2025年高考数学专项复习：导数中构造函数的应用（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）（解析版）

第08讲导数中构造函数的应用

T模块导航—素养目标

模块一思维导图串知识1.了解需要构造函数的一般形式.

模块二基础知识全梳理(吃透教材)2.掌握指对同构在写题中的应用.

模块三核心考点举一反三

【考点一：构造函数比较大小】

【考点二：构造函数解不等式】

【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】

【考点四：构造函数证明不等式】

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

四、构造函数证明不等式

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数

1、同构是构造函数的一种常用方法.常利用工=ln?ex(x?R),x=eln?x(x>0)将要比较的三个数化为结构相

同的式子，再将其看作同一个函数的三个值，用常值换元构造函数，利用函数的单调性比较大小.

2、对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式，或者含两个变量，且结构相似的等式，比较相关的两个变

量间的大小问题时，思考的逻辑路径为先分离变量，再将等式通过合理变形，放缩成结构相同的不等式，然后利

用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小，最后利用函数f(x)的单调性，转化

为比较自变量g(x)与h(x)的大小，实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。

3、常见的构造函数有

(1)与e，和Inx相关的常见同构模型

①ae"4〃n6oe"lne"<b\nb,构造函数/(x)=xlnx或g(x)=xe"；

构造函数〃x)=熹或g(x)=J;

aIn/?Ine"Inb

③e"±q>6±ln6oe"±lne">b+lnb,构造函数，(x)=x±lnx或g(x)=e'±x.

二、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

(1)把不等式转化为/

(2)判断函数/(x)的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组),

但要注意函数奇偶性的区别.

三、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于/'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.对于不等式f(x)>左(左HO),构造函数g(x)=F(x)-左x+b.

模型3.对于不等式/'(x)+/(x)>0,构造函数g(x)=e"(x)

拓展：对于不等式/'(x)+灯口)〉0,构造函数g(x)=/"(x)

模型4.对于不等式/r(%)-/(%)>0,构造函数g(x)=』学

e

模型5.对于不等式V'(x)+/(%)>0,构造函数g(x)=对'(x)

拓展：对于不等式W'(X)+4(X)〉0,构造函数g(x)=x"/(x)

模型6.对于不等式xf\x)-/-(%)>0,构造函数g(x)=上出(%*0)

X

拓展：对于不等式"⑴-4(x)>0,构造函数g(x)=1^

X

模型7.对于行一〉0,分类讨论：(1)若/(x)>0,则构造/z(x)=ln/(x);

f(x)

(2)若/(x)<。，则构造丸(x)=ln[—/(x)]

模型8.对于f'(x)+Inqf(x)>0(<0),构造k(x)=axf(x).

模型9.对于/'(x)Inx+以旦■>()(<0),构造〃(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)对于/'(x)>/(x)tanx(则'(x)v/(x)tanx),即/'(%)85%—/(%)5111]>0(<0),

构造h(x)=/(x)cosx.

(3)对于f(x)cosx+f(x)sinx>0(<0),构造h(x)="".

cosx

模型11.(1)f'(x)sinX+f(x)cosx=[/(x)sinx\(2)于⑴sinx二/(A)COSX=1/^丫

sirrxsinx

3模块三核心考点举一反三

【考点一：构造函数比较大小】

一、单选题

)

1.(23-24高二下•江西新余•阶段练习)已知。二三—lr5/=三—ln3,。=—亍ln2，则()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】根据三个对数值的特点，构造函数/(》)=妈，求导得到函数的单调性，利用函数在6+刈上的

X

单调性和对数运算性质，化简计算即可比较大小.

【详解】设〃X)=小，函数定义域为◎+◎,则广(口=上坟，

当0<x<e时，f'(.x)>0,当x>e时，(尤)<0,

即/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

ln2In41一，_立”八51n3In4In5

因m丁=<，且e<3<4<5,^/(3)>/(4)>/(5),BP1—>—>—,

24345

口口In3In2In5.In3

即——>——>——,贝nU------<一g<-蛇

325325

故选：A.

311

2.(23-24局二下•江苏苏州•期末)设〃=：,b=log2,c=—+sin—,则()

4344

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】A

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较。，b,构造函数/(x)=x-sinx,利用导数判断函数的

单调性，即可比较［sin］的大小，进而可比较瓦c的大小，即可得解.

