中考数学-几何图形的初步(练习)(含答案)

Page第四章三角形第15讲几何图形的初步TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01从不同方向看几何体👉题型02由几何体展开图计算表面积、体积👉题型03正方体的展开图👉题型04平面图形旋转所得的立体图形👉题型05指出现实问题后的数学依据👉题型06与线段中点有关的计算👉题型07方向角👉题型08钟面角👉题型09与角平分线有关的计算👉题型10与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算👉题型11三线八角的识别👉题型12利用平行线的判定进行证明👉题型13根据平行线的性质求解👉题型14平行线的形状在生活中的应用👉题型15根据平行线性质与判定求角度👉题型16根据平行线性质与判定证明Page👉题型01从不同方向看几何体1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小明自己动手做了一个数学模型，从正面、左面、上面观察它，得到的三视图如图所示，则该模型的形状是（

）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥2．（2022·安徽·模拟预测）如图，下列四个几何体，从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状中只有两个相同的是（）A．

B．

C．

D．

3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（

）A．B．C．D．👉题型02由几何体展开图计算表面积、体积4．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是11cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为cm2（结果保留5．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形：下列说法正确的是（）A．方案1中的a=4 B．方案2中的b=6C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同6．（2020·黑龙江大庆·中考真题）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（

）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：97．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是👉题型03正方体的展开图8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（

）A．B． C． D．9．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是(

)A．美 B．丽 C．中 D．国10．（2024·河北唐山·二模）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D11．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（

）A．点数1的对面是B面 B．点数2的对面是A面C．A，C两个面的点数和为9 D．B，C两个面的点数和为6👉题型04平面图形旋转所得的立体图形12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于．（结果保留13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知a>b，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（V圆锥=114．（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；A．点动成线

B．线动成面

C．面动成体(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）👉题型05指出现实问题后的数学依据15．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（

）A． B．C．D．16．（2023·吉林白山·模拟预测）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（

）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边17．（2023·河南洛阳·二模）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实．18．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是（填序号）．👉题型06与线段中点有关的计算19．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为6×106m，则A，BA．3×106m B．12×106m20．（2023·广西桂林·三模）如图，C是线段AB上一点，若线段AC=10cm，且OC=2cm，O是AB的中点，则线段AB的长度为21．（2023平乐县三模）如图，在一条笔直的大道上有A，B，C三个小区，O为A、C区的中点．已知某校学生住在A区有3人，B区有2人，C区有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若学校在O处做为校车的停靠点，则这些学生从住处到该停靠点的路程之和是（）．A．4400m B．5400m C．5800m D．7600m22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．（1）C、D两站的距离为；（2）若a＝3，C为AD的中点，b=．👉题型07方向角1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图是石家庄市地图的一部分，省二院在市二中北偏东30°方向上，则市二中在省二院的（

）A．南偏东30°方向 B．南偏西30°方向C．北偏东45°方向 D．北偏西60°方向2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东30°方向航行20km至B岛，然后再沿北偏西60°方向航行20km至C(1)求A，C两岛之间的距离；(2)确定C岛在A岛的什么方向？3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（）A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°4．（2024·吉林松原·模拟预测）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D(1)填空：∠BOC=______度，∠D=______度；(2)求点D到灯塔O的距离（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19👉题型08钟面角1．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东60°方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（

）A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向2．（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若OA=10，则点A的坐标为（

）A．53,5 B．5,53 C．53．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（

）A．沿逆时针方向旋转了45° B．沿顺时针方向旋转了45°C．沿逆时针方向旋转了90° D．沿顺时针方向旋转了90°4．（2023·河北保定·二模）某款钟表的分针长度为5cm，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为（

）A．5πcm B．5π4cm C．5π👉题型09与角平分线有关的计算31．（2023郑州市模拟）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于(1)【知识运用】如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=________°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是________．（用含α的代数式表示）(2)如图3若∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒）使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？32．（2024·山西大同·二模）阅读与思考下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．x年x月x日

