2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之胡不归模型解读与提分训练（全国版）

专题33最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

例题讲模型］

模型1.胡不归模型（最值模型）

模型解读

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置A到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型证明

一动点尸在直线"N外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为匕，且匕〈匕，4、5为定点,

点C在直线MN上，确定点C的位置使好++的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。

ACBC—1BC+^AC，记左=V工,，即求BC+fc4c的最小直

1)---+---

匕匕K

2）构造射线AD使得sinNZMN=Z,瓷=k,C〃=fc4C,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过8点作BHLAD交MN于点C,交AD于H点,此时2C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解题关键】在求形如“必+女尸中的式子的最值问题中，关键是构造与小2相等的线段，将“B4+d2”型问题

转化为“E4+P。'型.（若Q1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

模型运用

例1.（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）如图，在VABC中，ZA=15°,Afi=10,P为AC边上的一个

动点（不与A、。重合），连接8尸，则交AP+P5的最小值是（）

2

A.5^2B.5^3C.—D.8

例2.（23-24九年级上•湖南娄底•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,E,尸分别是边AD和对角线AC

4

上的动点，连接砂，记NBAC=a,若tana="则尸£+PCcos。的最小值为（）

A.3B.4C.5D.2.4

例3.（2024•陕西渭南•二模）如图，在菱形ABCD中，对角线4C、9相交于点。，AC=8,BD=6,P是

3

对角线AC上的动点，则BP+gA尸的最小值为.

例4.（2023•云南昆明•统考二模）如图，正方形ABCD边长为4,点E是8边上一点，且NABE=75。.P

是对角线8。上一动点，则+尸的最小值为（）

A.4B.4拒C.忘了D.72+76

例5.（23-24九年级上•江苏南通・阶段练习）如图，A3是。。的直径，CE切。。于点C交的延长线于点

E.设点。是弦AC上任意一点（不含端点），若NCE4=3O。，BE=4,则CD+2O£＞的最小值为（）

C

A.2班B.6C.4D.4右

例7.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,8两点，点。是线

段A8上一动点，点H是直线y=-gx+2上的一动点，动点£（仅0）,F（m+3,0）,连接3E,DF,HD.当

3E+D尸取最小值时，39+5DH的最小值是.

例8.（2024•山东济南•一模）实践与探究

【问题情境】（1）①如图1，RtAABC,?B90?,ZA=60°,D,E分别为边AB,AC上的点，DE//BC,

An

^.BC=2DE,则二一=______;②如图2,将①中的VADE绕点A顺时针旋转30。，则£>E,3c所在直线较

AB

小夹角的度数为.

【探究实践】（2）如图3,矩形ABCD,AB=2,AD=2^3,E为边AD上的动点，/为边BC上的动点，BF=2AE,

连接E厂，作BHLEF于H点、,连接CH.当CH的长度最小时，求8〃的长.

【拓展应用】（3）如图4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=石，。为A3中点，连接8,E,F

分别为线段3DCD上的动点，且DF=2BE,请直接写出AP+士叵EF的最小值.

3

图1图2图3图4

例9.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，二次函数>=行，-6后+5g的图象交x轴于4、8两

点，交y轴于点C,连接BC.(1)直接写出点2、C的坐标，B；C.

(2)点尸是y轴右侧抛物线上的一点，连接尸8、PC.若APBC的面积156，求点P的坐标.

(3)设E为线段2C上任意一点(不含端点)，连接AE,一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位

速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值.

