2025年高考数学第一次模拟考试（江苏卷2）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试(江苏卷)01-02

全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.复数z满足W=i+i,则目=()

A.1B.2C.V2D.4

【答案】C

【解析】由±=i+i得z=(l+i)(z-l)=z+iz—l-iniz=l+i,

两边乘以i得-z=-l+inz=l-i,所以目=jF+(_i)2=后,故选c

2.已知集合/={x|3Wx+lnx<10},则NAZ的元素个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因为/(%)=、+In、在(0,+。)上单调递增，X2</(2)<3,3</(3),/(7)<10,/(8)>10,所以

4cZ={3,4,5,6,7},故选B.

_,coscrf/兀、/、

3.已知-----；--=y/3,则tana+;=()

cosa-sma卜4)

A.273+1B.2V3-1C.—D.1-V3

2

【答案】B

【解析】因为‘Osa=6,所以［ntana=l-"，

cosa-sina1-tana3

1

（兀、tana+1_rr.一、山

所以tana+:=---------=2V3-1,故选B.

V4）1-tana

4.圆台的上、下底面半径分别是尸=1,H=4,圆台的高为4,则该圆台的侧面积是（）

A.16兀B.20兀C.25兀D.30兀

【答案】C

【解析】依题意，因为圆台的r=l,R=4,且高6=4,母线长是5,

故圆台的侧面积5=兀。+尺）/=25兀，故选C.

5.命题尸：占，x2,尤I。的平均数与中位数相等；命题。：X］,x2,均是等差数列，则P是。的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

［解析］由X-尤2,…，/是等差数列，所以最=%+/+:+匕+%；：6+Z+项+巧+/=石爱,

而中位数也是石产，所以X1，x2,乙的平均数与中位数相等，

即OnP,P是。的必要条件；

若数据是1」,11,3,3,5,5,5,5,则平均数和中位数相等，但XI,x2,西。不是等差数列，

所以P推不出。，所以尸不是。的充分条件；

所以产是。的必要不充分条件.

故选：B.

6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达

到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液

中的酒精含量上升到了L5mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那

么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（参考数据:坨2。0.301,尼3。0.477,炮7*0.845）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】设至少经过〃个小时才能驾驶，

2

贝！I由题意得L5（l—30%）〃<0.2,贝！）0.7"二,

2

lg17_21g2-lg3-l_0.6020-0.477-1

所以

n>-------------------------------------------------------------------------------------~J.0

lg0.7lg7-l0.845-1

所以他至少经过6个小时才能驾驶.

故选：C.

22

7

已知加分别为双曲线吟-方1（。＞0,6＞0）的左、右焦点，过用作C的渐近线的平行线，与渐近

此时cos/儿名居=今;，则C的离心率为（）

线在第一象限交于/点,

A.V3B.2C.V5D.3

【答案】C

则其渐近线方程为歹=±纥,

a

且耳（-c,0），K（c,0）,过鸟作。的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于M点,

b（xc

y=——（％一°）x=—

则直线方程为y=-：（x-c）,联立直线方程＜/，解得2

bbe'

y=­xy=

a2a

所以M,过点"作'轴的垂线，交工轴于点N,

2'2a

因为=彳；，贝!Jsin/孙e=132713

13

be

sinZMEF2\MN\2^

则tanZMFF=cos^?t-r且tan/“尸百二

X2闺c

Mc-\■-一'

2

be

即必7=；，化简可得6=2%则6=

=V1+4=y[s・

c+-3

2

故选：c

3

8.已知函数/(x)及其导数广(x)的定义域为R,记g(x)=/(x),且/(x),g(x+l)都为奇函数.若〃-5)=2,

则〃2023)=()

1

A.0B.——C.2D.-2

2

【答案】C

【解析】因为g(x+l)为奇函数，则g(l+x)=-g(l-x),

即g(1+X)+g(17)=0,可知g(x)=/,(X)的图象关于点(1,0)对称，

可得/(1+X)+C=/(1T)+C,BP/(X+1)=/(1-X),

可知〃X)的图象关于X=1对称，则/(x)=/(2-x),

又因为/(X)为奇函数，贝!J/(x)=-/(-x),

可得/(x+4)=-/(x+2)=/(X”可知〃力的周期为4,

所以〃2023)=/(507x4-5)=/(-5)=2.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了研究了关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据(见表格)，若己求得一元线性回归方程为

>=晟+0.34,则下列选项中正确的是()