星期二数学推理真有趣今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行……在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是AB上一点，①AB∥CD，②CE是∠ACD的平分线，③AC=AE，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个．第一种情况：已知，如图，E是AB上一点；AB∥CD，CE是∠ACD的平分线．求证：AC=AE．证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD．∴∠ACE=∠AEC．∴AC=AE（依据）第二种情况：已知，如图，E是AB上一点，AB∥CD，AC=AE．求证：______证明：……第三种情况……任务：(1)以上证明过程中，依据是指______．(2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明．33．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．设有两只电阻，R1=6千欧，R2我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．

(1)①R1=6千欧，R2=4②如图1，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分线，OA=R1，OB=R2，(2)如图2，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，OA=R1，OB=R2，OC=R．此时关系式可以写成m⋅1(3)如图3，若∠AOB=α，（2）中其余条件不变，请探索R1，R2，R之间的关系．（用含34．（2024北京二中模拟）如图1，直线AB与直线l1，l2分别交于C，D两点，点M在直线k上，射线DE平分∠ADM交直线l1于点Q

(1)证明：l1(2)如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l2于点F，∠ACQ=70°①若∠QFD=15°，求出∠FQD的度数．②点N在射线DE上，满足∠QCN=∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠PQD的等量关系，并写出证明过程．👉题型10与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算35．（2024·广西柳州·三模）若一个角为55°，则它的补角的度数为（

）A．25° B．35° C．115° D．125°36．（2024·广西·模拟预测）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=50°，则∠DCB的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°37．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，直角顶点A在直线b上，∠B=30°，若∠1=18°，则∠238．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线a∥b将一个含有30°角的直角三角板（∠A=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=33°，则∠2的度数是👉题型11三线八角的识别39．（2024·福建宁德·一模）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（

）A．∠1+∠2=180°° B．∠4=∠5C．∠3与∠4是内错角 D．∠1=∠440．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角41．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（

）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角👉题型12利用平行线的判定进行证明42．（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB=DC，EC=FB，______．

求证：AE∥DF．在①AE=DF；②EC∥FB这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答．43．（2024·湖南长沙·模拟预测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P.求作：直线PM，使直线PM∥直线l作法：如图2，①在直线l上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点④作直线PM；所以直线PM就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：(1)根据上述作图过程可知：射线PM平分∠CPB，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）．①SSS

②SAS

③ASA

④AAS(2)完成下面的证明：证明：由作图可知PM平分∠CPB，∴∠CPM=∠__________=1又∵PA=PB，∴∠PAB=∠___________.∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，∴∠PAB=∠PBA=1∴∠CPM=∠PAB，∴直线PM∥直线l44．（2024·江苏·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC．以AB为直径的圆O分别交AC，BC于点D，E．过点B作圆O的切线交OE的延长线于点F．(1)求证：OE∥AC；(2)如果AB=10，AD=6，求EF的长．45．（2024·江苏苏州·二模）在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF=DE．(1)证明：AC∥(2)若BC=8，AB=5，DB平分∠ABF，求AD的长．👉题型13根据平行线的性质求解46．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2=64°，则∠3的度数是（A．64° B．58° C．32° D．116°47．（2024·山东济南·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB=36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为（）A．71° B．72° C．54° D．53°48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若∠2=40°，∠3=70°，则∠1的度数为（

）A．130° B．140° C．150° D．160°49．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若EF∥AC，DF交AB于点M，则∠DMB的度数为（

）A．45° B．60° C．75° D．90°👉题型14平行线的形状在生活中的应用50．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波A．70° B．60° C．45° D．35°51．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．如图，∠1=50°，∠AOB=153°，则∠2等于（A．93° B．103° C．130° D．153°52．（2023·浙江嘉兴·一模）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratostℎenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．项目任务（一）如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为α，则∠AOB=______，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含α，l的代数式表示）项目任务（二）如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，则∠BOC=______，若测得BC之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含α，β，l的代数式表示）项目任务（三）如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH=θ，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，θ的代数式表示）

