2025年北师大版中考数学总复习热点题型突破：二次函数综合2

专题十三二次函数综合2

二次函数的综合探究题一直是中考的必考题.通常考查与动点、存在性、相似有关的二次

函数综合题,解答与动点有关的函数探究问题,通常需要把问题拆开,分清动点在不同位置运

动,或不同时间段运动时对应的函数关系式,进而确定函数图象,这类问题往往与函数知识、特

殊三角形、特殊四边形的性质，以及分类讨论思想、方程思想、数形结合思想相联系.解题时

要特别注意把握题目中的“动中有变（图形的变化）、变中有静（特殊三角形或四边形的性质及

其数学思想）”的内在规律并注意挖掘隐含条件，综合运用数学知识解决问题.此类问题的考查

形式通常为解答题，解答此类问题时要注意分析问题存在的多种情况.

二次函数综合题型除了上一讲的五种常见题型还有以下五种类型：

题型一:二次函数中的特殊三角形存在性问题；题型二:二次函数中的特殊四边形存在性问

题；

题型三:二次函数与相似综合性问题；题型四：二次函数与圆综合性问题；

题型五:二次函数中的创新性问题.

高频考点-释疑难

【类型一】二次函数中的特殊三角形存在性问题

本类型题考查的是二次函数与特殊三角形的综合运用，主要涉及等腰三角形和直角三角

形，只有熟练掌握等腰三角形和直角三角形相关性质才能解决问题,解题过程中要注意分类求

解,避免遗漏.

【例11（2024•雅安）在平面直角坐标系中，二次函数尸aV+力x+3的图象与x轴交于

4（1,0）,8（3,。两点，与y轴交于点C.

⑴求二次函数的表达式；

⑵如图①，若点P是线段勿上的一个动点（不与点4C重合），过点P作y轴的平行线交抛物

线于点Q,当线段国的长度最大时，求点0的坐标；

⑶如图②,在⑵的条件下，过点0的直线与抛物线交于点〃且N6W2N%。在y轴上是否

存在点区使得△皮应为等腰三角形?若存在,直接写出点£的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由题意得:尸&(尸1)(尸3)=a(/-4A+3)=ax"加+3,

则a=l,

则抛物线的表达式为产*一4肝3;

(2)由抛物线的表达式知,点＜7(0,3),

由点瓦。的坐标得,直线组的表达式为:产3-百

设点P(x,3-x),则点Q(x,y-4^r+3),

贝!)PQ^Z-x-(x-4A+3)=~X+3X,

V-KO,

故尸。有最大值，

此时则产V-4户3=-：,

L4

即点0(|,-》；

(3)存在,理由:

由点G0的坐标可得,直线。的表达式为产-|x+3,

过点0作70〃y轴交x轴于点T,则/7仇＞/仇〃

■:ZCQD=2ZOCQ,ZTQOZQCO,

:./CQB/DQT,

即直线8和〃。关于直线0T对称，

:.直线DQ的表达式为7=|(k|)3，

联立上式和抛物线的表达式得/-4出3=|(『|)-|,

解得井|(舍去)或尸5,点2(5,8);

设点£(0,血，由&〃£的坐标得,励=68,西=25+(犷8)2,初=9+着,

当妗的时，68=25+(犷8)；

解得j=8±V43,即点以0,8±V43)；

当D取BE或BFBE时,

同理可得25+(nr8)2=9+jn或9+4=68,

解得0=5或TZF±V59,

即点£(0,5)或(0,+V59)；

综上，点夙0,8土房)或(0,5)或(0,±V59).

【类型二】二次函数中的特殊四边形存在性问题

二次函数与特殊四边形的结合,考查较多的有平行四边形、矩形、菱形，解此类题通常运

用数形结合的思想方法,通过构图和特殊四边形的性质分析问题.常用方程或不等式来解决此

类问题.

[例2]（2024•无锡）已知二次函数尸aV+x+c的图象经过点和点1）.

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵若点以加1,。（加2,%）都在该二次函数的图象上,试比较必和灰的大小，并说明理由；

⑶点P,0在直线/方上，点〃在该二次函数图象上.问：在y轴上是否存在点N,使得以P,Q,M,N

为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明

理由.

【思路点拨】（1）将点A和点方的坐标代入尸aV+x+c,求出a和c的值，即可得出这个二次函

数的表达式；

⑵根据题意得出厅《（加〉+（加1）+1/冶（加2尸+（加2）+1,再用作差法得出必-后*,进行

分类讨论即可；

⑶求出直线47的函数表达式为产权，然后进行分类讨论：当国为正方形的边时；当国为正

方形对角线时,结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答.

