2025年中考数学总复习41 微专题 综合与实践 学案（含答案）

微专题41综合与实践

一、数与式

1.综合与实践

【主题】网格中的路线

【素材】如图①所示：

①在4×3的网格中，记A，B，C三点；

②沿网格线从A点出发到B点，规定必须向北走，或向东走.

【实践操作】

①如图②，除点A外其余交点用空圆代替；

②按图示方式在空圆中，填写出从A点出发到部分交点的路线数量；

③从点A出发到点C共有3条路线.

【实践探索】

（1）从A点出发到B点共有多少条路线？并补全图②中的空圆；

（2）从A点出发到B点，且不经过点C，此时共有多少条路线，并画图说明.

第1题图

2.（人教七上实验与探究改编）综合与实践

【主题】幻方

【素材】幻方最早源于我国，古人称之为纵横图，如图①是一个三阶幻方.

第1页共27页

第2题图①

【实践操作】

步骤1：计算每一横行点数的和；

步骤2：计算每一竖列点数的和；

步骤3：计算两条斜对角线上的点数的和.

【实践探索】

（1）每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和均为；

（2）将－6，－3，0，3，6，9，12，15，18填入图②，使其构成一个三阶幻方；

【拓展延伸】

（3）如图③，在一个由6个圆圈组成的三角形里，将－7到－2这6个连续整数

分别填入圆圈中，使得三角形的每条边上的三个数的和S均相等，且求出S的最

大值.

第2题图

二、方程（组）与不等式（组）

3.（人教七上习题改编）综合与实践

【主题】利用天平称1个乒乓球和1个纸杯的质量

第2页共27页

【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基

本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的

质量？

【操作探究】下面是“智慧小组”的探究过程.

准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；

②若干个大小相同的纸杯（质量相同）.

探究过程：设每个乒乓球的质量是x克.

乒乓球

天平状一次性纸

天平左边天平右边的

态杯的总质量

总质量

8个乒乓球和

记录110个一次性纸杯平衡8x

1个10克的砝码

10个一次性纸杯

记录216个乒乓球平衡16x

和1个10克的砝码

【解决问题】

（1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示；

②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量.

【拓展设计】

（2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题：

请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表：

天平左边天平右边天平状态

乒乓球一次性纸杯个＋1个10克的砝

记录3平衡

个码

第3页共27页

4.在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节

约用水策略.

【主题】探索清洗衣物的节约用水策略

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至

校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2％，每次拧干后校服上都残

留0.5kg水.

前

浓度关系式：d后＝.其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液

0.5�

浓度；w为单次漂洗0.5所+�加清水量（单位：kg）.

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01％.

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01％，需要多少清

水？

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

第4页共27页

三、函数

5.（人教八下习题改编）【综合与实践】

【主题】探究弹簧的伸长量

【素材】某数学实验小组在学习了力的知识后，计划通过实验探究弹簧在不同伸

长量下对外界的弹力大小，具体过程如下（实验均在弹簧弹性范围内进行）：

【实践操作】

步骤1：记录实验数据如下表：

弹簧长度L/cm2223242526272829

弹力F/N00.51.01.52.02.53.03.5

步骤2：通过表中的数值，在图②的平面直角坐标系中描点、连线，画出弹簧长

度L与弹簧对外界的弹力大小F的图象.

第5题图

【实践探索】

（1）观察所画的图象，猜测F与L之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）若弹簧的劲度系数k＝（F为弹簧受到的拉力，F拉＝F弹，ΔL为弹簧伸长

�

的长度），求k的值；ΔL

第5页共27页

（3）在（2）的条件下，如图③，是两根劲度系数不同的弹簧甲、乙（两根弹簧

起始长度相同），分别挂上M，N两物块，且物块M的质量大于物块N的质量

（质量越大，悬挂时对弹簧的拉力越大，弹簧对外界的弹力也越大），观察图象，

则k甲k乙（填“＞”“＜”或“＝”）.

