第06讲 直线的交点坐标与距离公式【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第06讲直线的交点坐标与距离公式【人教A版2019】·模块一两条直线的交点坐标·模块二距离公式·模块三点、线间的对称关系·模块四课后作业模块一模块一两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【考点1直线的交点坐标问题】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）直线x+2y-4=0与直线A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【解题思路】解方程组x+2y【解答过程】解方程组x+2y-即直线x+2y-4=0与直线故选：C.【例1.2】（2023秋·高二单元测试）若直线y=x+2k+1与直线yA．-52,12 B．-2【解题思路】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.【解答过程】联立方程组y=x+2因为直线y=x+2所以2(1-2k)3>02k+53>0故选：A.【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）若三条直线2x+y-4=0，x-yA．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线x-y+1=0∴直线x-y+1=0和直线ax-y∵直线x-y+1=0的斜率为1，直线2x+y-∴a=1或a故选：C.【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）若三条直线l1:4x+yA．2个 B．3个C．4个 D．6个【解题思路】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.【解答过程】∵三条直线不能构成三角形∴至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若l1∥l2，则m=4；若l1∥l3若l2∥l3，则-m若三条直线相交于同一点，直线l1和l2联立：4x+y=3mx+y=0直线l1和l3联立：4x+y=3x-my=2∵三条直线相交于同一点∴P、Q两点重合∴34-故实数m的取值最多有4个.故选:C.【考点2直线交点系方程及应用】【例2.1】（2023春·海南海口·高一校考期末）过两直线l1:x-3A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为x-代入原点坐标，得4+5λ=0，解得故所求直线方程为x-3y故选：D.【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【解答过程】2x＋因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0故选A.【变式2.1】（2023秋·高二课时练习）过直线3x-2y+3=0与xA．2x+yC．x+2y-【解题思路】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得.【解答过程】由已知，可设所求直线的方程为：(3x即(λ又因为此直线与直线2x所以：λ+3解得：λ=7所以所求直线的方程为：10x+5y故选：A．【变式2.2】（2022·高二课时练习）经过直线3x+2y+6=0和A．x+y+1=0C．x+y+1=0或3x+4【解题思路】设直线方程为3x+2【解答过程】解：设直线方程为3x即(3+2令x=0，得y令y=0，得x由7λ得λ=13所以直线方程为x+y+1=0故选：C.模块二模块二距离公式1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.4．中点坐标公式公式：设平面上两点，线段的中点为，则.【考点3点到直线的距离公式的应用】【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l的倾斜角为60∘，在y轴上的截距与另一条直线x+2y+3=0在x轴上的截距相同，则点P(A．2 B．52 C．1 D．【解题思路】根据题意，结合直线截距的定义，求得直线l在y轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案.【解答过程】由直线方程x+2y+3=0，令y=0，解得x=-3由直线l的倾斜角为60∘，则该直线的斜率k故直线方程为：y+3=3x则点P3,2到直线l的距离故选：C.【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则坐标原点O到直线l的距离为（

）A．255 B．2 C．55【解题思路】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线l的斜率，从而求得直线l的方程，进而利用点线距离公式即可得解.【解答过程】联立方程组可得3x-y+12=03x+2因为直线x﹣2y﹣3＝0的斜率为12，又直线l与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，所以直线l的斜率为﹣2故直线l的方程为y-6=-2x+2，即2x+y﹣所以原点O到直线l的距离为d=故选：A.【变式3.1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：mx+ny=0mn>0，点A1,2，则点A．0,2 B．1,5 C．1,2 D．【解题思路】由题意可确定直线l：mx+ny=0mn>0，则直线过原点，且斜率为-mn<0，由此可确定点A1,2到直线l的距离大于1，再确定当【解答过程】由题意直线l：mx+ny=0

当直线l无限靠近于y轴时，点A1,2到直线l的距离无限接近于1故点A1,2到直线l的距离大于1当l与OA垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为12故点A到直线l的距离的取值范围为1,5故选：B.【变式3.2】（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知a>0，直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A，l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为A．23 B．223 C．2【解题思路】求出直线所过定点为4,2得C点坐标，再求出A，B点坐标，写出四边形面积，利用均值不等式求最小值，确定时a=22【解答过程】如图，直线l1:x-4=-即点C的坐标是4,2.在x+ay=2a+4中，令x同理可得B4+所以S四边形OACB=当且仅当a=8a，即所以当a=22时，四边形OACB此时，点B的坐标为4+22,0，直线l1点B到直线l1的距离是4+2故选：B.【考点4两条平行直线间的距离公式的应用】【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线-3x+4y-A．1 B．2 C．12 D．【解题思路】根据两直线平行求出参数m的值，再将直线方程化为x、y对应系数一致，最后利用距离公式计算可得.