44

3］_LLL

4422

【详解】因为。=1。8334=log327>log325=log35>log34=log32,

所以a>>，

令/(%)=%—sin%,贝！］/r(x)=l-cosx>0,

所以在R上为增函数，

所以d]>〃0)=0,即:一sinJ>0,所以J>sinJ,

4444

贝!)人=log32>log3百=；=；+；>；+sin；,BP/7>c,

综上所述，a>b>c.

故选：A.

XTT

3.(23-24高二下•四川眉山・期末)已知函数)=下的最大值为〃，令人=lgsin三，”也攻，则〃，b,。的

e7

大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用导数求出“，由正弦函数、对数函数性质可得6<0,再构造函数比较的大小.

【详解】由/=一，当时，y>o,当%>i时，y<o,

e

Y1

即函数y=5在(一84)上单调递增，在(1,+s)上单调递减，则当尤=1时，a=ymax=-,

ee

令函数/(x)=lnx」(l<x<e),求导得r(x)=L」>o,函数/(©在(l,e)上单调递增，

exe

贝(l/(x)</(e)=O,于是/(2)<0,gpln2--<0,因此。=」>』ln2=In&=c>0,

ee2

由0<sin/<1,得b=1gsin/<0,

所以a,b,c的大小关系是

故选:A

4.(24-25高二上•重庆•阶段练习)已知〃=sinLb=@,c=ln3,则()

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【分析】构建g(x)=x-sinx,xe[O,l),利用导数判断g(x)的单调性，进而可得”;<6,再结合对数函数

单调性可得g<c<6.

【详解】记8(尤)=%-$血,工€[0,1),贝1|g<x)=l-co&xN。，

可知g(可在[0,1)上单调递增，则|ggbg⑼，gpl_sinl>0,

可得a=sin1<』<=b;

333

又因为(3[,则21n』<l<31n。，即：1<历3<!<也；

⑶⑶223223

所以a<c〈人.

故选：B.

5.(23-24高二下•四川攀枝花•期末)已知“=e°99一0.99力=l,c=1.01-1.011nL01,则()

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【分析】设/(x)=x-lnx分析函数的单调性，可得。涉的大小关系；设函数g(x)=x-xlnx,分析函数单调

性，可得b,c的大小.

1_1

【详解】设“x)=x-lnx,(尤>0),因为尸(耳=1一;=土r/,

由尸⑺>0=>x>l；由/⑺<0=>0<x<l.

所以函数在(0,1)上递减，在。,内)上递增.

所以〃x)2/(l)=Inl=l,

99

又0=6°_0.99=6°99_111科99=/卜°99),^=1=/(1),所以a>b.

再设g(x)=x-xlnx,(x>0),因为g'(x)=l-(lnx+l)=-lnx,

由g'(x)>0=0<x<l；由g'(x)<0=x>l.

所以函数g(x)在。,收)上递减，在(0,1)上递增.

所以g(x)Vg(l)=l.

Xc=1.01-1.011nl.01=g(1.01)<g(l)=Z7,即c<6.

故a>6>c.

故选：A

【考点二：构造函数解不等式】

一、单选题

1.(23-24高二下•山东聊城•期末)已知定义在R上的函数/(元)的导函数为了⑺，若"1)=3,且VxeR,

/(一力>1,则/'(一”<2—%的解集为()

A.B.(-1,1)

C.(1,+8)D.(-1,+<»)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=〃-x)+x,利用导数得出其单调性，进而由单调性解不等式即可.

【详解】构造函数g(x)=/(—x)+x,g(T)=3-1=2,

g'(x)=--(一幻+1<0,即函数g(x)在R上单调递减，

/(—x)<2-x等价于g(x)<g(—l),解得x>—l.

即"r)<2-x的解集为(-1,+e).

故选：D

2.(23-24高二下•山东枣庄•阶段练习)已知定义在R上的函数/(x)的导数为/'(x),f(l)=e,且对任意

的x满足广(x)-/(x)<e'，则不等式/(x)>xe'的解集是()

A.(-oo,l)B.(-8,0)

C.(0,1)D.(1,饮)

【答案】A

【分析】构造尸(x)=绰-x,求导得到其单调性，并结合/1)=/a-1=0,得到x<l时，F(x)>0,

ee

从而求出解集.

