湖南省衡阳县某中学2024年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

湖南省衡阳县第五中学2024年高三第二次诊断性检测数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）

正校医弱权医

N

2)—丁工<oI

二一，则/(/(-))=()

{Inx,x>0e

C.-1D.0

3.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30J,样本数据分组为17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率4

组距1

0.161----------

o

oe10

a08

o

•04

O002

・

17.52022.52527.5自习时间/小时

A.56B.60C.140D.120

4.已知四棱锥。一A3C。中，PA_L平面43c。，底面43co是边长为2的正方形，PA=&,£为PC的中点,

则异面直线BE与PD所成角的余弦值为()

393955

5.设函数/(x)(X£R)满足/(—x)=/(x)JQ+2)=/(x),则>=/(x)的图像可能是

A.、-广B.

C.D.

6.已知直线利，〃和平面a,若mJLcr,贝卜m_L〃”是“〃〃a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充分必要条件D,不充分不必要

7.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

8.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

9.在AABC中，“sinA〉sin3”是"lanA>tan8”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知函数若关于X的方程/（x）-〃?+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数〃7的取值范

围为（）

A.（容/）B.（0,容）C.（1,^+1）D.（1,今+1）

11.设i是虚数单位，asR,生丝=3-2"则〃=（）

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

12.过抛物线f=2p），（〃>0）的焦点且倾斜角为。的直线交抛物线于两点4B.\AF\=2\BF\f且A在第一象

限，则cos2o=（）

37

A石nrn2y[3

5595

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。

2o

13.己知耳（—3,0）,8（3,0）为双曲线。：二-三=1（。>0力>0）的左、右焦点，双曲线C的渐近线上存在点P满足

ab~

If|二2|PKI,则〃的最大值为.

27

14.已知各项均为正数的等比数列a｝的前几项积为7.，％4=4,10gz,4=彳（〃>0且〃工1）,则/?=.

15.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到

黑色障碍物，最后落入4袋或4袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1,则小球落入

2

A袋中的概率为.

16.在三棱锥S-A3C中，SA,SB,SC两两垂直且S4=S8=SC=2,点M为S-A5C的外接球上任意一点,

则MA•MB的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8

x=-------

17.（12分）在平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为2：’（1为参数）.以坐标原点。为极点，工轴的正

4：

y=---

2+，

半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=2sin9.

（1）求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若射线2>0）与/和。分别交于点求|AB|.

18.（12分）已知/（x）=f+2卜一1卜

（D解关于x的不等式：/"）>回；

.1

212222r2

(2)若/(x)的最小值为M,且a+h+c=M(〃,"c£R+),求证：土二竺+±_!二+三■吆122.

cba

19.（12分）已知=棱锥A-RCD中侧面与底面BCO都是边长为2的等边二角形,且面面AC。，M、N

分别为线段A。、A8的中点.尸为线段BC上的点，且MN1NP.

（1）证明；夕为线段区。的中点；

（2）求二面角A—NP—M的余弦值.

20.（12分）己知函数、f（x）=sin①x-（0>0）的图象向左平移千后与函数g（A）=cos（2x+°“M<图象

重合.

（1）求。和。的值;

（2）若函数〃（灯=/1+?

,求力（司的单调递增区间及图象的对称轴方程.

21.（12分）椭圆W：1+£=1（。>方>0）的左、右焦点分别是耳，K,离心率为立，左、右顶点分别为A,

crb-'2

B.过耳且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.

（1）求椭圆W的标准方程；

（2）经过点P（l,o）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点A、4重合），直线C8与直线x=4相交于

点M,求证；A、。、"三点共线.

22.（10分）已知函数/（x）=（x+a）ln（x+a）+，’+x.

（1）当〃=1时，求函数/（x）的图象在1=0处的切线方程；

（2）讨论函数〃。）=/（幻一/一工的单调性；

（3）当〃=0时，若方程〃*）=/（另一=m有两个不相等的实数根.毛，求证：ln（R+X2）>ln2-1.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.

考点：三视图

2、A

【解析】

2*_工③x<0111

由函数/。）二,一'八一，求得/（一）=11］一=一1,进而求得了（/（与）的值，得到答案.

