2025届高考数学抛物线中的八个常考二级结论与秒杀模型（学生版）

抛物线中的八个常考二级结论与秒杀模型

（题型解读n

【题型1】OAJ_OB弦AB过定点（2p,0）.............................................................1

【题型2】中点弦问题（点差法）........................................................................2

【题型3】抛物线焦半径角度型公式的应用（重要）......................................................3

【题型4】焦点弦被焦点分为定比.....................................................................5

【题型5】过焦点的直线与准线相交（结合相似）........................................................6

【题型6】抛物线与圆................................................................................7

【题型7】阿基米德三角形模型（双切线模型）..........................................................9

【题型8】抛物线中的定点与定值问题模型（平移齐次化）..............................................11

［题型汇编说

一、巳知直线/经过批物线y=2#的焦点尸，且与批物线交于4,8两点

则|入"=%+今，|阴=磔+今，|48|=以+磔+2”

二、过焦点的直强与加物线相交坐标之间的关系抄杀公式

1

①抛物线y=2Px的焦点为F,人⑸,%）,凤狈纺）是过F的直线与抛物线的两个交点，则有x1x2=（,沙曲=

-P2-

22=

②一般地，如果直线I恒过定点M（M,0）与抛物线y=2px（F>0）交于4,B两点，那么xAxB=m,yAVB

—2pm.

③若04_LOB-AB恒过定点（2p,0）.

④以AB为直径的圆必与准线/相切.

⑤若AB的中点为M（xo，y。）,则1ABi=2卜。+5）（梯形中位线）

⑥品+卢为定值会

三、一殳弦长

2

设AB为抛物线y=2px（p>0）的弦，4%明）,B（X2,T/2）,

\AB\=，1+肥|21一电|—AA+77瓦―纳仙为直线48的斜率，且kW0）.

【题型11OA±OB弦加过定点（2p,0）

核心•技巧

若。4_LOBnAB恒过定点（2p,0）.

•M

1.（高二上.福建厦门.期中）如图，已知直线I与抛物线y2=2x交于48两点，且04，OB,上一点

D的坐标为（1,1）,则I方程为

2.已知直线Z：y=2c—4与抛物线娟=nzc（nz>0）交于A,_B两点，且。4_LOB（。为原点），则抛物线方

程为.

【题型2】中点弦问题（点差法）

核心•技巧

2

设直线I与抛物线y=2Px相交所得的弦AB的中点M坐标为（尬,％）,则kAB•DM=P

证明：设从如如田❷,取），代入抛物线方程得说=2pg,访=2pg,将两式相减，可得

2P

（仍-劭）（%+统）=2P（%-x2）,整理可得kAB=———=1=—

g一①2妨+为y。

3.已知抛物线C-.y2=4c,过点P（l,l）的直线交抛物线。于A,B两点,若尸为的中点，则直线的

方程为.

4.（23-24高二上・湖南•期末）过抛物线。:媛=2PMp>0）的焦点的直线与抛物线。相交于A,B两点，

若线段中点的坐标为（4,2〃^）5ijp=（）

A.4B.3C.2D.1

5.直线"=for—2与抛物线夕2=8必交于A,R两点，AB中点的横坐标为2,则左为（）

A.-1B.2C.—1或2D.以上都不是

6.已知抛物线y2=2px的一条弦AB恰好以点P（l,l）为中点，弦AB的长为则抛物线的准线方程

为（）

13

A.x=--—B.x=-lC.x=--—D.x=—2

7.已知抛物线靖=2Px（p>0）的焦点为F，第一象限的4、B两点在抛物线上,且满足\BF\-\AF\=4,

=40.若线段AB中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为

8.（多选）已知抛物线E:靖=41上的两个不同的点/（再,弘）,8优,为）关于直线广划+4对称，直线4B与

》轴交于点C（g,O）,下列说法正确的是（）

A.E的焦点坐标为（1,0）B.电+芯是定值

C.gg是定值D.x0e（-2,2）

【题型3】批修线焦半径篇度型公式的应用（重要）

基础知识1

如图，过抛物线焦点F的直角与抛物线交于42两点，直线与重轴夹角为仇

则较长的焦半径\AF\=,P八，较短的焦半径\BF\=,P八，焦点弦\AB\=T-,

1—cost/1+cost/sin?。

【证明】：别过A,B作a;轴的垂线，垂直为H,Al,易知AHTP,BMTQ为矩形

在△4FH■中，由抛物线定义可得：忸H|=|7H]—?=|4P|—p=|4F|—p,

则^=拿=嗡巳’解得网=匚枭；

在&BFM中，由抛物线定义可得：刊=p-\TM\=p-\BQ\=p-\BF\,

MFP-\BF\,m\BF\=P

则cosNMFB=cos0=--=---

BF\BF\111+cos。

9.已知抛物线y2=2Pxe>0）的焦点为尸，过点F的直线与抛物线交于43两点（点A在第一象限），

乙4尸0=120°（0为坐标原点），|人m=4,则出同=.