第5题图③

6.项目化学习

【主题】优化大豆种植密度

【项目背景】大豆，俗称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有

五千年栽培历史，古称“菽”，某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方

案”为主题展开项目学习

第6题图

【驱动任务】探究大豆产量与种植密度的关系

【研究步骤】（1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为

试验田，并选定适宜的大豆品种；

（2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，

在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计；

（3）数据分析，形成结论.

第6页共27页

【试验数据】

试验田编号123456

单位面积试验田种植株数x（株）304050607080

单株的平均产量y（粒）514641363126

【问题解决】请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：

（1）根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植

株数x（株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的

函数关系式为（30≤x≤80）；

（2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说

明单位面积试验田中大豆植株种植数量的方案.

7.（人教九下活动改编）

【主题】设计简易杆秤

【综合与实践】

有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物

理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进

行调试，请完成下列方案设计中的任务.

第7页共27页

【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：

（m0＋m）·l＝M·（a＋y）.其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，

秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零

刻线的水平距离为y厘米.

【方案设计】

目标：设计简易杆秤.设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零

刻线与末刻线的距离定为50厘米.

任务一：确定l和a的值；

（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；

（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，

请列出关于l，a的方程；

（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；

任务二：确定刻线的位置.

（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；

（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的

距离.

第7题图

第8页共27页

四、图形的变化

8.（北师九上做一做改编）综合与实践

【主题】探究纸条交叉重叠部分的图形形状.

【素材】如图①，②所示：两张等宽的纸条.

第8题图

【实践操作】

步骤1：取两张长足够的，宽为6cm的矩形纸条；

步骤2：如图③，将一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角；

步骤3：将呈45°的纸条从右往左平移.

第8题图③

【实践探索】

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状；

（2）当重叠部分的形状为如图④所示的四边形ABCD时，请判断四边形ABCD

的形状，并说明理由.

第9页共27页

9.（人教七上课题学习改编）（2024福建改编）综合与实践

【主题】制作底面为正方形的礼品盒.

【素材】一张长方形纸板如图①所示.

【实践操作】

步骤1：取出一张长方形纸板；

步骤2：按如图②所示的方式进行分割、裁剪，其中AE＝FB，恰好得到纸盒的

展开图；

步骤3：利用该展开图折成一个礼品盒，如图③所示.

第9题图

【实践探索】

（1）直接写出的值；

𝐴

（2）如图④，按𝐴要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如

意”，那么应选择的纸盒展开图图样是（）

第9题图④

第10页共27页

10.（人教八上课题学习改编）综合与实践

【主题】研究几何体的最短路线问题

“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个

重要方面.为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，

老师带领学生研究几何体的最短路线问题.

【实践操作】

如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开

图中的线段AC，若圆柱的高AB为2cm，底面直径BC为8cm.

【问题解决】

（1）判断最短路线的依据是；

（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和π）；

【拓展迁移】

如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM

＝8cm，底面圆半径为2cm，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P

时所经过的路径的痕迹.

（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离.

图①

图②

第10题图

第11页共27页

11.（北师九下习题改编）综合与实践

【主题】配置圆形玻璃材料

【素材】有一块被不小心打碎的圆形玻璃材料的残片，如图①，现需重新配置一

片与原材料大小相同的圆形玻璃材料.

【实践操作】

利用尺规作出该玻璃残片的圆心，小明的作图过程如下：

步骤1：在圆形玻璃残片上任取两点A，B，如图②；

步骤2：过点A作一条直线l，使得直线l与圆只有一个交点A；

步骤3：以点A为圆心，任意长为半径向点A两侧作弧，分别交直线l于M，N

两点；

步骤4：分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧分别交于P，

1

Q两点，作直线PQ；2

步骤5：过点B作…，

…

【实践探索】

（1）在图②的基础上补全尺规作图，求作圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在小明作图过程中的“步骤4”中，尺规作图内容是；

（3）除了上述方法外，小明想到还可以利用垂径定理求出该圆形玻璃残片的圆

心，如图③，在圆形玻璃残片上分别取点A，点B和点C，令AC＝BC＝a，∠ACB

第12页共27页

＝α.请你结合垂径定理的知识，利用尺规作出该圆形玻璃残片的圆心O，并求出

直径（用含a和α的式子表示）.

