2025年湖北省襄阳市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖北省襄阳市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)若集合/=-2,-3},B={x+y\x&A,y&A},贝()

A.{-2}B.{-3}C.{-2,-3}D.{-1,-2,-3}

2.(5分)若复数z满足-----=1+23贝!|z=()

z

11,11.

A.-2—讶？B.一^+讶？C.-1+zD.~1~i

—TT—T

3.(5分)已知非零向量Q=(0,t),b=(1,-4),若向量b在a方向上的投影向量为2a,则，=(

A.-2B.-4C.2D.4

4.（5分）某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整理得

到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过〃厘米，根据直方图估计，下列最接近

。的数是（）

5.（5分）下列选项中，与tan55°不相等的是（）

l+sin20°

B.-tan125°

cos20°

]1—tanl0°

D.-------------

tan350l+tanl0°

6.（5分）已知直三棱柱/3C-48iCi中，AB=AC=2,NB4C=竽，C点到直线4用的距离为V7,则

三棱柱/2C-421cl的外接球表面积为（）

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C.20nD.24K

7.(5分)蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆

/v2

被称为“蒙日圆”.已知椭圆C—++=1的焦点在工轴上，4、5为椭圆上任意两点，动点尸在直

m3

线1-鱼y-6=0上.若N4尸5恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆。的离心率的取值范围为

()

A.(0,B.(0,C.)1)D.)1)

8.(5分)已知函数/(x),g(x)的定义域为R,g'(x)是g(x)的导数，且/(x)+g'(x)=5,f(x

(5-x)=5,若g(x)为偶函数，则f(k)=()

A.80B.75C.70D.65

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)已知函数/。)=2s讥(3x—卷)，下列说法正确的是()

A.“久一2竽7r)=/(无)

B.函数/(x)的图象关于点(6，0)中心对称

7T

C.将/(x)的图象向左平移二个单位长度，可得到g(x)=2sin3x的图象

D.函数/(x)在区间(0,给上单调递增

(多选)10.(6分)已知函数/(%)=也久-1-11T定义域为。，则下列结论正确的是()

A.若a,6&D且a<6,则/(a)</(6)

B.已知a,b&D且aWb,则“仍=1”是uf(a)+f(6)=0”的充分条件

C.方程/(/(x))=0有4个不同的实数解

D.若ae(1,2),贝！>/(a)

(多选)11.(6分)双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具

有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“8”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知

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在平面直角坐标系中，Fi（-2,0）,F2（2,0）,满足|尸为卜『尸2|=4的动点尸的轨迹为曲线C.则下

列结论正确的是（）

A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形

B.曲线。上满足尸尸i[=|尸尸2|的点尸有2个

C.\OP\<2V2

D.曲线C上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知数列｛斯｝是等差数列，且其前〃项和为若$3=9,5,6=36,贝.

13.（5分）若直线y=2x为曲线>=6鹏6的一条切线，则"的最大值为.

14.（5分）克罗狄斯•托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定

理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:

圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形/BCD是圆O的内

接四边形，且ZADC=2ZBAD.AB-CD+BC-AD=4y/3,贝I]

（1）圆。的半径是；

（2）四边形N3O面积的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）如图，在直三棱柱4BC-/i3iCi中，△48C是边长为2的正三角形，|44i|=3,。为/C中

-»->

点，点E在棱CO上，且CE=/LCCi，0<A<l.

（1）当4=拿寸，求证：平面3DE；

（2）当4=4时，求直线/避1与平面ADE所成角的正弦值.

16.（15分）已知双曲线C：l（a>0,b〉0）的左顶点为/，右焦点为凡动点B在双曲线C上.当

时，|4F|=|8F|.

（1）求C的离心率；

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—

(2)已知a=l,M,N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若MB=2BN,求△VON

的面积.

17.(15分)2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，

其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观蓝色外观

棕色内饰128

米色内饰23

(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件/为小明取到红色外观的模型，事件2为小明取到

棕色内饰的模型，求P(B)和P(B\A),并判断事件/和事件8是否独立；

(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,

给出以下假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或

仅内饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.