习题练模型

1.(2024.山东淄博.校考一模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(。，2),点C的坐标是(0,-2),点

8(x,0)是x轴上的动点，点8在无轴上移动时，始终保持AABP是等边三角形(点P不在第二象限)，连接PC,

A.4石B.4C.2A/3D.2

2.(2024・四川德阳•二模)如图，已知抛物线y=a%2+fcr+c与无轴交于A(l,0),C(-3,0)两点,与y轴交于点

M3).若「为y轴上一个动点，连接则争P+”的最小值为()

3.(2024•山东校考一模)如图，AB=AC,,C(1,0),。为射线A。上一点，一动点尸从A出

发,运动路径为A-D-C,在上的速度为4个单位/秒，在C。上的速度为1个单位/秒，则整个运动时

4.（2023•湖南湘西•统考中考真题）如图，。。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点8作

于点E,点P为线段BE上一动点（点P不与&E重合），则"+的最小值为

5.（2023・辽宁锦州・统考中考真题）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,AC=4,按下列步

骤作图：①在AC和上分别截取AT＞、AE,使AD=AE.②分别以点。和点E为圆心，以大于的

长为半径作弧，两弧在/5AC内交于点③作射线A"交BC于点?若点尸是线段AF上的一个动点,

6.（2022•湖北武汉•九年级期末）如图，团ABCD中NA=60。，AB=6,AD=2,尸为边CO上一点，则

也PD+2PB的最小值为

7.（2023•江苏宿迁・统考二模）已知AABC中，BC=6cm,ZA=60°,则43+1二LAC的最大值为

2

6cm

BC

8.（2023・陕西西安•校考二模）如图，在RhABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=8,。、/分别是边AB、

上的动点，连接CD,过点A作AE±CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+^-FB的最小值为

2

A

9.（2023上•四川成都・九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E,尸分别在边ADBC

上，且AE=3,沿直线所翻折，点A的对应点大恰好落在对角线AC上，点B的对应点为"，点M为线

10.（2023•浙江宁波•九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=*x-正分别交x轴、y

轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为.

11.（2023・四川成都・九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2,E是AC上一个动点，连接。瓦，

过点C作AC的垂线/,过点。作/）广，四交/于点F过点。作DGLEF于点G,tanNEDG=0,点打

是AD中点，连接HE,则HE+qEC的最小值为.

H

AD

12.（2023春・广东广州•九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCO的边长为5,对角线的长为4君，尸为

上一动点，则的最小值等于.

13.（2023・广东珠海•校考三模）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点O是斜边AB上

的动点，则CO+走AD的最小值为.

2

14.（2024・湖北黄冈•模拟预测）如图，在中，ABAC=90°,AB=2,AC=4后，点。是3c边上的

动点，连接4。，则3AD+OC的最小值为.

15.（2024•天津红桥•二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ABC的顶点A在

格点上，ZCAB=90°,以A3为直径的半圆与边5c的交点。在网格线上.

CD

（1）胃的值等于.；（2）若P为边AC上的动点，当.PC+2PB取得最小值时，请用无刻度

DB

的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点尸的位置是如何找到的（不要求证明）.

16.（23-24八年级下.四川绵阳.阶段练习）如图，直线y=gx-2分别交x轴，V轴于点A,点8,点C在V

轴正半轴上，且OC=O4,点。（-2,m）在直线AC上，点尸是x轴上的一个动点，设点尸横坐标为九

（1）求直线AC的函数解析式；（2）连接尸C,PD,若△（?£）「面积等于VABC面积的;，求f的值；

⑶求上AP+2尸的最小值.

2

17.（2024•四川德阳•中考真题）如图，抛物线y=/-尤+c与尤轴交于点A（-l,0）和点8,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；（2）当0<x42时，求y=/-x+c的函数值的取值范围；（3）将抛物线的顶点向下平移

1个单位长度得到点〃，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+好PM的最小值.

45

18.（2023•山东济南・统考二模）如图①，在矩形。48c中，OA=4,OC=3,分别以OC、。4所在的直线为x

k

轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接。3,反比例函数y=—。＞0）的图象经过线段。2的中点。，并与矩

x

形的两边交于点E和点/，直线/：广质+b经过点£和点尺

（1）写出中点。的坐标,并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF,求AOEF的面积；

（3）如图②，将线段绕点。顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点a恰好落在x轴的正半轴上，连

19.（2023•吉林长春・统考一模）（1）【问题原型】如图①，在AABC,AB=AC=5,BC=6,求点C到A3

的距离.