第11题图

12.（北师九上综合与实践改编）（2023衢州）视力表中蕴含着很多数学知识，

如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一

个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.

【主题】探究视力表中视力值与对应的“”形图边长的关系.

素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测

得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图①.

探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的

“”形图边长.

第12题图

第13页共27页

素材2图②为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图

所成的角叫做分辨视角θ.视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝

1

（0.5≤θ≤10）.�

探究2当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的

范围.

素材3如图③，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B

处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同.

探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长.

五、图形与坐标

13.（北师八上做一做改编）综合与实践

【主题】坐标与示意图

【素材】如图①是某校的平面示意图.

第13题图①

【实践操作】

第14页共27页

步骤1：如图②，根据示意图中的位置，将部分建筑放入合适的网格中，

步骤2：以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到

部分信息如下：

①初中楼的坐标是（－4，2）；

②实验楼的坐标是（－4，0）.

第13题图②

【实践探索】

（1）在图②中补全平面直角坐标系，并直接写出“操场”和“图书馆”位置的

坐标；

（2）已知“校门”和“宿舍”位置的坐标分别为（1，－3），（－3，4）.

①请在图②中表示出来，并标明文字；

②该校平面示意图的比例尺为1：50（1个单位长度表示50米），求出“高中楼”

与“宿舍”的实际距离.

六、统计与概率

14.【主题】了解学生对球类项目的选择情况

第15页共27页

七年级阳光体育锻炼活动项目选择情况的调查报告

某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A

（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要

调查背

求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目.为了了解学生对这五

景

个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问

卷调查.

调查方

抽样调查

式

阳光体育锻炼活动项目选择情况的调查问卷

在下面五个球类项目中，你选择的是（）（单选）

A.羽毛球B.乒乓球C.篮球D.排球E.足球

为保证调查数据的全面性，应选择的样本选取方式为.

A.随机抽取七年级60名女生

样本选

B.随机抽取七年级60名男生

取

C.随机抽取七年级60名学生

D.随机抽取七年级30名男生，30名女生

学校用合理的方式抽取了60名学生，对调查所得到的数据进行整理、

描述和分析，部分信息如下：

数据的

收集、

整理与

描述

第14题图

调查结

…

论

第16页共27页

根据以上信息，解决下列问题：

（1）图表中样本选取方式为（填字母）；

（2）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；

（3）图②中项目E对应的圆心角的度数为°；

（4）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）

的人数.

第17页共27页

一、数与式

1.解：(1)∵从A点到B点必须向北走，或向东走，

∴到达A点以外的任意交点的路线数量只能是与其相邻的南边交点和西边交点

的数字之和，

∴补全从A点到达其余各交点的路线数如解图①，

∴从A点出发到B点共有35条路线；

第1题解图①

(2)∵从A点出发到B点，且不经过点C，

∴可删除与C点紧相连的网格线，

如解图②，依次写出到达A点以外的任意交点的路线数量，

∴从A点出发到B点，且不经过点C，此时共有17条路线.

第1题解图②

2.解：(1)15；

【解法提示】任取两组数据，由题图可知4＋9＋2＝8＋5＋2＝15.

(2)∵(－6－3＋0＋3＋6＋9＋12＋15＋18)÷3＝18，

∴在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18，

根据幻方的特点可知，从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方

的正中心的格子中，且这列数中最大的数与最小的数必在一起，

第18页共27页

∴构成的三阶幻方如解图①(答案不唯一)；

第2题解图①

(3)将－7、－6、－5、－4、－3、－2分别填入圆圈中，具体如下：

如解图②，将－2、－3、－4填入三角形的三个顶点处；－2与－3之间填－7，

－2与－4之间填－6，－3与－4之间填－5，

则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大，

此时，－2－3－7＝－2－4－6＝－3－4－5＝－12，

∴S的最大值为－12.