👉题型15根据平行线性质与判定求角度53．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，DE∥BC，∠ADC=∠B=96°，求∠A的度数．54．（2024·山东青岛·一模）【探究1】如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ABC=30°，∠ADC=36°，则∠AEC=【探究2】如图2，∠BAD的三等分线AE与∠BCD的三等分线CE交于点E，∠EAD=13∠BAD,∠BCE=13∠BCD，AB∥CD【探究3】如图3，∠BAD的n等分线AE与∠BCD的n等分线CE交于点E，∠EAD=1n∠BAD，∠BCE=1n∠BCD，AB∥CD，∠ABC=x°,∠ADC=y°，则∠AEC=

55．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆AB=BC=22cm，可绕支点C,B调节角度，DE为手机的支撑面，DE=20cm，支点A为DE的中点，且(1)若支杆BC与桌面的夹角∠BCM=72°，求支点B到桌面的距离．(2)在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角∠ABC=112°，求支撑面下端E到桌面的距离．56．（2023·广东·模拟预测）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．(1)【初步应用】如图2，有两块平面镜AB，BC1，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1=36°，∠B=120°，若要使👉题型16根据平行线性质与判定证明57．（2024武汉市二模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交CD于点F，∠2+∠3=180°，(1)求证：DE∥(2)若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求58．（2024·浙江丽水·二模）课课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知AB∥CD，AD∥CB小莲同学解答如下：∵AB∥CD，∴∠1+∠BCD=180°，∵AD∥BC，∴∠2+∠BCD=180°，∴∠1=∠2小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．59．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，E为BC上一点，AE，DC的延长线交于点F，(1)求证：∠BAF=∠F；(2)若CFAB=13，直接写出60．（2024·黑龙江·二模）已知直线AM∥BN，∠BAM的平分线与∠ABN的平分线交于点C，过点C作DE交AM于点D，交直线

(1)当直线DE⊥AM时，如图①，求证：AB=BE+AD；(2)当直线DE与AM不垂直时，如图②、图③，猜想线段AD，BE，AB之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并利用图1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，2．（2024·河北·中考真题）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2（1）△AC1D（2）△B1C3．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（

）A．吉

如

意 B．意

吉

如 C．吉

意

如 D．意

如

吉4．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°，则EF与FG所成锐角的度数为（

）A．60° B．55° C．50° D．45°5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1

图2

图3(1)直接写出ADAB(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（

）图4A．

B．C．

D．(3)卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ规格（单位：cm）30×4020×8080×80单价（单位：元）3520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（

）A．自 B．立 C．科 D．技2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（

）A．B．C． D．3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（

）A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，则∠2的度数是（A．55° B．45° C．35° D．30°5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（

）A．纸带①、②的边线都平行B．纸带①、②的边线都不平行C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得∠1=∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（

）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=8．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（

）A．40° B．50° C．60° D．70°9．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（

）A．127° B．106° C．76° D．74°10．（2023·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC=110°，则∠BAE的大小为

11．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1

13．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理．14．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=15．（2024·山东·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=16．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE=GF，∠1=122°．求

17．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．

(1)求证：∠E=∠ECD；(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．18．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，【解决问题】(1)当点C'与点A重合时，求B(2)设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AF19．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ΔABC,求证：∠A+∠B+∠C=方法一证明：如图，过点A作DE//BC.

方法二证明：如图，过点C作CD//AB.

20．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ证明：∵S△ABC(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥．∴△AEM∽．∴AE由【探究】（1）可知S△ABCS△DBC=(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，S△ABC 第四章三角形第15讲几何图形的初步TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01从不同方向看几何体👉题型02由几何体展开图计算表面积、体积👉题型03正方体的展开图👉题型04平面图形旋转所得的立体图形👉题型05指出现实问题后的数学依据👉题型06与线段中点有关的计算👉题型07方向角👉题型08钟面角👉题型09与角平分线有关的计算👉题型10与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算👉题型11三线八角的识别👉题型12利用平行线的判定进行证明👉题型13根据平行线的性质求解👉题型14平行线的形状在生活中的应用👉题型15根据平行线性质与判定求角度👉题型16根据平行线性质与判定证明👉题型01从不同方向看几何体1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小明自己动手做了一个数学模型，从正面、左面、上面观察它，得到的三视图如图所示，则该模型的形状是（