X12345

y0.50.911.11.5

A.a=0.21

B.当x=5时的残差为0.06

C.样本数据y的40百分位数为1

D.去掉样本点(3,1)后，了与x的相关系数不会改变

【答案】BD

1+2+3+4+5-0.5+0.9+1+1.1+1.5

【解析】由昼==3,=i,所以样本中心点为(3,1),

5，=-----，-------------

对于A,将它代入>=晟+0.34,得3：+0.34=1，解得£=0.22，故A错误

4

对于B,当x=5时，3=1.44,所以残差为》-3=1.5-1.44=0.06,故B正确;

样本数据了的第40百分位数为**■=0.95,故C错误;

对于C,

对于D,由相关系数公式可知，＞=

所以5组样本数据的相关系数为:

(-2)x(-0.5)+(-l)x(-0.1)+0x0+lx0.1+2x0.5

V4+1+0+1+4X70.52+0.12+0+0.12+0.52

去掉样本中心点（3,1）后相关系数为:

"±一")(%/(-2)x(一0.5)+(-l)x(一0.1)+lx00+2x0.5

位(x—,2之-JA/4+1+1+4X70.52+0.12+0.12+0.52'

V1=1'Z=1'

所以去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数厂不会改变，故D正确.

故选：BD.

10.在平面直角坐标系x帆中，已知抛物线C:/=4x,过点£。,1）作斜率为左的直线/与x轴相交于点M,

与C交于43两点，且而=砺，则（）

A.左=4

B.k=2

C.以9为直径的圆与抛物线的准线有公共点

D.以初为直径的圆与抛物线的准线没有公共点

【答案】AD

【解析】设直线方程为x=/+b,即左」,则M（瓦0）,/（七,必）,2（和％）,

m

由[x2=m；y+b，消去x整理得/._4町-4b=0,

[y=4x

则A>0，M+%=4加，y[y2=-4b,

由疝=而可得，（玉一A必）二。一/J一天2），贝“"11",整理得必+%=1，

〔必=1一%

5

所以4加=1,解得加=!，k=—=4.

4m

a

又因为直线过矶1,1),所以机+b=l,即6=:,

验证△=(-4")2-4(-4b)=13>0,与抛物线有两个交点.故A正确，B错误；

13

可知：准线方程为X=-1,直线/的方程：x=4.y+4，

44

由弦长公式得\AB\=71+m21乂-%I=Jl+苏-J(M+%y-4%%=，

则以忿为直径的圆的圆心。坐标为(土产，汽匹］,半径为丝=姮，

I22)24

1313/—

J1++V1+

则圆心。到准线的距离为西+马4744-44.123,丝>也

H1=F1=—164

2-----------------2------------------16斗

所以以48为直径的圆与抛物线的准线没有公共点，C错误，D正确.

故选：AD.

11.在四面体28co中，a/BC是边长为2的正三角形，ZADB=60°,二面角。-4B-C的大小为60。，则

下列说法正确的是()

A.AB1CD

B.四面体的体积『的最大值为由

2

C.棱CD的长的最小值为百

52

D.四面体48。的外接球的表面积为37r

【答案】BCD

【解析】对于A：假设设力3的中点为E,因为△4BC为正三角形，所以CE人AB,

又CEPICD=C,CE,C£>u平面CDE,故48_1平面CDE,

又DEu平面CDE,故而题中并不能得到48,故假设不成立，

所以N3不一定垂直CZ),故选项A错误；

对于B：要使匕一sc。最大，只需三棱锥D-/2C高最大，设三棱锥。-/8C的高为Z)尸，

易知当AD48为等边三角形时，高分最大，

此时久的最大值为;X%BCXQ尸=；*6乂1=孝，故选项8正确；

对于C：由选项8中可知，匕一Be。最大时C。最小，

故CD的最小值为国+(今=6,故选项C正确；

对于。：设△48。的外心为M,E为4B的中点,

b

则由正弦定理得—如U5r手

IT

设过“与平面N8O垂直的直线为MV,过C作CRIME于点R,贝叱必。=§,

则外接球球心。在"N上，只需0/=0C,

又CR=。，ER=—,EM=—,MR=—,

2236

设。M=X,由04=002,可得k+（述）2=（3）2+（3一刈2,解得x=（,

3623

所以R2

所以四面体ABCD的外接球的表面积为4万x&=47x£=草，故选项D正确.

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量£=（3,-1）,5=（4,-2）,且（£+1）〃（&-£）,则实数几的值为

【答案】-1

【解析】根据题意得。+1（3,-1）+（4,-2）=（7,-3）,

2^-5=2（4,-2）-（3,-1）=（42-3,-22+1）.

