2025春新高考数学专项复习：复数【七大题型】

专题5.4复数【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1复数的概念】.............................................................................6

【题型2复数的四则运算】........................................................................7

【题型3复数的几何意义】........................................................................8

【题型4复数的相等】.............................................................................9

【题型5复数的模】..............................................................................10

【题型6复数的三角表示】.......................................................................11

【题型7复数与方程】............................................................................13

►考情分析

1、复数

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷：第2

题，5分、II卷：第2题，5分

2023年新高考I卷：第2题，

(1)通过方程的解，认识复5分复数是高考的热点内容，是高考的

数2023年新高考II卷：第1题，必考内容之一.从近几年的高考情况来

⑵理解复数的代数表示5分看，高考对复数的考查比较稳定，往往

及其几何意义，理解两个2024年新高考I卷：第2题，以单选题、填空题的形式考查，考查内

复数相等的含义5分容、难度变化不大，主要考查复数的概

(3)掌握复数的四则运算，2024年新高考II卷：第1题，念、运算及其几何意义，属于简单题.预

了解复数加、减运算的几5分测明年高考复数依旧以单选题、填空题

何意义2024年全国甲卷(文数)：形式呈现，比较简单.

第1题，5分、(理数)：第

1题，5分

►知识梳理

【知识点1复数的概念】

1.复数的概念

(1)复数的概念

我们把形如。+历(a,6GR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,bGR}叫

做复数集.这样，方程—+1=0在复数集C中就有解x=i了.

(2)复数的表示

复数通常用字母z表示，即z=a+6i(a,6eR).以后不作特殊说明时，复数z=a+历都有a,6GR,其中的a

与b分别叫做复数Z的实部与虚部.

（3）复数的分类

对于复数。+历，当且仅当6=0时，它是实数；当且仅当。=6=0时，它是实数0；当6加时，它叫做虚

数；当。=0且厚0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R是复数集C的真子集，即R呈C.

复数后a+6i可以分类如下：

管和＜实数（6=°）

I虚数（6彳0）（当a=0时为纯虚数）.

2.复数相等

在复数集C={a+6i|a,6GR}中任取两个数。+为，c+di（a,b,c,d^R）,我们规定：a+6i与c+di相等当且仅当

a=c且6=4,即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.

【知识点2复数的几何意义】

1.复数的几何意义

（1）复平面

■对应~■对应

根据复数相等的定义，可得复数z=a+6i^----------＞有序实数对（。力），而有序实数对-------＞平面

直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+历可用点Z（a力）表示，这个建立了直角坐标系来

表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

（虚轴）

除原点外，虚

轴上庙点都

表示纯虚数

0

实轴上的点都表示实数

（2）复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一

―■—■对应

的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是---对应的，即复数z=a+6i^-----------＞复平面内的

点Z（a,6）,这是复数的一种几何意义.

（3）复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一

对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z表示复数2=°+历，连接OZ,显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点

Z（相对于原点来说）也可以由向量OZ唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的（实数0与零向量对应），即复数z=a+历

一一对应

）平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义.

向量OZ的模r叫做复数z=a+历的模或绝对值，记作忆|或H+切.如果6=0,那么z=a+历是一个实数°,它

的模等于同(就是。的绝对值).由模的定义可知，\z\=\a+bi\=r=Va2+b2(r0,rR).

3.共粗复数

⑴定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共辗复数.虚部不等于0

的两个共辗复数也复数z的共辗复数用1表示，即若z=a+6i,则三=a/i.特别地，实数。的共轨复数仍是。

本身.

(2)几何意义

互为共轨复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共辗复数在复

平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质

①(z)=z.

②实数的共轨复数是它本身，即利用这个性质可证明一个复数为实数.

4.复数的模的几何意义

⑴复数z=a+6i(a,6GR)的模忆|就是复数z=a+所在复平面内对应的点Z(a力)到坐标原点的距离，这是复数

的模的几何意义.

(2)复数z在复平面内对应的点为Z,厂表示一个大于0的常数，则满足条件团十的点Z组成的集合是以

原点为圆心，r为半径的圆，闾〈厂表示圆的内部，团＞厂表示圆的外部.

