平面向量基本定理同步练习 高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

9.3.1平面向量基本定理一、基础达标练1.下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底;②基底中的向量可以是零向量;③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A.①② B.①③C.②③ D.①②③2.如果{e1,e2}是平面α内所有向量的一组基底,那么下列说法正确的是()A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.对空间任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈RC.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对3.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,44.(2023徐州月考)若{e1,e2}是平面内向量的一组基底,则下面的向量中不能作为一组基底的是()A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和-6e1+4e2C.e1+3e2和3e1+e2 D.e1+e2和e25.(2023武汉调研)在梯形ABCD中,AD∥BC,已知AD=4,BC=6,若CD=mBA+nBC(m,n∈R),则mn=(A.-3 B.-13 C.13 D6.在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,点F为线段DE上的一点,且AF=13AB+λAD,则实数λ7.(2023广州月考)在△ABO中,|OA|=6,|OB|=3,且OA与OB的夹角为60°,BP=3(1)求OP·(2)若OQ=QA,PQ=x·OA+y·OB,求x二、能力提升练8.如图,在△ABC中,AD=13AC,BP=23BD,若AP=λAB+μAC(λA.32 B.23 C.3 D9.(2023济宁月考)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=BC=CD=3AD,点E为线段CD上靠近D的三等分点,点F为线段BC的中点,则FE=()A.-1318AB+518C.-1118AB+4910.(多选题)已知菱形ABCD的边长为1,∠BAD=60°,E是BC的中点,F是DE的中点,M是AB的中点,延长AF,交CD于点N(如图所示),设AB=a,AD=b,则下列结论正确的是()A.AF=12a+34bC.AF·DB=-18 D.AF11.(多选题)设D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且AF=12AB,BD=13BC,CE=14CA,若记AB=m,AC=nA.BE=-m+34n B.EF=12C.AD=23m+13n D.DE12.在△ABC中,D为AC上的一点,满足AD=13DC.若P为BD上的一点,满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0),则mn的最大值为,413.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R14.(2023常州质检)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,DC=1,AD=2,∠DAB=60°,点E在线段BD上,点F在线段AC上,且BE=13BD,CF15.(2023苏州期末)如图,已知M为△ABC所在平面内的一点,且AM=14AB+nAC,若点M在△ABC的内部(不含边界),则实数n16.(2024江苏期中)已知△ABC为等边三角形,点G是△ABC内一点.过点G的直线l与线段AB交于点D,与线段AC交于点E,设AD=λAB,AE=μAC,且λμ≠(1)若点G是△ABC的重心,求1λ(2)记△GAB的面积为S1,△ABC的面积为S2.若AG=35AB三、拓展探究练17.(多选题)如图1,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若OP=xOA+yOB,则x+y的取值可能是()图1图2六芒星A.-2π B.e C.π D.e218.如图,在△ABC中,AM=(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y参考答案1.B由基底的定义可知①③正确.故选B.2.AB错,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任意向量;C错,在平面α内任意向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.故选A.3.D因为e1与e2不共线,所以3x=4y-74.B对于A,e1+e2≠λ(e1-e2),能作为基底;对于B,-6e1+4e2=-2(3e1-2e2),不能作为基底;对于C,e1+3e2≠λ(3e1+e2),能作为基底;对于D,e1+e2≠λe2,能作为基底.故选B.5.A如图,过点A作AE∥CD,交BC于点E,则BE=2,CE=4,所以mBA+nBC=CD=EA=EB+BA=-13BC+BA,所以m=6.56如图,设DF=xDE,AF=AD+DF=AD+xDE=AD+x(AE−AD)=(1-x)AD+xAE=(1-x)AD+xAB+12AD=xAB7.解选取{OA,OB}(1)由已知得OP=OB+BP∴OP·AB=3=-34OA2+14OB2+12OA·OB=-34×62+(2)由(1)得PQ=OQ−又∵PQ=x·OA+y·OB,∴x=y=-148.A由题意可得,BD=AD−AB=13AC−AB,AP=AB+BP=AB+23BD=AB+2319.BFE=FC+CE=12BC+23CD=12(10.AC由F是DE的中点可得,AF=b+12DE=b+12-b+a+12b=12a+34b,故A正确;连接AC,因为E是BC的中点,M是AB的中点,所以ME∥AC,又AC与AF相交于点A,所以ME∥AF错误,故B错误;因为DB=AB−AD=a-b,AF=12a+34b,所以AF·DB=12a+34b·(a-b)=-14+14a·b=-14+18=-18,故C正确;若AF=2FN,则AF=23AN,由A知AF=12a+34b,不妨设AN=a+λb(λ∈R),则12a11.AC如图,因为AB=m,AC=n,AF=12AB,BD=13BC,CE=14CA,所以BE=AE−AB=34AC−AB=-m+34n,所以A正确;EF=AF−AE=12AB−34AC=12m-34n,所以B错误12.11616因为AD=13DC,所以AD=14AC,所以AP=mAB+nAC=mAB+4nAD.因为B,P,D三点共线,且不与点A共线,所以m+4n=1,所以4mn≤(m+4n)24=14,则mn≤116,当且仅当m=4n=12时,等号成立,即mn的最大值为116;4m+1n=(m+4n)413.6如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作▱OMCN,使得点M在直线OA上,点N在直线OB上,则存在λ,μ,使OM=λOA,ON=μOB,即OC=OM+ON=λOA+μOB.在Rt△OCM中,∵|OC|=23,∠COM=30°,∠OCM=90°,∴|OM|=4,∴OM=4OA.又|ON|=|MC|=2,∴ON=2OB,∴OC=4OA+2OB,即λ=4,μ=2,∴λ+14.1112∵AC=AD+DC=AD+13AB,∴CF=14CA=-14AD+13AB,∵BE=13BD=13(AD−AB),15.0,34由AM=14AB+nAC,所以34-n所以14MB=所以34-n>0,故实数n的取值范围是0,34.16.解(1)连接AG并延长,交BC于点F(图略),因为G为重心,所以F为BC中点,所以AF=所以AG=23·又D,G,E三点共线,所以13λ+13μ(2)设AF=mAG,则AF=所以3m5+m5故AF=34AB记△FAB面积为S3,所以S3又AF=54AG所以S117.BC如图所示,求x+y的最值,只需考虑图中以O为起点,6个顶点为终点的向量即可.当OP=OA=OA+0·OB时,x+y=1;当OP=OC=OB+OE=OB+OA+AE=3OB+OA时,x+y=4;当OP=OE=OA+AE=2OB+OA时,x+y=3;当OP=OD=OA+AF+FD=3OB+2OA时,x+y=5;当OP=O