【中考考点基础练】专题五 综合与实践(2024年新增题型) 2025年中考数学总复习（福建）（含答案）

专题五综合与实践(2024年新增题型)1.综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形,我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学兴趣小组通过作图、测量,猜想:原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.【探究一】原四边形对角线的关系中点四边形的形状不相等、不垂直平行四边形如图1,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是各边的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形.证明:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线,∴EF=12AC,GH=12AC(∴EF=GH.同理可得EH=FG,∴中点四边形EFGH是平行四边形.结论:任意四边形的中点四边形是平行四边形.(1)请你补全上述过程中的证明依据.【探究二】原四边形对角线的关系中点四边形的形状不相等、不垂直平行四边形AC=BD菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ:原四边形的对角线相等时,中点四边形是菱形.(2)下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ,请你在【探究一】中的证明结论的基础上,写出后续的证明过程.【探究三】原四边形对角线的关系中点四边形的形状不相等、不垂直平行四边形AC⊥BD(3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ:原四边形对角线垂直时,中点四边形是.(4)下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ,请你在【探究一】中的证明结论的基础上,写出后续的证明过程.【归纳总结】(5)请你根据上述探究过程,补全下面的结论,并在图4中画出对应的图形.原四边形对角线的关系中点四边形的形状结论:原四边形对角线时,中点四边形是.2.综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,在矩形ABCD中,AB>AD且AB足够长)进行探究活动.【动手操作】如图2,第一步,沿点A所在的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平.第二步,把四边形AEFD折叠,使点A与点E重合,点D与点F重合,折痕为GH,再把纸片展平.第三步,连接GF.【探究发现】根据以上操作,甲、乙两同学分别写出了一个结论.甲同学的结论:四边形AEFD是正方形.乙同学的结论:tan∠AFG=13(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由.【继续探究】在前面操作的基础上,丙同学继续操作.如图3,第四步,沿点G所在的直线折叠,使点F落在AB上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平.第五步,连接FM交GP于点N.根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论:FN·AM=GN·AD.(2)请证明这个结论.参考答案1.解析:(1)中位线定理.(2)证明:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线,∴EF=12AC,GH=1同理可得EH=FG=12∵AC=BD,∴EF=GH=EH=FG,∴中点四边形EFGH是菱形.(3)矩形.(4)证明:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线,∴EF∥AC,GH∥AC,∴EF∥GH.同理可得EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形,如图1,记AC与EH的交点为I.∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠OIH=90°,∠FEH=∠OIH,∴∠AOD=∠EFG=∠FEH=∠EHG=90°,∴中点四边形EFGH是矩形.(5)在图中画出的对应图形如图2所示.AC⊥BD且AC=BD;正方形.2.解析:(1)甲、乙两同学的结论都正确.理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAE=∠D=90°,由第一步操作根据折叠的性质可知:AD=AE,DF=EF,∠AEF=∠D=90°,∴∠DAE=∠AEF=∠D=90°,∴四边形AEFD为矩形.又∵AD=AE,∴四边形AEFD为正方形,故甲同学的结论正确.如图1,作GM⊥AF于点M,∵四边形AEFD为正方形,∴∠FAE=45°.设AG=a,由第二步操作根据折叠的性质可知:GE=AG=12∴EF=AE=2a.在Rt△AMG中,∵∠MAG=45°,∴AM=MG=22在Rt△AEF中,AF=2AE=22a,∴MF=AF-AM=22a-22a=3∴tan∠AFG=MGMF=22a故乙同学的结论正确.(2)如图2,作GR∥QS交SM于点R.∵GP为折痕,∴AG=QG,AD=QS,DF=SM,DP=SP,FP=MP,∠ADF=∠DAE=∠Q=∠S=90°.∵GR∥QS,∴∠SRG=∠QGR=∠Q=∠S=90°,∴四边形QSRG为矩形,∴SR=QG=AG=DH,GR=QS=AD=HG.在Rt△GHP和Rt△GRP中,GP=GP∴Rt△GHP≌Rt△GRP(HL),∴∠FPG=∠MPG.又∵FP=MP,∴PG⊥FM,FN=MN.由折叠的性质可知:GF=GM.∵PG⊥FM,FN=MN,∴∠FGP=∠MGP.∵FP∥GM,∴∠FPG=∠MGP,∴∠FPG=∠MPG=∠FGP=∠MGP,∴FG=FP=PM=GM,∴四边形GMPF为菱形,∵RM=SM-SR=DF-DH=HF=AG,∴AG+GM=RM+MP,即AM=RP.在△DAM和△GRP中,A