【知识点3复数的运算】

1.复数的四则运算

(1)复数的加法法则

设Zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么w+z2=(a+bi)+(c+di尸(〃+°)+(6+41

(2)复数的减法法则

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi尸a+bi的复数

亡yi(xj£R)叫做复数a+bi(a,b£R)减去复数c+di(c,d£R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有C+X=Q,d+y=b,因止匕x=a・c,y=b-d,所以％+yi=(q・c)+(b-(7)i,即(q+6i)・(c+di)

=(Q・c)+(6-6Z)i.这就是复数的减法法则.

(3)复数的乘法法则

2

设2i=a+b\,z2=c+di(a,b,c,d£R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=Qc+bci+Qdi+bdi

=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i?换成-1,并且把实部与

虚部分别合并即可.

(4)复数的除法法则

Q+bi_(〃+bi)(c—di)(ac+bd)+(be—ad)iac+bdbe—ad

(q+bi)+(c+di)=+/+12i(a,b,c,d£R,且

c+di(c+<7i)(c—di)c2+dc2+d2

c+di邦).

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

2.复数加法、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

在复平面内，设Zi=a+bi,Z2=c+di(〃,仇c,d£R)对应的向量分别为OZi,OZ2,则。Zi=(q,b),OZ2=(c,d).

以厉，砺对应的线段为邻边作平行四边形OZ]ZZ2(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得次=厉

+OZ2=(tz,Z))+(c,t/)=(tz+c,6+t/),即z=(a+c)+(b+d)\,即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+(7)i对应的向

量.

(2)复数减法的几何意义

两个复数Z|=a+6i,Z2=c+di(a,6,c,ddR)在复平面内对应的向量分别是赤，赤，那么这两个复数的差

Z1-Z2对应的向量是词-反，即向量”.

如果作次=石芯，那么点Z对应的复数就是Z「Z2(如图所示).

这说明两个向量次与次的差数就是与复数(a-c)+(b0i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向

量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3.复数运算的常用技巧

(1)复数常见运算小结论

①(1+i)2=2i<^>=l+i；

_7；7；

(2)(1—i)之=-2i----r=1—i----r=-1+i；

1—i1—i

③(1+i)(1—i)=2<=>——r=1—i=1+i;

1+11-i

4n

⑤i4"+i=i,i4«+2=_1；j4"+3=-i,i=i(wez),

(2)常用公式

(a+Z?i)(a—b1)=a2b~■,

(a±6i)2=a?+，士2abi；

(a±6i)3=-3abz±(3a26—Z>3)i.

【知识点4复数有关问题的解题策略】

1.复数的概念的有关问题的解题策略

(1)复数z=a+bi(a,6GR),其中a,6分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部6=0,与实部a无关；

若z为虚数，则虚部6W0,与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且6W0.

⑵复数z=a+6i(a,6GR)的模记作|z|或|a+bi|,即|z|=\a+bi\=y/a2+b2.

(3)复数z=a+6i(a,bGR)的共轨复数为z=a—bi,则z•z=|z|°=目~,即|z|=目=Jz.z,若zeR,

则z=z.

2.复数的运算的解题策略

(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；

(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.

3.复数的几何意义的解题策略

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量

与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

4.复数的方程的解题策略

(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.

(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.

【方法技巧与总结】

(l±i)2=±2i；------=1•-------

1-i------'1+i

G14n一i；4〃+l-；；4〃+2-i；4〃+3

z.i-1,1一i,i—一1,1—i(«eN*).

_|_j4〃+l+j4〃+2_|_14〃+3

4.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|W6表示以原点。为圆心，以。和b为半径的两圆所夹的圆环;

(2)|z-(a+6i)|=r(r>0)表示以(0力)为圆心，r为半径的圆.

►举一反三

【题型1复数的概念】

【例1】(2024•湖北•模拟预测)已知z=i(—l+2i),贝！Jz的虚部为()

A.2B.-1C.2iD.-i

【分析】直接计算可得z=-2-i,再用虚部的定义即可.

【详解】由于z=i(-l+2i)=-i+2i2=-2-i,所以z的虚部为-1.

故选：B.

【变式1-1](2024•宁夏银川一模)已知复数z=巾2-1+⑺+12)♦i(meR)表示纯虚数，则??1=()

A.1B.-1C.1或一1D.2

【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.

2

【详解】因为Z=7712-1+(瓶+j2).i=m-l+(m-l)-i,

若复数z表示纯虚数，贝仙臂解得爪=一1.

故选：B.

