2025年高考数学重难点专项复习：不等式恒成立、能成立问题【七大题型】原卷版

重难点02不等式恒成立、能成立问题【七大题型】

【新高考专用】

一元二次不等式是高考中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”

是高考常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点

多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的

“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,

高考复习过程中要注重知识与方法的灵活运用.

►知识梳理

【知识点1不等式恒成立、能成立问题】

1.一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数X恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式办2+区+少0,它的解集为

R的条件为k?：4vn

一元二次不等式"2+8+。》0,它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为0的条件为

2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成

立.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的

范围，谁就是参数.

①若aN+6x+c>0恒成立，则有a>0,且△<()；若ax2+bx+c<Q恒成立，则有a<Q,且△<().

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求

谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列

式求解.

4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

(1)对任意的xe[加闭，。次x)恒成立今a>f(x)max；

若存在xG[m,n],。次x)有解今d>fix)min；

若对任意xd[加用，。刁㈤无解今加.

(2)对任意的。勺(x)恒成立=>

若存在xG[m,n],。勺(x)有解今a<f(x)max；

若对任意xe[加闭,。勺(x)无解今a^f[x)max.

►举一反三

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】

【例1】(2024•江西九江•模拟预测)无论x取何值时，不等式2kx+4>0恒成立，贝睡的取值范围是

()

A.(_8,_2)B.(_8,_4)C.(_4,4)D.(_2,2)

【变式1-1](2024•山东潍坊一模)“€(-2,2)”是‘VxeR,久2_°久+12。成立，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【变式1-2](24-25高一上•吉林长春•阶段练习)对于任意的尤eR,不等式+(6一1)久<1-爪恒成立，

则m的取值范围是()

A.m<0B.m<—^C.—^<m<0D.m>0

【变式1-3](24-25高一上•贵州六盘水•期中)若关于x的不等式(a-1)久2+(a-l)x-l<0对一切实数x都

成立，则a的取值范围为（）

A.（-3,1]B.（-3,1）

C.（-00,-3）U（1,+oo）D.（一8,-3）U[1,+8）

【题型2一元二次不等式在某区间上恒成立问题】

【例2】（2024•辽宁鞍山•二模）若对任意的xe（0,+8）,/—皿+1>。恒成立，则加的取值范围是（）

A.（—2,2）B.（2,+8）C.（-8,2）D.（—8,2]

【变式2-1]（24-25高一上•北京大兴•期中）若不等式式2-（。+2）%+2。40对任意的工^[-1,1]恒成立，则

a的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[-1,+8）C.[-1,2]D.（-8,-1]

【变式2-2]（24-25高一上•河北邢台•阶段练习）对任意的;W久W1,关于x的不等式（a+2）x2-4x+1>0

恒成立，则。的取值范围为（）

3

A.a>—2B.a>-C.a>2D.a>1

【变式2-31（23-24高一上•安徽马鞍山•期末）已知对一切xe[2,3],yG[3,6],不等式m4—+y220恒

成立，则实数小的取值范围是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【题型3给定参数范围的不等式恒成立问题】

【例3】（24-25高一上•黑龙江大庆•阶段练习）已知me[—1,1],不等式/+（m一⑨％+4—2m>0恒成立，

则无的取值范围为（）

A.（—oo,l]B.（1,3）C.（—oo,l）U（3,+oo）D.[1,3]

【变式3-1]⑵-24高一上•山东淄博•阶段练习）若命题叼一1<a<3,ax2-（2a-l）x+3-a<0”为假命题,

则实数x的取值范围为（）

A.{x|—1<x<4}B.<x<|j

C.1x|-1<%<0^|<%<4jD.|x|—1<%<Ong|<%<4j

【变式3-2]（23-24高一上•广东深圳•阶段练习）当1WmW2时，山/一小万一1<。恒成立，则实数%的取值

范围是（）

B.（皿

22

C.