10.（23-24高二上•浙江绍兴•期末）倾斜角为a的直线I经过抛物线y2=4x的焦点尸，与抛物线相交于

两点,其中点4位于第一象限，若=则a的值为（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

11.在平面直角坐标系力。“中，A,B为抛物线C：y2=4x上两个不同的点，斤为抛物线的焦点，若布=

3豆，则△048的面积为.

12.（23-24高二上・江苏南通・期末）已知抛物线E/=2pu（p>0）的焦点为尸，圆尸以尸为圆心,且过坐

标原点.过户作斜率为1的直线Z,与E交于点A,B,与圆F交于点C,。,其中点B。均在第一象

限，田。|—凶。=4,则p=.

13.（多选）已知抛物线C：y』2PMp>0）的焦点为F,直线的斜率为，^且经过点尸，直线Z与抛物线C

交于A,B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点。，若\AF\=4,则以下结论正确的是

（）

A.p=2B.尸为AD中点C.\BD\=2\BF\D.\BF\=2

14.（23-24高二上•江苏常州•期中）（多选）已知斜率为V3的直线I经过抛物线。甘=2pMp>0）的焦点

F,与抛物线C交于点AB两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点。，若MH=8,则以下结

论正确的是（）

A.p=-|B.\AF\=6C.\BD\=2\BF\D.F为AD中点

2

15.已知斤为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线44,直线4与。交/，口两点，直线/2

与C交于。，后两点，则\AB\+\DE\的最小值为.

16.（多选）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：靖=2Pxe>0）的焦点为F,过点F的倾斜角为全的直

线/与。相交于两点，且点A在第一象限，的面积是82,则（）

A.\AB\=8B.p=4C.J-+-L=lD.冏=8+4及

|4F|\BF\211

17.已知过抛物线C;y2=2Pxe>0）焦点F的直线交。于A,8两点，点A，8在C的准线上的射影分别

为点4,3,线段48的垂直平分线/的倾斜角为120°,若以周=4,则。=（）

A.yB.1C.2D.4

18.已知抛物线靖=2/的焦点为斤,过点斤的直线与抛物线交于A,8两点，则4|4司+忸口的最小值是

19.已知抛物线42=16多的焦点为尸，过点尸作直线Z交抛物线于河，N两点，则4可+万七

等』的最小值为

20.（多选）抛物线C-.y2=4x的焦点为R,过点尸的直线Z交抛物线。于48两点（点A在x轴的下方），

则下列结论正确的是（）

A.若|AB|=8,则Z5中点到y轴的距离为4B.弦的中点的轨迹为抛物线

C.若说=3居,则直线的斜率左=«D.4|4月+忸制的最小值等于9

21.（23-24高三上•广东深圳•期末）（多选）已知直线经过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点厂（■!，（））,且与

。交于4、8两点（其中\AF\>与C的准线交于点。，若=8,则下列结论正确的为

（）

A.p=B.\AF\=6C.|BL>|=3|BF|D.F为AD中点

22.（多选）如图抛物线「的顶点为A,焦点为尸,准线为Zi，焦准距为4；抛物线口的顶点为B,焦点也为

斤,准线为给焦准距为6.「1和「2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为

河、双、$、丁,过户的直线与封闭曲线人尸日3交于。、。两点，则（）

A.\AB\=5B.四边形MNST的面积为100

C.FS-FT=0D.|CD|的取值范围为［5,争］

【题型4】焦点弦被焦点分为定比

核心•技巧

圆锥曲线中焦点弦被焦点分成定比

4—1

若\PF{\=4QE|(/1>1),则e・cos。=-——(注：抛物线默认e=l)

A+l

23.已知过抛物线C噌=2Pxe>0）的焦点尸,斜率为乎的直线交抛物线于A（X1,%）,B（g，纺）两点，

且［48|=16,则p=；若直线y=k（x+1）与抛物线。相交于河，N两点，满足\FM\=2\FN\,

则A;=.

24.已知抛物线y2=2RE他>0）,过焦点F的弦交抛物线于A,B两点，且有AF=3方,准线与比轴交于

点C,作A到准线的垂线，垂足为4,则当四边形CFAA,的面积为12V3时，p的值为.

25.已知是抛物线C：婿=42上两动点，尸为抛物线C的焦点，则直线48过焦点尸时，最小值

为，直线入口过焦点尸且倾斜角为60°时（点A在第一象限）,=，若中点/

的横坐标为3,则以引最大值为.

