2025年数学入学考试试题及答案

数学入学考试试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.下列数中，是质数的是（）

A.15B.17C.18D.20

2.已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，那么3a+3b+3c的值是（）

A.36B.18C.12D.6

3.若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则这个数列的公差是（）

A.3B.2C.1D.0

4.下列数中，是等比数列的是（）

A.1，2，4，8，16B.1，3，9，27，81C.1，4，16，64，256D.1，2，4，8，16

5.若一个等比数列的前三项分别为1，2，4，那么这个数列的公比是（）

A.1B.2C.4D.8

6.下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=x^2+3x+2B.y=x^3+2x^2+3x+4C.y=x^2+3x+4D.y=x^3+2x^2+3x+1

7.若一个二次函数的顶点坐标为（1，-2），则该函数的一般式为（）

A.y=x^2-2x-1B.y=x^2-2x+1C.y=x^2+2x-1D.y=x^2+2x+1

8.下列方程中，有唯一解的是（）

A.x^2-4x+3=0B.x^2-4x+3=0C.x^2-4x+3=0D.x^2-4x+3=0

9.若一个二次方程的判别式为0，则该方程有两个相等的实根（）

A.错误B.正确

10.下列数中，是实数的是（）

A.√-1B.√4C.√-4D.√-9

二、填空题（每题2分，共20分）

1.已知等差数列的前三项分别为2，5，8，则这个数列的公差是______。

2.已知等比数列的前三项分别为1，2，4，则这个数列的公比是______。

3.若一个二次函数的顶点坐标为（1，-2），则该函数的一般式为______。

4.若一个二次方程的判别式为0，则该方程有两个相等的实根______。

5.下列数中，是实数的是______。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。

2.已知等比数列的前三项分别为1，2，4，求该数列的通项公式。

3.若一个二次函数的顶点坐标为（1，-2），求该函数的一般式。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则bc=ac。

2.证明：若a、b、c是等比数列，且abc=1，则b^2=ac。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.某市居民用水量按照阶梯水价收费，第一阶梯为每月15立方米以下，每立方米2元；第二阶梯为15立方米至30立方米，每立方米3元；第三阶梯为30立方米以上，每立方米4元。某户居民上个月用水量为25立方米，求该户居民应缴纳的水费。

2.某商品原价为200元，打八折后的价格为160元，求该商品的折扣率。

六、综合题（每题10分，共20分）

1.已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求该数列的前10项和。

2.已知等比数列的前三项分别为2，4，8，求该数列的第5项和第10项的和。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B解析：17是质数，其他选项都是合数。

2.A解析：等差数列的和是首项和末项的平均值乘以项数，所以3a+3b+3c=3(a+b+c)=3*12=36。

3.A解析：公差是相邻两项之差，8-5=3。

4.A解析：等比数列中，任意两项的比值是常数，1，2，4，8，16中任意两项的比值都是2。

5.B解析：公比是相邻两项之比，4/2=2。

6.A解析：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a≠0。

7.A解析：二次函数的顶点坐标为（h，k），一般式为y=a(x-h)^2+k，代入顶点坐标得y=x^2-2x-1。

8.B解析：二次方程ax^2+bx+c=0有唯一解的条件是判别式b^2-4ac=0。

9.B解析：二次方程的判别式为0时，方程有两个相等的实根，即重根。

10.B解析：实数包括有理数和无理数，√4=2是有理数。

二、填空题答案及解析：

1.3解析：公差是相邻两项之差，8-5=3。

2.2解析：公比是相邻两项之比，4/2=2。

3.y=x^2-2x-1解析：根据顶点坐标（1，-2）代入二次函数顶点式y=a(x-h)^2+k得到y=x^2-2x-1。

4.正确解析：二次方程的判别式为0时，方程有两个相等的实根。

5.√4解析：实数包括有理数和无理数，√4=2是有理数。

三、解答题答案及解析：

1.通项公式为an=2n+1解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3得到an=2n+1。

2.通项公式为an=2^n解析：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，代入a1=1，r=2得到an=2^n。

3.一般式为y=x^2-2x-1解析：根据顶点坐标（1，-2）代入二次函数顶点式y=a(x-h)^2+k得到y=x^2-2x-1。

四、证明题答案及解析：

1.证明：由等差数列的性质，有b=a+d，c=a+2d，代入bc=ac得到(a+d)(a+2d)=a(a+2d)，展开后得到a^2+3ad+2d^2=a^2+2ad，化简得d^2=ad，由于a+b+c=0，有a+(a+d)+(a+2d)=0，化简得3a+3d=0，即a+d=0，代入d^2=ad得到d^2=0，所以d=0，因此bc=ac成立。

2.证明：由等比数列的性质，有b=ar，c=ar^2，代入b^2=ac得到(ar)^2=ar^2，化简得a^2r^2=ar^2，由于abc=1，有a*ar*ar^2=1，化简得a^3r^3=1，即(ar)^3=1，所以ar=1，代入b^2=ac得到b^2=1，因此b^2=ac成立。

五、应用题答案及解析：

1.水费为75元解析：第一阶梯水费为15*2=30元，第二阶梯水费为(25-15)*3=30元，总水费为30+30=60元。

2.折扣率为20%解析：折扣率=(原价-折后价)/原价=(200-160)/200=40/200=0.2，即20%。

六、综合题答案及解析：

1.前10项和为330解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2*(a1+an)，代入a1=3，an=2n+1，n=10得到S10=10/2*(