22

D.—<x<—

22

【变式3-3］（23-24高一下•河南濮阳•期中）已知当—IWaWl时，/+缶一与％+4—2a>0恒成立，则实

数x的取值范围是（）

A.（-oo,3）B.（-oo,l］U［3,+oo）

C.（—00,1）D.（—00,1）u（3,+00）

【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】

【例4】（2024•陕西宝鸡•模拟预测）若存在实数x,使得机久2_（租—2*+巾<0成立，则实数机的取值范围

为（）

A.（—8,2）B.（―8,0］u（：,|）

C.（一8,|）D.（-8」）

【变式4-1］（23-24高三上•山东青岛•期末）若命题FxeR,（1-a）K2+（i—2a）x+120”为真命题，则实

数a的取值范围为（）

A.a<1B.a>1

C.aW—^^或aD.aER

【变式4-2］（23-24高一上•山东临沂•阶段练习）若不等式-%2+Q%_1>0有解，则实数a的取值范围为

（）

A.aV—2或a>2B.-2<a<2C.aW±2D.1<a<3

【变式4-3］（24-25高一上•河北石家庄•期中）若存在xeR,使得不等式若黑22成立，则实数机的取

值范围为（）

A.{m\m>2}B.{m\m<0}C.{m\m<2}D.{m\m<2}

【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】

【例5】（2024•甘肃张掖•模拟预测）若关于x的不等式6*+2—a>0在区间［0,5］内有解，则实数a的取

值范围是（）

A.（2,+8）B.（—8,5）C.（—8,—3）D.（—8,2）

【变式5-1］（24-25高一上•山东德州•期中）若1,4］,使%2-4%+1-爪20成立，则实数小的取值范

围是（）

A.（—8,6]B.（—8,1]C.（—8,—3]D.[1,6]

【变式5-2]（23-24高一上•北京•阶段练习）若存在x6[0,1],有产+（l-a）x+3—a>0成立，则实数a的取

值范围是（）

A.（一84）B.（—00,3）

C.（|,3）D.（―8,|）U（3,+8）

【变式5-3]（23-24高一上•福建•期中）若至少存在一个x<0,使得关于x的不等式3-|3x-a|>#+2工成

立，则实数a的取值范围是（）

A・（*，3）B.（―3,9C.（告5）D.（-3,3）

【题型6基本不等式求解恒成立、有解问题】

【例6】（24・25高一上•河南驻马店•阶段练习）已知久>0,y>0且4%+y=%y.若X+y>根2+8?n恒成立，

则实数m的取值范围是（）

A.|m||<m<3jB.{m|-8<m<0}

C.{m\m>1}D.{m|-9<m<1}

【变式6-1]（23-24高一上•湖北武汉•阶段练习）若两个正实数满足工+[=L且不等式x+（<爪2一3小

xy4

有解，则实数冽的取值范围是（）

A.{m|-1<m<4}B.{租|血V0或>3}

C.{m\—4<m<1}D.{mlm<-1或m>4}

【变式6-2]（23-24高二上•广东深圳•期末）若两个正实数x,>满足4久+y=£y,且存在这样的x,y使不

等式％+*V血2+3ni有解，则实数m的取值范围是（）

A.-1<m<4B.-4<m<1

C.mV—4或m>1D.mV—3或租>0

【变式6-3]（23-24高一下•江苏•开学考试）已知a>0,bER,若第,0时，关于％的不等式（@%-2）（%2+bx-4）

20恒成立，贝必+?的最小值为（）

A.2B.2V5C.4D.3近

【题型7一元二次不等式恒成立、有解问题综合】

【例7】（24-25高一上•江苏苏州•阶段练习）已知函数/（x）=3/—2ax—b,其中a,6eR.

(1)若不等式/(%)<0的解集是{%|0<%<6},求戒的值；

(2)若b=3a,对任意XCR,都有/(%)20成立，且存在xeR,使得/(x)W2-|a成立，求实数。的取值范围.

【变式7-1](24-25高一上•江西南昌•阶段练习)已知二次函数/'(久)=/+6久+c的图象如图所示.

(1)求函数/(比)的解析式；

(2)若VxeR,恒成立，求ni的取值范围；

(3)若mx€(3,+8),(x-l)2N爪/(久)成立，求Hl的取值范围.

