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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昆明市寻甸一中高二(上)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(−2,3,1),b=(0,−1,4),则2a+3b等于(
)A.(−4,6,14) B.(−4,0,6) C.(−4,3,6) D.(−4,3,14)2.直线x+3y−2=0的倾斜角α是A.π6 B.π3 C.2π33.已知等比数列{an}满足a2=−2,a6A.−4 B.23 C.−24.双曲线C:x2a2−y2b2=1A.x23−y2=1 B.x5.如图,在四棱锥P−ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,F是棱PD的中点,且BE=2EC,则EF=(
)A.12AP−AB−16AD
6.等差数列{an}、{bn}中的前n项和分别为A.4093 B.3887 C.17427.如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过原点O的动直线l交抛物线于另一点P,交抛物线的准线于点Q,下列说法错误的是(
)A.若O为线段PQ中点,则|PF|=2 B.若|PF|=4,则|OP|=21
C.存在直线l,使得PF⊥QF D.△PFQ二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知曲线C:x2m+A.若m=1,n=−1,则曲线C的离心率为2
B.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
C.若mn<0,则C为双曲线,其渐近线方程为y=±−nmx
D.10.已知数列{an}的前n项和SnA.数列{1Sn}的前10项和为1124
B.an=2n+1
C.数列{|211.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1中正四面体A.异面直线A1B与AD1所成的角是π3
B.BD1⊂平面A1C1B
C.平面ACB1截正四面体A1−BD12.两条平行直线3x−4y−2=0与6x−8y+1=0间的距离为:______.13.求经过点M(2、−2)以及圆x2+y2−6x=014.在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,其P中为动点.当PC⊥AB时,三棱锥P−ABC的各个顶点都在球O的球面上,则球O的体积为:______.四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)
已知数列{an}是首项为1,公差大于0等差数列,且满足a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设16.(本小题12分)
已知圆M经过点A(−1,2),B(6,3)且圆心在直线x+y−2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)已知直线l经过点(−2,2),直线l与圆M相交所得的弦长为8,求直线l的方程.17.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD//AB,∠BCD=120°,AD=DC=CB=1,DP=3.
(1)求证:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PBC所成角的正弦值;
(3)求平面PBC与平面PAB18.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=35,且满足an+1=3an2an+1.
(1)19.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−4,0),且离心率为32.直线l经过点M(−4,−4).
(1)求椭圆E的方程;
(2)当直线l与椭圆E相切时,求两切点所在的直线方程;
(3)若直线l与交于E不同两点C,D,动直线x=t与直线AC,参考答案1.D
2.D
3.C
4.B
5.A
6.B
7.A
8.C
9.ACD
10.BD
11.AD
12.1213.x214.515.解:(1)数列{an}是首项为1,公差大于0等差数列,且满足a1,a2,a5成等比数列,
设数列{an}的公差为d,由等比数列的中项性质,可得a1⋅a5=a22.
即1+4d=(1+d)2,解得d=2(d=0舍去)
所以an=2n−1;
(2)设bn=k,n=ak3k,ak<n<ak+1,k∈N+,
由题意可知:ak<ak+1<16.解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为圆M经过点A(−1,2),B(6,3),且圆心在直线x+y−2=0上,
依题意有5−D+2E+F=0,45+6D+3E+F=0,−D2−E2−2=0,
解得D=−6,E=2,F=−15,
所以圆M的方程为(x−3)2+(y+1)2=25.
(2)设圆心到直线l的距离为d,
则弦长L=2r2−d2=8⇒17.解:(1)证明:由题可知:在底面ABCD中,因为∠BCD=120°,CD=CB=1,
所以BD=3,又因为CD//AB,AD=BC=1,
所以∠DAB=60°,
由余弦定理可得:BD2=3=AB2+AD2−2AB×AD×cos60°=AB2+1−AB,
解得AB=2,
所以AB2=AD2+BD2,所以AD⊥BD,
因为PD⊥底面ABCD,BD⊂平面ABDC,
所以PD⊥BD,
于是有:PD⊥BD,AD⊥BD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,
所以BD⊥平面PAD,而AD⊂平面PAD,
所以BD⊥PA;
(2)分别以直线DA,DB,DP为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系;
可得:D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(−12,32,0),P(0,0,3),
DP=(0,0,3),CB=(12,32,0),PB=(0,3,−3),PA=(1,0,−3),
设平面PBC的法向量为n=(18.解:(1)证明:因为an+1=3an2an+1,
所以1an+1=2an+13an=13⋅1an+23,
所以1an+1−1=13⋅1an+23−1=13(1an−1),即1an+1−11an−1=13,
又因为a19.解:(1)由题可知:a=4,ca=32,则c=23,
∴b=a2−c2=2,
∴椭圆E的方程为x216+y24=1.
(2)由题易知:x=−4是椭圆的切线,切点为(−4,0).
设另一条切线为y=kx+m,切点为P(
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