Inx,x>0eee

【详解】

3

>_rr<n

由题意函数",

lnx,x>0

I1i3

则/（一）=ln—=—l,所以/（/（一））=/（—故选A.

eee2

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理

与运算能力，属于基础题.

3、C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16+0.08+0.04）x2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

4、B

【解析】

/施BEPD

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos伊七/。=即可得解.

'叫•PD

【详解】

平面ABCO,底面A8CO是边长为2的正方形，

如图建立空间直角坐标系，由题意：

A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,尸（0,0网,D（0,2,0）,

・.£为户。的中点，・二E1」,弓.

\/

BE=一1』,与,PO=（0,2,一灼，

&DNBEPD-2屈

'/阿|.卜耳巫339

F；

」•异面直线BE与PD所成角的余弦值为|cos（BE,即为巫.

故选：B.

D

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.

5、B

【解析】

根据题意，确定函数y=/。）的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.

由/（一幻=fM得y=fM是偶函数，所以函数y=fM的图象关于y轴对称，可知B,D符合；由/a+2）=f（x）

得），是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4,不符合，选项B的图像的最小正周期是2,符

合，故选B.

6、B

【解析】

由线面关系可知机_L〃，不能确定〃与平面a的关系，若川/「一定可得加_L〃，即可求出答案.

【详解】

m±a,mJ_n,

不能确定〃ua还是

二〃2_L〃4nila>

当〃〃。时，存在aua,nilci,,

由mA.a=>mA.a,

又〃〃可得m_L〃，

所以“m_Ln”是“nl/a”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

7、D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

[4^+7y<50,

设购买甲、乙两种商品的件数应分别丁利润为z元，由题意Jz=x+1.8y,

x.ysN、

画出可行域如图所示,

显然当尸一*声经过A(2,6)时，z最大.

故选：D.

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x,是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域.本题是一道基础题.

8、A

【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙

预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙

比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.

【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.

9、D

【解析】

通过列举法可求解，如两角分别为£,至时

63

【详解】

当A=2,8=工时，sinA>sin5,但tanAvtan4,故充分条件推不出；

36

当A=2,B=一三时，tan4>tanB,但sin4<sin8,故必要条件推不出；

63

所以“sinA>sin8”是“tan力〉tan8”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题

10、D

【解析】

讨论x>0,x=0,x<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数羽像，根据图像得到答案.

【详解】

l-2x,函数在（（）,；1

当x>0时,故/'(%)=上单调递增，在—,+co上单调递减，且f

2

当尢=0时，/（0）=0；

/1_2V

当工<0时,f(x)=—，=<0,函数单调递减;

如图所示画出函数图像，则—=叵，故〃ZJ（1,叵十1）.

\2）2e2e

故选：0.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11、C

【解析】

由士卫二3-2"可得5+出=（。+，）（3-2，）=初+2+（3-2々）"通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出。的

a+i

值.

【详解】

解：加工=3-2".•.5+H=（a+i）（3-2i）=3a+2+（3-2〃）i

a+i

‘5=弘+2

解得：a=\.

3-2a=a

故选:C.

【点睛】

本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类向题，易错点是把i?当成1进行运算.

12、C

【解析】

Ap

作AA±/,BEJ.AA，由题意sina=一，由二倍角公式即得解.

AB

【详解】

作A41/,BBJI；BE1AA,,

设忸尸|=|网|=匕

故|4回二|蝴|=2/,|AE|=f,

AE1,7

sina=—=—=>cos2a=1-2sin2a=—.

AB39

故选：C

【点睛】

本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12

13、—

5

【解析】

设0（x,y）,由ISI=2|帆|可得（x+3）2+y2=4（.3）2+），2],整理得（X-5尸+），2=16,即点尸在以（5,0）为圆心,

4为半径的圆上.又点心到双曲线C的渐近线的距离为。，所以当双曲线C的渐近线与圆@-5尸+）/=16相切时，b

取得最大值，此时《=解得〃=空.

355

14、2加

【解析】

利用等比数列的性质求得4,进而求得几，再利用对数运算求得8的值.

【详解】

-iiii2222

由于。“>0,qq=延=4,所以4=2,则7；]=&=2,logZjTJj=11xlog/;2=—,logz,2=—,_2>j2,

故答案为：2及

【点睛】

本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.