（2）【问题延伸】如图②，在URC,AB=AC=10,BC=12.若点M在边BC上，点尸在线段40上，

连结CP,过点尸作尸于。，则CP+PQ的最小值为.

（3）【问题拓展】如图（3）,在矩形ABCD中，AB=2百.点E在边上，点M在边上，点尸在线段

CM上，连结若N3CM=30。，则CF+2EF的最小值为.

图①图②图③

专题33最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

例题讲模型］

模型1.胡不归模型（最值模型）

模型解读

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置A到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型证明

一动点尸在直线"N外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为匕，且匕〈匕，4、5为定点,

点C在直线MN上，确定点C的位置使好++的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。

ACBC—1BC+^AC，记左=V工,，即求BC+fc4c的最小直

1)---+---

匕匕K

2）构造射线AD使得sinNZMN=Z,瓷=k,C〃=fc4C,将问题转化为求BC+CH最小值.

3）过8点作BHLAD交MN于点C,交AD于H点,此时2C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解题关键】在求形如“必+女尸中的式子的最值问题中，关键是构造与小2相等的线段，将“B4+d2”型问题

转化为“E4+P。'型.（若Q1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

模型运用

例1.（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）如图，在VABC中，ZA=15°,Afi=10,P为AC边上的一个

动点（不与A、C重合），连接则比AP+PB的最小值是（）

2

【分析】以AP为斜边在AC下方作等腰直角A4DP，过2作BE，AD于E,通过解直角三角形可得BE的长,

再根据。尸=A尸・sin45°=变AP,A,P+PB=DP+PB>BE,据此即可解答.

22

【详解】解：如图，以AP为斜边在AC下方作等腰直角ZW）?,过B作5E_LAT）于E,连接80

B

•・・NPAD=45°,ZBAC=15°,/.ABAD=60°,BE=ABsin60o=5^3

•.­DP=APsin450=—AP,:.—AP+PB=DP+PB>BE,.•.走AP+P8的最小值为5石.故选：B.

222

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键.

例2.（23-24九年级上.湖南娄底.阶段练习）如图，在矩形ABC。中，AB=3,尸分别是边AD和对角线AC

4

上的动点，连接EP,记NH4C=a,若tana=§,则丑石+PCcosa的最小值为（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】A

【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质.过点尸作于点〃，交AD于点G,求得

PCcosa=PH,根据垂线段最短，知当点石与点G重合时，尸E+PCcosa有最小值，据此求解即可.

【详解】解：过点「作3c于点”，交AD于点G,

D

C

四边形ABCD是矩形，・・.NB=/BAG=90°,四边形ABHG是矩形，:、PH〃NB、：.Z.HPC=ZBAC=a,

4BC4/--------------

VAB=3,tan<z=-,—=-,BC=4,AC=飞AB?+BC?=5，

3AB3

A53

cosa==—=cosZ.HPC,PCcosa=PH,

AC5

当点E与点G重合时，尸E+PC-cosa有最小值，最小值为G8的长，

VGH=AB=3,；.PE+PC-costz的最小值为3,故选：A.

例3.（2024•陕西渭南•二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、8。相交于点。，AC=8,BD=6,P是

3

对角线AC上的动点，贝I8尸+《A尸的最小值为.

BC

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作连接BE,由菱形的

性质可得。4=《AC=4,0D;BD=3,AC±BD,则由勾股定理可得45=5,解直角三角形得到

22

333

sinZOAD--,则尸E=A尸6也/丛石:^人尸，进而得到当8、P、E三点共线，且3ELAD时，BP+-AP^.