【题型5】过焦点的直线与准线相交（结合相似）

核心

一、结合锐角三角函数与相似

二、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即看

到准线想到焦点，看到焦点想到准线

26.已知/是抛物线。:娟=2pcc（p>0）的焦点，过尸且倾斜角为号的直线/与。交于跖N两点，与。的

O

准线交于点P（点N在线段上），|PN|=2,则也田|=（）

A.1B.2C.3D.4

27.（23-24高二上•湖北武汉•期末）过抛物线E"2Pxe>0）焦点F的直线与此抛物线交于48两

点，且#=2方.抛物线E的准线Z与①轴交于点C,过点人作于点若四边形44QF1

的面积为50,则p的值为（）

A.2B.4C.2V2D.耳^

28.（23—24高二上•安徽淮北•期末）已知抛物线C：靖=4比的焦点斤,准线为是Z上一点，Q是直线

P尸与。的交点，若|在尸|=4庐Q|,贝iJFQ|=（）

5

A.4BRTc卷或£D.1■或4

29.（2024•安徽淮北.一模）已知抛物线y2=2PMp>0）准线为Z,焦点为F,点A,B在抛物线上，点。在Z

上，满足：/=4屈，玛=〃反?，若4=3,则实数〃=.

30.过抛物线E:y2=2PMp>0）的焦点F的直线交E于点A,B,交E的准线Z于点C,4D_L/,点。为垂

足.若斤是47的中点，且M斤|=3,则|人引=（）

A.4B.2V3C.3V2D.3

31.过抛物线92=2px（p>0）的焦点尸的直线交抛物线于点A,8,交其准线于点。，若

CB=2BF,\AF\=3，则此抛物线方程为.

32.已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为I，过尸的直线与抛物线交于点A、与直线/交于点。，若

AF=4而（几>1）且|助|=4,则;I=.

33.已知斤是抛物线C：靖=81的焦点，河是。上一点，FM的延长线交“轴于点N,若前=2加，则

\FN\=___

34.已知抛物线。海=2px（p>0）的焦点为尸，点A在沙轴上，线段AF的延长线交。于点8,若以斤|=

=6,则p=.

35.（2023•广东茂名•三模）已知。为坐标原点，直线/过抛物线。：靖=2年（「>0）的焦点尸，与抛物线。

及其准线依次交于4旦。三点（其中点B在。之间），若H周=4,庐q=2|9%则△OAB的面积是

36.抛物线的光学性质:经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某

一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线d=9y上一点尸作其切线交准线，丁点

±Z,垂足为N,抛物线的焦点为射线P9交/于点Q,若\MP\=\MQ\.则AMPN=,\MN\

【题型6】柳物线与圄

基《悯织

2

设AB是过抛物线y=2px（p>0）焦点F的弦，若,阴）,B（x2,y2），则

①以弦AB为直径的圆与准线相切.

②以AF或为直径的圆与沙轴相切.

37.（多选）已知抛物线。:y2=2pMp>0）的焦点尸在直线Z：u=A；2：—k上，直线/与抛物线交于点A,B（O

为坐标原点），则下列说法中正确的是（）

A.p=2B.准线方程为0；=—2

C.以线段为直径的圆与。的准线相切D.直线CL4,08的斜率之积为定值

38.（多选）已知抛物线y2=4x的焦点为尸,过焦点F的直线I交抛物线于4B两点（其中点入在c轴上

方），则（）

A.J_+_L=iB.弦的长度最小值为/

叫\BF\

C.以A尸为直径的圆与“轴相切D.以为直径的圆与抛物线的准线相切

39.（多选）已知是抛物线。：好=6/上的两动点，尸是抛物线的焦点，下列说法正确的是（）

A.直线过焦点广时，以4B为直径的圆与。的准线相切

B.直线过焦点尸时，|人冏的最小值为6

C.若坐标原点为O,且。4JL08,则直线过定点（3,0）

D.与抛物线。分别相切于两点的两条切线交于点N,若直线过定点（"I，。），则点N在抛物

线。的准线上

40.（多选）点尸在抛物线才=4c上，斤为其焦点，Q是圆C-.（x—3）2+才=1上一点，河（3,2）,则下列说法

正确的是（）

A.\PQ\的最小值为22.

B.△PFM周长的最小值为4+2

C.当/必@最大时，直线M0的方程为力+沙一5=0.