【变式1-2](2024•吉林白山•一模)复数Z=i+2i2+3i3,贝!|z的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【分析】根据虚数单位i的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部.

【详解】由2=1+212+3]3可得:z=-2-2i,故z的虚部为-2.

故选:D.

【变式1-3](2024•陕西咸阳•模拟预测)已知复数z=M2_7m+6+(m2_36)i是纯虚数，则实数小的值为

()

A.±6B.1或6C.-6D.1

【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.

【详解】由题意可得：-7m+6=0且爪2一36力0,则m=1.

故选：D.

【题型2复数的四则运算】

【例2】(2024•西藏•模拟预测)已知复数z=2T,则袅=()

1111

A.--+iB.--iC.g+iD.---i

【分析】根据共辗复数和除法法则进行计算，得到答案.

【详解】因为z=2—i,所以7=2+i,

所以^____________2+i(2+»iT+2i一1

所以z-，-2-i-(2+i)-—2i-(-2i>i—2-_2+1-

故选：A.

【变式2-1](2024・河南•三模)已知i为虚数单位，，聿=()

A.1+iB.1—iC.-1+iD.—1—i

【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.

【详解】=O+i)2(i+i)=空地=—J

故选：D.

【变式2-2](2024•陕西西安・三模)已知复数z=3+i,则三的虚部为()

33

A.-3B.——C.3D.—

【分析】根据复数代数形式的除法化简三，即可判断.

【详解】因为z=3+i,所以当•=・=/£=；/，所以分的虚部为一*

z—12+11)55z—15

故选：B.

【变式2-3](2024・北京•三模)若复数2=。-1+5(。+1》为纯虚数，其中a€R,i为虚数单位，则篝=

()

A.iB.-iC.1D.-1

【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解.

【详解】由z=。一1+5(a+l)i是纯虚数可知a=1,所以爱^二g=力9=i,

故选：A.

【题型3复数的几何意义】

【例3】(2024•江西上饶•模拟预测)在复平面内，复数2=今对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【分析】根据复数的运算法则，得到z='-玄，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由复数的运算法则，可得复数z=白=

复数Z在复平面内对应的点G-》位于第四象限.

故选：D.

【变式3-1](2024・重庆•二模)若复数z=(2-砌+(2a-l)i(aeR)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对

应点的位置在()

A.第一象限内B.第二象限内

C.第三象限内D.第四象限内

【分析】根据纯虚数的定义解出a,利用复数的几何意义求解.

【详解】•.,复数z=(2-a)+(2a-l)i(aeR)为纯虚数，｛猊a=2,

复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2,3),位置在第一象限.

故选：A.

【变式3-2](2024•黑龙江齐齐哈尔•三模)复平面内48,C三点所对应的复数分别为1-i,2-i,3+i,若四边

形4BCD为平行四边形，则点D对应的复数为()

A.2B.2+iC.1D.1+i

【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解.

【详解】由题意知4B,C三点的坐标为4(1,—1),B(2,-1),C(3,1),

设复平面内点D(久,y),则布=(1,0),沆=(3-x,l-y),

又四边形4BCD是复平面内的平行四边形，则加=反，则｛；二;解得则D(2,l).

故选:B.

【变式3-3](2024•全国•模拟预测)已知zi=2—i,z2=a-2i(aGR,i为虚数单位).若z2在复平面

内对应的点分别为Zi，Z2，点。为原点，且。Z11OZ2，则。=()

A.1B.-1C.4D.-4

【分析】根据复数的几何意义可得。Z1=(2,-1),OZ2=(a,-2),即可利用向量垂直的坐标运算即可求解.

【详解】由题意，得。Zi=(2,-1),OZ2=(a,-2).因为OZJOZ2，

所以加•丽=2a+(—1)x(—2)=0,解得a=-l.

故选:B.

【题型4复数的相等】

【例4】(2023・全国・三模)已知[3=£1-历(£1力€7?),则£1+6的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【分析】由复数相等的充要条件可得a,b的值.

【详解】因为i3=a-bi(a,bCR),所以一i=a-bi,

由复数相等的充要条件得a=0力=1,所以a+b=l.

故选：C.

【变式4-1](2024•辽宁•模拟预测)已知答=2—i,居yeR,贝收+y=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据条件得出x+yi=(l+i)(2—i),再根据复数的乘法运算可得出％+yi=3+i,然后即可求出

久+y的值.

