2025年高考数学第一次模拟考试（北京卷1）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试(北京卷01)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若全集U={x[0<x<5,xeZ},A={1,2},8={2,3},则(q/)c8()

A.{2}B.{3}C,{4}D.{2,3,4}

【答案】B

【分析】根据交集和补集的定义，先算(。口幺)，然后再求(QM)CB

【详解】依题意得(。/)={3,4},于是(Q/)c8={3}.

故选：B.

2.i是虚数单位，若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数，则实数。的值为()

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答.

【详解】(l-2i)(a+i)=(a+2)+(l-2a)i,而aeR,且复数(1-2i)(a+i)是纯虚数，

+2=0

所以，、八，解得。=-2.

故选：B

2

丫2V2

3.双曲线。曝―\=1（加＞0）的一条渐近线的方程为＞则加值为（）

94416

A.m=—B.m=—C.m=—D.m=——

4939

【答案】D

【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可.

【详解】因为双曲线c：亍-\=1（加＞0）的一条渐近线的方程为了=-2心

所以巨=2,解得冽=整

V439

故选：D.

4.若卜x+6）”展开式二项式系数之和为32,则展开式中含Y项的系数为（）

A.40B.25C.15D.10

【答案】C

【分析】先根据二项式系数的性质求得〃=5,可得二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于3,求

得r的值，即可求得结果.

【详解】由（3x+«）'展开式的二项式系数之和为2n=32,求得n=5,

可得（3%+可展开式的通项公式为Tr+1=6・（3x广・（6J=C；.35一・广与,

令5-鼻=3,求得r=4,则展开式中含d的项的系数是C；35Y=15,

故选C.

5.印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件

时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.如图是某展览馆展示的一个金属印

章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的

侧棱长均为10cm,则该印章摆件的体积约为（参考数据：V2«1.41）（）

A.940cm3B.954cm3C.960cm3D.964cm3

【答案】A

【分析】根据题意求得正四棱锥得高为5直，再结合柱体、锥体的体积公式运算求解.

【详解】如图，

构造直角三角形得正四棱锥的高/z=(02一[牛xio]=5我，则正四棱柱的高为5亚,

所以印章摆件的体积

%=/棱柱+%棱锥=l°xl°x5后+gxl°xl°x5近^94°cmM

故选：A.

6.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一

尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠

第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？()

A.2—B.2—C.2—D.2—

17171717

【答案】D

【详解】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+3尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=45

第三天，大鼠打4尺,小鼠打:尺，因此第三天相遇.

设第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5-y尺，

L24

则4一1，解得y=J

417

相见时大鼠打了1+2+三24=芸75尺长的洞，用了”—1706天，

17172+彳-2行

3

小鼠打了1+；+(=得尺长的洞，用了2++2白天，

4

即哈天后两鼠相遇.故本题选择D.

7.对于一个声强为/为（单位：沙/加2）的声波，其声强级乙（单位：dB）可由如下公式计算：i=101g—

（其中/。是能引起听觉的最弱声强），设声强为，时的声强级为70力，声强为A时的声强级为60期，则人

是A的倍

A.1000B.100C.10D.1

【答案】C

【分析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出:的值，可得出

答案.

101g^-=70

，o,两式相减得1g?=1所以，夕=1。,

【详解】由题意可得

101g^-=60A

10

因此,乙是八的10倍，故选C.

8.已知偶函数在［0,+8）上单调递减,对实数0,6,"同＜"是"/（。）＞/伍）"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结

论能推条件，必要性成立，由此即可求解.

【详解】解：..・偶函数在［。,+8）上单调递减，

；./（元）在（-8,0）上单调递增,且〃-》）=/（x）,.•・/（X）的最大值在x=0处取到，

,•,0＜|a|＜Z＞,/（|a|）＞f（b）,f（-a）=f（a）＞/（Z＞）,充分性成立；

又二/㈤〉/。），二7'（|硝＞/（。|）,•."＜一|a|＜0也符合

.•.不一定是|a|＜6,因而必要性不成立.

所以＜b"是"〃。）＞/㈤”的充分不必要条件.