第2题解图②

二、方程(组)与不等式(组)

3.解：(1)①8x＋10；16x－10；

【解法提示】根据题意可得：记录1中的一次性纸杯的总质量为8x＋10；记录2

中的一次性纸杯的总质量为16x－10.

②由题意得8x＋10＝16x－10，

解得x＝2.5，

∴＝＝3，

8�+104�+5

答：1一0个乒5乓球的质量为2.5克，一个一次性纸杯的质量为3克；

(2)10，5【解法提示】设一次性纸杯个数为a，则乒乓球个数为2a，由题意得

2.5×(2a)＝3a＋10，解得a＝5，2a＝10.∴将天平左边放置10个乒乓球，天平

右边放置5个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡.

第19页共27页

4.解：(1)令d后＝0.01％，

％

得＝0.01％，解得w＝9.5，

0.5×0.2

检验0.：5+当�w＝9.5时，0.5＋w＝10≠0，符合题意，

∴w＝9.5是原分式方程的根，

答：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01％，需要9.5kg

清水；

％

(2)易知每次使用清水2kg，第一次漂洗之后洗衣液浓度为d第一次后＝＝

0.5×0.2

0.04％，0.5+2

％

第二次漂洗之后洗衣液浓度为d第二次后＝＝0.008％，

0.5×0.04

∵0.008％＜0.01％，0.5+2

∴把4kg清水均分，进行两次漂洗，是可以达到洗衣目标的；

(3)从节约用水角度对这两种洗衣用水策略的想法：对于只经过一次漂洗需要9.5

kg清水能达标的方法，虽然操作相对简单，但用水量较大.而将4kg水分两次漂

洗也能达标的策略，在节约用水方面表现更优.我们更注重节约用水，应优先选

择分两次漂洗的策略.因为它在达到洗衣目标的前提下，减少了总用水量(答案不

唯一，合理即可).

三、函数

5.解：(1)观察题图②可得，F与L之间为一次函数关系，

设函数关系式为F＝aL＋b(a≠0)，

将(22，0)，(24，1.0)两点代入F＝aL＋b中，

＋＝

得，解得1，

＋＝－

22��=0�2

∴F2与4�L之�间=的1函数关系�式为11F＝L－11；

1

(2)观察表格可得，当弹簧伸长1cm2时，弹力增加0.5N，

第20页共27页

∴ΔL＝1cm时，F拉＝F弹＝0.5N，

∴弹簧的劲度系数k＝＝0.5N/cm；

�

(3)＞.Δ�

【解法提示】∵物块M的质量大于物块N的质量(质量越大，悬挂时对弹簧的拉

力越大，弹簧对外界的弹力也越大)，∴F甲＞F乙.观察题图③可知，弹簧甲的伸

长量小于弹簧乙的伸长量，即ΔL甲＜ΔL乙.∴由(2)中公式k＝，得k甲＞k乙.

�

6.解：(1)一次，y＝－0.5x＋66；ΔL

【解法提示】根据表中数据，单位面积试验田种植株数每增加10株，单株的平

均产量减少5粒，∴y是x的一次函数；设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k、b

为常数，且k≠0).将x＝30，y＝51和x＝40，y＝46分别代入y＝kx＋b，得

＋＝－

，解得，∴y与x的函数关系式为y＝－0.5x＋

＋

30��=51�0.5

646(03�0≤�x≤=8406).�=66

(2)设单位面积试验田中大豆的总产量为W粒，则W＝xy＝x(－0.5x＋66)＝－(x

1

－66)2＋2178，2

∵－＜0，30≤x≤80，

1

∴当2x＝66时，W的值最大，

∴单位面积试验田中种植66株大豆时，可使单位面积试验田中大豆的总产量最

大.