【详解】解：x+yi=(1+i)(2-i)=3+i,

・•・％=3,y=1,・,•%+y=4.

故选：C.

【变式4-2](2023•内蒙古包头•一模)设a(l+i)+b=-i,其中Q,b是实数，贝|()

A.CL=—l,b=—IB.a=-l,b=1C.a=l,b=1D.a=l,b=-1

【分析】利用复数相等即可求出结果.

【详解】因为a(l+i)+b=—i,即a+b+ai=—i,

则-2，即-1，

故选：B.

【变式4-3](2023•湖南岳阳・模拟预测)已知i为虚数单位，%,y为实数,若(％+yi)+2=(3—4i)+2yi,则

x+y=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】由复数相等可列出方程组求解.

【详解】由题意(％+yi)+2=(%+2)+yi=(3-4i)+2yi=3+(2y-4)i,

所以解得x=l,y=4,所以x+y=5.

故选：D.

【题型5复数的模】

【例5】(2024•湖北黄冈•模拟预测)已知复数z=*,万表示z的共辗复数，则|z|=()

A.乎B.|C.孚D.V2

4N2

【分析】利用复数的除法运算求出Z,再利用共辗复数及复数模的意义求解即得.

i・(l+i)_-1+i+因此万=KT，

【详解】(l-i)(l+i)=~T~

所以0=+(_|)2-¥•

故选：C.

【变式5-1](2024•河北•模拟预测)若复数z=3—4i,则|z-i-2|=()

A.V2B.5C.5V2D.7V2

【分析】由共辗复数的定义和复数的运算化简z-i-2,再由复数的模长公式求解即可.

【详解】因为z=3—4i,所以万=3+4i,

z-i-z=(3-4i)i-(3+4i)=3i-4i2-3-4i=-i+1,

所以|z,i-z\=|-i+1|=Vl2+I2=V2.

故选：A.

【变式5-2](2024•陕西西安・模拟预测)已知aeR,若z=含为纯虚数，贝||z|=()

A.V2B.2C.1D.1

【分析】先对z=^化简，然后由其为纯虚数，求出a,从而可求出|z|.

I注黜】T—a+i(a+i)(2i+l)_a-2+(2a+l)i

[注解JZ-2-1-(2i-l)(2i+l)-，

若Z为纯虚数，则a-2=0且2a+1H0,即a=2.

则z=-i,|z|=1.

故选：C.

【变式5-3](2024•山东枣庄•模拟预测)已知复数ZI,Z2,ZIKZ2,若ZI*2同时满足|z|=1和|z-1|=|z—i|,

则忆1一22|为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

【分析】设z=x+yi（%,yER）,根据|z|=1和|z-1|=|z-i|求出交点坐标，即可求出Zi/2，再计算其模即

可.

【详解】设z=%+yi（%,yeR）,则z-l=（%-1）+yi,z-i=x+（y-l）i,

由|z|=1和|z-l|=|z-i|,

所以久2+y2=1且+y2=（y-l）2+%2,

_V2f_V2

即%2+y2=1且％=y,解得［为或］金,

^=~yy=--

所以Z1=孝+学、Z2=—苧—学（或Z1=-¥-学、Z2=¥+争），

则Z］—Z2=孝+^i—（―亨一苧i）=鱼+（或Zi—Z2=-四一\/^i）,

所以IZ1-Z2I=J（烟2+（烟2=2

故选：C.

【题型6复数的三角表示】

【例6】（2024•内蒙古赤峰•一模）棣莫弗公式（cos%+i•sin。1=cos（?rr）+i•sin。%）（其中i为虚数单位）

是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（855+:5也92在复平面内所对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.

（详解】（cos］+i•s呜）=cosy+i-sing=­1+争，

在复平面内所对应的点为（-，孚），在第二象限.

故选：B.

【变式6-1］（2024•广东•模拟预测）棣莫弗公式（cos%+isin%）71=COSTU:+isirm%（i为虚数单位）是由法国

数学家棣莫弗（1667—1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数3=cos竽+i-sin等则小的值是

（）

1—

A.-3B,-C.3D.3

【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.

【详解】依题意知，3=cos竽+i.si喏=一,+争,

由棣莫弗公式，得34=(cosy+i-sin竽)4=cosy+i-siny=cos(3ny)+i-sin(3n—=-cos^+i・

•冗1,V3.

Sini="+Tb

所以口4二3

故选：c.

