第十八章平行四边形 知识点分类练（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十八章平行四边形考点1平行四边形的性质与判定1．如图1，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，分别以点F，G为圆心，大于eq\f(1,2)FG的长为半径作弧，两弧交于点H，连接BH并延长，交AD于点E，连接CE.若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为__________．图1图2图32．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，0)，(4，0)，(3，2)，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第__________象限．3．如图2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为边AB上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，则对角线PQ的最小值为__________．＝1，则BE的长为__________．5．如图4，在△ABC中，点D在边AB上，E是AC的中点，连接DE并延长到点F，使得CF∥AB，连接AF，CF，CD.(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；(2)若△ADC为等边三角形，AD＝6，求DF的长．图46．如图5，在▱ABCD中，AB＝5cm，BC＝9cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线ABCDA匀速运动；同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿折线ADCBA匀速运动．设运动时间为tseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜t＜\f(28,3))).图5(1)当点P在BC上运动时，BP＝__________cm(用含t的代数式表示).(2)当t＝__________时，P，Q两点相遇．(3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．备用图考点2三角形的中位线7．如图6，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，连接EF，DG.请判断DG与EF之间的位置关系和数量关系，并说明理由．图68．如图7，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3eq\r(2)，AD＝eq\r(7)，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则线段EF的最大值为__________．图7图89．如图8，AD为△ABC外角的平分线，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，DE＝4，AC＝2，则AB的长为__________．考点3矩形的性质与判定10．如图9，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，且DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是__________．图9图10图11图1211．如图10，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形ABCD的周长是__________．12．如图11，在矩形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上一点，且∠FAE＝∠EAD.若BF＝8，FC＝2，则AF的长为__________．13．如图12，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在射线OM，ON上，当点B在射线ON上运动时，点A随之在射线OM上运动，且矩形ABCD的形状、大小均保持不变，其中AB＝6，BC＝3，则在运动过程中，点D到点O的最大距离是__________．14．如图13，将矩形ABCD折叠，使顶点C落在AB边上，折痕为EF.若AB＝6，BC＝9，AC′＝D′E.(1)求证：△AC′G≌△D′EG；(2)求BF的长；(3)求EF的长．图1315．综合与实践(1)推理证明：如图14①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若CD是斜边AB上的中线，则CD＝eq\f(1,2)AB.请你用矩形的性质证明这个结论的正确性．(2)迁移运用：利用上述结论解决下列问题：①如图14②，在线段BD的两侧以BD为斜边分别构造Rt△ABD与Rt△CBD，其中∠BAD＝∠BCD＝90°，E，F分别是BD，AC的中点．请判断EF与AC的位置关系，并说明理由．②如图14③，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别以AC，BD为斜边且在同侧构造Rt△ACE与Rt△BDE，其中∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．图14考点4菱形的性质与判定16．如图15，将两张等宽且上下边缘平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是()A．四边形ABCD的周长不变 B．AB＝BCC．四边形ABCD的面积不变 D．AC＝BD图1517．中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一个中国结挂饰(图16①)，将这个中国结挂饰抽象成如图16②所示的菱形ABCD，连接对角线AC，BD，AC与BD相交于点O，测得AC＝16cm，BD＝12cm，过点O作EF⊥AB分别交AB，CD于点E，F，则EF的长为__________cm.图16图17图1818．如图17，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为__________．19．(2024广东)如图18，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为__________．20．如图19，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝eq\f(1,2)AC，连接OE交CD于点F，连接AF，CE.(1)求证：OE＝CD；(2)连接AE，若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求eq\f(AF,AE)的值．图19考点5正方形的性质与判定21．如图20，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，A(－2，0)，B(3，0).现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D′处，则点C的对应点C′的坐标为__________．图20图21图22图2322．如图21，在正方形ABCD内有两点E，F，若AB＝5，AE＝FC＝4，BF＝DE＝3，则EF的长为__________．23．如图22，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为6，8，H为线段DF的中点，连接BH，则BH的长为__________．24．如图23，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF，与边CD交于点G，与对角线BD交于点H，DI⊥EF交BC于点I.下列结论：①AE＝CF；②EF＝eq\r(2)DF；③∠ADE＋∠EFB＝45°；④若BF＝BD＝eq\r(2)，则BE＝2－eq\r(2)；⑤连接EI，则EI＝AE＋CI.其中正确的是__________．(填序号)25．如图24①，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AB，BC上，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O.(1)探究线段CM与DN之间的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图24②，若E，F分别是DN与CM的中点，求EF的长；(3)如图24③，延长CM至点P，连接BP，使∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．图24

