2025年新高考数学复习专项训练：折叠翻转八大题型（原卷版）

专题1-6折叠翻转八大题型汇总

。常考题型目录

题型1平行问题..................................................................1

题型2垂直问题..................................................................4

题型3体积距离问题..............................................................5

题型4线面角问题................................................................7

题型5二面角问题................................................................9

题型6角度相关动点问题.........................................................12

题型1体积相关动点问题.........................................................13

题型8最值问题.................................................................14

但题型分类

题型1平行问题

【例题1】(2023•全国高三专题练习)如图1所示，在边长为12的正方形中，点B,C

在线段44'上，且4B=3,BC=4作,分别交公掰、闻于点外P作CC//44,

分别交为4、于点Q、Q,将该正方形沿BBi，CG折叠，使得与重合，构成如

图2所示的三棱柱4BC-.

图1图2

(1)在三棱柱ABC-&B©中，求证：AB1平面BCQBi；

(2)试判断直线AQ是否与平面&GP平行，并说明理由.

【变式1-1]1.(2022秋・河南郑州•高二郑州市第二高级中学校考开学考试)如图1,在

边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将AAPD、△CDQ分别

沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M,连BM、PQ,得到图2所示几何体.

(1)求证：PM1DQ；

(2)在线段MD上是否存在一点F,使平面PQF,如果存在，求翳的值，如果不存在,

说明理由.

【变式1-1]2.(2022・全国•高三专题练习)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折

叠，使得平面ABD1平面CBD,AE1平面ABD,S.AE=V2.

(1)求DE与平面BEC所成角的正弦值；

⑵直线BE上是否存在一点M，使得CMII平面ADE,若存在，确定点M的位置，若不存

在，请说明理由.

【变式1-1]3.(2021秋•宁夏银川•高二校考阶段练习)如图①所示的等边三角形48c的

边长为2a,CD是48边上的高，E,F分别是AC,8c边的中点现将ZM8C沿CD折叠，使平面

ADC_L平面BDC,如图②所示.

(1)试判断折叠后直线48与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求四面体ADBC外接球的体积与四棱锥。-48FE的体积之比.

【变式1-D4.(2022•全国•高三专题练习)已知如图1所示在边长为12的正方形,

中，BBj/CCj/AAr,且AB=3,BC=4,44/分别交8%,CG于点P、Q,将该正方形沿

BBi，CG,折叠，使得与A4i重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A/©,在该三棱

柱底边4C上有一点M,满足AM=kMC(0<k<1)；请在图2中解决下列问题：

(1)求证：当k=前寸，〃平面2PQ；

(2)若k=[,求三棱锥M-4PQ的体积.

【变式1-U5.(2022•全国•高三专题练习)如图，四边形M4BC中，△力BC是等腰直角三

角形MCB=90°,△MAC是边长为2的正三角形以4c为折痕将小M2C向上折叠到△DAC

的位置，使。点在平面ABC内的射影在力B上,再将△MAC向下折叠到△R4C的位置，使平面

EAC1平面ABC,形成几彳可体£MBCE.

(1)点尸在BC上,若。F〃平面E",求点F的位置；

(2)求二面角。-BC-E的余弦值.

题型2垂直问题

【例题2](2022•全国•高三专题练习)已知梯形||CD,现将梯形沿对角线AC向

上折叠，连接，问：

(1)若折叠前BD不垂直于力C,则在折叠过程中是否能使8。1AC?请给出证明；

⑵若梯形2BCD为等腰梯形，力B=3,CD=5,折叠前4c1BD,当折叠至面4DC垂直于面

4BC时，二面角2-BD-C的余弦值.

【变式2-1](2020•全国•校联考三模)如图甲，E是边长等于2的正方形的边CD的中点，

以AE、BE为折痕将AADE与3CE折起，使D,C重合(仍记为D),如图乙.

D(C)

(1膝索:折叠形成的几何体中直线DE的几何性质(写出一条即可不含DE±DA,DE±DB,

说明理由）；

（2）求二面角D-BE-A的余弦值

题型3体积距离问题

【例题3]（2022•全国•高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，ABllCD,AB±AD,

且AB=AD=：CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形

ADEF折叠，使ED^DC,M为ED的中点，如图2.