故选：A

9.在工/BC中，角4氏C的对边分别为。也。，若cos8=±sin4+sinC=^5,则当=（）

55b2

153

A.vB.-C.-D.24

2953

【答案】B

43

【分析】根据cos5=《得sinB=y,利用正弦定理结合余弦定理即可得到结果.

43

【详解】VC0S5=G（O,K）,sinS=—,

3J3sinA+sinCa+crr/-

*•,sinA+sinC=----,----；=—；—=A/3,ar即t〃+c=gb,

5sin3b

—b2（a+c>—2ac—b?2b?—2ac4

,•cosB====,

2aclaclac5

ac5

源-“

故选：B.

10.已知圆G：/+/-2x-2y=0,设其与无轴、V轴正半轴分别交于N两点.已知另一圆C2的半径为

20，且与圆G相外切，则|C2Ml[c2M的最大值为（）

A.10B.10V2C.20D.20V2

【答案】C

【分析】分析可知M（2,0）,N（0,2）,点3的轨迹方程为卜-以+⑪-了=18,整理可得

22

|C2M|+|C2^|=40,利用基本不等式运算求解.

22

【详解】对于圆弓：/+/-2》一2了=0,整理可得：C1：（x-l）+（y-l）=2,

可知圆心为G（11），半径为近，

令x=0,则/-2y=0,解得>=0或>=2,即N（0,2）；

令N=0,则/一2x=0,解得x=0或x=2,即M（2,0）；

因为G与G相外切，则|GG|=正+2夜=3近，

可知点Q（x,y）的轨迹为以G为圆心，半径为3亚的圆,

“、

\JX

则点G的轨迹方程为（X-1）2+（了-1『=18,

可得|C2A4+CM?=[（X-2）2+/]+[f+（）-2）2]=2[（X-1）2+（y-1）[+4=40,

则,叫陀2/。2叫]（"「=2（）,当且仅当心闾=|C2M=2不时，等号成立,

所以CMJc2M的最大值为20.

故选：C.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.抛物线y=4/的准线方程为.

【答案】了=-』

16

【详解】试题分析：抛物线的标准方程是X,-=上11,所以准线方程是1=-1-

4,16

12.在A48C中，8是/和C的等差中项，贝I]cos8=.

【答案】1/0.5

【分析】根据8是N和C的等差中项结合三角形的内角和求出角5,即可得解.

【详解】解：在△ASC中，8是4和C的等差中项，

所以2B=/+C,

因为4+B+C=»,

所以8=5，

所以cos8=；.

故答案为：y.

13.写出一个同时满足下列条件①②③的函数〃尤)=.

①/(x)不是常数函数；②/(无)是偶函数；③/(x)的最大值为0.

【答案】-X?(答案不唯一)

【分析】利用常见的偶函数有余弦函数、一次项系数为0的二次函数等，结合已知可得;'(x)的一个解析式.

【详解】典型的偶函数有余弦函数、一次项系数为0的二次函数等，如了=85》，_y=x2.

因为/(x)的最大值为0,所以可取/(x)=cosx-1或/'(x)=-x2.

故答案为：答案不唯一).

14.在边长为1的正方形中，点E为线段的三等分点，CE=^DE^E=XBA+iiBC,贝lj

2+〃=;尸为线段5E上的动点，G为AF中点，则/.丽的最小值为.

【分析】解法一：以蟀，前｝为基底向量,根据向量的线性运算求而，即可得彳+〃，设而“就，求万，而，

结合数量积的运算律求犷.丽的最小值；

解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求而，即可得％+〃，设尸--1,0,求万，而，结

合数量积的坐标运算求善.诙的最小值.

【详解】解法一：以蟀，Z｝为基底向量，根据向量的线性运算求而，即可得彳+〃，设而“赤，求N,而，

结合数量积的运算律求彳立丽的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求屉，即可得2+〃,

设厂(见-34),ae-1,0,^AF,DG,结合数量积的坐标运算求不.丽的最小值.

