转动时：

(1)若直线取过点J,当NAOE=120°时，的面积是cm2.

1

(2)若&<tan/E£)/<2,所与地面的夹角为a,贝Utana的取值范围是

图1图2

6.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知Rt^ABC可运动(平移或旋转)，且/C=90°,BC=V5+4,

1

tanA=i若以点M(3,6)为圆心，2为半径的OM始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点

O的距离的最小值为.

7.“曲柄摇杆机构”是一种运动零件.图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，

其中AB是静止不动的机架，是绕A做圆周运动的曲柄，BC是绕8上下摆动的摇杆，是连结A。

和BC两个运动的连杆，A,B,C,。始终在同一平面内.已知43=2。=5.当。运动到图2位置时，

记A8,CD的交点为E,现测得AOLBC,AD=DE,tanZDAE=则8=.图

2之后，。绕A继续运动，当C再次回到图2位置时(如图3),则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形

ABCD的面积为

8.如图，/XABC中，。为边AB上的中线，点E在AC上，连接8E交CD于点EZBEC=120°,BF

=AE+EF,若42=4夕，AE=8,则CD的长为.

9.如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定

不变，已知支脚。E=A8.底座CZ）_LAB,BG1AB,且05=23,尸是。E上的固定点，且ERDF=

2：3.

（1）当点8,G,E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan/8EO=2.设BC=5a,则尸G=

（用含。的代数式表示）；

（2）在（1）的条件下，若将点C向下移动24cm则点8,G,尸三点在同一直线上（如图2）,此时

点A离地面的高度是cm.

10.如图2,有一块四边形的铁板余料4BCD,经测量A8=50cmBC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=

,若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,则该矩形的面积为

cm2.

D

A

BL---------------------------

11.如图，在△ABC中，A8=A。，点。为△ABC内部一点，_aZADB+ZBAC=240°,ZADC=2ZABC,

若3BD=2CD,则tanNADC的值为.

12.如图，△ABC中，AB=AC,tanC=7,D、/分另U在边AC、8c上，作AE_L5Z),DE//AF^AE^E.若

4

13.在△ABC中，已知6=1,c=2,AD是NA的平分线，AO=孥，则NC=.

1

14.如图，RtAABC,/C=90°,tanA=京。是AC中点，/ABD=NFBD,BC=6,CF//AB,贝U止

15.如图，在△ABC中，AB=AC,8c=12,。为AC边的中点，线段8。的垂直平分线分别与边BC,AB

交于点E,F,连接。RDE.设BE=x,tanZACB^y.给出以下结论：①DF〃BC；②△BOE的面积

3

为吐；③△CDE的周长为12+无；④/->2=%⑤2x-y2=9.其中正确结论有（把你认为

正确结论的序号都填上）.

QAD

16.如图，C为射线AM上一点’以点C为直角顶点作交射线AN于。,8两点‘当tanA=&时，茄的

最大值为____________________

17.在△ABC中，NABC=60°，BC=8,点。是BC边的中点，点E是边AC上一点，过点D作即的

垂线交边AC于点F,若AC=1CF,且DE恰好平分△45C的周长，则△ABC的面积

为.

18.如图，已知四边形ABC。的一组对边A。、8C的延长线相交于点E.另一组对边A3、0c的延长线相

父于点F,若cosZABC=cosZADC=CD=5,CF=ED=n,则AD的长为（用

含n的式子表示）.

19.如图，线段AC,BD交于点P,ZA=30°,ZACZ)=120°,ZD=15°,AB=1,CD=V3,则BD

的长为__________________

20.等腰三角形ABC,AB=BC,tan/2AC=2,。为△ABC内一点，连接A。、BD、CD,A£>=3,BD=

2V5,CD=5,贝ijAB=.

114

21.已知△ABC中，满足一+―c=—B，b=4,贝Ua+c=.

tan-tan-tan—

222

22.“572”汶川大地震使不少建筑物受损.某地一水塔地震时发生了严重沉陷（未倾斜）.如图，已知地

震前，在距该水塔30米的A处测得塔顶B的仰角为60°；地震后，在A处测得塔顶B的仰角为45°,

则该水塔沉陷了米.（精确到0.01,V3«1.7321,a=1.4142）.

