2025年高考数学二轮复习：平面向量小题全面梳理与精细分类（讲义）（解析版）

专题08平面向量小题全面梳理与精细分类

目录

n，组it口且闲.田雉己14吉a

()3久口［4

04.小青

题型一：平面向量基本定理及其应用13

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用16

题型三：平面向量的数量积20

题型四：平面向量的模与夹角23

题型五：等和线问题26

题型六：极化恒等式31

题型七：矩形大法36

题型八：平面向量范围与最值问题40

题型九：等差线'等商线问题45

题型十：奔驰定理与向量四心50

题型十一：阿波罗尼斯圆问题56

题型十二：平行四边形大法61

重难点突破：向量对角线定理66

差情;奏汨•日标旦祐

平面向量的数量积、模和夹角是高考中的重点和热点内容，它们通常以选择题或填空题的形式被考察。

这类题目经常以平面图形作为背景，来测试学生对数量积、夹角以及向量垂直条件的理解和应用。此外,

这些内容还容易与平面几何'三角函数、解析几何以及不等式等其他数学知识相结合，作为解题的工具或

手段。近年来，高考中主要围绕平面向量的坐标运算'模的最大或最小值问题，以及向量的夹角等问题进

行考察。这些问题与三角函数'解析几何等知识点紧密相关，难度适中。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2025年高考中，平面向

平面向量基本定理及

理解定理，掌握应用2022年I卷第3题，5分量的数量积预计将继续成

其应用

为重点考察内容，可能会单

独出现，也可能与平面图形

2024年II卷第3题，5分

2023年北京卷第3题，4分等其他知识点相结合。考察

平面向量的数量积、理解概念，应用解决

2023年甲卷第4题，5分内容将涵盖平面向量数量

模、夹角实际问题

2023年I卷第3题，5分积的定义、性质及其应用，

年卷第题，分

2023II135特别是利用数量积来计算

向量的夹角'模以及判断向

2024年天津卷第14题，5分

量的垂直关系等问题。这些

2023年天津卷第14题，5分

掌握范围求解，最值题目的难度可能会涵盖基

平面向量范围与最值2022年北京卷第10题，4分

方法，提升解题能力础题、中档题乃至难题，并

2022年浙江卷第17题，4分

2022年天津卷第14题，5分且以选择题或填空题的形

式呈现。

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，

总的思路有：

（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相

应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程

进行求解.

2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：

①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图

形的特征直接进行判断；

②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.（2024年北京高考数学真题）设a，b是向量，贝『'（。+以。-6）=0"是“。=-6或0=/'的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为（4+6b（°-6）=°2-62=0,可得/=片，即|4=W，

可知（〃+6卜（〃-6）=0等价于同=W,

若a=i^a=-b，可得同=卜|,即,+孙（"6）=0,可知必要性成立；

若一。）=0,即同=1|,无法得出a=b或°=一6，

例如a=（1,0）/=（0,1）,满足同=忖，但a"且可知充分性不成立；

综上所述，“（a+6）«-6）=0”是“a关6且。〜6”的必要不充分条件.

故选：B.

2.（2024年天津高考数学真题）已知正方形ABCD的边长为1,DE=2EC,若BE=2BA+〃BC,其中九〃为

实数，则2+〃=;设下是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AQDG的最小值为.

45

【答案】-~-

Jlo

11uuruunuuriutruun

【解析】解法一：因为。石=5。石，^CE=-BA,则BEuBC+CEn,BA+BC,

14

可得尢=，"=1,所以几+〃=£;

由题意可知：k4=kA|=l,BA4C=0,

因为尸为线段BE上的动点，^BF=kBE=^kBA+kBC,ke\O,l],

贝I]AF=AB+BF=AB+kBE=^k-]^BA+kBC,

又因为G为AF中点，则■DG=ZM+AG=_BC+gAP=；（；A;_jBA+（；^_ljBC,

可得AF.£（G=y^k-\\BA+kBC■IBA+IjfiC

又因为Ze[0,1],可知：当人=1时，AQOG取到最小值-2；

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示,

可得=(-1,0),8C=(0,1),8E=

_丸=__4

因为5E=/iBA+43c=(-4〃)，贝人3所以；1+〃=1；

、〃二1

因为点尸在线段BE1:y=—3x,xw——,0上，设厂(Q,—3〃),ae——,0

1、r,.I"-13|

且G为AF中点，则

可得AF=(a+1,-3a),DG=，一]一11

则”.r)G="^-+(_3a)[_]_1]=5,+|[q,

且aw-1,0,所以当“•时，4尸.“3取到最小值为二：

_3」318

45

故答案为：—；•

318

3.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知向量满足卜|=1,k+26卜2,且仅-2a)，6,则忖=()