D.过尸作圆C的切线，切点分别为A,则当四边形PZC3的面积最小时，P的横坐标是L

【题型7】阿基求德三角矽模型（双切级模型）

核心•技巧

一、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）

性质1:MF_LAB

性质2:MA±MB

性质3:MNHx轴

性质4:SAAB”最小值为p2

对于点A,B:

①抛物线焦点弦与抛物线的交点

②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点

对于点“

③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点

④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点

满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形

二、阿基米德三角形一般性质（弦4B不经过焦点F时）

【性质1】阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物对称轴.

【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点C（xo,yo），则点P的轨迹为直线珈5=

P（X+x0）

记AQi,%）,8（22,纺），C（xo,yo）,M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点

半代入得出切线以，PB的方程，再得出则立?=,yp="1：一，则yoy=p（x+g）,下略

【性质3】若P点轨迹为直线ax+by+c=0,且该直线与抛物线没有公共点，则定点C（—,——

\aa

设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点。的坐标

【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为合■.

[性质5]ZPFA=ZPFB,PF2=AFxBF

41.已知抛物线〃=旬，P为直线y=—1上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为4,8,则PA-PB

的值为（）

A.0B.1C.-2D.-1

42.已知点P是抛物线。婿=4立准线上的一点，过点尸作。的两条切线，切点分别为A,B,则原点。到

直线距离的最大值为（）

A-1B-1c-iD-1

43.设抛物线C：y2=6x的焦点为尸,过F的直线交。于两点，分别以人田为切点作。的切线。，如

若。与。交于点P，且满足炉m=2四,则以目=（）

A.5B.6C.7D.8

44.已知抛物线C：y2=2Pxe>0）的焦点为尸，过点F的直线与。交于4B两点，。在A处的切线与C

的准线交于P点，连接BP.若启川=3,则―石+—的最小值为

\AF[\BF\2------

45.已知点M（l,0）,从抛物线靖=4y的准线Z上一点P引抛物线的两条切线上4,P8,且48为切点，则

点M到直线AB的距离的最大值是（）

A.V2B.V3C.2D.3

46.已知户是抛物线C：靖=82；的焦点，点P（—2,2）,过点尸的直线/与。交于A，8两点，〃•是线段48

的中点.若1AB=2|刊田，则直线/的斜率k=.

47.（多选题）已知抛物线y=X2的焦点为斤,过斤且斜率为k的直线I交抛物线于48两点，8在第一象

限，过48分别作抛物线的切线L，3且几。相交于点P，若8P交c轴于点Q,则下列说法正确的有

（）

A.点P在抛物线的准线上B.NAPB苦

O

C.FQ±BQD.若&=今，则辱■的值为9

J\FB\J

48.（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻

的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设45是抛物线C：/=4y上两个不同的点，以

4（玉，必）,3（々,%）为切点的切线交于尸点•若弦过点尸（°，1），则下列说法正确的有（）

A.x1x2=-4B.若力i=2,则A点处的切线方程为①—。一1=。

C.存在点p,使得苏.方>0D.ZXPAB面积的最小值为4

49.（多选）已知抛物线「"=2的①>0）,过其准线上的点79一1）作的两条切线，切点分别为A,B,下

列说法正确的是（）

A.p=2B.当/=1时，

C.当/=1时，直线48的斜率为2D.△TXB面积的最小值为4

50.（多选）已知抛物线C：必=20cg>o）的焦点产到准线的距离为4,直线/与。交于p、Q两点，且

而=2万，尺（4,6）,若过点尸、。分别作。的两条切线交于点A，则下列各选项正确的是（）

A.\AF\=4V2B.|PQ|=12

C.PQLAFD.以PQ为直径的圆过点A

51.（多选）已知点M（—l,0）在抛物线C：y2=2px[p>。）的准线上，过抛物线。的焦点尸作直线/交。于

从如协卜与狈外）两点，则（）

A.抛物线。的方程是婿=4力B.a?1x2=1

C.当石=3屋时，的日=挈D.AAMF=ABMF

52.过Pg,—2）向抛物线犬=4y引两条切线尸0,收，切点分别为&,0,又点4（0,4）在直线Q?上的射

影为8,则焦点尸与H连线的斜率取值范围是.

53.（多选）已知抛物线r：x2=2m（p〉0），过其准线上的点T©—1）作r的两条切线，切点分别为人、6,

下列说法正确的是（）

A.p=4B.当/=1时，Z4LTB

C.当/=1时，直线的斜率为2D.直线AB过定点（0,1）

【题型8】加物线中的定点与定值问题模型（平移齐次化）

基础知以

常见定点问题与定值问题的常见条件有数量积为定值，斜率和或积为定值，其中数量积可以化为坐标运算再

代入韦达定理，斜率和积为定值时可以考虑平移齐次化来解决定点问题.

1

1、过抛物线y=2px（T?