地震前地震后

23.（按课改要求命制）如图，设尸是等边三角形ABC内的一点，PA=1,PB=2,PC=V5,将△A8P绕

点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合,点P旋转到P'外，则sinZPCP1的值是

（不取近似值）.

24.如图，在矩形ABC。中，E,F,G,反分别为AB,BC,CD,D4的中点，若AH：AE=4：3,四边

形EFGH的周长是40cm,则矩形ABCD的面积是cm1.

25.在△ABC中，tan/ABC=W，2。平分NABC交AC于点。，过A作AE_LAB交BC于点E,若AE=

EC,BD=V26,则AB的长为.

参考答案与试题解析

填空题（共25小题）

1.如图，sin/O=1,长度为2的线段DE在射线。2上滑动，点C在射线。4上，且0C=5,△CZ）E的

两个内角的角平分线相交于点R过点/作尸GLOE,垂足为G,则尸G的最大值为—空二

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】容.

【分析】如图1中，连接CF,过点F作FMA.CD于M,FNLEC于N,过点C作CH_LOE于H.利

用面积法可得FGY2+EC+C。）=6,推出当EC+CD的值最小时，PG的值最大，想办法求出EC+C。

的最小值即可.

【解答】解：如图1中，连接CF,过点F作户于FNLEC于N,过点C作CH_LOE于H.

「△COE的两个内角的角平分线相交于点RFG1DE,FMLCD,FN1EC,

:.FG=FM=FN,

在Rtz\OCH中，VZCHO=90°,0c=5,

：.CH=3,

1111

:&DEC=^DE-CH=?EUFN+宁CD，FM+?DE・FG,

：.FG<2+EC+CD)=6,

当EC+CD的值最小时，FG的值最大，

如图2中，过点C作CK〃OE,使得CK=DE=2,作点K关于直线08的对称点J,连接CJ交08于

E,连接EJ交0B于T,截取ED=CD,此时CE+CD的值最小，最小值=CJ的长.

在RtZVKC中，VZJKC=90°,CK=2,JK=6,

；.CJ=yjKJ2+CK2=762+22=2V10,

Z.CE+CD的最小值=2VIU,

•JG的最大值=春同—1

-3-

Vio-i

故答案为:

3

【点评】考查了轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属

于中考压轴题.

2.如图，ZVIBC为等边三角形，点£>在△ABC外，连接BIXCD.若tan/ACO=等,

BD=V37,则CD=11.

【考点】解直角三角形；等边三角形的性质.

【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，连接4D,作3H_LAD于作DEJ_CB交CB的延长线于E,作CN_LD4交D4的延

长线于林首先证明BO=BC,推出△AOC的外接圆的圆心是点2,推出NA£)C=RABC=30°,解

直角三角形求出。H,设CM=x,则。Af=VIx,CD=2x,AM=V3x-4V3,在RtZkACM中，根据AC?

^AM2+CM2,构建方程解决问题即可.

【解答】解：如图，连接A。，作8H_LAD于H,作。E_LC8交CB的延长线于E,作CM_LZM交。A

的延长线于M.

：△ABC是等边三角形，

ZABC=ZACB^60°,

VZDB£=180°-AABD-ZABC=120°-2ZACD=12Q°-2(60°-/BCD)=2NBCD,

又,?ZDBE=ZBDC+/BCD,

：.NBCD=ZBDC,

:.BD=BC,

：.BD=BA=BC=AC=V37,

AADC的外接圆的圆心是点2,

1

AZADC=^ZABC=30°,

9

：BD=BAfBHLAD,

：.ZABH=NDBH,

'：ZABD=2ZACD,

：.NBDH=ZACD,

・，Zr\r»TT—X/4"A2A/3DH

・・tanN。3H=tanNAC£)=--=

设DH=2Wk,BH=5k,

（2回）2+（5k）2=37,

...左=1或-1（舍弃），

:.DH=AH=2W,

设CM=尤，贝1]00=倔:，CD=2x,

：.AM=V3x-4V3,

在RtAACM中，AC2=AM1+CM1,

.\37=（V3x-4V3）2+x2,

解得尤=/（舍弃）或T7，

/2

11

；.CM=芸，

；.C£）=2x=ll,

故答案为11.