小，最小值为BE的长，据此利用等面积法求出BE的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点P作PE2AD,连接BE,

;在菱形ABCD中，对角线AC、加）相交于点。，AC=8,BD=6,P

OA」AC=4,OD=LBD=3,AC±BD,：.AD^^O^C+OD1=5>sinZOAD=—

22AD5

33

・••在Rt^APE中，PE=AP-sinZPAE=~，ABP+-AP=BP+PE,

3

.•.当8、P、E三点共线，且时，BP+gAP最小，最小值为BE的长，

1124

・••此时有立［力形=A。♦5E=—ACB。，5BE=—x6x8,BE=—,

M225

.•.成+3豹尸的最小值为2三4，故答案为：y24

例4.（2023•云南昆明•统考二模）如图，正方形ABCD边长为4,点E是CO边上一点，且NABE=75。.P

是对角线8。上一动点，则4尸+38尸的最小值为（）

A.4B.4&C.D.72+76

【答案】D

【分析】连接AC,作尸GLBE,证明当+尸取最小值时，A,P,G三点共线，且AGL8E,此时最

小值为AG,再利用勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.

【详解】解：连接AC,作PGL3E

：ABCD是正方形且边长为4,/.ZABO=45°,AC1BD,49=20，

VZABE=15°,；.NP3G=30°,PG=-BP,

2

.•.当AP+g^P取最小值时，A,P,G三点共线，且AG,座，此时最小值为AG,

VZABE=15°,AGLBE,：.ZBAG=15°,VZBAO=45°,：.ZPAO=30°,

设OP=b,贝IJAP=26,/.Z?2+（2A/2）2=（2Z?）2,解得：6=半，

设PG=a,则3P=2。，♦:BO=2五,，2。+6=2应，解得：。=&一左

/.AG=AP+PG=2b+a=y/2+y[6,故选：D

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是

证明当AP+g^P取最小值时，A,P,G三点共线，且AGLBE,此时最小值为AG.

例5.（23-24九年级上•江苏南通・阶段练习）如图，A3是。。的直径，CE切。。于点C交AB的延长线于点

E.设点。是弦AC上任意一点（不含端点），若NCEA=30。，BE=4,则CD+2C©的最小值为（）

C

D

A.2A/3B.6C.4D.4A/3

【答案】D

【分析】作OF平分/AOC,交。。于尸，连接AF、CF、DF,过点。作DH_LOC于H,根据切线的性

质和三角形内角和定理可得NCOE=60。，求得NAOC=120。，根据角平分线的性质可得

ZA(9F=ZC(9F=60o,根据含30。角的直角三角形的性质可得OE=2OC,求得0c=4,根据等边三角形

的判定和性质可得AF=AO=OC=FC,根据菱形的判定和性质可得AC平分ZFAO,根据角平分线的性质

和全等三角形的判定和性质可得DF=D0,根据等边对等角和三角形内角和定理求得Z.OCA=Z.OAC=30°,

根据特殊角的锐角三角函数可求得CD=2DH,推得CD+2OD=2(DH+FD),根据垂线段最短可得，当下、

D、H三点共线时，W/+FD的值最小，即用_LAC时，CD+2OD的值最小，根据特殊角的锐角三角函数

可求得9=26,即可求解.

【详解】解：作/AOC的角平分线。/，交。。于b，连接AF、CF、DF,过点。作DH_LOC于H,如

图：

：OC_LCE,NOCE=90。，又：ZCE4=30°,AZCOE=180°-90°-30°=60°,ZAOC=180°-60°=120°,

OF平分ZAOC,则ZAOF=ZCOF=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

VZCEO=30°,ZOCE=90°,：.OC=^OE,即OE=2OC,

XVOE=OB+BE=OC+BE,BE=4,：.2OC=OC+4,：.OC=4,即圆的半径为4,

VOA=OF=OC,ZAOF=ZCOF=60°,：.^AOF,ACO尸是等边三角形，

Z.AF=AO=OC=FC,四边形AOC尸是菱形，AC平分/E4O,AZFAC=ZOAC,

又•；AF=AO,AD=AD,△■EW丝△OAO(SAS),/.DF=DO,

180°-ZAOC180°-120°

VOA^OC,：.ZOCA=ZOAC==30°,

22

OH=OC.sinN£>CH=OC.sin30o=，C,即CD=2。”，二

2

CD+2OD=2DH+2OD=2（DH+OD）=2（DH+FD）.若使CD+2OD的值最小，即DA/+Q的值最小,

当尸、D、H三点共线时，DH+FD=FH,此时DH+FD的值最小，即破_LAC时，CD+2OD的值最小，

此时，FH=OF-sinZFOH=OF-sin60°=^-OF=2^3,CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=4』,故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含30。角的直角三角形的性质，等

边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角

函数，垂线段最短，解题的关键是明确当下、D、H三点共线时，DH+FD的值最小，即CD+2OD的值

最小.