）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥【答案】A【分析】本题考查从不同方向看．由从正面、左面看可得此几何体为锥体，根据从上面看是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．【详解】解：∵从正面、左面看都是三角形，∴此几何体为锥体，∵从上面看是一个圆及圆心，∴此几何体为圆锥，故选A．2．（2022·安徽·模拟预测）如图，下列四个几何体，从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状中只有两个相同的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分别找出每个几何体从三个方向看到的图形即可得到答案．【详解】解：A.正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，故A选项不符合题意；B.球从从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是圆，故B选项不符合题意；C.直三棱柱从上面看是中间有一条横杠的矩形，从正面看是矩形，从左侧看是三角形，故C选项不符合题意；D.圆柱从上面和正面看都是矩形，从左侧看是圆，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，培养空间想象能力，熟练掌握从不同方向看几何体是解决本题的关键．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查的是几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．【详解】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形.故选：A．👉题型02由几何体展开图计算表面积、体积4．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是11cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为cm2（结果保留【答案】88π【分析】本题考查了圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积为πdℎ，其中d为底面圆直径，ℎ为圆柱的高是解题的关键．根据笔筒的侧面积为π⋅8⋅11，计算求解即可．【详解】解：由题意知，笔筒的侧面积为π⋅8⋅11=88πcm2故答案为：88π．5．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形：下列说法正确的是（）A．方案1中的a=4 B．方案2中的b=6C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同【答案】C【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案．【详解】解：方案1：a=12÷4＝所折成的无盖长方体的底面积为3×3=9．容积为5×9=45．方案2：b=12−2×2所折成的无盖长方体的底面积为4×2=8．容积为6×8=48．∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案2所得的长方体纸盒的容积，故选：C．6．（2020·黑龙江大庆·中考真题）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（

）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【答案】D【分析】根据V圆锥【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为r,圆锥的高为ℎ，则圆柱的高为3ℎ，∴V∴V故选D．【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．7．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是【答案】16【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．设EF=x，判断出△AEF和△DEG为等腰直角三角形，证明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EF【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD=10，设EF=x，由此裁剪可得：△AEF和△DEG为等腰直角三角形，∴△AEF∽△DEG，∴AEDE=EF解得：AE=2(分米)，∴EF=2∴正方体礼品盒的棱长为22∴体积为22故答案为：162👉题型03正方体的展开图8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答．【详解】解：观察，∴其展开图可能是，故选：D．9．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是(

)A．美 B．丽 C．中 D．国【答案】B【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”．【详解】解：由图可知，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“丽”，故选：B．10．（2024·河北唐山·二模）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解．【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是点D．故选：D．11．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（

）A．点数1的对面是B面 B．点数2的对面是A面C．A，C两个面的点数和为9 D．B，C两个面的点数和为6【答案】C【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定出相对面，再进行判断即可．【详解】解：由图可知：点数1的对面是A面，故A的点数为7−1=6；点数4的对面是C面，故C的点数为7−4=3；点数2的对面是B面，故B的点数为7−2=5，∴A，C两个面的点数和为9，B，C两个面的点数和为8；故选C．👉题型04平面图形旋转所得的立体图形12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于【答案】15π【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，勾股定理，面动成体，先利用勾股定理得到PR=RQ2+PQ【详解】解：∵在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4∴PR=R∵将Rt△PQR绕直线PQ∴这个几何体的侧面积等于π×3×5=15π，故答案为：15π．13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知a>b，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（V圆锥=1【答案】图形①的体积更大，见解析【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键．设图形①、②的体积分别为V₁、V2，然后分别求得图形①、【详解】解：图形①的体积更大．设图形①、②的体积分别为V1、V则V1=1∴V∵a>b，∴故图形①的体积更大．14．（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；A．点动成线

B．线动成面

C．面动成体(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）【答案】(1)圆柱；C(2)9.72【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体，（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；（2）根据圆柱体的体积=底面积×高计算即可．【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．故答案为：圆柱；C；（2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为：π×故形成的几何体的体积是9.72πm👉题型05指出现实问题后的数学依据15．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（

）A． B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；故选：C．16．（2023·吉林白山·模拟预测）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（