18.(17分)已知函数/(x)=2x+cosx,g(x)-ax2+l.

(1)当°=1时，判断函数g(x)的单调性；

(2)对任意的时g'(x)》为(x)恒成立，求实数。的取值范围；

(3)记/(X)=h(x)-若/(XI)=/(X2),且0<Xl<X2<TT,求证：八巧；.2)<0.

(参考公式：cos9—coscp=-2sinsin)

19.(17分)已知数列｛即｝的前〃项和为若对每一个"WN*,有且仅有一个加6N*,使得加+1,

则称｛即｝为“X数列”.记加=S„+L即，"CN*,称数列｛为｝为｛即｝的“余项数列飞

(1)若｛即｝的前四项依次为0,1，-1,2,试判断｛斯｝是否为“X数列”，并说明理由；

(2)若S7=2"+1,证明｛即｝为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；

(3)已知也=1的正项数列｛斯｝为“X数列”，且｛斯｝的“余项数列”为等差数列，证明S”Wl+2"-2.

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2025年湖北省襄阳市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)若集合4={-1,-2,-3},B={x+y\xEA,yEA},贝()

A.{-2}B.{-3}C.{-2,-3)D.{-1,-2,-3)

【解答】解：集合A={-1,-2,一3},

B={x+y\xEA,yEA}={-2,-3,-4,-5,-6},

：.AHB={-2,-3}.

故选：C.

2.（5分）若复数z满足二^---=1+2i,

则2=(

Z

11.11

AA.~2-2lB--2+2lc.-1+zD.-1-z

z+1—i1-i

【解答］解：-----=1+—=1+21,

zz

1—i

则一=2i,

z

故户弯=一»乱

故选：A.

—>—>

3.（5分）己知非零向量"=（0,力,b(1,-4）,若向量b在之方向上的投影向量为2总贝！|f=（)

A.-2B.-4C.2D.4

TT

【解答】解：由。=（0,t）,b=(b-4),

可得力在最方向上的投影向量为（赞）・各=普三22

|a|klt

解得t=-2.

故选：A.

4.（5分）某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整理得

到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过。厘米，根据直方图估计，下列最接近

。的数是（）

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D.95.5

【解答】解：由图可得1-(0.05+0.15)X1=0.80,1-0.05X1=0.95,

又0.80V0.9V0.95,

所以ae(94,95),且(a-94)X0.15+0.8=0.9,

得。=94.67.

故选：C.

5.（5分）下列选项中，与tan55°不相等的是（）

1+s讥20°

B.-tan125

cos20°

1l-tanl00

C.---------D.-------------

tan3501+tanlO

1+s讥20°(sinl00+cosl00)2sml0°4-cosl0°l+tanl0°

【解答】解:/：=tan(45°+10°)=tan55°；

cos20°cos210°—sin210°cosl00—sinl0°l—tanl00

B：-tanl25°=-tan(180°-55°)=tan55

1

C：-------=tan(90°-35°)=tan55°；

tan35

l-tanl0°

D：-------------=tan(450—10°)=tan35°Wtan55

l+tanl0°

故选：D.

6.（5分）已知直三棱柱4BC-/bBiCi中，AB=AC=2,NB4C=苧，C点到直线为用的距离为近，则

三棱柱/8C-N181cl的外接球表面积为（)

C.20TTD.24n

【解答】解：如图，过C作C£_LA4于点£,过E作EF〃/1/,5.EFCiBiAi=F,

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:三棱柱/BC-NbBCi为直三棱柱，可得平面4821/1，

：.BiAi±CE,又BiAi_LEF,1.CEDEF=E,

平面CEF,又CFu平面CEF,

：.CFLB\A\,又易知CE=2Xsin60°=V3,

，C点到直线/1囱的距离为CF=V£F2+CE2=VEF2+3=V7

解得昉=2,:.BBi=EF=2,

O77-

又易知BC=2遮，ABAC=

:.AABC的外接圆直径2T==4^

设三棱柱/8C-4B,C的外接球半径R,

则炉=「2+(竽)2=5,

.­.外接球表面积为4TT/?2=20TT.