【解析】⑴把力(-1,4)，双2,1)代入尸aV+x+c得.

a-1+c=—1

4a+2+c=1

解得:

C=1

,这个二次函数的表达式为尸q*+户1；

⑵•••C(ml,%),。(加2,%)都在该二次函数的图象上,

厅一;(加1)2+(加1)+1,^=~|(加2)2+(研2)+1,

/.%_%=_；(/zz+i)2++1-[~|(m2)2+(加2)+]]=研;,

当布＞0时,即%时,%＞为;

当*=0时，即炉-1时,斤为;

当加"o时，即水时,

(3)设直线48的函数表达式为尸kx+e,

,8(2,1)代入得:上二次十，

把4(-1,

11=2k+e

解得k二I

le=0

.•.直线相的函数解析式为尸%,

当国为正方形的边时，

①•••8(2,1),

，tanN*，

过点〃作y轴的垂线,垂足为点G,过点尸作协的垂线,垂足为点H,如图1,

图1

'：PQ"MN,MG"x蝴,

：./BOO/NMG,

.'.tan/BOOtan贝!|吩2临

设止t,则MG^2t,

〃(一21,-212-21+1),

:.点〃的纵坐标为-2&2t+l+1=-2&t+1,

BPMO,-2t2-i+l),

•••以KQ,朋〃为顶点的四边形是正方形，

用淤90°,P^MN,

，N/W乙愀*90°.

■:MP卞90：

AZNMG^ZMPH.

■:ANMG^ZMPH,4t/MGN,P拒MN,

:.P*M12t,小帏t,

二尸(-31,-2/+1),

把A-31,-2t2+l)代入产/得：-2t2+l=jx(-31),

解得：少手,（舍去）,

"(0,-霁至)；

16

②如图2:构造Rt△解£RtA^W

图2

和①同理可得:△磔泾△晒tan

设佛法21,贝！|QG^MH-t,

#(21,-2/+2方+1),MO,-2/+方+1),0(方，-2/+4方+1),

把0(t,-2/+41+1)代入产/得：-2/+4t,

解得：右=2,22=_:(舍去),

4

.••M0,-5);

③如图3:构造Rt△刎Rt△幽4

和①同理可得:△酸忸△用物tanN醐号

设的初2。贝！|GM=HP=t,

:.〃(一21、-2/-2Z+l),MO,一2/一Z+l),P(-1、-212-4t+1),

把P(-1,~2/一4t+1)代入尸%得：一2/一4t+1二一号t,

解得：於4,62=-2(舍去)，

4

O

④如图4:构造Rt△刎Rt△曲有

N,

和①同理可得:△颂白△的区tan/倒叫，

设跺册2。贝!|G^HP=t,

：•〃(2方，-2/+2方+1),MO,-2/+2+1),P[t,-2方+1),

把P(t,-2产~>1)代入j=|x得：-2/-t+l=|t,

16

当网为正方形对角线时，

⑤如图5:构造矩形HGJI,过点夕作PKLIJ于点、K,

：.PK//x^,

:./QPQ/BOC,

1

tan/QP笈tanZ.BOC=~,

设砺x,贝(J慌2x,

和①同理可得:△刚名△的啥△QM按4NQL

：.HN^PG^MJ=IQ,P田GM^Q户NI,

...四边形■"为正方形，

：.Pl^IJ=2x,

：.I牛P"J吟(JJ-Q片x,贝!|P+GgQJ=NI%,

p(:1

AtanZPMG=—=\

GM3

设PG^HIDt,贝！|PH=GM=31,

/.#(21,-2/+2Z+l),MO,-2/+6Z+l),P(一力-212+31+1),

把P(-1,~2/+31+1)代入尸%得:-2/+3t+1=-;t,

解得：力=2,右=-：(舍去)，

4

•••M0,5);

⑥如图6:构造R14PMH,Rt△从知

同理可得:△冏侑△加艺tan々PNG%

设吩脏。贝!|■阱3,，

:.〃（一21、-2/-2Z+l）,MO,一2/一6Z+l）,P（一31,-2/-51+1）,

把P（-3-2/-5t+1）代入尸）得：一2/-5^+1=—11,

解得：於4,62=-2（舍去），

4

AM0,;

综上:Mo,一15；*）或Mo,-15；/或Mo,-5）或Mo,5）或M0,》或Mo,-|）.

【类型三】二次函数与相似综合问题

本类型题考查的是二次函数与相似的综合运用，主要涉及三角形的相似,只有熟练掌握相

似三角形相关性质、判定定理才能解决问题,解题过程中要注意分类求解,避免遗漏.

【例3】（2024•内江）如图,在平面直角坐标系中，一次函数尸-2矛+6的图象与x轴交于点4

与y轴交于点B,抛物线j=-*+6x+c经过A,8两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点。作

轴于点C,交48于点E.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

⑵是否存在点〃使得△皿出和△力四相似?若存在,请求出点。的坐标,若不存在,请说明理由;

⑶尸是第一象限内抛物线上的动点(不与点。重合)，过点户作X轴的垂线交48于点G,连接

DF,当四边形£67刃为菱形时,求点。的横坐标.

【解析】(1)令尸0,则-2户6=0,

则JF3;

令不0,则7=6,

."(3,0),庾0,6),

把4(3,0),3(0,6)代入产-/+加+c,

得(分+c=O

•••抛物线所对应的函数表达式为产-夕+户6.

(2)存在点D,使得△应后和△力龙相似.