）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边【答案】A【分析】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间所有的连线中，线段最短．【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，则原来所减掉的线段的两个端点之间由曲线变为了线段，周长缩小了，则应用的原理是两点之间线段最短，故选：A．17．（2023·河南洛阳·二模）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实．【答案】把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）【分析】根据两点确定一条直线的原理寻找实例解答即可．【详解】举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）．故答案为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了直线的性质，关键是正确理解两点确定一条直线．18．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是（填序号）．【答案】①【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，可以“两点之间线段最短”来解释②，可以用“两点确定一条直线”来解释③，故答案为：①．【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．👉题型06与线段中点有关的计算19．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为6×106m，则A，BA．3×106m B．12×106m【答案】D【分析】首先根据线段中点的定义求得AB=2AC，然后利用科学记数法表示该数即可；本题主要考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法形式a×10n，其中1≤a<10，【详解】根据题意知：AB=2AC=2×6×故选：D．20．（2023·广西桂林·三模）如图，C是线段AB上一点，若线段AC=10cm，且OC=2cm，O是AB的中点，则线段AB的长度为【答案】16【分析】此题主要考查了与线段中点有关的计算，线段间的和差，理清题意是解答本题的关键．根据线段的和差关系进行解答即可．【详解】解：∵AC=10cm，OC=2∴AO=AC−OC=10−2=8cm∵O是AB的中点，∴AB=2AO=16cm故答案为：16．21．（2023平乐县三模）如图，在一条笔直的大道上有A，B，C三个小区，O为A、C区的中点．已知某校学生住在A区有3人，B区有2人，C区有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若学校在O处做为校车的停靠点，则这些学生从住处到该停靠点的路程之和是（）．A．4400m B．5400m C．5800m D．7600m【答案】B【分析】根据题目所给条件，可以计算出AB的长，再根据线段中点，可以得到AO的长，从而得到BO的长，最后根据不同小区学生数，根据线段长度即可得到最后答案．【详解】解：∵AC=1000m，BC=700∴AB=AC−BC=1000−700=300m又∵点O是线段AC的中点，∴AO=CO=1∴BO=AO−AB=500−300=200m∴这些学生从住处到该停靠点的路程之和为：3AO+2BO+7CO=3×500+2×200+7×500=5400m故选：B．【点睛】本题考查了线段的和与差以及线段中点的问题，解决本题的关键是找出每个线段具体的长度．22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．（1）C、D两站的距离为；（2）若a＝3，C为AD的中点，b=．【答案】a+3b/3b+a2【分析】(1)利用CD=BD−BC即可求解；（2）先利用AC=AB+BC求得AC，再利用C为AD的中点，代入a=3即可．【详解】解：（1）∵BD=3a+2b，BC=2a−b，∴CD=BD−BC=3a+2b（2）∵AB=a+b，BC=2a−b，∴AC=AB+BC=a+b∵C为AD的中点，∴AC=CD，即3a=a+3b，当a=3时，则3×3=3+3b，解得b=2，故答案为：（1）a+3b（2）2【点睛】本题考查了整式的加减，根据图形列出代数式是解题的关键．👉题型07方向角1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图是石家庄市地图的一部分，省二院在市二中北偏东30°方向上，则市二中在省二院的（