【详解】设下(同=竽-%，

因为了'(X)-〃x)<e",

所以产(x)='(--——_——1='(~-——----<0»

exe'

故厂(月=第7在R上单调递减，

X/(l)=e,故/⑴=9一1=0,

故当尤>1时，F(%)<0,当x<l时，F(%)>0,

/(x)>xex=>"：)一x>0nF(x)>0,

故了(同>屁工的解集为(-8,1).

故选：A

3.(23-24高二下.内蒙古.期末)已知广⑴是定义域为［。,£|的函数〃x)的导函数，且

/'(x)sinx+〃x)cosx>0,则不等式/［x+?cosx>的解集为()

A.修+“B.卜汨［CH。］D.(一则

【答案】D

【分析】首先构造函数g(x)=/(x)sinx,利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.

【详解】设g(x)=〃x)sinx,(x)=f'[x)sinx+f(x)cosx>0,

所以函数g(x)单调递增，

小+。冈>=小+与卜心+：>/.卜哈

7171

XH---->一

即g(x+Tj>g7126,所以一W<无<。，

得

八兀兀3

0<x+—<—

22

所以不等式的解集为卜

故选：D

4.(23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中)已知定义在R上的奇函数〃龙)，其导函数为/'(x),/(-3)=0,

当x>0时，3〃力+才(力<0,则使得〃力<。成立的x的取值范围是().

A.(-«,-3)u(O,3)B.(-3,0)53,")

C.(f一3)。(3,+巧D.(十,—3"(—3,0)

【答案】B

【分析】设g(x)=x3/(x),根据题意可得函数g(x)为偶函数以及其单调性，再分x>0以及尤<0讨论即可得

出答案.

【详解】设g(x)=V/(x),则g，(x)=3//(x)+Pr(x)=x2[3/(x)+才(切,

由于当x>0时，3/(x)+4'(x)<0,

贝(I当x>0时，g'O)<。，g(x)在(0,包)单调递减，

又fM为奇函数，/(X)=-/(一力,则g(-x)=(-x)3/(-x)=x3/(x)=g(尤)，则函数g(x)为偶函数，

可得函数g(x)在(-8,0)上单调递增，

又/(一3)=0,则g(—3)=g(3)=o,

当x>0时，由7(x)<。，可得g(x)<o,即g(x)<g⑶，解得x>3；

当x<0时，由/(x)<0,可得g(x)>o,即g(x)>g(3),解得-3<x<0；

综上，不等式/(九)〈。的解集为(-3,0)。(3,+8).

故选:B.

5.(23-24高二下.天津.期末)定义在R上的函数导函数为尸(x),若对任意实数x,有〃力>/(耳,

且〃力+2024为奇函数，则不等式〃耳+20243<0的解集为()

A.(-oo,0)B.(。,+8)C.D.

【答案】B

【分析】构造g(W=与，根据导数研究g(x)单调性，结合已知将问题化为g(x)<g(0),再根据g(x)的单

e

调性即可求出结果.

【详解】设以无)=与，则g(x)J'(+」(x),

ee

对任意实数X,有〃%)>/(力，

所以g，(x)<0,则g(x)在R上单调递减.

因为/(x)+2024为奇函数，且f(x)的定义域为R,

所以40)+2024=0,所以/(0)=-2024,所以g(0)=-2024.

因为e，>0,所以求不等式/(%)+2024e'<0的解集，

即求卒<-2024的解集，即求g(x)<g(0)的解集，

e

因为g(x)在R上单调递减，所以g。)<g(。)的解集为x>0,

所以不等式/(%)+2024e*<0的解集为(0,+功.

故选：B

【点睛】关键点点睛：构造函数g(x)=华，根据题意，可得其单调性，从而求解不等式.

ex

6.(23-24高二下.江苏常州.期末)已知函数/(X)及其导数/'(无)的定义域均为R,对任意实数x,

/(》)=/(一x)—2x,且当xNO时，r(x)+x+l>0.不等式/(2%—2)—/(尤)<一<+3尤的解集为()

2-004

A.(-00,2)B.C.—,+ooD.(2,+oo

3

【答案】B

【分析】构造函数g(尤)=〃尤)+；/+工，从而结合导数与所给条件得到函数g(x)的单调性与对称性，在

将所给不等式中/(X)化为g(X)即可得解.