A.1B.变C.3D.1

222

【答案】B

【解析】因为仅-2a)_L6,所以,_2勾力=0,即片=20电，

又因为口=1,k+20=2,

所以1+4〃•5+4片=1+6/?2=4，

从而愀=孝.

故选：B.

4.(2023年北京高考数学真题)已知向量0,。满足a+b=(2,3),a=(-2,1),则12Tz,『二()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量a4满足4+方=(2,3),4-石=(-2,1),

所以-|&|2=(fl+&)•(«-*)=2x(-2)+3xl=-l.

故选：B

5.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)正方形ABC。的边长是2,E是48的中点，则EC.ED=(

A.y/5B.3C.275D.5

【答案】B

,、iuuniiuuni|uunuum

【解析】方法一：以｛A民A。｝为基底向量，可知,@=,。卜2,452。=0,

uunuuruuniuunuumuunuiruumiuunuum

则EC=E3+3C=—A3+AO,石O=EA+Ar)=——AB+AD,

22

uunuun(iuunuumA(iuuauumAiuua2uum2

所以lAB+AO]AB+AZ)=-+AD=—1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

UUUULIU

则E(L0),C(2,2),£)(0,2),可得EC=(1,2),即=(-1,2),

UUUUUU1

所以EC-ED=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=>f5,CD=2,

.,4人讨…―公/CL。DE2+CE2-DC25+5-43

在MCDE中，由余弦定理可得cos/DEC=——c”〜——=——r—r=7，

2DE-CE2x，5x，55

uunuun|UUtti||UUtti|3

所以£。£。二|困陷的/£)石0=石>6乂，=3.

故选：B.

6.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量。=(3,1)8=(2,2),贝Ucos(a+6,a-»=()

A_LRV17店口2下

171755

【答案】B

【解析】因为a=(3,1)/=(2,2),所以。+6=(5,3),。-6=(1,-1),

则,+4=Js?+3?=-\/34,|tz-Z?|==V2,(a+6).(a-6)=5x]+3x(—1)=2,

/、(a+b\\a-b\2Jil

所以cos(a+4。_少=^----~/==—.

'/|a+Z?||a-Z?|V34XV217

故选：B.

7.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)己知向量a,b,c满足同=忖=1,同=应，5.a+b+c=0,则

COS〈Q一。,万一。〉=()

4224

A.——B.——C.—D.—

5555

【答案】D

【解析】因为〃+Z?+c=0,所以5+Z?=」，

即/+62+2<2.6=/,即1+1+25.力=2,所以。必=0.

如图，设OA=a,O8=b,OC=c,

c

由题知,OA=OB=1,OC=&,是等腰直角三角形，

边上的高走,AO=交，

22

所以cr>=co+oo=应+走=涯，

22

tanZACD=—=~,cosZACD=~

CD3师’

cos(a-c,b一c〉=cosZ.ACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

8.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）己知。的半径为1,直线出与〔。相切于点A,直线PB与。

交于8,C两点，。为BC的中点，若归0|=应，则PAP。的最大值为（）

A1+V2口I+2V2

22

C.1+72D.2+72

【答案】A

【解析】如图所示，=尸|=0,则由题意可知:=

由勾股定理可得|PA|=^OP2-OA2=1

B

TT

当点AM立于直线尸。异侧时或网为直径时，设

则：PAPD=\PA\-\PD\cos[a+^-

兀

=1x6coscrcoscr+—

夜.\

=^2cosacosa------sma

2

=cos2。—sinacosa

1+cos2a1.八

-----------------sin2a

22

sin12a一£

22

八7171TCn

0<a<一,贝!J----<2a-----<—

4444

IT

当点"位于直线P。同侧时，设

71

则：PAPD=PAPDCOS~~a

=1x0COS6ZCOS

（垃0.