【变式6-2](2024•黑龙江哈尔滨•三模)复数z=a+bi(a力ER,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设

丁=|0Z|6是以久轴的非负半轴为始边，以0Z所在的射线为终边的角，贝ijz=a+bi=r(cose+isin。)，把厂

(cos。+isin。)叫做复数a+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

[r(cos0+isin0)]n=rn(cosn0+isinn0)(nEN*),例如：(一g+争)=(cos夸+isin9)=cos2ir+isin2ir

=1,(1+i)4=(V^(cos：+isin：))=4(cosn+isinn)=-4,复数z满足：z3=1+i,则z可能取值为

()

A.V2(cos+isinB.V^(cos?+isin?)

C.V^(cos芋+isin*)D.V2(cos+isin

【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得z=v^cos(等+")+isin(等+2)pcEZ,即可得

解.

【详解】设z=r(cos8+isin8),

则z3=1+i=V2(cos^+isin：)=r3(cos30+isin30),

所以厂=遮，33=2/CJI+^,k6Z,即6=等+喙/cEZ,

所以Z=闾cos(等+工)+isin管+副,keZ

故々=2时，6=~^~f故z可取V^(cos^isin^

故选：D.

【变式6-3](2023•湖北恩施•模拟预测)任意一个复数z=a+济都可以表示成三角形式，即。+万=丁

(cos。+isin。).棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗(1667—1754年)创立的，指的是：设两个复数Zi=Ti

(cos/+isin。。，z2=Xcos%+isin/)，则zg=r1r2[cos(01+02)+isin(6i+/)]，已知复数z=[+日

i,则Z2023+Z2+Z=()

A玛B.打争C,9争D.1

【分析】将z=1+孚i化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得Z2023/2的值，即可求得答案.

【详解】由题意可得z=：+争=cos^+isin*

203TT23lT

故22023-CQS^+isin°^=cos(674n+])+isin(674ir+])=cos]+isinp

所dL以I.oAooQz—TTTT21T2lTITTT

zNu/J+z+z=cosD-+isinD-+cos—J+isin—J+cosD--isinJ-

故选：B.

【题型7复数与方程】

【例7】(2024•山西阳泉•三模)己知2+i是实系数方程久2+p久一q=0的一•个复数根，贝[|p+q=()

A.-9B.-1C.1D.9

【分析】根据虚根成对原理2-i也是实系数方程式+px-q=0的一个复数根，再由韦达定理计算可得.

【详解】因为2+i是实系数方程/+px-q=0的一个复数根，

则2-i也是实系数方程好+px-q=0的一个复数根，

所以｛_J=(2+i)(2-i)，解得仁=-5,

所以p+q=-9.

故选：A.

【变式7-1](2024•黑龙江大庆•模拟预测)在复数范围内方程式2一2%+2=0的两个根分别为第1，%2,则

|xi+2x2|=()

A.1B.V5C.V7D.V10

【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解.

【详解】根据题意可得(%—1)2=—l=i2,

・•・%—1=±i,即久=1±i,

当久1=1—i,&=1+i时，xi+20=3+i,

|x^+2%21=+32=V10,

当％1=1+i,冷=1—i时，+2%2=3—i,

22

・•・氏+2X2|=Vl+3=V10,

综上，|%i+2%21=V10.

故选：D.

【变式7-2](2024•全国•模拟预测)已知l+2i是方程%2+血％+5=0(>162?)的一个根，则租=()

A.-2B.2C.iD.-1

【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.

【详解】方法1：由题意知(1+2i)2+m(l+2i)+5=0,即2+TH+(4+2m)i=0,解得m=-2.

方法2：根据虚根成对知l—2i也是方程的根，由韦达定理得(l+2i)+(l-2i)=-m,所以zn=-2.

故选:A.

【变式7・3】(2024•浙江杭州•模拟预测)已知方程/+比+1=。(其中i为虚数单位)的两根分别为

Z2，则有()

77z1Z2

A.z1=z2>0B.Zi+Z2=Z1Z2C.|1+Zi|=|1+Z2ID.Z1+Z2='

【分析】设方程%2+比+1=0的根为2=。+折，将其代入方程中的X中，根据复数相等的条件，构造方程

组，解出a也则两根Z1/2知道了，再逐项代入验证即可.