故选：C.

7.(5分)蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆

/y2

被称为“蒙日圆”.已知椭圆C—++=1的焦点在工轴上，/、5为椭圆上任意两点，动点尸在直

m3

线1-迎y-6=0上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆。的离心率的取值范围为

()

A.(0,B.(0/C.(-^/1)D.(-^/1)

【解答】解：易知加＞3,

12/

因为直线％=±而，y=±8都与椭圆一++=1(血〉0)相切，

m3

_/2

所以直线％=±y/m,y=±8所围成矩形的外接圆x2+y2=3+m即为椭圆一+—=1的蒙日圆，

m3

芯2y2

因为48两点均在椭圆一++=1上，

m3

若N4PB恒为锐角,

第7页(共19页)

此时点尸在圆x2+y2=3+m外，

因为点P在直线％-V2y-6=0±,

所以直线X—V2y—6=0与圆x2+y2=3+m相离，

I-61/----

即-/>73+m,

Jl2+(-V2)2

解得m<9,

则e2=^=1-Ae(o,|),

mmv37

解得0VeV等，

所以椭圆c的离心率的取值范围为(0,整).

故选：B.

8.(5分)已知函数/'(x),g(x)的定义域为R,g'(x)是g(x)的导数，且/(x)+g'(x)=5,f(x

-1)-g'(5-x)=5,若g(x)为偶函数，则f(k)=()

A.80B.75C.70D.65

【解答】解：因为g(x)为偶函数，所以gG)=g(-x),所以g，(x)=-g，(-x),g'(x)是奇

函数，

所以g'(0)=0,

因为/(x)+g'(x)=5,所以f(0)+g'(0)=5,所以f(0)=5；

f(x)+g'(x)=5,①

/(x-1)-g1(5-x)=5,②

在②中，用5-x替换x,得/(4-x)-g'(x)=5,③

联立①③，得/(4-x)+f(x)=10,

所以/(l)+f(3)=10,f(2)=5,f(4)=/(0)=5,

又/(x)=5-g'(x)=5+g'(-x)=/(x+4),所以/(x)是周期为4的函数，

则f[k)=/(1)4/(2)+…4/(15)=3X|/(1)4/(2)+f(3)+f(4)+f(2)4/(3)=

75.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

第8页(共19页)

（多选）9.（6分）已知函数/⑶=2s讥（3%一看），下列说法正确的是（）

A."久―2写7r）=/（%）

B.函数/G）的图象关于点（备，0）中心对称

7T

C.将/（x）的图象向左平移二个单位长度，可得到g（x）=2sin3x的图象

D.函数/（x）在区间（0,引上单调递增

【解答】解：函数f（X）=2sin（3x

则/（x）的周期7=称，

所以/（%—委）=/（%）,所以4正确；

令/（%）=2sin（3x—5）—0,

故3x—W=/c7r,左EZ,解得X=左EZ,

得对称中心为（粤+0）（fcGZ）,故8正确；

将/（x）的图象向左平移，单位长度，得到/（比+看）=2s讥（3%+引的，故C错误；

由/（x）的对称轴为％=髻+竽，keZ,比=等6（0,/（%）在（0,引上不单调，故。错误.

故选：AB.