=A/2COS6Z—cosaH-----sina

22

7

=cos2a+sm.acosa

1+cos2a1.小

--------------1sin2a

22

WY，

22

八九L\71入713TT

0<a<一,则一——<——

4444

.二当2a+£=g时，PApf）有最大值I*〉.

422

综上可得，PA.阳的最大值为匕巫.

故选：A.

9.（2023年天津高考数学真题）在VA5C中，BC=1,ZA=60,Ar»=；AB,CE=；C£>,记A8=a,AC=>,

用a1表示AE=；若BF=；BC,则Afi.AF的最大值为.

.11,13

【rA答案】—^+―—

4224

\AE+ED=AD

【解析】空1：因为石为CD的中点，贝UE/）+£C=0，可得<,

AE+EC=AC

两式相加，可得到2AE=AO+AC，

即2AE='a+6,贝l|AE=La+Lb；

242

AF+FC=AC

空2：因为贝1）2尸3+FC=0，可得<

AF+FB=AB

得至！|AF+尸C+2（A尸+FB）=AC+2AB,

21

即3AF=2a+b，即AP=§a+§瓦

于是4£-4/=]；4+3”[14+；"=4（2/+5分6+26）

，己AB=x,AC=y,

贝ljAE-A尸=„。2+5〃2+2/?2）=\（2炉+5孙8560+2/）=^l2X2+^+2/

22222

在VABC中，根据余弦定理：BC=x+y-2xycos60=x+y-xy=1f

1।55孙xy

于是=—2XVH-------F2

1212

由炉+,2一孙二］和基本不等式，x2+y2-xy=1>2xy-xy=xy,

故孙41,当且仅当％=y=l取得等号，

13

则x=y=l时，AQA/有最大值七.

1113

故答案为：-a+-b；

10.（2023年新课标全国H卷数学真题）己知向量0,b满足卜-6卜粗，,+6|=|2々-可，则卜卜

【答案】6

【解析】法一：因为,+小悭-可，即,+4=（2〃-可，

贝1」/+2。力+6~-4a-4a-b+b''整理-得J-2a-6=0，

又因为卜-6卜君，即（。-。）2=3,

则牙-2荽+九九3,所以|*5

11.rirrrrrrrr

法二：设。=三—b，贝!jH=j3,“+b=c+2。,2Q-Z?=2c+Z?,

由题意可得：（c+力）=（2c+6）,则：+4；.%+432=4；+4：力+济

整理得：氏=*即M=R=6.

故答案为：6

题型一：平面向量基本定理及其应用

【典例1-1］如图，在VABC中，AN=：AC,P是3N的中点，^AP=mAB+nAC，则他+”=(

【解析】因为4V=，AC,所以BN=A7V-A2=，AC—A3,

22

因为尸是M的中点，所以8P=《BN=；AC-!AB,

242

所以"=48+族=48+以（7-148=：8+以（7,

4224

_113

乂AP=〃?AB+〃Ae，所以机=彳，n=:，即：〃+〃=；.

244

故选：D.

【典例1-2】(2024.河南商丘.三模)如图，在VA2C中，点D,E分别在边AB,BC±,且均为靠近B的四

等分点，C。与AE交于点/，^BF=xAB+yAC,则3x+y=()

【答案】A

【解析】连接。E,

A

BE1r）FBD1

由意思可知，二丁“所以㈤"C,则花一

BA~BC~BA4

所以变二"=，,所以5O=—，A5,OC=AC—AO=AC—3AB,

FCAC444

uuuriuuuiumn3uun

则。产二—DC=—AC——AB,

5520

uumuuuton1uun1uum3uun71011uum

故BF=BD+DF=一一AB+-AC——AB=一一AB+-AC.

452055

21

5LBF=xAB+yAC,所以x=—g,y=g,贝（J3x+y=-1.

故选：A

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或

数乘运算.

2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；

（3）运用法则找关系；（4）化简结果.