）A．南偏东30°方向 B．南偏西30°方向C．北偏东45°方向 D．北偏西60°方向【答案】B【分析】本题考查了方位角的应用，因为省二院在市二中北偏东30°方向上，所以市二中在省二院的南偏西30°方向，即可作答．【详解】解：如图:∵省二院在市二中北偏东30°方向上∴市二中在省二院的南偏西30°方向故选：B2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东30°方向航行20km至B岛，然后再沿北偏西60°方向航行20km至(1)求A，C两岛之间的距离；(2)确定C岛在A岛的什么方向？【答案】(1)20(2)北偏西15°【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握．（1）根据AN∥BH，∠ABH=∠NAB，推出∠CBA=180°−30°−60°=90°，在Rt△ABC（2）证明∠CAB=∠ACB=45°，根据∠NAC=∠CAB−∠BAN即可求解．【详解】（1）如图，由题意可知：∠NAB=30°,∠CBM=60°，∵AN∥BH，∴∠ABH=∠NAB=30°，∴∠CBA=180°−30°−60°=90°，在Rt△ABC中，AC=答：A，C两岛之间的距离是202（2）又∵AB=20km,BC=20km∴∠CAB=∠ACB=45°，∵∠BAN=30°，∴∠NAC=∠CAB−∠BAN=45°−30°=15°，∴C岛在A岛北偏西15°的方向上．3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（）A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°【答案】C【分析】根据题意可得∠ABC=75°，AD∥BE，AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB=∠ABE=40°，从而求出【详解】解：如图：由题意得：∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+35°=75°，AD∥BE，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=30°，∵AD∥∴∠DAB=∠ABE=40°，∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=40°+30°=70°，∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，小岛A相对于小岛C的方向是南偏西70°．故选C【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2024·吉林松原·模拟预测）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D(1)填空：∠BOC=______度，∠D=______度；(2)求点D到灯塔O的距离（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19【答案】(1)45，50(2)点D到灯塔O的距离约为3.9【分析】本题考查了方位角的定义，锐角三角函数的定义，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）根据方位角的定义及平行线的性质即可解答；（2）先在Rt△BOC中求出OC，在Rt△DOC中，根据锐角三角函数的定义可知【详解】（1）解：由题意可知，OC⊥BD，∵∠CBO＝∴∠BOC=90°−∠CBO=45°，∴∠COD=180°−50°−90°=40°，∴∠D=90°−∠COD=50°，故答案为：45，50；（2）解：由题意可知：BC=3km在Rt△BOC∠CBO=45°，∴OC=BC=3km在Rt△DOC中，∠D=50°∴OD=OC答：点D到灯塔O的距离约为3.9km👉题型08钟面角1．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东60°方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（

）A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向【答案】B【分析】此题考查了方位角，钟面角，首先求出相邻两个数之间的夹角为360°÷12=60°，进而根据方位角求解即可．【详解】∵钟表一圈360°，共有12个数字，∴平均分成12份∴相邻两个数之间的夹角为360°÷12=60°∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东60°方向，∴她可以说学校在家的2点钟方向．故选：B．2．（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若OA=10，则点A的坐标为（

）A．53,5 B．5,53 C．5【答案】A【分析】本题考查了解含有30°的直角三角形，正确使用三角函数是解决本题的关键．过点A作AB⊥x轴，于点B，构造出含有30°直角三角形，由OA=10，解直角三角形即可．【详解】解：过点A作AB⊥x轴，于点B．当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处，此时分钟转动了360°12∴∠AOB=90°−60°=30°，在Rt△AOB中，OA=10∴AB=OA×sin30°=5，又∵点A在第一象限，∴点A坐标为53故选：A．3．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（

）A．沿逆时针方向旋转了45° B．沿顺时针方向旋转了45°C．沿逆时针方向旋转了90° D．沿顺时针方向旋转了90°【答案】D【分析】本题考查了钟表中的角度问题，在钟表中，分针每分钟走6°，据此即可求解．【详解】解：在钟表中，分针每分钟走360°60∴正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就沿顺时针方向旋转了6°×15=90°．故选：D4．（2023·河北保定·二模）某款钟表的分针长度为5cm，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为（

）A．5πcm B．5π4cm C．5π【答案】A【分析】经过30分钟，分针要走过6个大格，即旋转了180°，分针走过的路程也是一个半圆，求分针针尖走过的路程也就是求半径是20厘米的圆的周长的一半，根据弧长公式计算即可；【详解】分针走了30分，即旋转了180°，故分针针尖走过的路线长为180π×5180故选A.【点睛】本题主要考查了旋转的性质和弧长计算公式，准确计算是解题的关键.👉题型09与角平分线有关的计算31．（2023郑州市模拟）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于(1)【知识运用】如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=________°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是________．（用含α的代数式表示）(2)如图3若∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒）使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？【答案】(1)40°,(2)①当t=20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．②当t=907,【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．（1）根据伴随线定义求解即可；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可．【详解】（1）解：如图，∵射线是射线的伴随线，∴∠AOC=1∴∠AOC=1∴同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，∴∠BON=1∵射线OC是∠AOB的平分线，∴∠BOC=1∴∠NOC=∠BOC−∠BON=1故答案为：40°,π（2）解：射线OD与OA重合时，t=180①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180−5t−3t=20，解得：t=20；若在相遇之后，则5t+3t−180=20，解得：t=25．综上所述，当t=20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．②相遇之前：a．如图1，当OC是OA的伴随线时，则∠AOC=12∠COD，即3t=b．如图2，当OC是OD的伴随线时，则∠COD=12∠AOC，即180−5t−3t=相遇之后：c．如图3，当OD是OC的伴随线时，则∠COD=12∠AOD，即5t+3t−180=d．如图4，当OD是OA的伴随线时，则∠AOD=12∠COD，即180−5t=综上所述，当t=907,32．（2024·山西大同·二模）阅读与思考下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．x年x月x日