【解答过程】因为直线-3x+4所以-3m=4×6所以直线6x+my-14=0所以两平行线之间的距离d=故选：B.【例4.2】（2023秋·高二课时练习）已知直线-2x+4y+2=0与x-2A．9 B．11或-9 C．-9 D．9【解题思路】化简直线方程，再利用平行间距离公式求解作答.【解答过程】直线-2x+4y+2=0，即x所以|-1+c|5=25所以c=11或c故选：B.【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线l1:λ+2x+1-λyA．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】求出l1,l2恒过的定点A,B，故l1，【解答过程】l1:λ解得x=1y=3，故ll2:k解得x=3y=2，故l故l1，l2距离的最大值为此时，-λ+21-λ=-解得k=1，故λ故选：C．【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3xA．23 B．25 C．2 D【解题思路】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【解答过程】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x+2y+1=0和x3x-4y+c于是有：c1解得c1故选：B.【考点5与距离有关的最值问题】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）点M2,1到直线l:2A．355 B．5 C．3 D【解题思路】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.【解答过程】由直线l:2λ令2x-y点M2,1到直线l距离的最大值为点M2,1到定点-1,-2故选：D.【例5.2】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）若P，Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6A．32 B．135 C．2310【解题思路】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.【解答过程】解：因为36将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|-24-1|62+82故选：D.【变式5.1】（2023·全国·高二专题练习）已知实数a>0,b<0，则3A．[-2,-1) B．(-2,-1)C．(-2.-1] D．[-2,-1]【解题思路】根据题意设直线l：ax+by=0，点A1,-3，利用点到直线的距离公式得点A到直线l的距离为d=a-3b【解答过程】根据题意，设直线l：ax+by=0那么点A1,-3到直线l的距离为：因为a>0,b<0，所以d=a当直线l的斜率不存在时，d=a-当OA⊥l时，所以1<d≤2，即因为3b-a故选：A.【变式5.2】（2023·全国·高二专题练习）已知0≤x≤1,0≤y≤1，则A．2 B．22 C．2+2 D【解题思路】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.【解答过程】如图，设P(x,y)，O(0,0)，x2+y2表示点x2+(1-y)(1-x)2+y(1-x)2+(1-所以x=PO其中P(x,y)PO+PB≥故PO+当且仅当时，x=y=故选：B.模块三模块三点、线间的对称关系1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直线关于直线的对称【考点6点、线间的对称问题】【例6.1】（2022·高二课时练习）若直线l1:y=k(x-4)A．(0,4) B．(0,2)C．(-2,4) D．(4,-2)【解题思路】先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.【解答过程】直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1故选：B.【例6.2】（2023·全国·高二专题练习）点P(2,0)关于直线l:x+yA．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【解答过程】设点P(2,0)关于直线x+y则{b-0所以点Q的坐标为(-1,-3)故选：A.【变式6.1】（2023·全国·高二专题练习）直线l:x+2y-1=0关于点A．2x-y-5=0 B．x+2【解题思路】根据直线关于直线外一点(1,-1)的对称直线互相平行可知其斜率，再取l上一点求其关于点(1,-1)的对称点，即可求出l'的方程【解答过程】由题意得l'//l在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1,-1)的对称点是所以1+2×(-2)+c=0，即故直线l'的方程为x故选：C.【变式6.2】（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B-1,0，若将军从山脚下的点O0,0处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，则A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．【解答过程】如图所示，作点O关于直线x+y=3的对称点Ax0由题知，点Axx02+y02=3因为OC+所以“将军饮马”的最短总路程为AB=故选：D.【考点7直线关于直线的对称问题】【例7.1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线：l1:y=ax+3与l2关于直线y=xA．-12 B．12 C．-【解题思路】点x,y关于直线y=x的对称点为y,x【解答过程】直线l1关于直线y=x即l2:x=ay+3，故a=-2故选：C.【例7.2】（2022秋·四川达州·高二校考阶段练习）一条光线沿直线2x-y+1=0入射到直线x+A．4x+yC．x-y+3=0【解题思路】根据反射光线过已知直线的交点以及入射光线上的点与反射光线上的点关于x+y【解答过程】联立2x-y+1=0x取直线2x-y+1=0上一点A(0则有kAB=b所以反射光线过点43，113和根据点斜式得y-5=1故选:B.【变式7.1】（2023·全国·高三专题练习）若两条平行直线l1：x-2y+m=0m>0与l2：A．x-2yC．x-2y【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.【解答过程】因为直线l1：x-2y+所以n=-2×2=-4又两条平行直线l1：x-2y+m=0所以|2m+6|即直线l1：x-2y+7=0设直线l1关于直线l2对称的直线方程为则|-3-7|5=|-3-故所求直线方程为x-故选：A.【变式7.2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A0,3、B-1,0、C1,0，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点P1反射到边AB上，再由AB上的点P2反射回到BCA．32,23 B．