因为,+町|（篇同，

所以7x（-2/l+l）=（-3）x（4”3）,解得4一.

13.已知直线/是圆。工+/=1的切线，点/（一2,1）和点8（0,3）至I股的距离相等，则直线/的方程可以

是.（写出一个满足条件的即可）

【答案】x-y-亚=0,x-y+后=0,3x+4y-5=0,x=-l（写出一个满足条件的即可）

7

【解析】若〃"3,此时/的斜率为

设/的方程为V=x+b9则点。至U/的距离解得6=±yf2，

因此/的方程为x-y-夜=0或x-y+逝=0.

若/经过的中点(-1,1),

当/的斜率不存在时，此时/的方程为尸-1,满足与圆。:/+丁=1相切；

当/的斜率存在时，设其方程为y=Mx+i)+2，

则点O到直线/的距离磔社=1,解得左=-。，此时直线/的方程为3x+4y-5=0.

扬+14

14.高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已

经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞

之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现

在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为

【答案】1

【解析】由题意可设高三(一)班共有七名女生坐成一排依次为1,2,3,4,5,6,7,

由于两侧已经摆好了两个遮阳伞，则1,7一定晒不到，

现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞，即在7位同学之间形成的空中选3个放置，共有C：=20种放法；

设晒黑女生人数为X,则X可能取值为0,1,2,

X=0时，若12之间放一把伞，则另外2把分别放在34,56之间，

若23之间放一把伞，则另外1把分别放在56之间，第三把放在34或45之间，

若67之间放一把伞，则另外2把分别放在23,45之间，

41

则P(X=0)=与=不

X=1时，被晒的人若是2,则23之间没有伞，34之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法，

同理被晒的人若是6,则67之间没有伞，45之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法，

被晒的人若是3或4或5,此时3把伞均有2种放法，

4/rn/vn3+2+2+2+33

故P(X=1)=----------------=-,

131

P(X=2)=l----=-f

8

i31

故晒黑女生人数的数学期望为£（X）=0x-+lx-+2x-=l,

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

2

15.（本小题满分13分）△ABC的内角4B、C的对边分别为。、b、c,已知△ABC的面积为，1—

3sin4

⑴求sin5sinC;

（2）若6cosBcosC=l,a=3,求AA5C的周长.

【解】（D由题设得，acsinS=上，即：csinS=；.由正弦定理得（sinCsinS=R.

23sinA23sHl423SIIL4

2

故sin5sinC=—.

（2）由题设及（1）得cos5cosc-sin5sinC=-g,,即cos（5+C）=-g.

所以8+。=等，故/=；.

由题设得加siih4=，^,即6c=8.

23siii4

2

由余弦定理得〃+c-bc=99即（b+c『-3bc=9,得b+c=G5.

故3c的周长为3+后.

16.（本小题满分15分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，与G为半个圆柱上底

面的直径，ZACB=90°,AC=BC=2,点、E,尸分别为NC,的中点，点。为茁的中点.

B

⑴证明：平面3CD//平面C1瓦＞

（2）若P是线段上一个动点，当CG=2时，求直线4尸与平面8。所成角的正弦值的最大值.

【解】（D连接G。，由点。为而的中点，8c为半个圆柱上底面的直径知/。。内=45。，

由N/CB=90。，AC=BC=2,知NC44=45。，C、D=五,

则〃CN=NG44,又4目,2G四点共面,所以44〃G。,

由A,ABB｝为直三棱柱的侧面知A.BJ/AB,即A.BJIFB,则C、D//FB,

由尸为4B的中点/C=8C=2得尸3=0=CQ,

9

所以四边形用DG为平行四边形，则8。//尸G,

又8£>u平面BCD,FC10平面BCD,,则尸G〃平面3cZ),

因为E,尸分别为/C,的中点，所以EF//BC,

又所O平面2。，，BCu平面BCD,,所以跖//平面8cD,

又EFCFC,=F,EF,尸Gu平面EFC,,所以平面BCD//平面C^F.