第十八章平行四边形1．8eq\r(5)2.三3.eq\r(2)4.eq\f(\r(41),2)【提示】如答图1，延长FE交BC的延长线于点G.易得△DEF≌△CEG，△BFG是直角三角形．答图15．(1)证明：∵E是AC的中点，∴CE＝AE.∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠ADE.在△CFE和△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CFE＝∠ADE，,∠CEF＝∠AED，,CE＝AE，))∴△CFE≌△ADE(AAS).∴DE＝FE.又CE＝AE，∴四边形AFCD是平行四边形．(2)解：∵△ADC为等边三角形，∴AD＝AC＝6.由(1)知，CE＝AE.∴CE＝AE＝eq\f(1,2)AC＝3，且DE⊥AC.在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∵四边形AFCD是平行四边形，∴DF＝2DE＝6eq\r(3).∴DF的长是6eq\r(3).6．解：(1)(2t－5).(2)eq\f(28,5).(3)存在．①如答图2，当四边形APCQ为平行四边形时，PC＝AQ.答图2由题意，得PC＝(14－2t)cm，AQ＝3tcm.∴14－2t＝3t.解得t＝eq\f(14,5).②如答图3，当四边形AQCP为平行四边形时，AQ＝PC.答图3由题意，得AQ＝(28－3t)cm，PC＝(2t－14)cm.∴28－3t＝2t－14.解得t＝eq\f(42,5).综上，t的值为eq\f(14,5)或eq\f(42,5).7．解：DG∥EF，且DG＝EF.理由如下：如答图4，连接AO.答图4∵CE是△ABC的中线，∴E是AB的中点．又F是BO的中点，∴EF是△ABO的中位线．∴EF∥AO，EF＝eq\f(1,2)AO.同理，得DG∥AO，DG＝eq\f(1,2)AO.∴DG∥EF，且DG＝EF.8．2.59．6【提示】如答图5，延长BD，CA交于点H.易得△ABH是等腰三角形，D是BH的中点，DE是△BCH的中位线．答图510．16eq\r(3)11.2512．12【提示】如答图6，延长BC，AE交于点H.易得△ADE≌△HCE，△AFH为等腰三角形．答图613．3eq\r(2)＋3【提示】如答图7，取AB的中点E，连接OD，OE，DE.易得OE，DE的长为定值，根据三角形的三边关系，得OD≤OE＋DE.答图714．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°.由折叠的性质，得∠D′＝∠D＝90°.∴∠A＝∠D′.在△AC′G和△D′EG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AGC′＝∠D′GE，,∠A＝∠D′，,AC′＝D′E，))∴△AC′G≌△D′EG(AAS).(2)解：由(1)，得△AC′G≌△D′EG.∴AG＝D′G，C′G＝EG.由折叠的性质，得D′E＝DE，C′D′＝CD，C′F＝CF.∴AE＝AG＋GE＝D′G＋C′G＝C′D′＝CD＝6.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝9.∴AC′＝D′E＝DE＝AD－AE＝3.∴BC′＝AB－AC′＝3.在Rt△BC′F中，由勾股定理，得C′F2＝BF2＋BC′2，即CF2＝(9－CF)2＋32.∴CF＝5.∴BF＝9－CF＝4.(3)解：如答图8，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形CDEH是矩形．答图8∴CH＝DE＝3，EH＝CD＝6.∴FH＝CF－CH＝5－3＝2.在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF＝eq\r(EH2＋FH2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).15．(1)证明：如答图9，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE，BE.答图9∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝BD.又CD＝DE，∴四边形ACBE是平行四边形．又∠ACB＝90°，∴平行四边形ACBE是矩形．∴AB＝CE.∴CD＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(1,2)AB.(2)①解：EF⊥AC.理由如下：如答图10，连接AE，CE.答图10在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，E为斜边BD的中点，∴AE＝eq\f(1,2)BD.在Rt△CBD中，∠BCD＝90°，E为斜边BD的中点，∴CE＝eq\f(1,2)BD.∴AE＝CE.又F是AC的中点，∴EF⊥AC.②证明：如答图11，连接EO.答图11∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC，BD的中点．在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，O为斜边AC的中点，∴EO＝eq\f(1,2)AC.在Rt△BDE中，∠BED＝90°，O为斜边BD的中点，∴EO＝eq\f(1,2)BD.∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．16．B17.eq\f(48,5)18.2eq\r(3)19．10【提示】如答图12，连接BD，CE.根据菱形的性质，易得S△BEC＝S△AED＝6.根据S△BEF＝4，可得FC＝eq\f(1,3)BC.答图1220．(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，AD＝CD.∵DE∥AC，DE＝eq\f(1,2)AC，∴DE＝OA＝OC.∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形．∴OE＝AD.∴OE＝CD.(2)解：如答图13，连接AE.答图13由(1)可知，四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°.∴四边形OCED是矩形．∴CF＝DF.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝CD＝AD＝4，CF＝eq\f(1,2)CD＝2，AO＝eq\f(1,2)AC＝2.∴AF⊥CD.在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝eq\r(AC2－CF2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(AD2－AO2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).在矩形OCED中，CE＝OD＝2eq\r(3).在Rt△ACE中，AE＝eq\r(AC2＋CE2)＝eq\r(42＋（2\r(3)）2)＝2eq\r(7).∴eq\f(AF,AE)＝eq\f(2\r(3),2\r(7))＝eq\f(\r(21),7).21．(5，eq\r(21))22.eq\r(2)23．5eq\r(2)【提示】如答图14，连接BD，BF.根据正方形的性质，得△BDF是直角三角形．答图1424．①②③④⑤25．解：(1)CM＝DN，且CM⊥DN.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°.在△BCM和△CDN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CD，,∠B＝∠NCD，,BM＝CN，))∴△BCM≌△CDN(SAS).∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN.∵∠BCM＋∠MCD＝∠BCD＝90°，∴∠CDN＋∠MCD＝90°.∴∠COD＝90°，即CM⊥DN.(2)如答图15，连接CE并延长交AD于点G，连接GM.答图15∵四边形ABCD是正方形，∴