【点评】本题考查解直角三角形，等边三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是发现点B

是△AC。的外接圆的圆心，属于中考填空题中的压轴题.

3.如图，在四边形ABC。中，NABC=90°,AB//CD,点E'是四边形内一点，NBEC=90°,F

是AE的中点，连。R若AB=3,BC=2,tanZBAr>=2,则。尸+需4尸的最小值为—回亚

【考点】解直角三角形；勾股定理.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】取BC的中点为点G,连接GE、AG,取AG的中点为点H连接切，根据直角三角形斜边上

中点的性质以及三角形的中位线定理可得GE=1,HF=^,由勾股定理可得AG=VTU,从而得到AH=

FHFM

写，在A"上取一点M,使得N"FN=NHAR连接尸则△尸/〃—△4”方,从而即可得到一=—=

2AHAF

器=套=噂，FM=^-AF,HM=^HF=^*=嚼,nTWDF+^-AF=DF+FM,连接

~2~

DM,可知当。、F、M三点共线时，。尸+黑AF的值最小.连接Z5H过点D作。NLA8于N,连接

DG,通过证明四边形SCAN是正方形，可得CO=Z）N=2,从而即可证明△CZX?gZkND4（SAS）,得

到△AOG是等腰直角三角形，即可推出OH=%G=孚，DH±AG,最后由勾股定理计算出DM=

7DH2+HM2=J（孚）2+（锣）2=嚼^即可得到答案.

【解答】解：如图，取BC的中点为点G,连接GE、AG,取AG的中点为点X,连接切，

\'BC=2,ZCEB=90°,点G为BC的中点,

11

GE=^BC=x2=1,

・・,尸为AE的中点，”为AG的中点，

・•・"/为AAGE的中位线，

11

：.HF=^GE=I，

在RtZVIBG中，5G=1,AB=3,

；・AG=y/BG2+AB2=Vl2+32=VTO,

TH为AG的中点，

：.AH=孚，

在AH上取一点M,使得/HFM=/HAF,连接FM,

•?ZFHM=ZAHF,

1I-

.FHFMHM2V10

'"AH——HF―叵―10)

2

・I7A4—AJ7J-TA/f—UT7—sz1—

..FM=^-AF,HM=~IQHF=^-X2=

：.DF+^-AF=DF+FM,

连接。M,

...当。、F、M三点共线时，。尸+黑1的值最小.

连接。H,过点。作。N_LA8于N,连接。G,

'：AB//CD.ZABC=90°,

AZABC=ZBCD=ZBND=9Q°,

・•・四边形8C0N是矩形，

:.DN=BC=2,ZDNA=90°,

・・/CACDN2c

•1^ZBAD=AN=AN=2^

：.AN=1,

：.BN=AB-AN=3-1=2=8C,

・•・四边形BCDN是正方形，

:.CD=DN=2,

在△CDG和△ND4中，

CG=AN

乙DCG=乙DNA,

CD=ND

：./\CDG^/\NDA(SAS),

：.ZCDG=ZNDA,GD=AD,

•；/CDG+NGDN=90°,

・・・NNQA+NGDN=NGDA=90°,

・•・AADG是等腰直角三角形,

DHLAG,

：.ZDHM=90°,

71010

：.DM=y/DH2+HM2

20'

：.DF+^-AF的最小值为

M依4位V1010

故答案为：k

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定与性质、

全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形、勾股定

理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键.

4.如图，BE是△A8C的角平分线，尸是上一点，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于点G.若sin/AEB=

■?K81

-F-，8G=4,EG=5,贝IS/\ABE=・

5-5一

E

【考点】解直角三角形；角平分线的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，过点8作BT_LAC于T,连接EF.在RtZ\8ET中，解直角三角形求出8T,ET,BC,

由△ECGs/^EBC,求出EC,CG,再利用相似三角形的性质求出EF,BF,AE,AB,证明点T与点A

重合即可解决问题.

