专题2.10 函数的综合应用（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章函数专题2.10函数模型的应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．考点一用函数图象刻画变化过程考点二已知函数模型的实际问题考点三构造函数模型的实际问题知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值的变化而各有不同2．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)第一部分核心典例题型一用函数图象刻画变化过程1．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】当时，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故选；C2．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2）,甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点）,则其中可能正确的图示分析为A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D,再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A正确．故选:A.3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设，由题图可知，点在函数图像上，所以，解得，故．故选：D．题型二已知函数模型的实际问题4．北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送人地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，若火箭的最大速度可达到第三宇宙速度，则火箭的燃料质量与火箭质量之比（

）（参考数据：）A．0.008350 B．1.008385 C．1.000035 D．0.008385【答案】D【详解】由题意得，解得.故选：D5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（

）（参考数据：）A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟【答案】B【详解】由题知，，，，，，，.故选：B.6．某地有一片长期被污染水域，经过治理后生态环境得到恢复，在此水域中生活的鱼类数量可以采用阻滞增长模型进行预测，其中为年后的鱼类数量，为自然增长率，（单位：万条）为饱和量，（单位：万条）为初始值.已知2022年底该水域的鱼类数量为20万条，以此为初始值，若自然增长率为，饱和量为1600万条，那么预计2032年底该水域的鱼类数量约为（参考数据）（

）A．68万条 B．72万条 C．77万条 D．83万条【答案】C【详解】根据题中所给函数模型，代入有关数据，以2022年的数量为初始值，所以有，所以预计2032年底该水域的鱼类数量约为77万条，故选：C题型三构造函数模型的实际问题7．关于数学建模的认识：①数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；②数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用；③数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一；④按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验.以上说法正确的是（

）A．② B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【详解】对于①，数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，正确，对于②，数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用，正确，对于③，数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一，正确，对于④，按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验，正确，故选：D8．如图（俯视图），学校决定投资12000元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到平方米（

）A．32 B．36 C．38 D．40【答案】B【详解】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，，，则，整理得，，，∴由基本不等式可得，，，解得：，故，当且仅当时等号成立，所以仓库占地面积最大能达到平方米.故选：B9．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么个感染者传染人数为.已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使个感染者传染人数不超过，则该地疫苗的接种率至少为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】为了使得个感染者传染人数不超过，只需，即，因为，故，可得.故选：D.第二部分课堂达标一、单选题1．下列函数中，增长速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】指数函数时呈爆炸式增长，并且随值的增大，增长速度越快，在一次函数，指数函数，对数函数以及幂函数中，增长速度最快的是指数函数.故选：A2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】小明父亲行走的前20分钟路程一直在增加，到900米之后停下看报纸，20分钟至40分钟路程不增加，40分钟至60分钟回家过程中，路程减少至0，因此A中图象符合题意.故选：A3．燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（

）A．30 B．60 C．40 D．80【答案】C【详解】因为，将代入，则，则，所以，所以，故选：C4．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】由题设，由，结合指数函数的图象知：D符合要求.故选：D5．设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（

）A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件【答案】B【详解】总利润，当且仅当，即时，最大，故总利润最大时的产量为8万件．故选：B．6．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，且时室内空气中颗粒物的浓度是时的倍，则v的值约为（

）（参考数据：，）A．1.3862 B．1.7917 C．2.1972 D．3.5834【答案】B【详解】由题意得，，因为，所以，整理得，令，因为，所以，则，解得（舍去）或，故，解得.故选：B7．2023年7月12日9时0分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要.其公式为，其中v为单级火箭的最大理想速度（单位:），q为发动机的喷射速度（单位:），，分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位:kg），称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（

）（参考数据:，）A．4.44 B．7.2 C．9.2 D．8.8【答案】C【详解】由题意得，初末质量比最大为10，则该型号单级火箭能获得的最大理想速度．故选：C．8．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（

）A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%【答案】C【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，所以前6小时共能过滤掉污染物的.故选：C二、多选题9．设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（

）A．的增长速度最快，的增长速度最慢B．的增长速度最快，的增长速度最慢C．的增长速度最快，的增长速度最慢D．的增长速度最快，的增长速度最慢【答案】ACD【详解】画出函数的图象，如图所示，结合图象，可得三个函数中，当时，函数增长速度最快，增长速度最慢.所以选项B正确；选项ACD不正确.故选：ACD.

10．下列说法正确的是（

）A．若，则：B．若，则的最小值为2C．若都是正数，且，则的最小值是3D．下列选项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是：②；①

②

③

④【答案】AC【详解】对于A，因为，所以，所以，A正确；对于B，，当且仅当即不成立，所以，无最小值，B错误；对于C，因为，所以，，当且仅当即时取得等号，所以的最小值是3，C正确；对于D，指数函数的底数大于1，随着时间的推移增长速度越来越快，所以最有前途的生意是①，D错误，故选:AC.三、填空题11．用指数模型：描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t（单位：天）的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为天.（，结果精确到0.1）.【答案】2.5【详解】由题意，池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍，则，即，所以，则有，所以（天）.故答案为：2.512．中美关系日趋严峻，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本（单位：万元）与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入（单位：万元）与货物量的函数关系式，已知单次装箱的利润，且当时，,则单次装箱利润最大值为．【答案】6【详解】由题意可得单次装箱的利润与货物量的函数关系式为，因为当时，,即，解得，即，当时，为单调递减函数，故当时，的最大值为，当时，，当且仅当，即时，取最大值，综上所述，当每日产量为吨时，单次装箱利润取得最大值，故答案为：四、解答题13．甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，区域用来打造休闲区域，区域用来种植辣椒，区域用来种植青菜，区域用来种植大蒜.已知，两区域是边长为米的全等正方形，打造体闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元.(1)用（单位：平方米