（多选）10.（6分）已知函数/（无）=）》-1-高定义域为。，则下列结论正确的是（）

A.若Q,且a＜b,则/（。）＜/（6）

B.已知〃，灰。且aWb,则“仍=1”是"/（a）4/（6）=0”的充分条件

C.方程/（/CO）=0有4个不同的实数解

D.若托（1,2）,则/（Q-1）〉/（Q）

【解答】解：易知/（x）的定义域为（0,1）U（1,+8）,

可得“%）寸+占＞°，

所以/（X）的单调递增区间为（0,1）,（1,+8）,

1

对于选项4：令。="，b=e,

17P7

可得/弓）=-2+含＞0,〃）=一含＜0，

第9页（共19页）

所以f〈)>f(e)，故选项/错误；

对于选项B：易知/《)+/(久)=一2+冬卷=0,

则“ab=l”是“f(a)V(Z))=0”的充分条件，故选项3正确；

对于选项C：当x-0时，/G)--8,且/(：)=一2+含>0,/(x)在(0,1)上单调递增，

所以/(x)在(0,1)上有一个零点，

当％一+8时，f(%)f+8,且/1)<o,f(%)在(1,+8)上单调递增，

所以/(%)在(1,4-00)上有一个零点，

所以/(X)有两个零点XI，X2,

即/(XI)=0，f(X2)=0,

因为/(%)=%1与/(X)=%2分别有两个实数解，

所以方程/(/(%))=0有4个不同的实数解，故选项C正确；

对于选项。：若/(Q-1)>/(Q),

17

即/(a-1)-f(a)=伍(1Q—2)(a-1)，

设g(%)=-L函数定义域为(o,i),

可得g3=J-9=裳<。，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，

所以g(x)>g(1)=0,

1

即仇％>1——,

因为(1,2),

—11

所以1—万E(。，2),

所以m(1一%>1一号

即/(a-1)-以a)>1—言一__2；a_1)=(a-l)^-2)>0'

则/(a-1)>/(a),故选项。正确.

故选：BCD.

(多选)11.(6分)双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具

有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“8”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知

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在平面直角坐标系中，Fi(-2,0),F2(2,0),满足|尸为卜『尸2|=4的动点尸的轨迹为曲线C.则下

列结论正确的是()

A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形

B.曲线。上满足尸尸1］=尸尸2|的点尸有2个

C.\OP\<2V2

D.曲线C上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0

【解答】解：设尸(x,y),由乃(-2,0),尸2(2,0),满足|尸7计斤2|=4,

可得JQ+2尸+y2.J。-2)2+y2=4,即有曲线C既是中心对称又是轴对称图形，故/正确；

若『为|=|旧画=2,可得这样的P点只有一个，即为原点，故8错误；

两边平方可得［(X-2)2+/卜［(x+2)2+为=16,化为(/力2)2=8(%2_廿),

即为，+产=笑誉238,可得QPFW8,故C正确；

从双纽线的图形看有四个点处的切线的斜率为0,

又由(/+y2)2=8(x2-y2),可得产=4，乂2+1一(x2+4),

可得2处'A-=-7==-2x,令y'=0,解得x=0或±旧，

Vx2+1x

计算可得在原点处的切线方程方程为》=±2x.故。正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知数列｛斯｝是等差数列，且其前〃项和为S,.若$3=9,5,6=36,贝J

【解答】解：数列｛斯｝是等差数列，$3=9,56=36,

由S3=3ai+3d=9,S6=64I+15d=36,则d=2,a\=\.

故答案为：1.

13.(5分)若直线y=2x为曲线>=6叱&的一条切线，则成的最大值为

【解答】解：设/(x)=eax+b,则，(x)=aeax+b,

设切点为(殉,e-o+b),则/3))=ae的+b,

ax+bax+ax+bax+b

则切线方程为y-e°=ae°\x-殉)，整理可得y=ae<>x+(1-ax0)e0,

第11页(共19页)

所以产°一。，解得%o=J,aeax°+b=ae1+b=2,

{aeax0+b—2CL

所以。=百3，所以=

设g(%)=磊，则g。)=2、1：),

当xE(-8,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当(1,+8)时，g'(%)<0,g(x)单调递减，

所以当x=l时，g(x)取得最大值g(l)=会，

2

所以的最大值为三.