【解答】解：如图，过点3作B7UAC于T,连接EE

平分NABC,

/ABE=NCBE,

'：ZECG=ZABE,

:./ECG=/CBE,

•：/CEG=/CEB,

:.△ECGS^EBC,

.ECEGCG

,,EB~EC~CB'

:.Ed=EG・EB=5义（5+4）=45,

-：EC>0,

.•.EC=3V5,

在RtZXBET中，：sin/AE8=f^=挛，BE=9,

DCb

.RT1875

••8T=F-'

：.ET=y/BE2-BT2=小2_（哗耳=誓，

24匹

・•・CT=ET+CE=

：.BC=7BT2+C72=J（1^）2+（^^）2=6后

EG-BC

：

.CG=EC=10,

・：/ECG=/FBG,

・・・E,F,B,。四点共圆,

:・/EFG=/CBG,

ZFGE=NBGC,

:•丛EGFsACGB,

.EFEG

••—,

CBCG

.EF_5

:萩=10，

:・EF=3瓜

VZAFE=ZACB,NEAF=/BAC,

AAEAF^ABAC,

AEAFEF1_,

/.—=—=一二一，设AE=x,则AB=2x,

ABACBC2

ZFBG=/ECG,ZBGF=/CGE,

:•丛BGFs丛CGE,

.BF_BG

••一,

CECG

.BF4

•二亲=适

・・2廿

AR

•\x(x+3V5)=(2x——g-)*2x,

解得》=竽

・人？Z7T9/5

..AE=ET=-g-

・••点A与点T重合,

1875

：.AB=2AE=

-5-,

.口118A/59A/581

••Sc/^ABE—2xABXAE=ax——x———

故答案为g.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABC。是矩形，AB

=2Qcm,AD=3Qy/5cm,DE=60cm,8/=30c%.点”在8c上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、

H、。转动并带动4/转动，支撑杆LK、不动.躺椅在转动时：

1Qr7匚/1匚

(1)若直线取过点J,当NADE=120°时，△AF/的面积是--------cm2.

—11—

11111

(2)若一<tanZEZ)/<2,成与地面的夹角为a,贝hana的取值范围是一VtanaV称.

2—3713—

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；矩形的判定；锐角三角函数的增减性.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

ZFAIAFAI505

【分析】(1)先证明△RVS\ED/,得到一=—,进一步得到——=-=—=求得A/,过点F

2DEDJDED]606

作FMLD4交D4的延长线于点N,则/ANF=90°,在RtZVUW中，求得FN,进而求得△AR7的面

积；

1

(2)分tan/即/=★和tan/ED/=2两种情况，求解tana,由所与地面的夹角a随着NED/的增大而

增大，求得tana的取值范围.

【解答】解：⑴若直线即过点J,当NAZ)E=120°时，如图1所示，

图1

由题意可知，AB//CD,

:.NF=NE,ZFAJ=ZADE=120°,

:.△FAJsAEDJ,

•.丝.—=国,

DEDJ

9

：AF=AB-^BF=50cmfDE=60cm,

.AFAJ505

・'DE-O/—60一6’

.54n15075

..AAJT=五A£)=—五一cm,

过点尸作FNLD4交D4的延长线于点N,则NAN/=90°,

在Rt/VIFN中，ZFAN=180°-ZFAJ=60°,AF=50cm,

：.FN=AFsinZFAN=50Xsin60°=255

：.AAFJ的面积=|xAJXFN=竺得巫a”?；

1

(2)当tan/EZ)/=*时，如图2所示，作EP_L。/于点P,则NEPZ)=90°,设成交AO于点°,

由题意可知，AB//CD,

：.ZF=ZQED,ZFAQ=ZQDE,

△必

.AFAQ

••二,

DEDQ

,

：AF=AB-^BF=50cmfDE=60cm,

tAFAQ505

・'DE-DQ-60-6’

・nc618075

・・DQ=五AO=―五一cm,

设EP=x,则。尸=2x,由勾股定理得:

221

EP+DP=DEf

，x2+(2%)2=6。2,

解得冗=12祈°租，

:.EP=12次cm,DP=24小cm,PQ=DP+DQ=号善cm,

•,+/sn店11

..tana=tan/£QP=—EP=—12^=-.,

Il

图3

同理可求得。。=耳与

■cm,DP=\24Scm,EP=24y[5cm,

：.PQ^DP+DQ=半鸟to,

一*EP24西11

..tana=tan/EQP=而=包还=百

11

;石尸与地面的夹角a随着NE。/的增大而增大,

11111

，当一<tanNEZ)/V2时，tana的取值范围是一<tana

23713

1875V1521111

故答案为:cm；一<tana

113713

【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，读懂题意，分情况画

出图形是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知Rt^ABC可运动(平移或旋转)，且NC=90°,BC=V5+4,

tanA=i若以点M(3,6)为圆心，2为半径的OM始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点

O的距离的最小值为_有_.