【详解】设方程%2+ix+1=0的根为z=a+bi(a,bER),

代入方程，(a+bi)2+i(a+历)+1=0,整理得(十一抉―}+1)+(a+2ab)i=0,

—Z)2—+1=0rji.ra=0

故ta+2a6=0'则b='

不妨令21=专鸟,，Z2=七鸟,

对于A:因为z：=a23是=—即在工2名，故A错误;

对于B：Zi+Z2=-iWZ1Z2=1,故B错误.

对于C：|l+Z1I=卜+^^卜［1+(^1^)2

2

|l+z2|=|l+^i|=Jl+(^f^)

因此，|1+Z1|W|1+Z2|,故C错误.

对于D：+菅=：=i,故D正确.

故选:D.

►过关测试

一、单选题

1.（2024・北京大兴•三模）已知（爪-i）2为纯虚数，则实数机=（）

A.0B.1C.-1D.±1

【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简再根据实部为0,虚部不为0得到方程（不等式）组,

解得即可.

【详解】因为（爪―i）2=m2—2mi+i2=m2—1—2mi,

又⑺一工为纯虚数，所以解得m=±L

故选：D.

2.（2024•新疆•三模）复数z满足|z+2i|=|z|,贝！Jz的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

【分析】设2=。+出，根据模长公式列出方程，求出6=-1,得到答案.

【详解】设z-a+历且a,bGR,贝！|z4-2i=a+bi+2i-a+（b+2）i,

因为］z+2i|=|z|,所以a?+（b+2）2=a?+块,解得：b=-1,则z的虚部为-1.

故选：C.

3.（2024•陕西西安•模拟预测）若复数z=J+,则|z|=（）

1—V3i11

A.V5B.V10C.5D.10

【分析】根据题意，结合复数模的计算方法，即可求解.

【详解】由复数z=号，可得|z|=撰^=仙+（一用=与=5.

故选：C.

4.（2024・浙江•模拟预测）若复数z满足z+22=3+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】利用复数的运算法则求出z,再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解.

【详解】设2=a+bi,（a,beR）,则Z=a一历,

则a+bi+2（a—历）=3+i,即3a—6i=3+i,所以3a=3,—b——1,

解得a=l,b=-1,故z=l-i,对应的点（1,一1）在第四象限.

故选：D.

5.（2024・浙江•模拟预测）已知2=吉迪，则0-1|=（）

A.1B.V3C.2D.学

【分析】根据复数的乘法、减法运算和复数的模计算得到结果.

2

【详解】由题得Z2—1=（三③）一1=二*1-1=今回，

则忆2-1|=j（-j）2+（-v）2=W，

答选：B.

6.（2024・四川内江•模拟预测）若复数z满足Z2-2Z+4=0,则|z尸（）

A.V3B.2C.V5D.V2

［分析］根据复数的四则运算以及复数模的计算公式即可求解.

【详解】因为Z2-2Z+4=（z-1）2+3=0,

所以（z—1）2=—3=3i2,

解得z=l士8i,

所以|z|=V1+3=2.

故选：B.

7.（2024・陕西安康•模拟预测）已知复数z满足（遮-i）z-i=6，则复数z的共辗复数万=（）

【分析】根据复数的除法运算化简复数z,由共朝复数的定义即可求解.

【详解】解：由题意，z=^=谣与打学，

则复数z的共朝复数万=3一纨

故选：A.

8.（2024•四川绵阳•模拟预测）欧拉公式=cos。+isin。把自然对数的底数e,虚数单位i,cos。和sin。联

系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.贝卜加+1=（）

A.-1B.0C.1D.i

【分析】把。=几代入欧拉公式即可。

【详解】e'"+1—COSTT+isinn+1——1+1=0.

故选：B.

二、多选题

9.（2024・江苏无锡•模拟预测）设zi/2为复数，则下列结论正确的是（）

A.\zrz2\=\zX\\z2\B.Z1+Z2=Z1+Z2

C.若|Z1|=|Z2|,则/=Z^D.Z<Z2"是"Z1-Z2<0"的充分不必要条件

【分析】设Zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),对于A：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于B：根

据加法运算结合共朝复数分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的概念结合充分必要条件

分析判断.