【变式1・1］（2024・广东•模拟预测）已知等边VABC的边长为1,点分别为A氏3C的中点，若DF=3EF,

贝ljAF=（）

1-3

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2426

1uun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】A

【解析】在VABC中，取｛AC,AB｝为基底,

因为点£）,E分别为AB,8C的中点，DF=3EF，

所以EF=LDE=LAC,

24

-|11Q

所以Ab=AE+EF=—(A3+AC)+—AC=—A3+—AC.

2、7424

故选：A.

【变式L2］（2024.新疆.模拟预测）在平行四边形A3C。中，MN分别在边CD,AD上，DM=MC,AN=2ND,

AM,比V相交于点。，则A尸=()

A.-AB+-ADB.—A.BH—AD

4224

31.

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

3343

【答案】A

【解析】

31

由题意可得：AD=-AN,DM=-DC,

22

AM=AD+DM=AD+-DC=AD+-AB

22

^AP=AAM,

131

贝ljAP=XA。+/XAB=万AAN+-AAB.

31

又及P,N三点共线，所以:彳+；彳=1,

22

解得2=；，

所以=

24

故选：A

命题预测T

1.如图，在平行四边形ABC。中，点E满足石。，点尸为CD的中点，则。石+AF）

3515

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

2424

【答案】B

13

【角军析】因为=所以。E^DC+CEuAB—zAD.

因为点尸为C。的中点，所以AF=AO+OE=AO+1A8,

2

31

所以OE+AB=—AB+—Ar>.

24

故选：B.

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用

【典例2-1】在VABC中，M、N分别在边AB、AC上，S.AB=2AM>AC=4AN，。在边BC上（不包

12

含端点）.若A£）=xAM+yAN,则一+1的最小值是（）

xy

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】因为。在边3c上（不包含端点），不妨设B£）=；LBC，其中0<4<1,

gpAD-AB=/l（AC-AB）,

所以，AD=（l-/l）AB+2AC=2（l-2）AM+42A?7,

又因为AO=xAM+yAN,贝卜=2-2；1,y=4A,其中x、y均为正数,

且有2x+y=4,

12“4xy

所以,4+—+—

无y

4x_y

y

1fx=]

当且仅当<2x+y=4时,即当c时，等号成立,

[y=2

x>0,y>0

12

故则一+一的最小值是2.

xy

故选：A.

【典例2-2】已知a,。是平面内两个不共线的向量，AB=a+4b,AC=〃a+b,/l,M^R,则A,B,C三点共线

的充要条件是（）

21

A.2-〃=1B.2+〃=2C.A/z=1D.—=1

【答案】C

【解析】由A,B,C三点共线的充要条件是AB=mAC且加eR,

即a+X6=/"+6）=m/ja+mb,由a,b是两个不共线向量，

所以]:"」，故办=1.

yA=m

故选：C.

1、平面向量共线定理：已知04=405+//。。，若；1+4=1,则A,昆。三点共线；反之亦然.

2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量〃=（&%）,b=（x2,y2y则〃//的充要条件

是%%-々乂=。；（2）若〃//匕3。0），则&=〃?•

【变式2・1]如图，已知点G是VABC的重心，过点G作直线分别与A5,AC两边交于M,N两点，设

UUULaimuumuuu

AM=xAB-AN=yAC<则x+9y的最小值为（）

【答案】C

A

如图，延长AG交BC于点£),因点G是VABC的重心，

uum2u1®21uunuumiuuuiuum

贝l]47=§4。=寸](43+4。)=§42+§4。，①

因M,G,N三点共线，贝1月/>0,使AG=fAM+(l-r)AN,

uuuaimuumuuu,

因AM二xAJS，AN=yAC>代入得，AG=txAB+(l-t)yAC,②

1

比=一]]]

由①，②联立，可得，3消去/即得，-(-+-)=1,

“13xy

(17)y=§

、、八八

贝l,jx+9cy=(zx+c9y>g1(,1一+—1)=二1(1。+—x+上9y).之才10+胃1・2,5/9=牙16，

3xy3yx333

当且仅当x=3y时等号成立，

即x=4=\4时，尤+”取得最小值，为g16.

故选：C.