(2)(法一)以｛击,3,&｝为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则EQ,0,0),尸(1,1,0),G(0,0,2),4(2,0,2),

所以方=(0,1,0),函=(-1,0,2),平=(-1,1,-2),FC,=(-1,-1,2),

设而=2西=(-2,-42%),^e[0,l],

贝!|乖=乖+而+—2),

由平面BCD//平面GEF知直线4P与平面BCD所成角即为直线4P与平面CtEF所成角,

设平面C.EF的法向量为n=(x,y,z),

h•EF=y=0,

由＜——►,取z=l,得％=

n•ECX=-x+2z=0

则平面GE尸的一个法向量为为=(2,0,1),

设直线4尸与平面GE尸所成角为e,则

sin(9=kos4尸，司=_________4

研司国6("$2+与

10

又设[0,l],则4=:时，sine的最大值为在.

35

所以直线4P与平面BCD所成角的正弦值的最大值为当.

(法二)在直三棱柱中，CG，底面

因为E_Fu底面/3C,所以CGJLEF,

由(1)知E尸//8C,BC±AC,所以£F_L/C,

又/cncq=C,AC,CCiu平面AAXCXC,

所以所，平面』4GC,

因为防u平面斯G，

所以平面跳6,平面44CC，

过4作4HLEG交EG于a,

因为平面EFC[c平面A4cle=GE,所以4〃_L平面JEF,

又平面BCD//平面C\EF,

则直线AP与平面BCD所成角即为直线AP与平面QEF所成角ZA,PH,

因为RtAC,£C-Rjg,且正方形ABCD的边长为2,

A,H2.4

所以〒飞'则4ATT7r

4

又.A、HJ5要使sinNA/H值最大,

入sinZA,PH=——二——

4尸AXP

则4P最小，在中4尸=FC,=V6,AICI=2,

过4作4尸，。尸交尸G于P,由等面积可求出4尸=等，此时sin/4Pa=孚.

所以直线4P与平面BCD所成角的正弦值的最大值为平.

22

17.(本小题满分15分)已知椭圆。:2+与=1(a>b>0),四点耳(-2,1),^(0,72),4(2,1),4(3,1)中

ab~

恰有三点在椭圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

11

（2）椭圆C上是否存在异于心的两点M,N使得直线外M与的斜率之和与直线"N的斜率（不为零）的

2倍互为相反数？若存在，请判断直线是否过定点；若不存在，请说明理由.

【解】（1）由椭圆的对称性知，6（-2,1）,^（0,72）,4（2,1）三点在椭圆C上，

故〃=2,二+[=1，得"=8,从而椭圆C的方程为其+亡=1.

a*b282

（2）直线MN过定点（0,-2夜），证明如下：

假设存在，不妨设直线Q'、PK、初V的斜率分别为左，k2,k,满足人+勾+升=0,

设直线MTV的方程为^二日+用（左/0）,且〃（再,％）,N（x2,y2）,

与椭圆C的方程联立，得（1+例2）/+8历况+4（后—2）=0,

则A=64后/―双1+疑2）（.2—2）>0,即/<8/+2（*）,

—Skm

4（m2-2）

那么匕+土+2左=%一板+%一行+2左=0,

石x2

化简得，4匕泾+（初一逝）（石+X2）=0，

即4k-4（〃/一：）+（冽_血）.一8痴0整理得:/+0心4=0,

1+4/1+4左2

解得加=-2\/5或相=近，当相=/时，A/,N中一点与鸟重合，故舍去，

故直线肋V过定点（0,-2V2）.

18.（本小题满分17分）已知函数/（%）=cosx,g（x）=Q（2-%2）.

（i）a=i时,求/a）=/a）-g（x）的零点个数;

12

⑵若/(x)2g(x)恒成立，求实数。的最大值;

兀k—2左2)(左£R).

⑶求证:ZsinT-7

【解】(1)当胃=1时,g(x)=2-x2,则尸(%)=/(%)-g(x)=cosx-2+x"

所以厂'(x)=-sinx+2x,令〃(x)=-sinx+2x,贝！］/z'(x)=-cosx+2>0,

所以〃(%)二-sinx+2x在R上单调递增，即产'(X)二-sinx+2%在R上单调递增，

当x〉0时，F(x)>0,所以厂(x)在(0,+8)上为增函数，

当xvO时,当%)<0,所以尸(%)在(-叱0)上为减函数，

又尸(0)=-1,F(2)=F(-2)=cos2+2>0,

且xf-8时，厂(x)f+oo,则存在演£(-8,0),x2e(O,2),使得尸(再)=0,尸(%2)=0,

所以尸。)有两个零点.

(2)令加(x)=cosx-2q+ax2,由加(0)20,得

令/z(x)=cosx-1+^x2=cosx+；(12-2),所以h\x)=-sinx+x,

令°(x)=-sinx+x,可得夕'