7.解：(1)根据题意，得m＝0，y＝0，

将m＝0，y＝0，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，得10l＝50a，

∴l＝5a；

(2)根据题意，得m＝1000，y＝50，将m＝1000，y＝50，m0＝10，M＝50代入(m0

＋m)l＝M(a＋y)，

得(10＋1000)l＝50(a＋50)，

第21页共27页

∴101l＝5a＋250；

(3)联立(1)，(2)中的两个方程，

得，解得；

＝

�=5��=2.5

(4)把10l1＝�2.55�，+a2＝500.5，m0＝�1=0，0.M5＝50，代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，得2.5(10＋

m)＝50(0.5＋y)，化简，得y＝，

�

∴y关于m的函数解析式为y＝20；

�

(5)由(4)知y＝，将m＝100代入20y＝，得y＝5，

��

将m＝200代入20y＝，得y＝10，20

�

∵10－5＝5，20

∴从零刻度线开始，每隔100克重量在秤杆上找到对应刻度线，相邻两刻度线的

距离为5厘米.

图形的变化

8.解：(1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为三角形，梯形，五边形，菱形；

(2)四边形ABCD是菱形.理由如下：

如解图，分别过点B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，

∴∠BEC＝∠DFC＝90°

∵两张纸条等宽，

∴BE＝DF＝6.

在△BCE和△DCF中，∠BCE＝∠DCF＝45°，

∴△BCE和△DCF都为等腰直角三角形，

∴BC＝DC＝＋＝6，

22

∵两张纸条都是6矩形6，2

∴AB∥CD，BC∥AD.

∴四边形ABCD是平行四边形，

第22页共27页

又∵BC＝DC，

∴四边形ABCD是菱形.

第8题解图

9.解：(1)2；

【解法提示】如解图，由折叠和题意可知，GH＝AE＋FB，AH＝DH，∵四边形

EFNM是正方形，∴EM＝EF，即AG＝EF，∴GH＋AG＝AE＋FB＋EF，即AH

＋

＝AB，∵AH＝DH，∴＝＝2，∴的值为2.

𝐴𝐴��𝐴

𝐴𝐴𝐴

第9题解图

(2)C.

【解法提示】根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和

“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，∴C

选项符合题意.

10.解：(1)两点之间线段最短；

(2)剪开后，AB＝2cm，

BC＝×8π＝4π(cm)，

1

2

∴AC＝＋＝＋()＝＝2(cm)，

222222

∴最短路线𝐴AC�的�长为24π4+16π1+4π

2cm；

2

(3)1∵+圆4锥π的底面周长为2π×2＝4π(cm)，

第23页共27页

设侧面展开图的圆心角度数为n°，

∴＝4π，

�π×8

解得180n＝90，

∴如解图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，

线段PP'的长为蚂蚁爬行的最短距离，

∴在Rt△MOM'中，

MM'＝＋＝＋＝8(cm)，

2222

∵点P为��OM中�点�'，882

∴PP'是△OMM'的中位线，

∴PP'＝MM'＝4cm，

1

∴蚂蚁爬2行的最短2距离为4cm.

2

第10题解图

11.解：(1)补全尺规作图如解图①所示；

第11题解图①

(2)过已知直线上一点作其垂线；

(3)作出圆形玻璃残片的圆心O如解图②所示；

设AC的垂直平分线为OE，BC的垂直平分线为OF，连接AO，BO，CO，

∵AC＝BC＝a，

∴EC＝FC＝，

�

∵CE⊥OE，2CF⊥OF，

第24页共27页

∴∠CEO＝∠CFO＝90°，OC是∠EOF的平分线，

∴∠EOC＝∠FOC，

∴∠OCE＝90°－∠EOC，∠OCF＝90°－∠FOC，

∴∠OCE＝∠OCF＝∠ACB＝α

11

，∴在Rt△OCE中，2OC＝2＝，

𝐶�

1

cos∠