图1图2

⑴求证：AMII平面BEC;

（2）求证:BC_L平面BDE;

⑶求点D到平面BEC的距离.

【变式3-1]1.（2021・高二课时练习）如图，在边长为2的正三角形ABC中，点D,E,G分

别是边AB,AC,BC的中点，连接DE,连接2G交DE于点F.现将△/WE沿折叠至△ArDE

的位置，使得平面&DE1平面BCED.连接&G,EG.求点B到平面4EG的距离.

C

【变式3-1]2.（2023・全国•高三专题练习）如图是矩形ABCD和以边4B为直径的半圆组成

的平面图形，将此图形沿4B折叠，使平面4BCD垂直于半圆所在的平面，若点E是折后图形

中半圆。上异于4,B的点

(1)证明：E41EC；

(2)若4B=2AD=2,且异面直线力E和DC所成的角为g,求三棱锥D-ACE的体积.

【变式3-1J3.(2020・全国•高三专题练习)如图所示长方形BC£T,FB=2AB=2FA=2BC,

现沿，GH两道折痕进行折叠，AD.GH均与CE垂直/HAB=；,成为如图所示立体图

形

EG

FHABAB

(1)若FH:HA1:2,FA1AB,求证平面£TGH〃平面4BCD；

(2)在(1)的条件下，设AB=3,请求出四面体H-2CE的体积

【变式3-1]4.(2019秋・全国•高三阶段练习)如图一，在直角梯形4BCD中，分别为

2B的三等分点,FG〃BC,ED||BC,AB=3=2，若沿着FG,DE折叠使得点/和B重合，

如图二所示，连结GC,8D.

(1)求证：平面GBDJ_平面BCDE；

(2)求点E到平面CDG的距离.

【变式3-1]5.(2023•四川泸州泸县五中校考三模)如图1,在梯形4BCD中，AB//CD,

且28=2CD=4,△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把△4CD沿4C边折叠到4

4CP的位置，使平面24。，平面4BC,如图2.

(2)若E为棱8c的中点，求点B到平面P4E的距离.

题型4线面角问题

【例题4](2023・全国•高三对口高考)如图1,在边长为2的正方形ABCD中，P为CD

中点，分别将WAD,WBC沿PA,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O,如图2.在

三棱锥P-OAB中，E为PB中点.

(I)求证：PO±AB;

(II)求直线BP与平面POA所成角的正弦值；

(1U)求二面角P-AO-E的大小.

P

DP

OB

图i图2

【变式4-1]1.(2020•全国•模拟预测)如图，四边形M4BC中△ABC是等腰直角三角形，

ACIBC,AMAC是边长为2的正三角形，以4C为折痕，将4M4C向上折叠到△D2C的位

置，使点。在平面力BC内的射影在48上，再将△M4C向下折叠到△E4C的位置，使平面E4C1

平面ABC,形成几何体ZMBCE.

(1)点F在BC上,若。///平面E4C,求点尸的位置；

(2)求直线4B与平面EBC所成角的余弦值

【变式4-1]2.(2022・全国•高三专题练习)如图，在平面多边形2BFCDE中，2BFE是边

长为2的正方形,DCFE为等腰梯形，G为CD的中点，S.DC=2FE,DE=CF=EF,现J各

梯形DCFE沿折叠，使平面DCFE_L平面4BFE.

(1)求证：EG1平面B。尸；

(2)求直线8。与平面CBF所成角的大小.

【变式4-1】3.(2020•全国•高三专题练习)如图，等腰梯形48CD中,AB//CD,DA=AB=

8c=2,CD=4,E为CD中点，将△DE4沿AE折到△心理的位置.

(1)证明：AE1；

(2)当折叠过程中所得四棱锥。1-4BCE体积取最大值时，求直线与平面ABD1所成角

的正弦值.

【变式4-1]4.(2021•全国•高二专题练习)如图，四边形MABC中，MBC是等腰直角

三角形AC±BCAMAC是边长为2的正三角形以AC为折痕将^MAC向上折叠到&DAC

的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上,再将AMAC向下折叠到4AC的位置，使

平面EAC,平面ABC,形成几何体DABCE.

(1)点F在BC上，若DFII平面EAC,求点F的位置；

(2)求直线AB与平面EBC所成角的余弦值.