【详解】设zi=a+bi,z2=c+d\{a,btc,(i6R),

对于选项A：因为Z1Z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)if

所以忆逐2|=J(ac—bd)2+(ad+bc)2=迎2c2+，2d2+Q2d2+52c2,

2222

且忆11⑸I=Va+6Vc+d=A/I2c2+b2d2+a2d2+b2c2,所以忆逐21=|z1||z2b故A正确；

对于选项B：因为zi+Z2=(a+c)+(b+d)i西=a-bi^=c-di,

则zi+z2=(a+c)-(b+d)i西+友=(a+c)-(b+d)i,

所以Zi+Z2=五+及,故B正确；

对于选项C：若忆1|=忆2|，例如Zi=1+i*2=l-i,满足,1|=忆2|=VL

但*=(1+i)2=2i,Z2=(1-i)2=-2i,即若工23故C错误；

对于选项D:若Z1VZ2,则为/2都是实数，且Z1-Z2V0,即充分性不成立；

若z1一<0,例如Zi=1+i/2=2+i,且z1—Z2="1V0,

但Zi/2不是实数，无法比较大小，即必要性不成立；

综上所述：“Zi<z2”是“Z1-Z2<0"的充分不必要条件，故D正确.

故选：ABD.

10.(2024•湖北荆州•三模)已知复数z=zn2—i+(7n+R),则下列命题正确的是()

A.若z为纯虚数，则租=±1

B.若z为实数，贝吻=0

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2%上，则zn=-l

D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限

【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B,根据复数的几何

意义判断C、D.

【详解】复数Z=m2_i+(7n+DKMER)的实部为血2一1,虚部为zn+1,

复数z在复平面内对应的点的坐标为(血2_1,6+1),

对于A：若z为纯虚数，则黑匚：g，解得皿=1，故A错误；

对于B：若z为实数，则m+l=O,解得加=-1,贝iJz=O,故B正确；

对于C：若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，

•2

所以/n+1=2（血2一1）,解得血二-1或血二万，故C错误；

对于D：令部之二工即｛一工若1，不等式组无解，

所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.

故选：BD.

11.（2024•浙江舟山•模拟预测）已知复数Z]Z2是关于x的方程/+法+1=0（-2<6<2乃€11）的两根，下

列说法中正确的是（）

A.Zi=Z2B.彘eRC.\zr\=\z2\=1D.若6=1,则z：=z。=1

【分析】依题意求出两根为：Z1=-：+号4Z2=--吁i,再依次判断选项.

【详解】△=62一4<o,则刀=i±『i,

不妨设zi=*+与1i/2=-，号i，

则Zf=Z2，故A项正确；

|Z1|=|Z2|=J（—9+（q）=1,故C项正确；

而Z1•Z2=1,

八%Z2-Z11V22/22

当bMO时，故B项错误；

当b=1时,Z1=+学,Z2=一1~孚"

Zi=--^i=z2=Zi,z"zi=互，zl=z1z2=1,同理W=l,故D项正确，

故选：ACD.

三、填空题

12.（2024•山东青岛•二模）已知复数z满足（z+2）i=2z-l,则复数万=_二1_.

【分析】利用复数的除法运算求解.

【详解】易知z=妥=（蓝*（富）=£="所以万=T.

故答案为：-i.

13.(2024•上海•三模)i^z=m2-l+(m-l)i(i为虚数单位)，若z为纯虚数，则实数加的值为—二

【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.

【详解】由2=巾2-1+(小一1》为纯虚数，得｛卷解得加=一1,

所以实数加的值为-L

故答案为：-1.

14.(2024•江苏南通•模拟预测)复数2-3i与-1+i分别表示向量而与布，记表示向量法的复数为z,则

zZ=25.

【分析】根据题意，由向量的减法可得2=同=而-5X再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.

【详解】由题意可知，z=AB=OB-OA=(-1+i)-(2-3i)=-3+4i,

则万=-3-4i,所以z2=(-3+4i)(-3-4i)=9+16=25.

故答案为：25.

四、解答题

15.(2024•甘肃兰州•一■模)实数m取什么值时，复数z=爪+3+(ni-3)i是

⑴实数？

(2)虚数？

(3)纯虚数？

【分析】(1)(2)(3)利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答.

【详解】(1)复数z=巾+3+(m-3)i是实数，则771-3=0,解得m=3,

所以当巾=3时，复数是实数.

(2)复数z=m+3+(m-3)i是虚数，则m-3K。，解得小片3,

所以当meR,m羊3时，复数是虚数.

(3)复数z=zn+3+(zn-3