【变式2-2】如图所示，VABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE=xBA+”C,

21

则一+一的最小值()

尤y

【答案】D

【解析】因为点。是线段2C的中点，则=

贝UBE=xBA+yBC=xBA+2yBD,

因为AE,Q三点共线，所以x+2y=l(x>0,y>0),

21

WJ-+-=（x+2y）=4

%y

曳二11

当且仅当!%y时，即％=x，y=：时，等号成立,

c124

x+2y=l

2I

所以一+一的最小值为8.

%y

故选：D

命题预测

I.已知。是VABC所在平面内一点，若。4+08+6^=0,4知=苫4民4"='4（7,知0=/10乂元'均为正数,

则孙的最小值为（）

A1

【答案】B

【解析】因为。4+03+0。=0，所以点。是VABC的重心,

r\11

所以AO=§X5（A3+AC）=m（A2+AC）.

因为AM=xAB,AN=yAC,所以AB=工AM,AC=工AN,

xy

综上，AO=—AM+—AN

3x3y

因为M。"。'，所以M,O,N三点共线，则（+/1，即4，3・

因为尤，y均为正数，所以，+，碑口，则

xyyxyyxy2

41132

所以孙丁（当且仅当二亍二，即x=y=§时取等号）,

,「4

所以孙的取小值为—.

故选：B

题型三：平面向量的数量积

【典例3-1】如图，在平行四边形ABCD中，。,£分别为AC,BC的中点，F为AE上一点，且E4=FB,

AD=2AB=4,贝l」A/?-O£）=.

如图，连接02,在平行四边形中，0,E分别为AC,8c的中点，

则及0,0三点共线，且。为8。的中点，所以OE>=BO.

过点尸作FG1AB于点G,设44B=6,

由E4=EB,AD=2AB=4,

得AG=；A2=1,则,司=国=，.

2।।cos。cos。

由0,E分别为ACBC的中点，

则EO=gfiA,|BE|=|AB|=2,所以ZAEB=O,

所以AP-OD=Af-8O=AF-（BE+EO）

=AF-BE+AF-EO=AF-BE--AF-AB

2

=---2•cos。------2-cos0=1.

cos。2cos。

故答案为：1.

【典例3-2】已知向量£,%满足卜-26卜"-32,且忖=1,则0力=

【答案】y/0.25

4

a2-4a-b+4b2=4-

【解析】由|a-26|=|2a-b|=2得,.

4a2-4a-b+b2=4

两式相减得-3同-+3忖=0=忖=卜卜］，

所以1—4a•6+4=4，则3%:.

4

故答案为：；.

1、向量的数量积：设两个非零向量°,人的夹角为8,则同.glcosO叫做a与％的数量积，记作如匕.

2、数量积的几何意义：数量积4小等于°的长度|a|与》在°的方向上的投影|b|cos6的乘积.

3、设向量a=(占,％),b=(x2,y2)＞则a-6=占/+，由此得到：

⑴若a=(x,y),则|a『=f,或⑷=次+予.

⑵设，则4B两点间的距离AB=।明=J(%-xj2+(%-%)2

(3)设两个非零向量,且。=(%,%),b=(x2,y2)^则a_L6ox/?+%%=0

(4)若6都是非零向量，。是％与b的夹角，则淳，

⑷16一+必收+考

【变式3-1］如图，在VABC中，4AC=,AD=2Z)B，尸为CD上一点，且满足AP=wAC+gAB,若|AC|=2,

,q=3,则APCD的值为.

【答案】1

2

【解析】由AO=2O3，可得=

又C,P,。三点共线，

2—2772

则有AP=mAC+(1—ni)AD=mACHAB,

17-7m11

由于AP=mAC+/A3(>£R),所以^"=5，即m=1,

2

^CD=CA+AD=-AC+-AB,

且ZBAC=，国|=2,\AB\=3,

ii2

i^APCD=(-AC+-AB)(-AC+-AB)

I2I2I

=——AC+-AB——ACAB

433

=—Ix4/+—1x9c—Ix2cx3cx—I=1

4332

故答案为：1.

【变式3-2］如图，在平面四边形ABCD中，。为BD的中点，且0A=3,OC=5.若A—A。=一7，则

BCDC=

【解析】如图，在VABC中，。为BC的中点，下面证明结论：AB-AC=\AD\-McBf.