【详解】令g(x)=〃x)+：x2+x,贝!|g'(x)=/'(x)+x+l,

由题意可得，当尤20时，r(x)+x+l>。，即g(x)在(0，+8)上单调递增,

由/(x)=/(_x)_2x,贝！］g(x)_gx2_，x=g(_x)_gx2+x_2x,

即g(x)=g(-x),故g(x)为偶函数，故g(x)在(-8,0)上单调递减，

1?13Y

贝!I不等式/(2工_2)-/(力<———+3x可化为：g(2x—2)-—(2x—2)-(2x-2)-^(x)+—x2+x<———+3x,

即g(2x-2)<g(x),则有|2x—2卜国,即(2x-2)2〈尤2,

gp(2x-2+x)(2x-2-x)<0,BP(3x-2)(x-2)<0,

解得xe[g,21

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数g(x)=〃尤)+g«+x,从而结合导数与所给条件得到函数

g(尤)的单调性与对称性.

【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】

一、单选题

1.(24-25高二上•云南•阶段练习)若e，+%-Iny-ey=l,则母的最小值为()

112

A.—B.—歹C.—TD.0

eee

【答案】B

【分析】利用同构可得ei=y,再结合导数讨论新函数的单调性后可得冲的最小值.

【详解】因为炉+x-lny-ey=l,故ln(e*)+e*=ln(ey)+(ey),

而y=x+lnx为(0,+8)上的增函数，故e*=ey即e*T=y,故孙=xe*T,

设s(x)=xe*T,xeR,贝Us〈x)=(x+l)e*T,

当xc-l时,s<x)<0,故s(x)在上为减函数,

当X>—1时，s'(x)>0,故S(x)在(-1,+8)上为增函数，

故$(/皿=5(—1)=^-2,

故选：B.

2.(24-25高二上•安徽六安•阶段练习)对于x«O,+w),不等式e'-ln(〃式)+(1-间尤20恒成立，则实数加

的取值范围为()

A.0<m<lB.0<m<lC.0<m<eD.0<m<e

【答案】C

【分析】由e"-In(侬:)+(l-间%N。得，ex+x>eln^^+In(mx),同构函数/(X)=e"+x,由/(ln(mx))

得：^>ln(mx),再参变分离,转化为借助导数求函数的最值即可.

【详解】已知了£(。,+°°),由e"-ln(mx)+(l-加)x2。得，ex+x>+In(me),

构造函数"x)=e"+H则〃同是R上的增函数，则由/(x"/(ln(M))得：x>ln(mx),

即用令g(%)=上，X£(0,+。)，，

XXX

当x«0,1),g<x)<0,则g(x)单调递减，

当xe(l,4w),g<x)>0,则g(x)单调递增，

二g(xL=g(1)=e,则相<e,又/九>0,则0<7〃Ve.

故选：C.

3.(24-25高二上•全国•课后作业)已知函数/(x)=eAi,g(x)=lnx+l,若存在实数满足/'(a)=g仅),

则e"后的最大值为()

A.—eB.—1C.-D.1

e

【答案】c

【分析】根据〃G=g0)可得b>L构造函数和=求导即可根据函

数的单调性求解最值.

【详解】因为/(a)=g®,所以ei=ln6+l,所以小门=吗已>0,所以5」，

ee

设函数人(司=电?上>:｝则"⑴户一1皿一1,

设°(x)=：-lru-l,由于y=：,y=-ln尤均为上的减函数，易知(p(x)在区间内单调递减,

且0⑴=0,

故当xwgl)时，°(x)>0,//(x)>0；当xe(L+s)时，°(x)<0,〃(x)<0.

所以h(x)在区间,1］上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减.

所以〃⑴2〜⑴=：,故『一%=：.

故选：C

【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数h(x)；

(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

4.(23-24高二下.河南安阳・期中)若对任意无€(0,1),二<萨丁恒成立，则实数。的取值范围是()

A.[—,—]B.[0,4-00)C.1,+8)D.[—,+GO)

222

【答案】D

【分析】根据给定的不等式，利用同构的思想，并按，20,av。分类讨论，构造函数，利用导数探讨单调性

转化为恒成立的不等式求解.

