人教A版高中数学选择性必修三-6.2.3第1课时-组合与组合数-同步练习【含答案】

人教A版高中数学选择性必修三-6.2.3第1课时-组合与组合数-同步练习1．(多选)下列问题中是组合问题的是()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2022个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个D．从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法2．若Ceq\o\al(2,n)＝36，则n的值为()A．7B．8C．9D．103．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．644．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为()A．35B．42C．105D．2105．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是()A．90B．115C．210D．3856．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都要有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为()A．12B．14C．16D．187．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为__________．(用数字作答)8．若Aeq\o\al(4,2n)＝120Ceq\o\al(2,n)，则n＝________.9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，求Ceq\o\al(12,n)的值．10.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？11．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是()A．5040B．36C．18D．2012．(多选)下列等式正确的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n) B．2018！·Ceq\o\al(2018,2023)＝2023Aeq\o\al(2017,2022)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),n！) D．Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)13．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个C．63个 D．126个14．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有___种．15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有____条．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？参考答案与详细解析1．ABC[选项A，B，C与顺序无关，是组合问题；选项D与顺序有关，是排列问题．]2．C[∵Ceq\o\al(2,n)＝36，∴eq\f(nn－1,2×1)＝36，即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0.∵n∈N*，∴n＝9.]3．C[由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))＝eq\f(8×7,2×1)＝28(条)公路．]4．A[由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.]5．B[依题意，根据取法可分为三类：两个黑球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝90(种)；三个黑球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＝24(种)；四个黑球，有Ceq\o\al(4,4)＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115.]6．B[因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类方法：若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)；若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(种)，则共有2×6＝12(种)，综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12＋2＝14.]7．210解析从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有Ceq\o\al(4,10)＝210(种)分法．8．3解析2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝eq\f(120nn－1,2)，化简得，n2－2n－3＝0，解得n＝3或n＝－1(舍去)，所以n＝3.9．解由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，所以Ceq\o\al(12,14)＝eq\f(14！,12！×2！)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.10．解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,4)种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(种)．11．D[最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)．]12．ABD[对于A，Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)，Ceq\o\al(n－m,n)＝eq\f(n！,n－m！n－n＋m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)，所以Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，故A正确；对于B,2018！·Ceq\o\al(2018,2023)＝Aeq\o\al(2018,2018)·Ceq\o\al(2018,2023)＝Aeq\o\al(2018,2023)＝2023Aeq\o\al(2017,2022)，原式成立，故B正确；对于C，左边Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)，右边eq\f(A\o\al(m,n),n！)＝eq\f(n！,n－m！n！)＝eq\f(1,n－m！)，左边≠右边，故C错误；对于D，左边Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝eq\f(n！,n－m！)＋eq\f(m×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n－m＋1×n！,n－m＋1！)＋eq\f(m×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n＋1×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n＋1！,n－m＋1！)，右边Aeq\o\al(m,n＋1)＝eq\f(n＋1！,n－m＋1！)，左边＝右边，故D正确．]13．D[此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为Ceq\o\al(4,9)＝126(个)．]14．36解析把4名学生分成3组有Ceq\o\al(2,4)种方法，再把3组学生分配到3所学校有Aeq\o\al(3,3)种方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)保送方案．15．126解析要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(5,5)＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线