2025年江西省南昌市心远中学中考数学零模试卷 （原卷版+解析版）

2025年江西省南昌市心远中学中考数学零模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点M在数轴上的位置如图所示，则下列各数中比点M所表示的数小的是（）A. B. C. D.22.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（）A.①③ B.①② C.②③ D.①②③5.图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（）A. B. C. D.6.二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：012且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②和3是关于方程的两个根；③；④不可能为1．其中正确结论的个数是（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．7.分解因式______．8.2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示为_________．9.已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于______．10.随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为______．11.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______．12.已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为______．三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．13.（1）计算：（2）如图，在中，，是角平分线，于点E，，，则求的长．14.下面是小友同学解不等式的运算过程：解：去分母，得，①去括号，得，②移项，得，③合并同类项，得，④（1）以上解题过程中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；（2）请写出该不等式正确的求解过程．15.红兴谷研学基地作为全国首创全域研学旅游综合体和全国红色研学旅行示范基地，致力于进一步挖掘红色文化资源，传承红色基因．项目主要由A中心生态区、B探索体验区、C研学综合区和D红色兵工区四大板块组成，小邱想去红兴谷研学基地，以便近距离感受红色教育．（1）若小邱从中任意选择一个板块游玩，则选中C研学综合区的概率为_________；（2）若小邱从中任意选择两处游玩，请用画树状图或列表的方法求选中B探索体验区和D红色兵工区的概率．16.如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．（1）如图1，过点作的一条平行线；（2）如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分．17.【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律：方框一：．方框二：．【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：【探究】设被框住四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．18.如图，点在反比例函数图象上，点为第三象限内一点，连接并平移得到，点D在第四象限反比例函数图象上，点C落在第一象限且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．（1）点C坐标为_________，点D的坐标为_________（用含a的式子表示）；（2）求直线的表达式．19.如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求椅子最高点A到地面的距离．20.为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下：收集数据从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：808284858686888889909293949595959999100100整理、描述数据按如下分段整理描述样本数据：

七年级4628八年级36a

分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：年级平均数中位数众数七年级918996八年级91bc根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：_________，_________，_________；（2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，_________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；（3）补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是_________年级．（填“七”或“八”）（4）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数．21.ABC中，，点D为AC中点，过点D作于点E，点O在ED延长线上，以O为圆心，OD为半径的圆经过点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若，，求BC的长22.课本再现思考我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．定理证明（1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程．已知：在中，对角线，交点为．求证：是矩形．应用定理（2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形（用“课本再现”中矩形判定定理证明）．拓展迁移（3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积．23.综合与实践：【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y．【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________；（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________；（4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围．

