2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二下学期2月开学联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二下学期2月开学联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l1:mx+y−4=0与l2:(m+2)x+my+4=0平行，则实数mA.−3或0 B.−1 C.−1或2 D.22.在数列an中，a1=2，an+A.−1 B.1 C.12 D.3.设函数fx满足limΔx→0fx0A.−2 B.−1 C.1 D.24.已知直线l的斜率k∈−1,3，则l的倾斜角的取值范围为A.π3,3π4 B.π6,5.下列关于空间向量的命题中，错误的是(

)A.若向量a、b与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则a//b；

B.若非零向量a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则有a//c；

C.若OA、OB、OC是空间向量的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则A、B6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点A.22 B.32 C.7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1,FA.13 B.33 C.18.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设an为斐波那契数列，a1=1,a2=1,an=an−1+A.5 B.6 C.7 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知S8>0,A.a4>0 B.d>0

C.当Sn>0时，n的最大值为9 D.当10.已知圆C：x2+y2+4x=0，P是直线l：4x+3y−7=0上的一动点，过点P作直线PA，PB分别与C相切于点A，A.存在圆心在l上的圆与C相内切 B.四边形PACB面积的最小值为25

C.AB的最小值是23 D.点2,3关于11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱DD1A.三棱锥A1−AMN的体积为定值

B.若N是棱DD1的中点，则过A、M、N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形的周长为752

C.若CN与平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=6013.已知函数fx=x3−3x+1，则函数fx14.已知直线y=kx+b(k∈R,b≠0)是曲线f(x)=ex−1与g(x)=1+lnx的公切线，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图，在六面体ABCDEF中，DF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AD=DF=2，(1)证明：平面ADF//平面BCE；(2)求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．16.(本小题12分)已知Sn为数列an的前n项和，满足Sn=2an−1，n∈(1)求数列an和{b(2)设cn=an,n为奇数,b17.(本小题12分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当△AMN的面积为9时，求直线l的方程．18.(本小题12分)已知函数fx(1)若a=0，求曲线y=fx在x=1(2)讨论y=fx(3)若x≥1时，fx≥1x19.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，点T到点F(2,0)的距离与到直线x=1的距离之比为2，记T的轨迹为曲线E(1)求E的标准方程；(2)若直线l1过点(2,0)交E右支于A，B两点，直线l2过点(8,0)且交E的右支于C、D两点，且l1//l2记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作(i)证明：O、P、Q三点共线；(ii)求四边形PMQN面积的取值范围．

参考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.B

8.A

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.513.4

14.e−1

15.解：(1)因为DF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，所以DF//CE．又DF⊂平面ADF，CE不在平面ADF内，所以CE//平面ADF．因为BC//AD，AD⊂平面ADF，BC不在平面ADF内，所以BC//平面ADF．又CE∩BC=C，CE,BC⊂平面BCE，所以平面ADF//平面BCE；(2)如图，连接AC，BD交于点O，取BF的中点G，因为G、O分别为BF、BD的中点，所以OG//DF，又DF⊥平面ABCD，所以OG⊥平面ABCD，又因为ABCD为菱形，所以OB⊥OC，故以O为坐标原点，OB，OC，OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,−3,0，B1,0,0所以BF=−2,0,2，BE=设平面BEF的法向量为m=则m⋅BF=0m⋅设直线AF与平面BEF所成的角为θ，则sinθ=即直线AF与平面BEF所成角的正弦值为14

16.解：(1)因为Sn=2an所以有a1=1②−①得an+1所以数列{an}成以1所以an又数列{bn}是等差数列，且b所以b1=1，所以bn(2)因为c设数列{cn}的前2n所以T=(==4n3+

17.解：(1)∵AF⊥x轴，∴c=1，

又∵点A(1,32)在曲线上，

∴1a2+94b2=1

∴a=2，b=3

∴椭圆E的方程为x24+y23=1

(2) ①当直线l的斜率不存在时，不符合题意；

 ②设直线l的方程为y=kx+2，B(x1,y1)，C(x2,y2)

直线l方程与椭圆方程联立得(3+4k2)x2+16kx+4=0，

Δ=(16k)2−16(3+4k2)=192k2−48，Δ>0，得k>1218.解：(1)若a=0，则fx=−2ln可得f1即切点坐标为1,1，切线斜率为k=−1，所以切线方程为y−1=−x−1，即x+y−2=0(2)由题意可知：y=fx的定义域为0,+∞，且f′令f′x=0，即当Δ=4+4a≤0，即a≤−1时，则x2−2x−a≥0，即所以y=fx在0,+∞当Δ=4+4a>0，即a>−1时，则方程x2−2x−a=0有两个不相等的实根x1且x1若x1=1−1+a≤0，即a≥0，令f′x>0则y=fx在0,x2若x1=1−1+a>0，即−1<a<0，令f′x>0，解得x>则y=fx在x1,综上所述：当a≤−1时，y=fx在0,+∞当a≥0，y=fx在0,1+1+a若−1<a<0，y=fx在1−1+a(3)因为fx=−2ln令gx=xlnx−x因为g′x令ℎx=g′x,x≥1，则可知ℎx在1,+∞内单调递减，则ℎ即g′x<0对任意x≥1恒成立，可知gx在1,+∞可得a−12≥−1，解得所以实数a的取值范围为−1,+∞．

19.解：(1)设点Tx,y，因为点T到点F(2,0)的距离与到直线x=1的距离之比为所以x−22+所以E的标准方程为x2(2)(i)由题意可知直线l1和直线l2斜率若存在则均不为0且不为①直线AB的斜率不存在时，P、Q都在x轴上，O、P、Q三点共线．②直线AB斜率存在时，则可设方程为y=kx+bk≠0,1，Ax1,y由x122所以y1−y2x1−同理kCD⋅kOQ=1，因为l1//l2，所以k综上，O、P、Q三点共线．(ii)由题意可知直线l1和直线l2斜率若存在则斜率大于1或小于且曲线E的渐近线方程为x±y=0，故可分别设直线l1和直线l2的方程为x=my+2和x=