2024-2025学年云南省昆明市寻甸一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昆明市寻甸一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(−2,3,1)，b=(0,−1,4)，则2a+3b等于(

)A.(−4,6,14) B.(−4,0,6) C.(−4,3,6) D.(−4,3,14)2.直线x+3y−2=0的倾斜角α是A.π6 B.π3 C.2π33.已知等比数列{an}满足a2=−2，a6A.−4 B.23 C.−24.双曲线C：x2a2−y2b2=1A.x23−y2=1 B.x5.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且BE=2EC，则EF=(

)A.12AP−AB−16AD

6.等差数列{an}、{bn}中的前n项和分别为A.4093 B.3887 C.17427.如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点(a,b)和圆A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法错误的是(

)A.若O为线段PQ中点，则|PF|=2 B.若|PF|=4，则|OP|=21

C.存在直线l，使得PF⊥QF D.△PFQ二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C：x2m+A.若m=1，n=−1，则曲线C的离心率为2

B.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

C.若mn<0，则C为双曲线，其渐近线方程为y=±−nmx

D.10.已知数列{an}的前n项和SnA.数列{1Sn}的前10项和为1124

B.an=2n+1

C.数列{|211.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中正四面体A.异面直线A1B与AD1所成的角是π3

B.BD1⊂平面A1C1B

C.平面ACB1截正四面体A1−BD12.两条平行直线3x−4y−2=0与6x−8y+1=0间的距离为：______．13.求经过点M(2、−2)以及圆x2+y2−6x=014.在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其P中为动点.当PC⊥AB时，三棱锥P−ABC的各个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为：______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知数列{an}是首项为1，公差大于0等差数列，且满足a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设16.(本小题12分)

已知圆M经过点A(−1,2)，B(6,3)且圆心在直线x+y−2=0上．

(1)求圆M的方程；

(2)已知直线l经过点(−2,2)，直线l与圆M相交所得的弦长为8，求直线l的方程．17.(本小题12分)

在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB，∠BCD=120°，AD=DC=CB=1，DP=3．

(1)求证：BD⊥PA；

(2)求PD与平面PBC所成角的正弦值；

(3)求平面PBC与平面PAB18.(本小题12分)

已知数列{an}的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．

(1)19.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−4,0)，且离心率为32.直线l经过点M(−4,−4)．

(1)求椭圆E的方程；

(2)当直线l与椭圆E相切时，求两切点所在的直线方程；

(3)若直线l与交于E不同两点C，D，动直线x=t与直线AC，参考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.A

6.B

7.A

8.C

9.ACD

10.BD

11.AD

12.1213.x214.515.解：(1)数列{an}是首项为1，公差大于0等差数列，且满足a1，a2，a5成等比数列，

设数列{an}的公差为d，由等比数列的中项性质，可得a1⋅a5=a22．

即1+4d=(1+d)2，解得d=2(d=0舍去)

所以an=2n−1；

(2)设bn=k,n=ak3k,ak<n<ak+1,k∈N+，

由题意可知：ak<ak+1<16.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

因为圆M经过点A(−1,2)，B(6,3)，且圆心在直线x+y−2=0上，

依题意有5−D+2E+F=0,45+6D+3E+F=0,−D2−E2−2=0,

解得D=−6，E=2，F=−15，

所以圆M的方程为(x−3)2+(y+1)2=25．

(2)设圆心到直线l的距离为d，

则弦长L=2r2−d2=8⇒17.解：(1)证明：由题可知：在底面ABCD中，因为∠BCD=120°，CD=CB=1，

所以BD=3，又因为CD/​/AB，AD=BC=1，

所以∠DAB=60°，

由余弦定理可得：BD2=3=AB2+AD2−2AB×AD×cos60°=AB2+1−AB，

解得AB=2，

所以AB2=AD2+BD2，所以AD⊥BD，

因为PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABDC，

所以PD⊥BD，

于是有：PD⊥BD，AD⊥BD，PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，

所以BD⊥平面PAD，而AD⊂平面PAD，

所以BD⊥PA；

(2)分别以直线DA，DB，DP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

可得：D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(−12,32,0),P(0,0,3)，

DP=(0,0,3),CB=(12,32,0),PB=(0,3,−3),PA=(1,0,−3)，

设平面PBC的法向量为n=(18.解：(1)证明：因为an+1=3an2an+1，

所以1an+1=2an+13an=13⋅1an+23，

所以1an+1−1=13⋅1an+23−1=13(1an−1)，即1an+1−11an−1=13，

又因为a19.解：(1)由题可知：a=4，ca=32，则c=23，

∴b=a2−c2=2，

∴椭圆E的方程为x216+y24=1．

(2)由题易知：x=−4是椭圆的切线，切点为(−4,0)．

设另一条切线为y=kx+m，切点为P(