,,曲x+2a/口Inxx+2a小八7Inx八八4x+2a八

【详解】由二<二寸，得即<二言不，当Uzx£(0」)时，即<0,当〃>0时，二H>°，

xeeeee

不等式塔〈主善恒成立，当。<0时，令函数"x)=E，求导得尸(无)=二，

eeee

当x<l时，r(尤)>0,函数/(X)在(-8,1)上单调递增，而当xe(0,l)时，lnx<0,x+2"l,

不等式塔即/(lnx)</(x+2a),于是lnx<x+2ao2a>lnx—x,

ee

因此尤e(0,l),2a>lnx-x恒成立，令g(x)=lnx-x,0<x<l,求导得gG)=L-l>0,

x

则函数g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)<g⑴=-1,于是2°2-1,贝！|-；Va<0,

所以实数。的取值范围是“N-g.

故选：D

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓

住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.

5.(23-24高二下•福建漳州.阶段练习)已知实数x,九满足ylny=e2工-yln2x,则V的最小值为()

e2f—

A.eB.—C.—D.>/e

2e

【答案】A

2x

【分析】化简变形后可设=知其在(1,+◎上单调递增，若/(ln2孙)=/(2力，贝！)2^=e2)对y=J

2x

求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.

【详解】由已知有ylny+yln2%=e2x,即yln2A^=e2",BPIn2xy-^n2xy=2xe2x,

因为2x>0,令于(t)=te[t>09/”)=(，+1)。’>。易知/(力在(0,+8)上单调递增，

2x

因/(ln2孙)=〃2x),所以ln2个=2x,故2^=6?，，即，=J.

lx

g、i,(2x-l)e2x人,(2x-l)e2x八1

^flUy=------g—,^y'=--------T—=0,可得x二:

2x2x2

又因y=号等;在上小于零，故y在(o，£|单调递减，

(2尤一1九2工

在上大于零，故y在单调递增,

y=-2^~

故当时x=；,y取极小值也是最小值为e.

故选：A

6.(2024・浙江.模拟预测)已知x'iWlnx+9对\/x>0恒成立，则。的最大值为()

A.0B.-C.eD.1

e

【答案】D

【分析】由题意得e"nx-xlnxNa对以>0恒成立，令f(x)=xlnx,利用导数求得了(尤)2-4，即xlnxN」,

ee

再令，=xlnx,g(r)=e，-r，2-；|,利用导数求出g⑺的最小值，可求出〃的取值范围，从而可求出”的最

大值.

【详解】由£一12lnx+@(x>0),得％"之xlnx+a,

x

所以e"1nx—xinx*对Vx>0恒成立，

令f(x)=x］nx9则/(%)=In%+1在(0,+8)上单调递增,

由尸(x)=0,得％=工，

e

当0<x/时，f'(x)<0,当x>1时，尸(x)>0,

ee

所以/(X)在［o,j上递减，在+8)上递增，

所以/(尤即xlnx"：

令1=xlnx,g⑺=e',

则/⑺=e'-l在-5+sJ上单调递增,

由g'（，）=。，得）=0,

所以当-，4/<0时，g'⑺<。，当/>0时，g'(.t)>0,

e

所以gO)在-J。］上递减，在(。,+8)上递增，

所以8«)3=8(0)=1，所以“VI，

所以。的最大值为1.

故选:D

【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关

键是通过对原不等式变形，将问题转化为^，一》1„彳24对以>0恒成立，然后构造函数，利用导数求出最

值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

【考点四：构造函数证明不等式】

一、解答题

I7

1.(24-25高二下•全国•课堂例题)当x>l时，求证：-x*2+lnx<-x3.

【答案】证明见解析

【分析】移项构造函数，利用导函数求解函数的单调性进而得证不等式.

71

【详解】令尤)=§x3-/x2-inx,

贝！I/'(彳)=2/_尤_工

X

x

Qx>l,.-.x-l>0,又因为l-4x2=-7<0,贝！|2/+犬+1>0恒成立,

.,.当x>l时，f?(x)>0,即在(1,+8)上单调递增,

f(x)>=,

o

12

即—x~+In尤<§A".

2.(23-24高二上•北京•阶段练习)已知函数/(x)=oeT-"n(l+x)+x在x=0处的切线方程为y=Tx+3.