33,33【解题思路】入射角等于反射角，把△ABC以AC为轴进行翻折，使点B落到B'，再以AB'为轴，把△ACB'进行翻折，使点C落到C'，由光的反射原理得光线O【解答过程】∵入射角等于反射角，∴把△ABC以AC为轴进行翻折，使点B落到B再以AB'为轴，把△ACB'由光的反射原理，若kOP1则光线反射到边AC后不会反射到边AB上，∴光线OP1的斜率满足∵A∴AB=3+1=2，∴△ABC由翻折可得B'∴直线OB'的斜率直线OC'的斜率∴光线OP1的斜率的范围为故选：A.模块四模块四课后作业1．（2022·高二课时练习）过两直线l1:xA．19x-9C．19x-3【解题思路】先设出直线系方程x-3y+4+【解答过程】过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x故选D.2．（2023·全国·高三专题练习）若直线l:y=kx-A．π6,πC．π3,π【解题思路】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率k范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线2x+3y-【解答过程】法一：联立两直线方程，得y=kx-所以两直线的交点坐标为(3因为两直线的交点在第一象限，所以33+62+3设直线l的倾斜角为θ，则tanθ>33，又法二：由题意，直线l过定点P(0,-设直线2x+3y-6=0与x如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知kPB

∴lPB的倾斜角为π6，lPA∴直线l的倾斜角的取值范围是(π故选：D.3．（2023秋·高二课时练习）以A5,5,B1,4,A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形【解题思路】根据平面直角坐标系下任意两点间的距离公式，分别求出AB,BC,【解答过程】根据两点间的距离公式，得AB=AC=BC=1-42+4-12故△ABC是等腰非等边三角形故选：C.4．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线l1:ax+yA．a=1或a=-2 BC．a≠1且a≠-2 D．a【解题思路】先排除平行与重合情况a≠±1，再排除交于一点的情况a=-2【解答过程】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.①若l1//l2，则由②若l2//l3，则由③若l1//l3，则由当a=1时，l1,l2与l3④若三条直线交于一点，由x+ay将l2,l3的交点解得a=1（舍去）或a所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a故选：D.5．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l:kx+y+2-k=0过定点M，点PA．5 B．5 C．355 D【解题思路】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.【解答过程】由kx+y+2-k=0得y依题意可知MP的最小值就是点M到直线2x由点到直线的距离公式可得MPmin故选:B.6．（2023秋·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线m被直线l1:x+y-1=0与lA．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】由已知得直线m与直线l1，l【解答过程】解：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得故选：B．7．（2023秋·高二单元测试）已知直线n:5x+y+2=0，点A1,0关于直线x+y+3=0的对称点为B，直线mA．5x+yC．5x+y【解题思路】利用两点关于直线x+y+3=0对称可求得点B的坐标，设直线m的方程为5x+y+c=0，将点【解答过程】设点Ba,b，则a+12因为m//n，设直线m的方程为将点B的坐标代入直线m的方程可得5×-3-所以，直线m的方程为5x故选：A.8．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“A．27 B．5 C．15 D．29【解题思路】设B(-2,0)关于x+y=3的对称点为(x,【解答过程】由B(-2,0)关于x+y所以{x-22+y所以“将军饮马”的最短总路程为(3-1)2故选：D.9．（2023春·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知A-3,0，B3,0，C0,3，一束光线从点F-1,0出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点A．12,52 B．32,【解题思路】根据入射光线与反射光线的性质可知GH方程，由GH与BC的交点可得D，求坐标即可.【解答过程】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出F,E关于AC,连接GH，交BC于D，则D点即为所求，如图，因为AC所在直线方程为y=x+3，F则y2=x-1由BC所在直线方程为y=-x+3，E所以直线GH方程为y=2，由y=-x故选：C.10．（2023·全国·高三专题练习）已知x+y=0，则xA．5 B．22 C．10 D．【解题思路】设点P(x,y)为直线x+y=0上的动点，题意可转化成求P(x,y)与1,1的距离和P【解答过程】设点P(x,由x2+y2-2x-2设点M(1,1)，N(2,0)，则点M故PM=PM所以PM+PN=x-当且仅当P,所以x2+y故选：C.11．（2023秋·高二单元测试）已知直线l1的方程为x+2y-3=0，若l2在(1)求直线l1和l(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2【解题思路】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线l2在x轴上的截距，可得l（2）利用（1）的结论，采用分类讨论，设直线l3的方程可得答案【解答过程】（1）由直线l1的方程为x+2y可得直线l2的斜率为2又l2在x轴上的截距为12，即过点所以直线l2方程：y即2x联立l12x-y（2）依据题意直线l3在y轴上截距是在x轴上的截距的2且直线l3经过l1与l当直线l3过原点时，l3方程为：当直线l3不过原点时，设l3方程为xa+y故l3方程为：2即2x综上所述：l3的方程为y=x12．（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线l1:2a-(1)求l1与l(2)一束光线从P2,3出发经l1反射后平行于x【解题思路】（1）由平行条件得出a的值，再由距离公式求解；（2）由P2,3关于l1的对称点P'x【解答过程】（1）由l1∥l2可得：2当a=-1时，l1:-4x-y+2=0当a=2时，l1:2x-故l1与l2之间的距离为（2）设P2,3关于l1的对称点为y0-3x0-联立2x-y-4=0y=故入射光线所在的直线方程为y-3x13．（2023·全国·高三专题练习）已知三条直线；l1:2x-y+a=0，l2:(1)求a的值；(2)若a>0，能