【考点】解直角三角形；坐标与图形变化-平移；坐标与图形变化-旋转.

【专题】动点型；平面直角坐标系；与圆有关的计算；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，设0M与AC相切于点/,与A3相切于点T,连接0C,MJ,MT,延长交A8于？解

直角三角形求出CM,OM,根据0C20M-CM即可解决问题.

【解答】解：如图，设0M与AC相切于点/,与A5相切于点T,连接0C,MJ,MT,延长加交A8

于足

：AC,A3是。0的切线，

\MJLAC,MT±ABf

\ZAJM=ZATM=90°,

\ZA+ZJA/T=180°,

.*ZJMT+ZFMT=1^0°,

・・NA=/FMT,

1

tanA=tanZFMT=于

:MT=2,

,.TF=1,FM=yjMT2+FT2=V22+l2=V5,

,.JF=MJ+MF=2+求,

•.AJ=2FJ=4+2V5,

."AC=2BC=8+2V5,

\CJ=4,

：ZCJM=90°,

\CM=JC/2+M/2=V42+22=2V5,

：M(3,6),

\0M=V32+62=3底

：OC^OM-CM,

OC234-2V5,

oc>Vs,

」.oc的最小值为花.

故答案为有.

【点评】本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化-旋转等知识，解题的关键是理解题意，

学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

7.“曲柄摇杆机构”是一种运动零件.图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，

其中AB是静止不动的机架，AO是绕A做圆周运动的曲柄，8C是绕B上下摆动的摇杆，。是连结

和两个运动的连杆，A,B,C,。始终在同一平面内.已知AB=BC=5.当。运动到图2位置时，

Q25

记A3,CD的交点为E,现测得A0_L8C,AD=DEftmZDAE=^则CD=一.图2之后，。绕

A继续运动，当C再次回到图2位置时（如图3）,则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形ABC。的面积

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质.

【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）延长AD交CB的延长线于凡作8G〃C。交AF于G,先解Rt^ABF,求得A尸和8尸,

推出△ABG是等腰三角形，设AG=BG=x,在RtZXBFG中列出方程，求得BG,再根据

列出比例式，求得CD；

（2）在AF上截取A。'=A。，连接C。'（即还原图2的CD的位置），根据勾股定理求得。'尸的长，

进而求得△AC»及△ABC的面积，进而求得四边形ABC。的面积.

【解答】解：如图1,

B

延长AO交C3的延长线于尸，作8G〃C□交Ab于G,

：.4ADEs丛AGB,△FBGs^FCD,

.DEADBGBF

…BG-AG'CD~CF'

9

：AD=DEf

:・AG=BG,

VAD1BC,

AZF=90°,

3

VAB=5,tmZDAE=y,

4

:・BF=3,AF=4,

设AG=8G=x,则/G=4-JG

在中，由勾股定理得,

FG2+BF2=BG2,

(4-x)2+32=^

CD~8’

A

图2

D

CD1是CO在图2的位置,

在△AC£)和△AC。'中，

CD=CD'

AC=AC，

.AD=AD'

：.△AC£>^AACr),CSSS),

2s

VZF=90°,CF=8,CD'=CQ=詈，

■■D'F=娉)2—82J

7q

：.AD'=AF-Df歹=4一(=|,

i1耳20

:&ACD=^AD^CF=/尹8=学

._20

•・OcAACD=-g-，

11

TS^ABC=•AF=*x5x4=10,

.c_in^2050

・・3四边形A3CZ)—1。+

故答案为：拳Y-

33

【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似

三角形及转化图形的面积.