(1)求。力的值;

(2)求证：/(力>0恒成立.(参考数据：e090«2.46,e1®2.72,e110®3.00)

a=3

【答案】⑴

b=2

(2)证明见解析

【分析】(D由导数几何意义可以求解;

(2)利用导数求出函数在［1,+8)上的最小值，构造函数结合单调性求解即可得证.

【详解】(D已知函数/(幻=恁一£-bln(l+x)+x在x=0处的切线方程为y=-4x+3.

/r(x)=-aeTx-------+1.

a=3

由.

J(O)=a=3b=2

2

(2)f(x)=3e-x—21n(1+x)+x,x>—1,(x)=—3e-x-----F1.

_2

令g(x)=If(x),贝!|/(力=3尸+再］>0恒成立,

所以g(x)=/'(x)在(T+«0上单调递增.

又/,(2)=-4--+I=--4=£-^<O>/,(3)=-4--+I=-4+->0>

V7e233e23e2V7e32e32

所以g（x）=/'（x）存在唯一的零点如天«2,3）,

2

且满足-3e』—+1=0.0

1+%

当x变化时，f（x）和r（x）的变化情况如下：

X(T,Xo)%(如+°°)

广（尤）—0+

/W减极小值增

所以/(%)〃=3e』-21n(l+^))+x0,A0e(2,3).

将①带入上式，得f(^)=---21n(1+x)+x+1,xe(2,3)

mn［十/000

令/=%+1,并构造函数/z(r)=-21nr+r,re(3,4).

nni者*1//\22产—2,+2(才—1)+1

则有〃7一；+l=_—=e->0-

所以/加)在(3,4)上单调递增.

27

所以/i(r)>/i(3)=---21n3+3»--2xl.l0>0.

即/(x)^>。,所以f(x)>0恒成立.

3.(2024.河北.模拟预测)已知函数〃x)=alnx-x.

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(.x)<M-1.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对。进行。W0和a>0的分类讨论导数正负即

可得单调性.

(2)证小)V£To/(X)-1,故问题转化成证

“\/max

alna-a<^-l（«>0）<=>ln^1j-信）+"0,接着构造函数g（x）=lnx-x+l（x>0）研究其单调性和最

值即可得证.

【详解】（D由题函数定义域为（0,+。），尸（%）=/-1=亨，

故当aVO时，r（x）<0恒成立，所以函数“X）在（0,+向上单调递减；

当a>0时，/'（%）在（。,+8）上单调递减，令/'（x）=0=x=a,

则xe（0,a）时，/,（%）>0；xe（a,+<x>）时，/,（x）<0,

所以函数/（x）在（0,。）上单调递增，在）上单调递减，

综上，当aWO时，函数〃x）在（。,+e）上单调递减；当a>0时，函数〃元）在（0,。）上单调递增，在（。,y）

上单调递减.

（2）由（1）当a>0时，函数“X）在（0,a）上单调递增，在（。,y）上单调递减，

故"X）Vf（a）=alna-a在（0,+8）上恒成立，

故证-l(a>0)=证-1(。)0)，

即=ln^|J<Ta>0)oln|^|J-^J+l<0,

11_r

令g(x)=lnx—x+l(x>0),则g，(尤)=一一1=-----(x>0),

故当xe(O,l)时，g,(x)>0；xe(l,+oo)时，g,(x)<0,

所以g(x)在(。,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，

所以g（x）Wg（l）=0在（0,+8）上恒成立，故In+1<0,

所以当a>0时，-1.

【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当。>0时,

可将问题转化成证/（%）_接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用

导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.

4.(23-24高二下•河南南阳•阶段练习)已知函数/(x)=e'+x,g(x)=--lnx.

x

⑴证明：/(%)>2%+1,

(2)证明：/(x)+g(x)>4.

1

⑶若/axg®)",求西+尤2的最大值・

e'

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

(3).

【分析】(1)设/z(x)=/(x)-(2x+l),求导，分析函数单调性，求函数h(x)的最小值，得到最小值大于或

等于0即可.

(2)利用(1)的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.

1X

(3)首先由条件同构方程，得到玉=此£,再利用变量转化，变形占+元.，并构造函数机⑺=与，

%ef-7e

利用导数求函数的最大值.

