1.4 等腰三角形（4） 等边三角形的判定-八年级数学下册10分钟课前预习练（北师大版）（解析版）

课前预习记录：月日星期10分钟课前预习练（北师大版）1.4等腰三角形（4）—等边三角形的判定知识要点:1．三个角都相等的三角形是_______________．【答案】等边三角形2．有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形.【答案】60°3．在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____。【答案】一半课堂练习一、选择题1．下列命题中真命题有（）个．①有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；②等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段的垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意；②等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线三线合一，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段的垂直平分线的性质，难度不大．2．如图，在边长为6的等边△ABC中，BD是角平分线，DE∥BC交AB于E，那么△ADE的周长是（）A．9 B．6 C．12 D．18【答案】A【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明DE=BE以及△ADE为等边三角形，从而得到DE=BE=AE，再利用△ABC的边长得出结果.【详解】解：∵BD是角平分线，DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠CBD=∠EBD，∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°，∴∠EDB=∠EBD，△ADE为等边三角形，∴DE=BE=AE，∵△ABC为等边三角形，AB=6，∴DE=AE=3，∴△ADE的周长为9.故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得出DE=AE=3是解题的关键.3．如图，在中，是的角平分线，于点，，，，则长是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据30°直角三角形的性质和勾股定理得到DE的长，然后根据平分线的性质，可以得到DE＝DF，再根据∠C＝45°，即可得到CD的长，本题得以解决．【详解】解：∵于点，，，∴BD=2DE，设DE=x，则BD=2DE=2x，∴，∴，解得：作于点，是的角平分线，，，，∴，∴在Rt△CDF中，，∴故选：．【点睛】本题考查角平分线的性质、含30°角的直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．如图，在等边ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由等边△ABC的“三线合一”的性质推知，根据等边三角形三个内角都相等的性质、直角三角形的两个锐角互余推知∠BDE=30°，最后根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求BE即可．【详解】∵是等边三角形，是它的角平分线，∴，．∵于，∴，∴．故选B【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BD=()A．2 B．3 C． D．+2【答案】A【分析】根据角平分线的性质得到CD=DE，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=1，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，故选：A．【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．二、填空题6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°,AD是△ABC的角平分线，AD=4，则点D到AB的距离是______．【答案】2【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再求出∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，再根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得AD＝2CD，即可得出答案.【详解】解：过D点作DE⊥AB，∵AD平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴CD=DE，∠CAD＝30°，又∵∠C＝90°，AD=4，∴CD=2，∴DE=2，即点D到AB的距离是2.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=，则BC=________．【答案】【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=+2=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．如图，在中，是的角平分线，，垂足为E，，则的周长为________．【答案】；【分析】在△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形，利用边之间的关系，得出各边长，从而得出△ABC的周长．【详解】∵∠C=90°，∠B=30°，DE=1∴在Rt△DEB中，DB=2，EB=∵AD是∠CAB的角平分线∴CD=DE=1，∠CAD=∠DAE=30°∴在Rt△ACD中，AD=2，同理，在Rt△ADE中，AD=2，AE=∴△ABC的周长=AE+EB+BD+DC+CA=3+3故答案为：3+3．【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、角平分线的性质，解题关键是得出△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形．9．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝_____________．

【答案】【分析】作，则，由等腰三角形的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：作，如下图：

∵平分，，，∴，，∵，∴，∴，，在中，，，∴∴，由勾股定理得，，故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及含直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．三、解答题10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点．且CE=CD，AD=DE．(1)求证：ABC是等边三角形；(2)如果把AD改为ABC的中线或高、其他条件不变），请判断(1)中结论是否依然成立？（不要求证明）【答案】（1）见解析；（2）成立【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，角平分线AD同时也是三角形ABC底边BC的高，即∠ADC=90°．再加上已知条件可推出∠DAC=30°，即可知三角形ABC是等边三角形．（2）在等腰三角形ABC中，如果其他条件不变，则AD同时是角平分线、中线及高，所以（1）中结论仍然成立．【详解】（1）证明：∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，

∴∠ACB=2∠E．

又∵AD=DE，∴∠E=∠DAC，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAC=2∠DAC=2∠E，

∴∠ACB=∠BAC，∴BA=BC．

又∵AB=AC，∴AB=BC=AC．

∴△ABC是等边三角形．

（2）解：当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立．理由：当AD为△ABC的中线时，，，由（1）的结论，易证ABC是等边三角形；当AD为△ABC的高时，，，由（1）的结论，易证ABC是等边三角形；【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质．同时要掌握等腰三角形中底边的高、中线和角平分线重合的性质．11．如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=30°,高AD与角平分线CE相交于F.（1）求证△AEF是等边三角形；（2）EF=2FD．【答案】见详解【解析】【分析】（1）在直角△ADB和直角△CAE中,分别证明∠BAD=60°,∠AEC=60°即可解题,（2）利用30°所对直角边是斜边一半即可解题.【详解】解：（1）∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACB=60°,∵AD⊥BC,CE平分∠ACB,∴∠BAD=60°,∠ACE=∠BCE=30°,∴∠BAD=∠AEC=60°,∴△AEF是等边三角形；（2）由（1）可知∠FAC=30°,∴AF=CF,在Rt△CDF中,∠DCF=30°,∴FC=2DF,∴EF=2FD.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和含30°的直角三角形的特殊性质,属于简单题,熟悉直角三角形的性质是解题关键.12．如图，，OC平分，C为角平分线上一点，过点C作，垂足为C，交OB于点D，交OB于点E．判断的形状，并说明理由；若，求CD的长．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）【分析】（1）△CED为等边三角形，理由如下：由OC为角平分线及∠AOB度数求出∠AOC与∠COE度数，再由CE与OA平行，得到一对内错角相等，再由CD与OC垂直，求出∠ECD度数，利用三个内角相等的三角形为等边三角形即可得证；（2）由△CED为等边三角形，得到三边相等，利用等角对等边得到OE=CE，进而得到OE=CE=DE，设CD=x，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到OD=2x，再由OC的长，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出CD的长．【详解】是等边三角形，理由如下：平分，，，，，，，，，是等边三角形；

是等边三角形，，又，，，设，则，在中，根据勾股定理得：，解得：，则．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线.（1）如图1，若AD=BD，求∠A的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形.【答案】(1)30°;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题意易证∠A=∠DBA=∠DBC，然后利用三角形的内角和进行求解即可；（2）根据等腰三角形的性质可得AE=BE，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE，然后根据等边三角形的判定即可得证.【详解】（1）解：∵AD=BD，∴∠A=∠DBA，∵∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°，∴∠A=30°；（2）证明：∵AD=BD，DE⊥AB，∴AE=BE，∴CE=BE，∵∠A=30°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形.【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.14．在中，，，是的中线，是的角平分线，交