1—>2—»—>—>—»1—>—>

解法一：因为CE=—^CE=-BA,贝l]3E=8C+CE=—8/+8C,

233

14

可得4=]4=1，所以％+〃=§;

由题意可知：I反^=1瓦1=1,强•反:=0,

因为尸为线段班上的动点，设筋=左屉=；左耳+左就水«0』,

则方=方+旃=布+左屉=［；左布7+左前,

—*—>—>1—)1%一1忸+1^-1I5C,

又因为G为“月中点，则。G=D/+NG=-BC+1Nb=]

可得万•万e=\^k-\\BA+kBC左就+］；左一1)前

又因为壮［0,1］,可知：当左=1时，不.万不取到最小值二;

1O

解法二：以2为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

可得瓦1=(-1,0),就=(0,1),赤=)；,11,

因为直=4拓+〃前=(一4〃)，贝『一'一一3,所以/+〃=?；

〃=1

因为点尸在线段=-3x,xe--,0上，设尸(a,-3a),ae--,0

且G为4尸中点，则,

可得万=(a+l,_3q),53=］?,j_lj,

则万.5S=9^-+(_3a)(_g"l］=5(a+T一］,

且ae-1,0,所以当°=一!时，衣.而取到最小值为二；

_3J31o

、45

故答案为：—；——.

31o

15.已知曲线。：^+4)/+冽x/2=4,点尸(x。,%)在曲线C上，给出下列四个结论：

①曲线C关于直线N=x对称：

②当加=-4时，点尸不在直线x-&y=O上：

③当a=4时，卜为区日；

④当加=0时，曲线C所围成的区域的面积大于2亚.

其中所有正确结论的有

【答案】②③④

【分析】对于①：举例，确定点(0,1)和点(L0)是否满足曲线方程来判断；对于②：带入优=-4,然后对

曲线方程左边因式分解即可；对于③：代入m=4,因式分解得X?+2/=2,然后利用基本不等式求|中|的

最值即可；对于④：代入旭=0,得到X2+2/N2,结合双曲线的图象特点来判断面积的大小.

【详解】对于①：点(0,1)满足曲线C+4_/+加x2/=4,但(1,0)不满足曲线c：x"+4炉*=4,

所以曲线C不关于直线V=x对称，①错误；

对于②：当加=-4时，x4+4y4-4x2y2-4,即(x?=4,

所以卜一收，1+也了)=4,所以丫一行了彳0,即点尸不在直线x-收了=0上，②正确；

对于③：当他=4时，x4+4v4+4x2y2-4,即+2了1=4,ffrl^x2+2y2-2

所以2=f+2/22g2r,得回区孝，当且仅当国=应3=1时，等号成立，

所以当加=4时，区为尽孝，③正确；

对于④：当加=0时，曲线。:/+4/=4,所以卜2+2/丫2》4+4/=4,

所以/+2/22,即日+/21,所以曲线C所围成的区域的面积大于椭圆面积，椭圆面积大于以长轴和

短轴为对角线的菱形面积，

故曲线C所围成的区域的面积大于gx20x2=2血,④正确；

故选：②③④

三、解答题：本题共5小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（满分13分）已知函数/（x）=/sin（@x+。）[/＞0,0＞0,0＜夕＜。]，由下列四个条件中选出三个：

①最大值为2；②最小正周期为2兀；

③/（。）=-2；④/1金0.

（1）求函数/（x）的解析式及单调递减区间；

⑵设8⑴=/⑺/卜-e].当xw[O,问时，g（x）的值域为[0,2+6],求加的取值范围.

【答案】（l）〃x）=2sin1x+R单调递减区间为m+2痴—+2E（丘Z）

r5兀5兀

（2）—,—

'，|_126J

【分析】（1）不管选择哪三个条件，均需利用三角函数的性质，并结合条件一一分析可求出解析式，再根

据三角函数的单调性求递减区间即可；

（2）根据（1）的结论，结合三角恒等变换化简g。），利用三角函数的性质计算参数范围即可.

【详解】（1）对于条件③，有/（0）=川11夕=-2,

兀

因为/＞0,0＜夕＜5，则sin。〉。，4sin0〉0,

显然〃0）=4sino=-2不成立，因此只能选择条件①②④，.......................3分

贝I]Z=2,刃=1,/[-—|=2sin|^-—|==H（A：€Z）,.......................5分

<10)3

所以夕=已，此时/(x)=2sin(x+W；................