14.(5分)克罗狄斯•托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定

理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:

圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆。的内

接四边形，S.AC=V3BD,/ADC=2/BAD.若AB・CD+BU4D=4后则

(1)圆。的半径是2；

(2)四边形48CD面积的取值范围是(V3,2V3).

【解答】解：(1)由托勒密定理，得4C・BD=4B・CD+BC・4D=4后

结合=解得/C=2亚BD=2,

ACBD

设圆。的半径为心由正弦定理得=2R,

sin乙ADCsinZ-BAD

2V32

即s讥N4DC=sin^BAD'整理得sin/4DC=y/3sinZBAD,

因为/ADC=2/3AD,所以2sin/BADcos/3AD=y[3sinZBAD,

结合/BADC(0,TT),sinZBAD>0,解得COSNBAD=字，

所以/氏4。屋，smZBAD^1可得2R==%,=4,R=2；

OZSlTlZ-D/iU

⑵如图，假设2。边固定，由力C=2后可得圆心O到直线/C的距离d=^ta唬=1,

所以/C是以。为圆心、半径为1的圆的切线，

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A

过8（或D）分别作小圆的切线，与大圆的交点分别为出、/2、43、A4,

当C点在劣弧皿时，顶点/可以在劣弧而，砌上运动，

由对称性，考虑点/在劣弧罚2上时，

通过计算可知：AzBLBD,ZAiDB=g,所以/C与AD的夹角a6/，J）,

由此可得：四边形/BCD面积S=%C・5Dsina=2bsinae（V3,2b）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）如图，在直三棱柱4BC-431cl中，△48C是边长为2的正三角形，|44i|=3,。为/C中

—

点，点E在棱CC1上，且CE=/lCCi，0c入＜1.

（1）当4=飘，求证：NiE_L平面3DE；

（2）当2时，求直线出历与平面BDE所成角的正弦值.

【解答】解：（1）证明：为正三角形，。为/C中点，,台。，/。.

在直三棱柱A8C-418I。中，平面/CCi/i_L平面ABC,又平面/CC/iD平面N2C=/C,

故8D_L平面/CG4,又/i£u平面NCCi/i,

则BDLAiE,

当4=1■时，tan/4ECi=2,tan/.DEC-p

则4&ECi+ADEC=，，

第13页（共19页）

.•.//1ED=9O°,BPA\ELDE,[fnBDdDE=D,

：./i£_L平面BDE.

（2）当;1=号时，|CE|=1,易证NiE_LD£,由（1）可得：平面8D£,

-»—>—>

以。为坐标原点，以DB,DC,D%方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系,

则。(0,0,0),A(0,-1,0),AlCO,-1.3),B(V3,0,0),E(0,1,1),

->-»

由Ni£_L平面可得：平面3DE的一个法向量是瓦4i=(0,-2,2),且B4=(一百，一1,0),

记直线AB\与平面BDE所成角为a,

贝Usina=\cos{EAr,BA）\=|-号,%=字，

Mil田川4

V2

所以直线AB\与平面BDE所成角的正弦值是下.

16.（15分）已知双曲线C：盘―，=l（a>0,b〉0）的左顶点为N,右焦点为凡动点3在双曲线。上.当

时，磔2|=内尸

（I）求C的离心率；

（2）已知a=l,M,N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若诂=2亩V,求△MON

的面积.

【解答】解：（1）当班LL4b时，目=|5月时，c+a=^-=^—^-,

整理得a=c-a,

即2q=c,

所以双曲线C的离心率e=。=2；

(2)因为Q=l,

第14页（共T9页）

由（1）知c=2,b-V3,

所以双曲线。的方程为久2—1=1,渐近线方程分别为y=土旧x,

设V3m）,N（n,—V3n）（m>0,〃>0）,

—>—>

因为MB=2BN,

解得B（空,V3(m—2n).

3)'

因为点3在双曲线。上，

所以（小一修

解得nm=

因为NM9N=120°,\MO\=2mf\NO\=2n.