例7.（2023・四川自贡•统考中考真题）如图，直线y=-gx+2与左轴，y轴分别交于48两点，点。是线

4

段A2上一动点，点X是直线＞=-耳光+2上的一动点，动点£（仅0）,F（m+3,0）,连接BE,DF,HD.当

3E+D户取最小值时，3BH+5DH的最小值是.

【分析】作出点C（3,-2）,作于点。，交x轴于点凡此时出T+D产的最小值为C。的长，利用解

直角三角形求得利用待定系数法求得直线8的解析式，联立即可求得点。的坐标，过点。作

轴于点G,此时33"+5。〃的最小值是5DG的长，据此求解即可.

【详解】解：：直线丁=x+2与x轴，y轴分别交于A,2两点，.♦.3（0,2）,A（6,0）,

作点B关于x轴的对称点B'（O,-2），把点？向右平移3个单位得到C（3,-2）,

作CDLAB于点。，交无轴于点E过点8'作？石〃8交无轴于点E,则四边形EFC3'是平行四边形,

此时，BE=B'E=CF,8£+£＞尸=。b+£）尸=。£＞有最小值，作CP_Lx轴于点P,

贝|JCP=2,OP=3,VZCFP=ZAFD,：.ZFCP=ZFADf：.tanZFCP=tanZ/71Z),

即竺2

,PFQ,=2，:.PF、,则尸pOL设直线。。的解析式为>="+%

PCOA26

3k+b=-2

k=3

则工+63解得b=_U，..•直线。的解析式为y=311,

13

39

y=3x-llx=——

1；,即。397

联立，解得;过点。作。轴于点G,

y=--x+2而'历

-3y=—

10

3

直线y=_gx+2与X轴的交点为则%=“°2+0笈="sinZOB2=-^=|=|,

3）2BQ£5

2

HG=BHsinZGBH=3BH+5DH=51^|=5（HG+DH）=5DG,

3939an

即3BH+5D〃的最小值是5DG=5x7K=?，故答案为：

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

例8.（2024.山东济南.一模）实践与探究

【问题情境】（1）①如图1，RtAABC,?B90?,ZA=60°,D,E分别为边AB,AC上的点，DE//BC,

AF）

且8c=2£>E,则二一=______；②如图2,将①中的VADE绕点A顺时针旋转30。，则DE,3c所在直线较

AB

小夹角的度数为.

【探究实践】（2）如图3,矩形ABCD,AB=2,4）=2百，E为边AD上的动点，歹为边8c上的动点，BF=2AE,

连接E尸，作BHLEF于H点,连接CH.当CH的长度最小时，求3”的长.

【拓展应用】（3）如图4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=5。为A3中点，连接CO,E,F

分别为线段3DCD上的动点，SLDF=2.BE,请直接写出AF+友的最小值.

3

图1图2图3图4

【答案】(1)①;；②30。；(2)2；(3)713

【分析】(1)①由OE〃得出AADE^AABC,再由相似三角形的性质即可得解；②延长DE交BC于F,

令AB交DE于G,由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；

(2)延长3AFE,相交于点G,连接AH,AC.由矩形的性质可得AE〃跳',BC=AD=2^3,证明

AGAESQBF,由相似三角形的性质得出点A为GB中点，由直角三角形的性质得出AH=：=AB=2,当

AH,C,三点共线时CH取得最小值，证明出△AB"为等边三角形，即可得解；

(3)分别过点。和8作垂线，两线相交于点尸，连接尸E、PF、PA,则NCDP=NP3E=90。，证明

△PBESAPDF,得出NPEB=NPFD,再证明出尸、E、D、/四点共圆，得出NPEE=NPD5=30。，

ZPEF=ZPDF=90°,解直角三角形得出/=即可得出A尸+在防=4/+尸尸24尸，最后由

33

勾股定理计算即可得出答案.