3

5>4-

【解析】

记小球落入3袋中的概率P（B）,则P（A）+P伊）=1,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向

右下落，小球将落入8袋，所以有P（8）=（；J+[g]=!，则尸⑷=|_p⑻=（.故本题应填

16、26+2

【解析】

先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到.MC外心距离最

大的问题，即可求得结果.

【详解】

因为SA,SB,SC两两垂直且SA=SB=SC=2,

故三棱锥S-ABC的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.

且外接球的球心为正方体的体对角线的中点0,如下图所示：

A/

容易知外接球半径为行.

设线段48的中点为。一

故可得MA-MB=（MQ+QA）｛MQ+。田）

二（何。］+。/（附_。14）

222

=|MO,|-|O1A|=|MO1|-2,

故当M0||取得最大值时，MA.MB取得最大值•

而当M,A,4在同一个大圆上，且

点M与线段43在球心的异侧时，|加。|取得最大值，如图所示：

此时，"0="00作1啊用、2乌（6+『一=G

故答案为：20+2.

【点睛】

本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）/：x+y-4=0（A-^0）；C:f+）,2-2）,=0.⑵|AB|=72

【解析】

Q

（1）由.v=4可得xwO,

2+t

8

x=---

由』2丁，消去参数/,可得直线/的普通方程为x+y-4=0（xo0）.

4;

y=---

U2+t

由夕=2sin0可得尸1=2psin。，将y=psin。，.f+），代入上式，可得V+）3-2y=0,

所以曲线C的直角坐标方程为V+），2—2y=0.

(2)由(1)得，/的普通方程为x+y-4=0(x是0),

将其化为极坐标方程可得夕cos。+Psin。-4=0(。W]),

当0=；(夕>0)时，幺=2近,4=丘，

所以|43|=|pA-4|=|25/2-5/21=72.

18、(1)(-oo,0)U(x/5-l,+oo)；(2)证明见解析.

【解析】

(1)分类讨论求解绝对值不等式即可；

(2)由(1)中所得函数，求得最小值再利用均值不等式即可证明.

【详解】

(1)当xvO时，〃x)>网等价于/+2k一1|>一2,该不等式恒成立,

当0<xVl时，/(九)〉”等价于/一2工>0,该不等式解集为。,

当x>l时，等价于/+2%-2>2，解得1>6一1,

X

综上，x<0或逐一1,

所以不等式“X)〉国的解集为(-8,0)。(6-1,+8).

X

x2+2x-2,x>1

f(x)=x2+2|x-l|=-

x2-2x+2,x<1

易得/(x)的最小值为L即a+h+c=M=1

因为。，b,ceRS

22

mea~+c~lacb~+a^、2abc+by2bc

bbcc

>2a+2b+2c=2»

当且仅当a=b=c=；时等号成立.

【点睛】

本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.

19、(1)见解析；(2)巫

5

【解析】

(1)设0为3。中点，连结OC,先证明3D_LAC,可证得假设。不为线段3c的中点，可得3O_L

平面ABC,这与NO8C=600矛盾，即得证；

(2)以。为原点，以QBOC,。4分别为原Mz轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP,平面MNQ的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【详解】

(1)设。为30中点，连结。4,OC.

；・OA工BD,0CLBD,

又OA「OC=O

3O_L平面Q4C,

ACu平面QAC,

：.BD±AC.

又M,N分别为4D中点，

MN//BD,又MN上NP,

；.BD1NP.

假设P不为线段8c的中点，

则NP与AC是平面内ABC内的相交直线，

从而4。_1_平面ABC,

这与NOBC=6()。矛盾，所以尸为线段8C的中点.

（2）以。为原点，由条件面/4/?£）_1_面8。。，

，AO_LOC,以OB,OC,。4分别为第Vz轴建立空间直角坐标系,

贝！］A（0,0叫

T~2，（），

PN=0,fA//V=(1,0,0).

设平面AVP的法向量为〃7=(x，y，z)

]Gn

…公—x-----z=0

所~以<m-AN=0=>\?Z_Z2_

[〃zPN=0G6八

----y+——z=0

I2'2

取y=l,贝Uz=l,x=gn〃7=(G，l,l).

