2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（下）期中数学试卷（五四学制） (含解析)

2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（下）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．下列命题中，是假命题的是A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．垂线段最短2．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是A． B． C． D．3．已知二元一次方程组，则的值是A．9 B．3 C． D．4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为A． B． C． D．5．将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线上，其中一个锐角顶点在直线上．若，，则的度数为A． B． C． D．6．在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则的值约为A．12 B．15 C．18 D．207．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是A． B． C． D．8．如图，，的直角顶点在直线上．若，，则等于A． B． C． D．9．我国古典数学文献《增删算法统宗六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列方程组正确的为A． B． C． D．10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是①的面积的面积；②；③；④．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．已知二元一次方程组，则的值为．12．如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则．13．已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是．14．如图所示的折线图形中，．15．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共8小题，共90分）16．解方程：（1）（2）17．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．（1）求证：．（2）若，平分，求的度数．18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；（2）小明从盒子里取出个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．19．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人辆）4560租金（元辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？20．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：．（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值．21．阅读并填空．将三角尺放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边，恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若，则度；度；（2）类比探索：求，，的关系，并说明理由；（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边，仍恰好经过点和点，求，，的关系，并说明理由．22．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水杯、大球和小球进行了如下操作．请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入1个小球水面升高，放入1个大球水面升高；（2）如果小明想在水杯中放入大球、小球共10个，并限定水面高不超过，则至少放入多少个小球？23．【问题情境】已知，，平分交于点．【问题探究】（1）如图1，，，，试判断与的位置关系，并说明理由；【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．

参考答案一、选择题（有10小题，每小题4分，共40分）1．下列命题中，是假命题的是A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．垂线段最短解：、两点之间，线段最短，是真命题；、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；、等角的补角相等，是真命题；、垂线段最短，是真命题；故选：．2．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是A． B． C． D．解：一次解锁该手机密码的概率是．故选：．3．已知二元一次方程组，则的值是A．9 B．3 C． D．解：，②①得：．故选：．4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为A． B． C． D．解：把代入得：，解得：，，，则关于，的方程组的解为．故选：．5．将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线上，其中一个锐角顶点在直线上．若，，则的度数为A． B． C． D．解：如图：，，，，，，故选：．6．在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则的值约为A．12 B．15 C．18 D．20解：根据题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，答：的值约为15；故选：．7．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是A． B． C． D．解：当时，，解得，则点的坐标为，所以关于，的二元一次方程组中的解为．故选：．8．如图，，的直角顶点在直线上．若，，则等于A． B． C． D．解：如图，过点作，，，在中，．，，．，．故选：．9．我国古典数学文献《增删算法统宗六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列方程组正确的为A． B． C． D．解：如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，．根据题意可列方程组．故选：．10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是①的面积的面积；②；③；④．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③解：是中线，，的面积的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；是角平分线，，为高，，，，，，，，，故②正确；为高，，，，，，是的平分线，，，即，故③正确；根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；故选：．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．已知二元一次方程组，则的值为1．解：解法一：由可得：，代入第二个方程中，可得：，解得：，将代入第一个方程中，可得，解得：，，故答案为：1；解法二：，由②①可得：，故答案为：1．12．如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则45．解：，，，是的平分线，，，．故答案为：45．13．已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是0.24．解：第五组的频数为，第六组的频数为，第六组的频率是；故答案为：0.24．14．如图所示的折线图形中，．解：如图，连接．在中，，在四边形中，，，，故答案为．15．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为79．解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得，解得，．故答案为：79．三、解答题（共8小题，共90分）16．解方程：（1）（2）解：（1），②①，得：，解得：，将代入①，得：，解得：，所以方程组的解为；（2），①②，得：，解得：，将代入①，得：，解得：，所以方程组的解为．17．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．（1）求证：．（2）若，平分，求的度数．解：（1）证明：，，又，，；（2），，平分，，在中，，．答：的度数为．18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；（2）小明从盒子里取出个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．解：（1）红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，盒子中球的总数为：（个，故盒子中黑球的个数为：（个；任意摸出一个球是黑球的概率为：；（2）任意摸出一个球是红球的概率为，盒子中球的总量为：，可以将盒子中的白球拿出3个，．19．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人辆）4560租金（元辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车．根据题意，得，解得．答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租45座客车：（辆，所以需租14辆，租金为（元，租60座客车：（辆，所以需租10辆，租金为（元，，租用14辆45座客车更合算．20．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：．（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值．解：（1）由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，故答案为：．（2）二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，，解得，，．21．阅读并填空．将三角尺放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边，恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若，则90度；度；（2）类比探索：求，，的关系，并说明理由；（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边，仍恰好经过点和点，求，，的关系，并说明理由．解：（1），，，，，故答案为：90，40；（2）结论：．证明：，，，．故答案为：；（3）结论：，理由是：设交于，如图，，即，，故答案为：．22．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水杯、大球和小球进行了如下操作．请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入1个小球水面升高2，放入1个大球水面升高；（2