【详解】解：(1)①••・OE〃3C,••.△ADES/VIBC,.•.当=段=黑=1,故答案为：

ABBC2DE22

由①可得/D=NABC=90。，由旋转的性质可得：ZDAB=30°,

ZAGD=90°-ZDAG=60°,:.ABGF=ZAGD=6Q°,ZBFG=90°-ZBGF=30°,

DE,3c所在直线较小夹角的度数为30。，故答案为：30°；

(2)延长3AFE,相交于点G,连接AH,AC.

,•・四边形ABCD是矩形，，4£〃3尸，BC=AD=2^,：.ZGAE=ZGBF,

GAAEAE1

,:ZG=NG,；.AGAESAGBF,：.—=—=——=-,二点A为G5中点，:.BG=2AB=4,

GBBF2AE2

；BH_LEF于点、H,...在RtAB"G中，AH=-=AB=2,

2

•.•在AAHC中，CH>AC-AH,且AC,A”为定值，，当AH,C,三点共线时CH取得最小值，

VtanZCAB=—=y/3,：.ZCAB=60°,此时AABH为等边三角形，.•.3H=AB=2.

AB

(3)如图，分别过点。和B作垂线，两线相交于点P,连接PE、PF、PA,则/CDP=/PBE=90。,

C

图4

•••RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=5。为AB中点,

CD=AD=BD=-AB,ZABC=90°-ZG4B=30°,AB=2AC=243,

2

.•.AACZ)为等边三角形，，ZAr)C=60。，BD=AD=AC=5

i2

NPDB=1800-ZADC-NCDP=30。，：.PB=^PD,PB?+BD2=DP?，；.PB。+(超)-=(2PB?,PB=1,

-：DF=2BE,"PBESAPDF,:.ZPEB=ZPFD,:.NPED+NPFD=180。,:.P,E、D、尸四点共圆，

:.NPFE=NPDB=30°,ZPEF=ZPDF=90°,在Rt△尸瓦中，cosZPFE=cos30°=—=—,

PF2

2J32J3

:.PF=^—EF,AF+—!—EF=AF+PF>AP,

33

222

在RtAAPB中，AP=yjAB+PB=#⑹+F=J13,AF+^EF的最小值为岳.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定

与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加

适当的辅助线是解此题的关键.

例9.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，二次函数>=6/一6抬％+56的图象交x轴于A、8两

点，交y轴于点C,连接8c.(1)直接写出点8、C的坐标，B；C.

(2)点尸是y轴右侧抛物线上的一点，连接尸8、PC.若△PBC的面积15百，求点P的坐标.

(3)设E为线段BC上任意一点(不含端点)，连接AE,一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位

速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值.