……6分

jrjr3冗7147c

令x+—£—+2foi,一+2fai(左wZ),解之得xw—+2kit,—+2kji(左wZ)；........................8分

6|_22J'

由上可知

(2)g(x)=/(x)/(x—?=2sin(x+:•2sinx=2sinxsinx+cosxj

=sin2x-V3COS2X+A/3=2sin^2x-+^3,....

..................11分

当％E[0,机]时，-y,2m-y,

因为此时g(x)的值域为[o,2+G],则一程wsin]

贝U2x——G——+2kit,——F2kli(kGZ),

,,.7i「兀4K-I「5兀5兀

故2加—G—,——=me——,——........................13分

17.（满分14分）如图1,在直角梯形4BCD中，AD//BC,ABYBC,AD=2,AB=1,BC=3,EF

垂直平分40,分别交BC于点、E、F,将四边形N8泥£沿E尸折至四边形4夕尸£（如图2）,使得

A'D=4i-

图1图2

⑴求证：CD±A'E；

（2）求平面A'CD与平面B'CD夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

（2）述

3

【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即转化为证明HE,平面CDEF；

（2）根据垂直关系，以点E为原点，建立空间直角坐标系，分别求两个平面4co与平面WCD的法向量，

利用向量法求平面夹角的余弦值.

【详解】（1）因为4E=OE=1,收，

所以/官+0^〜伊，所以

又AELEF,且。£。斯=£,u平面CDE尸，

所以HE，平面COM,

又COu平面CDE尸，所以。_L4E..............4分

（2）因为4E,EF,££＞两两垂直，所以以E为坐标原点，EF,ED,E4所在直线分别为X轴、了轴、

z轴，建立空间直角坐标系E-xyz,

则E(0,0,0),4(0,0,1),£>(0,1,0),C(l,2,0),9(1,0,1),

所以前=(0,-1,1),友=(1,1,0),函=(0,-2,1)..............6分

设平面A'CD的一个法向量比=（x,y,z）,

m-DA=—y+z=O

则

m-DC=x+y=0

令J=L则x=—l,z=l,机=（一1,1,1）..............9分

设平面B'CD的一个法向量为五=（。也c）,

n-DC=a+b=0

则

n-CBf=-2b+c=0

令b=\,则。=一1,c=2,H=(-1,1,2),............12分

m-n42V2

所以cos〈比，为〉

\rh\-\n\V3xV6丁

故平面A'CD与平面B'CD夹角的余弦值为述.............14分

3

18.（满分14分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如

下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到

优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）:

（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监

测成绩达到优秀的概率；

（2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人

中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望；

⑶假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中

分别随机抽取1名同学，用=1"表示第左班抽到的这名同学身体素质优秀，"4=0"表示第人班抽到的这

名同学身体素质不是优秀（左二1,2,…,8）.直接写出方差。信）,D值），。传3）,。（无）的大小关系（无需过

程）.

713

【答案】（叫；（2）分布列见解析，数学期望竟；⑶〃值）=。（或）＞。信）＞。传）.

【分析】（1）根据散点图求出成绩达到优秀的人数，再求出古典概率.

（2）求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望.

（4）求出短=1及刍=0的概率，再利用两点分布求出方差并比较大小.

【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人，

其中身体素质监测成绩达到优秀的共有8+6+9+4+7+5+9+8=56,

所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为黑=，........................5分

oO10

（2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人,

则X可取01,2,.......................7分

“233八27工3323v3721

'75102517510510501751050

则X的分布列为：

X012

32321

P

255050

173?11T.

X的数学期望£（X）=0x区+lx嬴+2x嬴=京................11分

（3）依题意，尸（4=l）=0.8,P（q=0）=0.2,。服从两点分布，则0（。）=0.8x0.2=0.16,

尸©=1）=0.6,尸④=0）=0.4,刍服从两点分布,则。/）=0.6x04=0.24,

P（a=l）=0.9,Pg=0）=0.1,刍服从两点分布，则℃3）=0-9'0.1=0.09,

尸（1=1）=0.4,尸（曷=0）=0.6,刍服从两点分布，则。©）=0.4x0.6=0.24,

所以。值）=。（媒）>。侑）>。修）................14分

19.（满分14分）已知椭圆C:[+/=l（a>6>0）的离心率为?，其左顶点到点尸（2,1）的距离为风，

不过原点。的直线/与椭圆C相交于不同的A,3两点，与直线。尸交于点。，且方=2丽，直线/与x轴,

V轴分别交于点〃，N.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵当△^尸8的面积取最大值时，求的面积.

