第四章 三角形 第5节 直角三角形与勾股定理 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第5节直角三角形与勾股定理

回归教材·过基础

【考点清单】

知识点1直角三角形的性质与判定

直角三角形的两个锐角①

性质

直角三角形中斜边上的中线等于②

直角有一个角为③的三角形是直角三角形

三角形有两个角④的三角形是直角三角形

判定

如果三角形的一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是

直角三角形

含30°角的在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于

直角三角形的性质⑤

30°角的判定若一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°

(1)SRt△ABC=ch=ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高;

拓展11

22

(2)Rt△ABC内切圆的半径r=,外接圆的半径R=,即斜边的一半

a+b−cc

22

知识点2勾股定理及其逆定理

1.勾股定理

(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么⑥.

(2)能构成直角三角形的三条边长的三个正整数,称为勾股数.

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长分别为a,c,b,且满足⑦,那么这个三角形是直角三角形.

技巧提示

运用勾股定理时,应分清直角边和斜边,斜边为最长边,即斜边的平方等于两直角边的平方和.

【基础演练】

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,则有下列结论:

(1)∠A+∠B=,依据是.

(2)AC2+BC2=,依据是.

2.如图,在△ABC中,请你添加一个条件,使得△ABC是直角三角形.添加的条件可以是.

依据是什么?

3.在直角三角形ABC中,∠C=90°,解答下列问题:

(1)若∠A=38°,则∠B=°.

(2)若分别以直角三角形三条边为边长向外作正方形,记两直角边为边长所作的正方形面积为

S1,S2,斜边为边长所作的正方形面积为S3,若S1=6,S3=14,则S2=.

(3)如图1,CD⊥AB,垂足为D.

图1

①图中有几个直角三角形?请写出来.

②填空:∠ACD=∠,∠A=∠,∠ACD+∠=90°,AC2=AD2+

=AD·,BC2=BD2+=BD·,CD2=AD·,Rt△ACD∽∽.

③若∠A=30°,AC=2,则BC=,AB=,AD=,∠BCD=°.

④E为AB上一点,连接3CE,若AC=4,BC=3,则

(ⅰ)AB=,CD=;

(ⅱ)当CE为中线时,ED=;

(ⅲ)当CE为角平分线时,若∠A=40°,则∠DCE=°.

(4)如图2、图3,∠ACB=90°,直线l经过点C,过点A,B分别作BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D,E,若

AC=BC,则所得的△ACE和△CBD有什么关系?试猜想DE,BD,AE之间的数量关系,并证明你的结

论.

图2图3

4.如图,以AB所在的直线为x轴,过点C的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,若

OA=4,OB=1,OC=2.

(1)写出点A,B,C的坐标,并求直线BC的解析式.

(2)若点D在y轴上,将BC沿直线BD对折,使BC正好落在x轴上,点C的对应点为C',求点D的

坐标.

真题精粹·重变式

考向1直角三角形的性质与判定

1.(2021·福建)如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一

点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=2km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB等于

()

A.2kmB.3km

C.2kmD.4km

3

热点训练

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中点,则CD=.

考向2勾股定理及其逆定理

热点训练

3.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一

个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=.

2

核心方法

利用直角三角形求线段长的方法

1.勾股定理是揭示直角三角形三边关系的定理.若已知直角三角形中的两边长,则可求出第三

边长;若已知直角三角形三边的关系,则可设未知边长,根据勾股定理列方程求解.

2.在直角三角形中求边长,首先要考虑的是用勾股定理求解.当直角三角形中出现30°角时应

联想到30°角所对的直角边是斜边的一半,当出现斜边上的中线时要想到直角三角形中斜边上的

中线等于斜边的一半,这些线段间的数量关系是直角三角形中求线段长的关键.

3.若图形中含折叠,则考虑用折叠的性质,然后在直角三角形中,设未知量,列方程求解.

4.若所求为线段和(或可转化为线段和的形式),考虑用证全等转化到直角三角形中求解.

4.以2,3为直角边的直角三角形的斜边长为()

A.B.

C.45D.513

5.如图,已知正方形A的面积为3,正方形B的面积为4,则正方形C的面积为.

6.(数学文化)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证

明.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正

方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE=.

7.《九章算术》勾股章有一问题,其意思:现有一竖立着的木柱,在木柱上端系有绳索,绳索从木柱上

端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牵着绳索退行,在离木柱根部8尺处时绳索用尽,请问绳

索有多长?若设绳索长度为x尺,根据题意,可列方程:.

参考答案

回归教材·过基础

考点清单

①互余②斜边的一半③90°④互余⑤斜边的一半

⑥c2=a2+b2⑦a2+b2=c2

基础演练

1.(1)90°直角三角形两个锐角互为余角

(2)AB2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

2.解析:(1)∠A+∠B=90°或∠C=90°,依据是两个锐角互为余角的三角形是直角三角形,或者有

一个角是直角的三角形是直角三角形.

(2)AC2+BC2=AB2,依据是在三角形中,如果两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形

是直角三角形.

3.解析:(1)52(2)8

(3)①三个直角三角形,分别是Rt△ACD,Rt△BCD,Rt△ABC.

②BBCDA(或BCD)CD2ABCD2ABBDRt△CBDRt△ABC③24

330④55

127

510

(4)解析:△ACE≌△CBD,DE=BD+AE(另一种情况自行证明).

证明:∵∠ACB=90°,BD⊥l,AE⊥l,

∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°,

∴∠EAC+∠ECA=∠BCD+∠ECA=90°,

∴∠EAC=∠BCD.

∵在△ACE和△CBD中,∠EAC=∠DCB,∠AEC=∠CDB,AC=CB,

∴△ACE≌△CBD(AAS),

∴CE=BD,AE=CD,

∴CE+CD=BD+AE,

∴DE=BD+AE.

4.解析:(1)A(-4,0),B(1,0),C(0,2).

设直线BC的解析式为y=kx+b,

依题意得解得

k+b=0,k=−2,

∴y=-2x+2b.=2,b=2,

(2)①如图1,当点D在y轴的正半轴上时,可得BC'=BC,

图1

根据勾股定理,得BC==,∴OC'=BC'-OB=-1,DC'=DC=OC-OD=2-OD.

22

在Rt△DC'O中,∵OD2+1C'O+2=2C'D25,5

∴OD2+(-1)2=(2-OD)2,

5

解得O