所以S^MON=^\MO\\NO\sinl200=V3mn=竽・

17.（15分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型,

其外观和内饰的颜色分布如下表所示:

红色外观蓝色外观

棕色内饰128

米色内饰23

（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件/为小明取到红色外观的模型，事件8为小明取到

棕色内饰的模型，求P（B）和P并判断事件力和事件3是否独立;

（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,

给出以下假设:

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或

仅内饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.

【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，

则对应的概率P（4）=专督=基，

若小明取到棕色内饰，分红色外观12个，蓝色外观8个,

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则对应的概率P(B)=当普=|^=1

取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即PQ4B)=

则P(B|A)=g翳=笠=盖=表

J25

144S612

•・・尸(2)尸(8)=奈':=患。芸，：.P(A)P(5)于PCAB),

乙jj.乙J乙J

即事件/和事件8不独立；

(2)由题意知X=600,300,150,

则外观和内饰均为同色的概率P=4+f产+G=66+第3+1=慕=普

LDUUJUU±3U

外观和内饰都异色的概率p=42c誓=盖，

仅外观或仅内饰同色的概率p=1-普-盖=摄

,1〉4-9-->一13

•215075

1984913

・・・P(X=150)=京P(X=300)=益=渔，P(X=600)=於,

则X的分布列为:

X150300600

P14913

215075

149

则E(X)=150X亍+300x向+600x笆=277.

乙.LOV//KJ

18.(17分)已知函数〃(x)=2x+cosx,g(x)-tzx2+l.

(1)当a=l时，判断函数g(x)的单调性；

(2)对任意的％三0时g'(x)沁(x)恒成立，求实数Q的取值范围；

(3)记/(%)=/i(%)-若/(xi)=/(%2),且0Vxi〈X2〈n,求证：fX)<0.

(参考公式：cos3—coscp=—2sin

【解答】解：(1)当。=1时，g(x)="--+1,函数定义域为R,

可得gr(x)="-2x,

令加(x)="-2x,函数定义域为R,

可得m'(x)="-2,

第16页(共T9页)

当x</〃2时，m'(x)<0,m(x)单调递减；

当了>勿2时，m'(x)>0,m(x)单调递增，

所以加(x)》加(历2)=2-2/»2>0,

即g'(x)>0,

所以g(x)在R上单调递增；

(2)因为g(x)-ox2+l,函数定义域为R,

可得g'(x)—e^-lax,

设9(x)=g'(x)-h(x)=e*-2ax-lx-cosx,函数定义域为［0,+°°),

可得/'(x)="-2a-2+sinr,

令"(x)="-2a-2+sinx,函数定义域为［0,+°°),

可得(x)=e^+cosx1+cosx0,

所以"(x)在［0,+8)上单调递增，

即P(x)在［0,+8)上单调递增，

所以尸'(x)W(0)=1-2a-2=-2a-1,

当aW-★时，P(x)2P(0)=-2a-120,

此时9(x)在［0,+8)上单调递增，

所以尸(x)NF(0)20,符合题意；

1

当£1>一2时，尸'(0)=-2a-l<0,

又P(x)在［0,+8)上单调递增，且当X-+8时，F'(x)—+8,

所以存在xo>O使得尸(xo)=0,

所以尸(x)在(0,xo)上单调递减，

当x€［0,xo)时，F(x)WF(0)=0,不符合题意，

综上所述，a的取值范围为(-8,—.1］；

9

(3)证明：易知/(%)=2—元］—s讥%,

因为/(R)=/(X2),

%2%2

以2%］——4~cos%］=2%2—^"+cos%2，

］

所以2(%1—%2)----(%1+%2)(%1—%2)+COS%1—COSX2=0,

两边同时除以XI-X2,

第17页(共T9页)

可得2—9(/+玷+%三户=。，

JL入1人2

c.X-1+x.Xy-x

一一,1—2sin£?sinz?

所以2—元(/+冷)-------xr----------=0'

今超,xl+x2

q人o-2'

此时2