星期二数学推理真有趣今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行……在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是AB上一点，①AB∥CD，②CE是∠ACD的平分线，③AC=AE，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个．第一种情况：已知，如图，E是AB上一点；AB∥CD，CE是∠ACD的平分线．求证：AC=AE．证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD．∴∠ACE=∠AEC．∴AC=AE（依据）第二种情况：已知，如图，E是AB上一点，AB∥CD，AC=AE．求证：______证明：……第三种情况……任务：(1)以上证明过程中，依据是指______．(2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明．【答案】(1)等角对等边(2)见解析【分析】（1）根据等角对等边解答即可．（2）根据题意，写出已知，求证，给出证明即可．本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】（1）解：依据是等角对等边，故答案为：等角对等边．（2）解：第二种情况：求证：CE是∠ACD的平分线．故答案为：CE是∠ACD的平分线．第三种情况：已知，如图，E是AB上一点，CE是∠ACD的平分线，AC=AE．求证：AB∥CD．选择第二种情况，证明如下证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵AC=AE．∴∠ACE=∠AEC．∴∠ACE=∠ECD．∴CE是∠ACD的平分线，选择第三种情况，证明如下：证明：∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD．∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC．∴∠AEC=∠ECD．∴AB∥CD．33．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．设有两只电阻，R1=6千欧，R2我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．

(1)①R1=6千欧，R2=4②如图1，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分线，OA=R1，OB=R2，(2)如图2，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，OA=R1，OB=R2，OC=R．此时关系式可以写成m⋅1(3)如图3，若∠AOB=α，（2）中其余条件不变，请探索R1，R2，R之间的关系．（用含【答案】(1)①125；②(2)2(3)2【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅助线是解题的关键．（1）①根据并联电路电阻公式，即可解答；②过点C作OB的平行线，交OA于点D，证明△CDO为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答；（2）过点C作OB的平行线，交OA于点E，得到CE与CO的关系，利用相似三角形的性质，即可解答；（3）过点C作OB的平行线，交OA于点F，过点F作FG⊥OC，交OC于点G，得到求得CF的长，利用相似三角形的性质，即可解答．【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得1R=1故答案为：12证明：②如图1，过点C作OB的平行线，交OA于点D，∵∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分线，∴∠DOC=∠BOC=60°，∵DC∥∴∠DOC=∠BOC=∠DCO=60°，∴△DOC为等边三角形，∴DC=OC=DO=R，∵DC∥∴∠ADC=∠AOB,∠ACD=∠ABO，∴△ADC∽△AOB，∴AD即R1可得R2R=R故1R

（2）解：如图2，过点C作OB的平行线，交OA于点E，

同上述原理可得△AEC∽△AOB，∠ECO=∠EOC=1∴CE=OE=sin可得AEAO即R1整理后可得22即21∴m=2（3）解：过点C作OB的平行线，交OA于点F，过点F作FG⊥OC，交OC于点G，

同上述原理可得△AFC∽△AOB，∠FCO=∠FOC=1∴CG=OG=R∴CF=OF=CG可得AFAO即R1整理后可得12即2cos34．（2024北京二中模拟）如图1，直线AB与直线l1，l2分别交于C，D两点，点M在直线k上，射线DE平分∠ADM交直线l1于点Q

