高考备考资料之数学人教A版全国用课件第十二章概率随机变量及其分布123

§12.3几何概型第十二章

概率、随机变量及其分布基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

(

或

)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为

.2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝

.知识梳理长度面积体积几何概型3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有

；(2)等可能性：每个结果的发生具有

.4.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.无限多个等可能性(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝

作为所求概率的近似值.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(

)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.(

)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(

)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(

)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(

)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝

.(

)基础自测123456√√√√××题组二教材改编2.[P137思考]在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为答案解析124563√3.[P140T1]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是

答案解析124563√∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).解析答案124563√124563题组三易错自纠5.在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为

，则m＝____.解析答案124563解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.36.在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则|AM|>|AC|的概率为___.解析答案解析设事件D为“作射线CM，使|AM|>|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，事件D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，124563题型分类深度剖析1.某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

解析答案题型一与长度、角度有关的几何概型自主演练√解析如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，解析因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为解析答案3.在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为____.解析方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，解析答案求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).思维升华命题点1与平面图形面积有关的问题典例(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是____.题型二与面积有关的几何概型多维探究解析答案解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.命题点2与线性规划知识交汇命题的问题解析答案解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，命题点3与定积分交汇命题的问题典例

如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.解析答案求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.思维升华跟踪训练

(1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为

√解析答案解析由题意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知解析答案√解析答案(3)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.题型三与体积有关的几何概型师生共研解析答案√解析当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于的概率为____.解析答案解析过点M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等.若此时四棱锥M—ABCD的体积等于

，求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.思维升华跟踪训练

(2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是

解析答案√解析鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－

，故选A.典例

(1)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________.(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于

的概率为几何概型中的“测度”现场纠错纠错心得现场纠错错解展示错解展示：(1)∵∠C＝90°，∠CAM＝30°，∴所求概率为现场纠错解析(1)∵点M在直角边BC上是等可能出现的，∴“测度”是长度.设直角边长为a，(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1，且0≤y≤1.纠错心得

(1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能.(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.课时作业1.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是

，则阴影部分的面积是

基础保分练解析答案12345678910111213141516√2.设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为

解析答案12345678910111213141516√解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为解析答案12345678910111213141516√解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，123456789101112131415164.已知函数f(x)的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计

的值约为

解析答案12345678910111213141516√解析答案12345678910111213141516√由几何概型的概率计算公式，得所求概率解析答案123456789101112131415166.(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0，1)，正弦曲线f(x)＝sinx和余弦曲线g(x)＝cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

√12345678910111213141516解析根据题意，可得曲线y＝sinx与y＝cosx围成的区域的面积为

＝解析答案解析设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3].如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，123456789101112131415168.如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则△PBC的面积小于

的概率为____.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为____.解析答案12345678910111213141516解析答案1234567891011121314151610.正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示.若将一个质点随机投入到正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是___.11.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率.12345678910111213141516解由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，解答12.已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；解答12345678910111213141516解将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个.故满足a·b＝－1的概率为(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率.解答12345678910111213141516解若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}.满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}.画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，13.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

技能提升练解析答案12345678910111213141516√解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.所以整体图形中空白部分面积S2＝2.所以阴影部分面积为S3＝π－2.1234567891011121314151612345678910111213141516解答12345