设点〃-/+什6),

①如图，当AACES^BDE怙,N9反NZ毋90°,

：.BD//AC,

工。点纵坐标为6,

—/+力+6=6,

解得i=0或i=l,

•"(1,6);

②如图,当龙s△顺时,ABDE=ACAE,

过8作BH工DC于H,则〃(t,6)

Z.Z™=90°,BH=t,DH=~^+t,

=tanN应层tanZCAB=—,

.*.-2F+21=t,

解得i=0(舍去)或i=|,

•••呜争，

综上所述,点D的坐标为(1,6)或©金.

24

(3)如图，•••四边形丽为菱形，

：.DE//FG,DB=FG,EAEG,

设点〃(%，-/+加6),夙山,-2加6),F{riy-n+加6),G(乙-2加6),

DE^-m+3%,FG^-ii+3/7,

:._4+3炉一//+3〃，

即(nrn)(研n-3)=0,

*/2zr〃W0,

加27-3=0,

即加77=3或炉3-%，

•••4(3,0),M0,6),

•••Z33,BO=&,

：.AB=^AO2+BO2=3V5,

过点G作GK1DE于K,

：.KG//AC,

：./EGI^/BAC,

:/cos/EG拒cosNBA*,

EGAB

日俨-m_3

即访一布，

:.EG=V5(n-面二居(3-2/zz),

YD序EG,

-帮+3/ZFV^(3-2%)，

:.in~(3+2V5)2Z^3\/5=0,

解得屋⑻产(不合题意,舍去)或建必产,

...点。的横坐标为包等空.

【类型四】二次函数与圆综合问题

二次函数与圆的综合题,各地中考常常作为压轴题进行考查，这类题目难度大，考查知识

很全面,考生需要对此引起重视.解这类题的关键就是要把握好圆的特性,对图形要具备敏锐

的洞察能力，能够观察出圆、三角形、四边形之间的联系，从而求解.

【例4】如图1,在平面直角坐标系中,/(-2,-1),庾3,-1),以。为圆心，物的长为半径的半圆0

交加的延长线于C,连接AB,BC,过。作切〃8。分别交四和半圆。于区〃连接OB,CD.

⑴求证:是半圆。的切线；

⑵试判断四边形OBCD的形状,并说明理由；

⑶如图2,若抛物线经过点。且顶点为E.

①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以区〃夕为顶点的三角形与△如方相似，问抛物线上

是否存在一点Q.使5k.后必族?若存在,请直接写出0点的横坐标;若不存在,说明理由.

【解析】(1)如图1,设四与y轴交于四

•.3(-2,-1),夙3,-1),

：.AB//x^,且好2,好1,心5,J.OA=OC=V5,

'：DE//BC,。是4。的中点，.'./1是△放的中位线，后［仍532庞;

.•.娉,一1),.•.斯去

O^OM2+ME2=Jl2+(|)2=y,

：.BC=2OE=4S,

在△被7中，•.3C2+初=(2/2=25,

初=5'25,，〃+旌股

△被7是直角三角形，且乙4位=90。，.•.优比4C；

,.•zc为半圆。的直径，.•.交是半圆。的切线.

(2)四边形的是平行四边形，

理由：如图1,由⑴得:除少=%=7§,

'.'OD//BC,二四边形如W是平行四边形.

⑶①如图2,由⑴知：叱好追,£是熊的中点，且£0-1),0吗

过〃作加ly轴于N,则DN//EM,

/

图2

••・△〃*△网..・需鬻器

即ONDNV5

11V5,

2T

工昕2,好1,1,2),

设此抛物线的解析式为产a（『32-l

把〃（-1,2）代入得:2=以-1-，-1,解得色,

，此抛物线的解析式为K（H）T

即日ny—^4-x2—4x—2

333

②存在,过〃作DGLEP于G,设0的横坐标为x,

.3+与除2+1=3,

3

：.DE=yJDG123*+EG2=J(|)2+32=亭，tanN〃除:DG-2-1

EG32

VtanN如游筹=|,且/颂和都是锐角，

如图3,当△版sA4必时，翳嘿

3V5

即詈去，.••止|,•••易斯为小娇;X5X1=1，

V552222

9

,:SAEP〒SAOAB,：•3•EP

即gxjx|x-i|=|,解得V或q

如图4,当△颇时,祭嘿

即普春•.•年黄同理得*吟

2

综上，存在符合条件的点Q,0点的横坐标为总或干或缴。

【类型五】二次函数中的创新题

二次函数中的创新题没有固定的方向，但亦有规律可言，通常是在新定义的条件下引出问

题，主要考查学生的阅读理解能力和运用新知识进行证明计算的能力.解决此类题目关键是要

能读懂题意,用规定的方法去解决问题.

【例5】阅读下面材料，回答问题

材料一:若三个非零实数满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则

称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组”；

材料二：一元二次方程af+加+O（aW0）两根X,苞有如下关系：否+苞=-3为苞=，

aa

⑴实数1,2,3可以构成“和谐三数组”吗?请说明理由.

⑵若直线尸26x+2c（5cW0）与x轴交于