(1)证明：l1(2)如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l2于点F，∠ACQ=70°①若∠QFD=15°，求出∠FQD的度数．②点N在射线DE上，满足∠QCN=∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠PQD的等量关系，并写出证明过程．【答案】(1)见详解(2)①20°；②∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°，证明见解答．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可；（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．【详解】（1）证明：如图1，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE=∠EDM=1∵∠ACQ=2∠CDQ，∴∠ACQ=∠ADM，∴l（2）解：①∵l∴∠ADM=∠ACQ=70°，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE=∠EDM=1∵∠EDM=∠QFD+∠FQD，∴∠FQD=35°−15°=20°；②证明：∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°，理由如下：如图3，

∵l∴∠NCQ=∠CTD，∵∠QCN=∠QFD，∴∠CTD=∠QFD，∴NT∥FQ，∴∠CND=∠PQD；如图4，

由①可得∠CDQ=∠CQD=1∵∠CND=∠CQN+∠QCN，∠QCN=∠QFD，∴∠CND=∠CQN+∠QFD，∴∠CND=35°+∠QFD，即：∠CND−∠QFD=35°，∵∠QFD=∠FQC=∠CQD−∠PQD=∠QDM−∠FQD=35°−∠PQD，∴∠CND−∠QFD=∠CND−(35°−∠PQD)=35°，∴∠CND+∠PQD=70°，综上所述，∠CND与∠FQD满足的等量关系为∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°．【点睛】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．👉题型10与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算35．（2024·广西柳州·三模）若一个角为55°，则它的补角的度数为（

）A．25° B．35° C．115° D．125°【答案】D【分析】此题考查补角，主要记住互为补角的两个角的和为180度．根据补角的定义：和为180度的两个角互为补角，求解即可．【详解】解：它的补角的度数为180°−55°=125°，故选：D．36．（2024·广西·模拟预测）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=50°，则∠DCB的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】此题考查了垂直的定义，余角的性质，根据垂直的定义得到∠ACB=∠ADC=90°，从而推出∠DCB=∠A=50°【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A=50°故选：C37．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，直角顶点A在直线b上，∠B=30°，若∠1=18°，则∠2【答案】48°/48度【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据“对顶角相等”可得∠3=∠1=18°，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得∠4=∠3+∠B=48°，然后根据“两直线平行，同位角相等”，即可获得答案．【详解】解：如下图，∵∠1=18°，∴∠3=∠1=18°，∵∠B=30°，∴∠4=∠3+∠B=18°+30°=48°，∵a∥∴∠2=∠4=48°．故答案为：48°．38．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线a∥b将一个含有30°角的直角三角板（∠A=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=33°，则∠2的度数是【答案】117°/117度【分析】本题考查了平行线性质求角度，三角形外角性质，邻补角的计算，对顶角相等等知识，根据对顶角相等可求出∠3的度数，根据三角形外角性质求出∠4的度数，再利用邻补角求出∠5的度数，最后利用两直线平行同位角相等求出结果即可．【详解】解：如图，∵∠1=33°，∴∠3=∠1=33°，∵∠C=30°，∴∠4=∠3+∠C=33°+30°=63°，∴∠5=180°−∠4=180°−63°=117°，∵a∥∴∠2=∠5=117°，故答案为：117°．👉题型11三线八角的识别39．（2024·福建宁德·一模）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（

）A．∠1+∠2=180°° B．∠4=∠5C．∠3与∠4是内错角 D．∠1=∠4【答案】D【分析】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角，解题的关键是掌握内错角的边构成“Z”形．根据对顶角、邻补角、内错角的概念对选项进行判断．【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，∴∠1+∠2=180°，故此选项不符合题意；

B.∠4与∠5是对顶角，∴∠4=∠5，故此选项不符合题意；C.∠3与∠4是内错角，故此选项不符合题意；

D.∠1和∠4是同位角，只有当a∥b时，∠1=∠4，故此选项符合题意；故选：D．40．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角【答案】A【分析】根据∠1,∠2的位置，结合同位角的定义可得答案．【详解】如图所示，∠1和∠2两个角都在两条直线的同侧，并且在第