【答案】⑴（5,0）,（。,5码（2）（2,-3⑹或（3T⑹或（6,5西⑶点M的运动时间的最小值为7秒

【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与BC平行直线，找到与抛物

线的交点尸；（3）如图，在无轴上取一点G,连接CG,使得N3CG=30。，作ENLCG于N.作AN」CG

FC1

于N'交BC于E'.由点M的运动时间f=AE+k，EN=-EC,推出点/的运动时间/=AE+EN,根据

22

垂线段最短可知，当A,E,N关系，点N与N'重合，点E与£重合时，点M的运动时间最少.由此即可

解决问题；

【详解】（1）解：当x=0时，S

当＞=0时，也-6瓜+56=0,解得：占=1,%=5,故答案为：（5,0）,（0,5石）；

（2）解：设x轴上点。，使得△D3C的面积156,.•.；应＞。。=156,解得：%）=6,

•••C（O,5A/3）,3（5,0）,则可求直线3C解析式为：＞=-氐+5有，故点。坐标为（—1,0）或（11,0）,

当。坐标为（-1,0）时，过点。平行于BC的直线/与抛物线交点为满足条件的P,

则可求得直线/的解析式为：y=-岛-6,

求直线/与抛物线交点得：瓜2-6后+5若=一屈一百，解得：±=2,々=3,

则尸点坐标为（2,-36）或（3,-4君），同理当点D坐标为（11,0）时，直线/的解析式为『-后+llg,

求直线/与抛物线交点得：V3x2-6A/3X+5A/3=~^3x+1173,解得：玉=-1（舍弃），％=6,

则点尸坐标为（6,54）,综上满足条件P点坐标为：（2,-3向或（3—6）或（6,5间；

(3)解：如图，在x轴上取一点G,连接CG,使得NBCG=30。，作ENLCG于N.作4V」CG于V交

BC于E'.

tanZBCO=—=—,.*.ZBCO=30°,.\ZGCO=60°,

OC3

/.OG=6OC=15，，直线CG的角星析式为x+573,

3

pr1

■.•点M的运动时间f=AE+—丁，EN=-EC,.,.点/的运动时间/=AE+£7V,

根据垂线段最短可知，当4E,N关系，点N与N'重合，点£与9重合时，点M的运动时间最少.

由题意A(l,0),，AG=14,，AN'=gAG=7,.•.点M的运动时间的最小值为7秒，此时E(3,2百).

【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本

题的关键.

习题练模型

1.（2024.山东淄博.校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（。，2）,点C的坐标是（0,-2）,点

8（x,0）是x轴上的动点，点8在无轴上移动时，始终保持AABP是等边三角形（点P不在第二象限），连接PC,

求得AP+gpC的最小值为（）

A.4A/3B.4C.2也D.2

【答案】C

【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边AAO。，连接尸。，过点。作OELOA于E,先求出点。的

坐标，然后证明"AO四人物。得到NPZM=NB04=9O。，则点P在经过点。且与垂直的直线上运动，

当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点尸的坐标为（0,-2）从而求出直线P。的解析式；如图3

所示，作点A关于直线尸。的对称点G,连接尸G,过点尸作PPLy轴于尸，设直线PD与x轴的交点为X,

先求出点〃的坐标，然后证明/8CO=30。，从而得到AP+gpC=GP+尸产，则当G、P、B三点共线时，

GP+PF有最小值，即AP+[PC有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求.

【详解】解：如图1所示，以。4为边，向右作等边AA。。，连接PD,过点D作于E,

•.,点A的坐标为（0,2）,：.OA=OD=1,：.OE=AE=1,:.DE=<OD-OE，=邪,...点。的坐标为（£1）；

•.,△A2P是等边三角形，AA。。是等边三角形，：.AB=AP,ZBAP=60°,AO=AD,ZOAD=60°,

ZBAP+ZR\O=ZDAO+ZPAO,即NBAO=/B4。，ABAO^AB4D(SAS),AZPDA=ZBOA=90°,

：.点P在经过点。且与AD垂直的直线上运动，

当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合,

•.•△A3P是等边三角形，BOLAP,.•.AOPOZ,.•.此时点P的坐标为(0,-2),

6k+b=l.\k=6

设直线PD的解析式为y=kx+b直线PD的解析式为y=瓜-2；

b=-2[b=-2

如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G,连接PG,过点尸作PFLy轴于F,连接CG,设直线PD与

x轴的交点为“，，点H的坐标为［竽，。］,.,211/05=察=¥，.♦./OCH=30。，=

由轴对称的性质可知AP=GP,：.AP+^PC=GP+PF,

...当G、P、尸三点共线时，GP+尸尸有最小值，即AP+^PC有最小值，

2

：A、G两点关于直线尸。对称，且/AOC=90。，.•.AQ=GQ,即点。为AG的中点，

•.,点A的坐标为(0,2),点。的坐标为(6,1),

-：AC=4,ZCAG=60°,；.ZkACG是等边三角形，VOC=OA,：.OG±AC,即点G在无