2025年江西省南昌市心远中学中考数学零模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点M在数轴上的位置如图所示，则下列各数中比点M所表示的数小的是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小．根据数轴得到M的范围，根据其范围进行比较即可判定求解．【详解】解：由数轴可得，，∴比数M小的是，故选：A．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：A、不能合并，故A错误；B、，故B正确；C、，故C错误；D、，故D错误；故选：B【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．3.中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．4.有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（）A.①③ B.①② C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】本题考查了平移性质的应用，图形的周长．图①经过平移，可求得图形的周长；图③是平行四边形，一边长为，另一边长大于，可求得图形的周长，据此可判断．【详解】解：图①经过平移，图形的周长为，符合题意；图②，图形的周长为，符合题意；图③，图形是平行四边形，一边长为，另一边长大于，其周长大于，不符合题意；故选：B．5.图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．先利用平行线的性质可得，，然后根据等边对等角求得，利用三角形内角和定理即可解答．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：D．6.二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：012且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④不可能为1．其中正确结论的个数是（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，通过表格确定函数的对称性、函数和坐标轴的交点等基本特征，进而求解．【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线．又，，故①正确．又根据对称性，当时，，当时，．和3是关于的方程的两个根，故②正确．又抛物线的对称轴是直线，．又当时，，且当时，．．．．，故③错误．若，则抛物线为．当时，，与矛盾．，故④正确．综上正确的有①②④共3个．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．7.分解因式______．【答案】【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用提公因式法分解因式即可．【详解】．故答案为：．8.2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据“484000”用科学记数法表示为：．故答案为：．9.已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于______．【答案】0【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键．【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，故答案为：010.随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为______．【答案】60【解析】【分析】本题考查分式方程应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．根据比原计划提前了到达列方程，即可解得答案．【详解】解：根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，并符合题意，∴原计划的速度为；故答案为：60．11.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系成为解题的关键．先利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，再对两组对应线段进行变形求解即可．【详解】解：，同理可得：，①+②得，∴，∴，解得：．故答案为：3．12.已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为______．【答案】，或【解析】【分析】根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可．【详解】解∵中，，，分别是，的中点，∴为直角三角形∵∴，，∴若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论，①当点在直线右侧，点在上方时，如图（1）过点作，∵点到直线的距离为1，∴，三点共线，∵，∴四边形是矩形∴，，∴∴；②当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则∵点到直线的距离为1，∴∴由题意可得：四边形为矩形∴，∴∴；③当点在直线左侧，点在下方时，如图（3）∵点到直线的距离为1，∴∴四边形为矩形，∴，三点共线∴；④如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时，，，点到直线的距离为1可以确定点在线段上，且则综上，的长为，或【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．13.（1）计算：（2）如图，在中，，是角平分线，于点E，，，则求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】此题主要考查角平分线的性质，实数的混合运算．（1）先根据绝对值，立方根，算术平方根计算，再进行实数加减即可；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到，求解，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）；（2）于，，是角平分线，，，，而，．在中，．14.下面是小友同学解不等式的运算过程：解：去分母，得，①去括号，得，②移项，得，③合并同类项，得，④（1）以上解题过程中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；（2）请写出该不等式正确的求解过程．【答案】（1）②；去括号时，常数项没有乘3（2）．【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．（1）根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；（2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【小问1详解】解：第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没乘3；故答案为：②；去括号时，常数项没有乘3；【小问2详解】解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，解得．15.红兴谷研学基地作全国首创全域研学旅游综合体和全国红色研学旅行示范基地，致力于进一步挖掘红色文化资源，传承红色基因．项目主要由A中心生态区、B探索体验区、C研学综合区和D红色兵工区四大板块组成，小邱想去红兴谷研学基地，以便近距离感受红色教育．（1）若小邱从中任意选择一个板块游玩，则选中C研学综合区的概率为_________；（2）若小邱从中任意选择两处游玩，请用画树状图或列表的方法求选中B探索体验区和D红色兵工区的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．（1）根据概率公式进行计算即可；（2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．【小问1详解】解：小邱从中任意选择一个板块游玩，则选中C研学综合区的概率为．故答案为：；【小问2详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：∵共有12种等可能的情况数，其中选中B探索体验区和D红色兵工区的情况数有2种，∴选中B探索体验区和D红色兵工区的概率为．16.如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．（1）如图1，过点作的一条平行线；（2）如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理及三角形的重心．（1）连接，证明，可得；（2）连接，连接交于点，交于点，连接交于点，作直线，则直线即为所作，利用三角形重心的性质和垂径定理即可得证．【小问1详解】解：如图，即为所作，∵，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：如图，直线即为所作，∵点是的中点，∴，∵，∴点是三角形的重心，∴点是的中点，∴直线是的垂直平分线，∴直线把阴影部分分为面积相等的两部分．17.【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律：方框一：．方框二：．【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．【答案】[验证]；[探究]．【解析】【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式；[验证]根据日历中的数字规律即可求解；[探究]根据题意得到规律，整式乘法公式，把．化简，即可证明．【详解】解：[验证]根据题意，；[探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，，规律为：．依题意，．18.如图，点在反比例函数图象上，点为第三象限内一点，连接并平移得到，点D在第四象限反比例函数图象上，点C落在第一象限且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________（用含a的式子表示）；（2）求直线的表达式．【答案】（1），（2）．【解析】【分析】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质．（1）根据题意得，根据可得平移规律，由平移规律可得点D的坐标；（2）根据点B和D的坐标列方程可得a的值，再利用待定系数法可得直线的解析式．【小问1详解】解：∵点C落在第一象限且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．∴，∵，由平移可知：线段向下平移1个单位，再向右平移3个单位，∵，∴，故答案为：，；【小问2详解】解：∵点A和点D在反比例函数的图象上，∴，∴，∴，，设直线的表达式为：，∴，解得：，∴直线的表达式为：．19.如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求椅子最高点A到地面的距离．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论；（2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵，，，∴，，则，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，延长交于，由（1）可知，，，∴四边形是平行四边形，∴，，则，，连接，∵，∴，，∴，∴，∴，即：椅子最高点到地面距离为．20.为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下：收集数据从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：808284858686888889909293949595959999100100整理、描述数据按如下分段整理描述样本数据：

七年级4628八年级36a

分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：年级平均数中位数众数七年级918996八年级91bc根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：_________，_________，_________；（2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，_________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；（3）补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是_________年级．（填“七”或“八”）（4）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数．【答案】（1）4；91；95（2）七年级甲同学（3）八（4）估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人【解析】【分析】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．（1）根据八年级的分数表格得，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；（2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；（3）根据根据八年级的分数表格得出不同阶段的学生人数，再根据人数补全图形，观察图形即可求解；（4）用八年级不低于95分的比例乘以总人数即可求解；【小问1详解】解：由八年级的分数表格得，分数在有4个，，八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，（分），八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，，故答案为：4；91；95；【小问2详解】解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；故答案为：甲；【小问3详解】解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人，补全图形如图所示：从统计图来看，分数较整齐的是八年级，故答案为：八；【小问4详解】解：∵样本中八年级不低于95分的有7人，∴（人），答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人．21.ABC中，，点D为AC中点，过点D作于点E，点O在ED的延长线上，以O为圆心，OD为半径的圆经过点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若，，求BC的长【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OA，可得，由等腰可得，通过等角的余角相等，即可得到答案；（2）在中，通过，可求出CD的值，从而得到，在中，由三角函数可求出最后结果．【小问1详解】证明：连接OA，∵∴，∵∴，∵∴，∵∴，∴∴，∵OA是⊙O半径，∴AB是⊙O切线【小问2详解】解：连接DB∵，，∴在中，∴，，∴∵，D为AC中点，∴在中，，∴【点睛】本题考查切线的证明，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握每个性质的边角变化是解题的关键．22.课本再现思考我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．定理证明（1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程．已知：在中，对角线，交点为．求证：是矩形．应用定理（2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）．拓展迁移（3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12【解析】【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形；（2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形；（3）由中位线定理可得，，，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解．【详解】解：（1