【答案】⑴三+/=1（2）匕5

42

【分析】（1）根据椭圆离心率，结合左焦点到点尸的距离可得椭圆方程;

（2）利用点差法可得直线/的斜率上=-3,设直线/：7=-gx+m,加*0,联立直线/与曲线C,结合根

于系数关系可得弦长|/同，再根据点到直线距离可得三角形八4网，构造函数，求导，根据导数单调性可得

最值及加，即可得点"，N坐标，进而可得解.

【详解】（］）由己知椭圆左顶点为（-。,0）,到点“2,1）的距离为-2）2+（0-,解得a=2,

又椭圆离心率e=£=Jl-V=Jl-'=@,解得6=1,

所以椭圆方程为：?+/=1；...........4分

（2）

如图所示，设/（猫,”），由于A和3为椭圆C上两点,

+只=12_2

瑜"整理得G'T£

两式相减，得f+（立...........6分

+"44

设。（演,坨），由刀=2诙得0为线段的中点,

zxA+xBzyA+yB

Q2'2'

由。在线段。尸所在直线上，且P坐标为（2,1）,则有七0=4"=；,

]_

即

2

1以一力£乃一力£

所以于故七相=...........8分

XA~XB42

设直线/：7=-gx+m,m^O,联立直线/与椭圆C的方程,

x2,,

7+了=1

得,整理得-2加X+2（加2—1）=0,

1

y=——x+m

2

则A=（—2加）2-8（m2-l）＞0,得一行〈加v后且冽WO,

S.xA+xB=2m,xAxB=2（/一1）,

,______J5x14加2_8（加2_----------

\AB\=J1+心\XA-XB\=-----------=网2_叫，

|2-m||4-2m|

点P到直线/的距离为d"飞L，

~2

:・S&APB=；|48|d=|2_加|也_加2=J（2—加2）（2—加江，—正＜加＜血且加。0,............12分

记/（加）=（2—/）（2—机）2,/'（加）=4（2—加）（切2_加_1）,

令/'（加）=°，及-血＜m＜®得m=-一，

2

所以〃加）=（2--）（2-加『在加ej-五,上4时单调递增，在，上15,也上单调递减，

所以当加=45时，S“PB取最大值，

2

此时直线/方程为y=-;x+15,

与坐标轴交点为M（1-君,0）,N卜，匕普

I2）

：.SMON=^\OM\-\ON\=^^-.............14分

20.（满分15分）已知函数/（%）=6，+°111q+1（4＞0）.

⑴若a=e,求/（x）的最小值；

⑵判断方程/（x）=1+2aIn。的实根个数.

【答案】（l）2e+l（2）答案见解析

【分析】（1）求导，得到了'（x）的单调性及零点，利用/'（x）的符号判断“X）的单调性，即可得/（x）的最

小值；

（2）转化方程〃x）=l+2alna即炉…。+工-1110=6瓜，+1g，构造函数，利用导数判断函数单调性，确定函

数最值情况，分类讨论结合数形结合思想，即可求得答案.

【详解】(1)当a=e时，/(x)=ev-elnx+e+l,定义域为(0,+勿)，...........1分

则r(x)=e-?，/'(x)在(0,+。)上单调递增，且/'⑴=0...............3分

所以X©(0,1)时，r(x)<0,〃x)单调递减，

xe(l,+s)时，r(x)>0,〃x)单调递增，...........5分

所以〃x)2〃l)=2e+l,

故〃x)的最小值为2e+l............7分

(2)方程/(x)=1+2iln。即e"-qlna=alnx,

xlnalnx

BP-——Ina=Inx,即e~+x—InQ=e+Inx............8分

a

设g(x)=e、+x,IJJlJex_tofl+x-lna=elnx+lnxBPg(^-lniz)=g(lnx),

因为g(x)在(-8,+8)上单调递增，

所以x-ln〃=lnx,即lnq=x—lnx,(x>0),............10分