因为。为BC的中点，

所以A8+AC=2AO，所以|AB『+|4C|2+2AB-AC=4|AO|29

又AB-AC=CB,所以|A8|2+|AC|2-2A8•AC=|a3|2②

①-②得4ARAC=4|AD『一，所以ABAC=,斗一

因为在平面四边形ABC。中，。为BD的中点，且0A=3,OC=5.

AD2

所以A5.AO=O42--------=_7,解得3。=8,

4

RD2

则BC-OC=OC2-------=9.

4

故答案为：9

命题预测

1.已知VA3C是边长为4的等边三角形，点。，E分别是边AB,BC的中点，连接OE并延长到点凡使

得DE=2EF,则4尸.8。=.

【答案】2

【解析】如图：

以｛_BC,BA｝为基底，则_BC.2A=4x4xcos6（）o=8，|BC|=|BA|=16.

122

所以£>E=5（8C—BA）,DF=|D£=^（BC-BA）,

所以Ab=AD+Db=_：BA+]（BC_3A）=_：8A+j8C.

24V744

所以AFBC=（-3BA+OBC'BC^--BABC+-BC=--x8+-xl6=2.

[44）4444

故答案为：2

题型四：平面向量的模与夹角

【典例4-1］（2024•黑龙江佳木斯•模拟预测）已知向量d,0满足4=（3,4）,a.%=6,卜叫=7,则W=—.

【答案】6

【解析】由a=（3,4）可得同=J3?+42=5,

|"5卜yla2+b2-2a-b=7=也5+入2义6=7,解得忖=6,

故答案为：6

【典例4-2】（2024•全国•模拟预测）如图，在VA08中，ZAOB=120°,OB=2OA=2^,P在以。为圆心,

半径为1的圆上运动，则当PAP8取最大值时，cosZAPB=.

B

【答案】

【解析】

如图所示，以。为坐标原点，以A0方向为无轴，垂直。4方向为y轴，建立平面直角坐标系,

因为NAO3=120。,08=204=26所以«后0),B隔,3).

设P（阳y），圆。方程为炉+>2=晨

贝|夫4=(_后PB=^-x,3-y),

所以PA.P3=卜石_x)(若_x)_y(3_y)=f+y2_3y_3=_3y_2.

因为一当y=-l时，［PAPBI=1,

max

此时尸（0,-1）,且丽+石,1）,=（5/3,4）,

IIIIr-PAPB1M

所以网=2,网=晒，则cos//”4DD八词“研二如=k・

故答案为：叵.

38

（1）向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为［0,万］.

（2）求非零向量”力的夹角一般利用公式cosO='*L=,<々+注—先求出夹角的余弦值,然后求

⑷闻后西还

夹角.也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象.

【变式4-1］（2024•高三・重庆・期末）已知非零向量。涉满足：（a,b）='|,且=］无，则，/.

【答案】B

3

【解析】a,b=^,:.\a+b\=^a-b|«I2+|M2.

2/-2

<a+b,a-b>=—7i.:.cos（Q+〃,a-b=COS—71

3

（Q+Z?）.（Q0）6Z|2-Z?|2

p解得,『=332,

L+/?IL-Z?Iif+》/

a-a4,

b3

故答案为：

【变式4-2］已知平面内两个向量。=(2太1),6=［，£|，若。与。的夹角为钝角，则实数人的取值范围

是.

【答案】(―,—l)U(—1,0)

k

【解析】由题意，a-b=2k+—<0,.\k<0.

2k1八

—二—<0

当a,b反向时，有1«,解得左=—1,

2

所以上的取值范围是(e,-i)u(-i,o).

故答案为：(e,T)U(-l,0)

命题预测T

1.平面向量满足2|4=W，a_Lb，若£+b+c=0，则cos〈d©=.

案］_叵二后

55

【解析】因为Q_LZ?，所以〃./?=()，

由题设有c=-(a+b),故"=_/_4力=_/,

而4，故3〈。,。）=^^=一个,

故答案为：-好

题型五：等和线问题

【典例5-1】已知在VABC中，点尸满足3A