8.如图，△ABC中，CO为边上的中线，点E在AC上，连接BE交C。于点RZBEC=120°,BF

=AE+EF,若A8=4V7,AE=8,则CD的长为6次.

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】6V3.

【分析】如图，延长BE到T,使得ET=AE,连接AT,过点A作A7LBE于/,过点E作EKLC。于

K.解直角三角形求出AT,BT,再利用三角形中位线定理求出。F,证明E/=EC=2,可得结论.

【解答】解：如图，延长3E到T,使得ET=AE,连接AT,过点A作后于/,过点E作EKLC。

于K.

9：ZBEC=12O°,

AZAET=ZBEC=12Q°,

ZAEJ=180°-ZAET=60°,

'：AE=ET=S,

：.ZT=ZEAT=30°,

1

：.JE=1AE=4,

：.AJ=JAE2-E]2=V82-42=4V3,

.'.AT=2AJ=8V3,JT=4+8=12,

BF=AE+EF=EF+ET=FT,BD=AD,

：.DF//AT,DF=^AT=4V3,

在RtAABJ中,BJ=y/AB2-A]2=J(4^7)2-(4V3)2=8,

・•・BT=BJ+JT=8+12=20,

VBF=EF+8,

・・・BF+EF+ET=23

：.EF=2,

'：AT//FC,

：.ZECF=ZEAT=30°,ZEFC=ZT=30°,

：.ZECF=ZEFC=30°,

：.EF=EC=2,

'：EK.LCF,

1

：・EK=^EF=1

：.FK=KC=VEF2-EK2=V22-l2=V3,

:.CF=2FK=2®

：.CD=DF+CF=643,

故答案为：6A/3.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

9.如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴43上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定

不变，已知支脚。E=A8.底座CZ)_LA8,BGLAB,且0)=23,尸是。E上的固定点，且ERDF=

(1)当点8,G,E三点在同一直线上(如图1所示)时，测得tan/BED=2.设8C=5a,则尸G=

乎(用含a的代数式表示)；

(2)在(1)的条件下，若将点C向下移动24cm,则点8,G,尸三点在同一直线上(如图2),此时

点A离地面的高度是(19+19V5)cm.

【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的判定与性质.

【专题】压轴题；推理填空题；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】(1)y；

(2)19+19V5.

【分析】(1)如图1中，连接。G,EG,过点F作于则四边形。GB是矩形.可得BC=

DG=5a,根据勾股定理和已知条件可得EG和。E,再证明可得。R根据勾股定理

即可解决问题；

(2)如图1中，连接。G,EG,过点尸作FHLBE于H,则四边形CDGB是矩形.如图2中，连接

OG.作即交3尸的延长线于J.利用勾股定理构建方程求出x即可.

【解答】解：（1）如图1中，连接。G,EG,过点F作打LLBE于”，则四边形CDG8是矩形.

nr

在RtZkOEG中，tanNOE8=^=2,

：.EG=苧,DE=yjEG2-^DG2=](苧/+(5a)2=竽

■:FH//DG,

.EFEH2

''DF~GH~3

:.XEFHSXEDG,

.EFEH2

…DE-EG-S’

EF=卷DE=Vx^^flV5a2—a2=y/5a,

:・DF=*~a,EH=|EG=|x=^,HG=EG-EH=-a=

乙。。乙乙乙

：.FH=y]EF2-EH2=V5a2-a2=2a,

：.FG=<FH2+HG2=J4a2+冢2=苧；

5a

故答案为：-；

(2)如图1中，连接QG,EG,过点F作FHLBE于H,则四边形COG8是矩形.

图1图2

设BC=DG=2xcm,

nr,

在RtZXOEG中，tanNDE8=/=2,

.\EG=x(cm),DE=y/EG2+DG2—V5x(cm),

■:FH//DG,

.EFEH2

'*DF~GH~3

DF=~(cm),EH=(cm),HG=(cm),

FH=y/EF2—FH2=尹(C7w),

:.FG=VFW2+HG2=x(cm),

如图2中，连接。G.

,."DF2=£)G2+FG2,

—x)2=f+(2x-24)2,

5

解得尤=15+3有或15-3V5(舍弃)，

：.AB=DE=V5x=(15+15V5)cm,

作EJ_LBF交的延长线于/.则EJ=E>sinN£FJ=(4+4而)cm,

・'•点A离地面的高度=A8+EJ=(19+19V5)cm.