题型5二面角问题

【例题5】(2023•全国•高三专题练习)如图1,在直角梯形EFBC中,BF||CE,EC1EF,

EF=1,FB=2,EC=3.现沿平行于EF的4。折叠，使得ED1DCS.BC_L平面BDE,如图

2所示.

E

图2

⑴求4B的长度；

(2)求二面角尸-EB-C的大小.

【变式5-1J1.(2022・全国•高三专题练习)如图所示，平面图形A8CDFE中，其中矩形ABCD

的边长分别为4B=3,BC=8,等腰梯形/WFE的边长分别为2E=5,EF=2.现将该平面

图形沿着4。折叠，使梯形2。尸石与矩形A8CD垂直，再连接BE,CF，得到如图所示的空间

图形，对此空间图形解答如下问题：

⑴证明：ABLDF；

(2)求平面4BE与平面CDF所成锐二面角的余弦值.

【变式5-1]2,(2022•全国•高三专题练习)在直角梯形CEPD中,PD//EC,PD=8,CE=6,

A为线段PD的中点，四边形48CD为正方形.将四边形P4BE沿48折叠，使得24，得

到如图(2)所示的几何体.

(1)求直线PD与平面PCE所成角的正弦值；

⑵当F为线段28的中点时，求二面角P-CE-F的余弦值.

p

（1）（2）

【变式5-1]3.（2022•全国•高三专题练习）已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现

将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角P-AD-B的大小为120。，此时恰有PC1AD.

⑴求BD的长;

（2）求二面角。-PC-8的余弦值.

【变式5-1]4.（2022•全国•模拟预测）如图1是由边长为4的正方形ABCD与腰长及下

底长均为2的等腰梯形ABEF组成的平面图形，将此图形沿AB边折叠，使得平面ABCD，平

面ABEF,如图2所示.

图1图2

⑴在图2中，连接BF,DF,求证：BF，平面ADF;

(2)求图2中平面ADF与平面BDE的夹角的余弦值.

【变式5-1]5.(20121秋・全国•高三校联考阶段练习)如图，在直角梯形4BCD中，E,F

分别为AB的三等分点,FG//BC,ED//BC,AB=3,BC=2若沿着FG,ED折叠使得点A,

B重合，如图2所示，连结GC,BD

FEF

图1图2

(1)求证：平面GBD1平面BCDE;

(2)求二面角B-CG-。的余弦值.

题型6角度相关动点问题

【例题6】(2021•全国模拟预测)图①是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆。组成的平

面图形，将此图形沿AB折叠，使平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，如图②，若点E

是半圆O上异于A,B的点.

DC

(1)证明：平面END1平面EBC;

(2)若AB=24。=2,且异面直线BE和DC所成的角为》求平面DCE与平面AEC所成的

锐二面角的余弦值.

【变式6-1]1.(2022・全国•高三专题练习)如图，平面五边形4BCD中"=ABAD=ZE=

乙CDE=90。，CD=DE=E2=&,?等A2DE沿AD折叠，得四棱锥P-ABCD.

P

⑴证明：PC12。；

⑵若二面角P-AD-B的大小是120。，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

【变式6-1]2.（2021秋・全国•高三校联考阶段练习）已知五边形P48CD是平面图形（如图

1）,四边形4BCD是矩形,PA=PD,PAL。£>.现在沿4。折叠4PAD，使得NPAB=90°,

得到四棱锥P-力BCD（如图2）.

P

（1）求证：PD1平面P4B；

（2）若二面角A-PB-。的余弦值为-|,求物勺值.

DDC,

题型7体积相关动点问题

【例题7】（2023•全国•高三专题练习）如图1，在直角梯形BCDE中,BC//DE.BC1CD,

A为DE的中点，且DE=2BC=4,BE=2a,将4ABE沿AB折起，使得点E到达P处

（P与D不重合），记PD的中点为M,如图2.

p

（1）在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；

（2）当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值.

【变式7-1]（2022・全国•高三专题练习）如图1，已知矩形ABCD,其中4B=2,BC=4,

线段AD,BC的中点分别为点E,F,现将△A8E沿着BE折叠，使点A到达点P,得到四

棱锥P—BCDE,如图2.

图1图2

（1）求证：BE1PF；

（2）当四棱锥P-8CDE体积最大时，求二面角P-EC-B的大小.