【变式7-2](23-24高一上•山东潍坊•阶段练习)已知关于万的不等式2%-1>机

(1)是否存在实数根，使不等式对任意X6R恒成立，并说明理由；

(2)若不等式对于me[-2,2]恒成立，求实数x的取值范围；

(3)若不等式对x£[2,+8)有解，求机的取值范围.

【变式7-3](23-24高一上•浙江台州•期中)己知函数/(久)=2/一口久+-4,g(x)=x2-x+a2-—,

(aGR)

⑴当a=1时，解不等式/(©>((%)；

(2)若任意x>0,都有/(x)〉g(x)成立，求实数a的取值范围；

(3)若WxiC[0,1],3x26[0,1],使得不等式/(小)>gQ2)成立，求实数a的取值范围.

►课后提升练(19题

一、单选题

1.(2024•福建厦门・二模)不等式a7—2%+1>。(aeR)恒成立的一个充分不必要条件是()

A.a>2B.a>1C.a>1D.0<a<|

2.(2024•浙江•模拟预测)若不等式H2+(k—6)x+2〉0的解为全体实数，则实数k的取值范围是()

A.2<fc<18B.-18<fc<-2

C.2</c<18D.0<k<2

3.(23-24高一上•江苏南通•阶段练习)若Vxe使得3久2-双+1n0成立是真命题，则实数2的最大

值为()

7"1R

A.-B.2V3C.4D.y

4.(2024•辽宁鞍山•二模)已知当％>0时，不等式：好一+16>0恒成立，则实数zn的取值范围是

()

A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+8)

5.(2024•河南•模拟预测)已知命题叼配6[_1,1],-密+3%0+。>0”为真命题，则实数a的取值范围是

()

A.(—8,—2)B.(—8,4)C.(—2,+8)D.(4,+8)

171

6.(23-24高一上・江苏徐州•期中)若正实数%,y满足％+2y=4,不等式m2+『n>]+国有解，则m的取

值范围是()

A.(-*1)B.(-8,—g)U(1,+oo)

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C.(-1,-)D.(-00,-1)u(-,+OO)

7.（2024•宁夏中卫•二模）已知点4（1,4）在直线:+1=l（a>0,/）>0）上，若关于珀勺不等式a+/?>t2+5t+3

恒成立，则实数t的取值范围为（）

A.[—6,1]B.[—1,6]

C.（—8,-1]U[6,+8）D.（—8,-6]U[1,+8）

8.（2024•上海黄浦•模拟预测）已知不等式p：a*2+"+c<o（aK0）有实数解.结论（1）：设/，相是p

的两个解，则对于任意的打，X2,不等式/+冷<和久1,刀2<2恒成立；结论（2）:设久0是P的一个解，

若总存在％0,使得ax（）2-6xo+c<0,贝l]c<0,下列说法正确的是（）

A.结论①、②都成立B.结论①、②都不成立

C.结论①成立，结论②不成立D.结论①不成立，结论②成立

二、多选题

9.（2024•江苏连云港•模拟预测）若对于任意实数x,不等式（a-l）比2-2（a-l）x-4<0恒成立，则实数a

可能是（）

A.-2B.0C.-4D.1

10.（2024•广东深圳•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.不等式4/—5x+l>0的解集是卜卜〉：或比<1}

B.不等式2/-乂一6<0的解集是卜卜4一|或久22}

C.若不等式32+85+21<0恒成立，则a的取值范围是0

D.若关于x的不等式27+px-3<0的解集是则p+q的值为一9

11.（24-25高一上•湖北•期中）下列说法正确的有（）

A.当xeR时，不等式kN一日+1>0恒成立，则左的取值范围是[0,4）

B.久2一日+左一1<0在（1,2）上恒成立，则实数人的取值范围是[3,+8）

C.当久〉0时，不等式%2一3+16>0恒成立，则实数a的取值范围是（—8,8）

D.若不等式/-口久+420对任意久e[1闭恒成立，则实数a的取值范围（-8,5]

三、填空题

12.（2024•河北•模拟预测）若