同法可求得平面MNP的法向量为〃=10,1,1)

/m-n2A/10

Z.cos(/w,n)x=--=

7\m\\n\石及5f

由图知二面角A-NP-M为锐二面角，

二面角乂一NP-M的余弦值为巫.

5

【点睛】

本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理,空间想象，数学运算的能力，属于中档题.

k.7171

20、(1)a)=2,9=?；(2)k兀能氏+专9,X-——+—keZ.

212

【解析】

(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.

(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.

【详解】

(1)由题意得。=2,

=sin|2x+—=cos2x+-

Jfx+-cI6l3

乙

网春

7"171.c71c兀

(2)g)=fx+—+gx---=sin2大斗+cos2x+——

8)I8)<12；12)

=>/2sin2x+yj

,_乃，71..kl71

由2xH—=kjvH1解得X=----1—,

32212

所以对称轴为工二包+工，keZ.

212

由2〃万<2x+—<2k冗4-—,

232

1212

57rr

所以单调递增区间为左乃一不；,ksZ.,

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力,

属于基础题型.

2

21、(1)—+/=1；(2)见解析

4■

【解析】

2b2

(1)根据已知可得式-=1,结合离心率和关系，即可求出椭圆W的标准方程；

(2)CO斜率不为零，设。。的方程为1=〃少+1,与椭圆方程联立，消去x,得到C。纵坐标关系，求出BC方

程，令x=4求出M坐标，要证A、D、M三点共线，只需证"。-心M=0,将心。一心M分子用纵坐标表示，

即可证明结论.

【详解】

V-2V2

（1）由于一力2,将1=一《•代入椭圆方程0+2T=1,

a2b2

得y=±S,由题意知尘=1,即〃=2".

aa

又e=£=立，所以a=2,b=\,

a2

所以椭圆卬的方程为上+V=i.

4.

（2）解法一：

依题意直线CO斜率不为0,设。。的方程为x=my+l,

x=my+1

联立方程消去X得(m2+4)),2+2^-3=0,

厂2.

一+y=1

4-

由题意，得』＞0恒成立，设。（为，必），。（工2，）’2），

S、I2/773

所以y+%=——「■，XM=——

加“+4nr+4

直线C8的方程为）'二上;（无一2）.令1=4,得加（4,巨、）.

x1-2Xj-2

又因为力（一2,0）,D（x2,y2）,

则直线AM的斜率分别为勖=仁

所以“2去一六T*瑞产

上式中的分子3%(%-2)-y(x2+2)=3y2(myl-l)-yl(my2+3)

-6m+6/77

=2〃%%一3(凹+%)二=0,

m2+4

•.•仁＞一心”=。•所以A,D,M三点共线.

解法二:

当直线CD的斜率A不存在时，由题意，得C。的方程为％=1,

代入椭圆W的方程，得C（1「C）,。（1,-

直线CB的方程为），=-比2）.

则M（4,-6），人M=（6,-G）,4。=（3,-券），

所以AM=2A。，即4，D,M三点共线.

当直线CO的斜率上存在时，

设CO的方程为y=k（xT）（AwO）,C（x，y）,。（々，为），

联立方程消去丁，得（41+1比2—8人+4公一4=0.

由题意，得4>0恒成立，故必"'内/一而十

直线C8的方程为)2).令1=4,得M(4,2、).

又因为4-2,0),D(x2,y2)t

则直线4。，AM的斜率分别为心。=37，L=/二、，

X2+23(七一2)

-k-必X_3%(4-2)-)，仆2+2)

所以的A"X2+23(^-2)3(X,-2)(X2+2),

上式中的分子3y2(%-2)-%(x2+2)=3k(々-1)(芭一2)一-再一1)(占+2)

4公一48左2

、、攵(内左

=2kxx-5+x',)+8Z=2kx47,2--।--1--5kx-Ai-l-.1+8=0

所以原「女■=0.

所以A,D,M三点共线.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查

计算求解能力，属于中档题.

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22、(l)3x-y+l=0；(2)当-4<xv-一〃时，/?(x)在一a,-a上是减函数；当x>一一〃时，力(x)在-一a,+8

eIeJe；

上是增函数；(3)证明见解析.

【解析】

(1)当〃=1时，/(x)=(x+l)ln(x+l)+er+x,求得其导函