【详解】(1)设Mx)=/(x)-(2x+l)=e--l,

则"(x)=e-l,

由??(x)>0,得x>0；由??(x)<0,得x<0.

所以函数h(x)在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增.

所以％(>)*=%(。)=。，所以网力对恒成立.

即/(x)22x+l恒成立.

(2)由(1)得/(x)N2x+l,(当x=0时取“=”)

所以/(尤)+g(x)»2x+l+!-Inx.

X

设O(x)=2x+l+，-lnx,(x>0)

则以上2一-+

XXXX

由??(x)>onx>l；由??(x)<0=>0<x<l,

所以(p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以9(x)之夕(1)=4(当x=l时取“=”)

因为/(x)22x+l,姒”24中，“=”成立的条件不一致，

所以/(x)+g(x)>4.

x

(3)由题意可知，e'+xl=^--\nx1=t,

x2

11In—1

艮|3e*+再=--bln一=e%+In—=t,

x2x2x2

函数y=e'+x是增函数+增函数，所以单调递增，

,111X

所以玉=ln—,即西x=一,所以再+—=玉+9=*

1

X]H-------

X2_t9

ef=7

设加Q）=J,fn（）=U,

当时，加⑺＞0,函数加⑺单调递增，

当fe（l,+”）时，加⑺＜0,函数加⑺单调递减，

所以当f=l时，取得最大值—

1

所以“「兀的最大值为L

丁e

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3问的关键是将方程

In—11

两边同构成炉+%=eX2+In±=，，根据函数的单调性得到等式玉=皿一，这是解题的关键.

X

X22

5.（22-23高二下•辽宁•期末）已知函数/（司=”出.

ax

⑴讨论“X）的单调性；

⑵若（5广=（任广（e是自然对数的底数），且为＞。，%2＞0,占w%，证明：考+%＞2.

【答案】（1）结论见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）求出函数/（x）的导数尸（无），再按。＜0，。＞。分类探讨（（无）的正负作答.

（2）等价变形给定等式，结合。=1时函数/⑺的单调性，由0＜占＜1＜%,/&）=/（龙2），再构造函数

g（x）=/（x）-/（2-x）,xe（l,2）,利用导数、均值不等式推理作答.

【详解】（D函数〃尤）=叱里的定义域为（0,+«0,求导得贝！空，由/'。）=0得x=l,

axax

若。＜0,当0＜x＜l时，f（x）＜o,则/（元）单调递减，当x＞l时，广（无）＞0,则/（X）单调递增,

若。＞0,当0＜x＜l时，­。）＞0,则/（元）单调递增，当尤＞1时，尸（无）＜0,则/（X）单调递减;

所以当。＜0时，函数/（元）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增；

当4>0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

(2)由®)*=(%)",两边取对数得9(ln%+l)=玉(山％+1),即生产="土1

由(1)知，当。=1时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+⑹上单调递减，

⑴=1，而/d)=O,X>1时，/(x)>0恒成立，

e

因此当4=1时，存在网,工2且0"<1<尤2,满足/(%)=/(々)，

若为€[2,+8),则尤：+无；>无；24>2成立；

若莅e(l,2),则2-%e(0,l),记g(x)=f(x)-f(2-尤)，xe(l,2),

则g\x)=/(尤)+广(2一x)=一室一等福>一吗一咤也=.皿-(曰±1]>o,

x(2-x)x-xx

即有函数g(x)在(L2)上单调递增，g(x)>g(l)=O,即f(x)>/(2-x),

于是/(%)=/(%)>/(2-々)，

而马e(l,2),2-^e(O,l),x,e(0,l),函数f(x)在(0,1)上单调递增,因此玉>2-%，即3+々>2,

又d+1>=2占芯+1>=2々，贝！]有,+1+芍+1>2(%+%)>4,则x：+无；>2,

所以x：+*>2.

【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式,

都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

6.(2024二•全国•专题练习)已知aeR,函数=In(尤+1)H------+ax".

(1)当a20时，求证：/(%)>1；

⑵若/(%)+/(f)>2,求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

11

【分析】(1)当a20时，得出依2NO,将问题化为证ln(x+l)+n2l,构造函数g(x)=ln(x+l)+、

并证明其单调性，得出g(x)2g(0)=