故答案为：19+19•.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

10.如图2,有一块四边形的铁板余料488,经测量A3=50cm,BC^108cm,CD^60cm,且tan8=tanC=

A

I，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形尸QMN,则该矩形的面积为1944

cm2.

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】1944.

【分析】延长BA、CO交于点E,过点E作EHL8C于点“，中位线PQ的两端点在线段A8、CD上,

在△ABC中，设BC=a,BC边上的高&。=〃，矩形PQWN的顶点P、N分别在边A3、AC上，顶点。、

nT

-

M在边BC上，由△APNsAlBC,设PQ=x,则S矩形PQMN=PQ・PN=X(CI—,)=—#+"=--2

2+半，可得当PQ=轴，S矩形PQMN最大值为丝，进而可得矩形PQMN的最大面积.

4/4

【解答】解：如图，延长BA、CD交于点E,过点£作即，BC于点8,

交尸。于点G,如图，设矩形PQWN,

则S簪PQMN=PQ・QH=|X(72-x)=—|(x-36)2+1944,

当％=36时，S矩形尸QWN最大值为1944,

所以当QM=36时，矩形PQMN的最大面积为1944cM2,

答：该矩形的面积为1944cm2.

故答案为：1944.

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查解直角三角形的应用、中位线定理、相似三角形的判定与性

质、等腰三角形的性质、二次函数的最值及类比思想的运用是解题的关键.

11.如图，在△ABC中，AB=AC,点。为△ABC内部一点，S.ZADB+ZBAC=240°,ZADC=2ZABC,

若3BD=2CD,贝iJtan/AOC的值为4百.

B。

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】4V3.

【分析】在CD上取一点T，使得NZMT=60°,过点T作77九LA£)于"想办法证明之△C7A

(A4S),推出BD=AT,AD=CT,可以假设BD=3k,CD=2k,则AH=AT'cos60°=k,HT=AT・sin60°

=y[3k,设AZ)=CT=x,贝1]。〃=尤-左，利用勾股定理求出可得DH=*,由此即可解决问题.

【解答】解：在C。上取一点T,使得ND4T=60°,过点T作于

B。

VZA£)B+ZBAC=240°,

/.ZADB+ZBAD+600+ZCAT=240°,

AZADB+ZBAD+ZCAT^18Q°,

VZADB+ZBAD+ZABD=1SO°,

ZABD=ZCAT,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

VZADC=2ZABC,ZADT+ZDAT+ZATD=180°,ZBAC+2ZABC=180°,

/BAC=ZDAT+ZATD=60°+ZATD,

：.ZATC+ZABC=ZATC+ZATD+ZDAT=240°,

，ZADB=ZATC,

：.AADB^ACTA(A4S),

：.BD=AT,AD=CT,

9：3BD=2CD,

・•・可以假设50=2%,CD=3k,则A〃=AT・cos60°=k,HT=AT*sin60°=Wk,

设AO=CT=x,则。

211

在RtZXOHT中，D7=DH+HTf

(x-k)2+(V3/c)2=(3%-%)2,

x=左左,

：.DH=*,

•/4cHTy[3k./7T

..tanZA£)C=—=4/3,

4k

故答案为：4V3.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

Q

12.如图，△ABC中，AB^AC,tanC=D、尸分另l]在边AC、BC上,作DE〃AF交AE于E.若

q

AE3CD4

—=一，n贝!lJ—=一.

BD4BFS—

【考点】解直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，过点A作AHLBC于连接EH,设交A8于0,交AE于K,设。打交AE

CDCH

于T.想办法证明△C£)»S/\BRI,推出一=一，由此即可解决问题.

BFAB

【解答】解：如图，过点4作&”_18(7于〃，连接QH,EH,设8。交AH于。，交AE于K,设QH

交AE于T.

•：BD_LAE,AH±BC,

：.ZAKO=ZBHO=90°,

ZAOK=ZBOH,

：.NDBH=ZEAH,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

tanAABC—tanZC=丽=

ttAE3

•BD一4,

.AHAE

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