2025高考数学二轮复习：立体几何初步（三大考向） 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第九讲-立体几何初步（三大考向）-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考□卷，

4

2023•新高考□卷，

14

2024•新高考□卷，

柱、锥、台体的表面积与体5

1.高考对立体几何初步的考

积2022•新高考口卷，

查，重点是掌握基本空间图形

11

及其简单组合体的概念和基本

2023•新高考□卷，

特征、解决多面体和球体的相

9

关计算问题。同时需要关注异

2023•新高考□卷，

面直线的判定和成角问题、空

14

间点线面的位置关系问题、夹

2022•新高考□卷，

角距离问题、截面问题。这些

8

问题对考生的空间想象能力要

2023•新高考□卷，

求有所提升，需要考生有强大球的切接问题

12

的逻辑推理能力。

2022•新高考□卷，

7

2022•新高考□卷，

9

夹角问题

2024•新高考□卷，

7

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，口卷考查了

以棱台为背景的线面角的求法，总的来说，基本立体图形的表面积和体积属于常考

点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式和提升计算能力比较重要。预计2025年

高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台体的表面积和体积

计算。

三：试题精讲

一、单选题

1.（2024新高考口卷-5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高

均为6,则圆锥的体积为（）

A.2出nB.3君无C.6VD.9出兀

52

2.（2024新高考口卷-7）已知正三棱台ABC-的体积为了，AB=6,=2,

则4A与平面N3C所成角的正切值为（）

A.1B.1C.2D.3

高考真题练

一、单选题

1.（2022新高考口卷4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一

部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MQOkn?；水

位为海拔157.5m时，相应水面的面积为18O.Okm2,将该水库在这两个水位间的形状看

作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升至Ij157.5m时，增加的水量约为

（77®2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

2.（2022新高考□卷-8）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球

的体积为36万，且3WE36，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

■811「27811-「27641,f

A.18,—B.-C.—D.r[1o8,27]

_4JL44JL43_

3.（2022新高考□卷-7）已知正三棱台的高为I,上、下底面边长分别为3后和4石,

其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTTB.128TIC.144兀D.192兀

二、多选题

4.（2022新高考口卷-9）已知正方体ABC。-44GR，则（）

A.直线BG与0A所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90。

C.直线2G与平面班QD所成的角为45。D.直线BG与平面/BCD所成的角为

45°

5.（2023新高考□卷T2）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方

体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

6.（2022新高考□卷T1）如图，四边形ABCD为正方形，瓦＞，平面ABCD,

FB//ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E—AC。，F-ABC,尸-ACE的体积分别为

V%,%,则（）

A.匕=2%B.B=K

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

7.（2023新高考口卷-9）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，Z3为底面直径，

ZAPB=120°,上4=2,点C在底面圆周上，且二面角P-AC—O为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4班兀

C.AC=2&D.APAC的面积为6

三、填空题

8.（2023新高考□卷T4）在正四棱台ABC。-A耳GA中，AB=2,4g=1,A4,=应，则

该棱台的体积为.

9.（2023新高考□卷T4）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去

一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

知识点总结

一、棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成

的多面体叫做棱锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台,

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

正

四

棱柱棱

柱

凸

多

面长方体

体

正

方

体

二、圆柱、圆锥、圆台、球、组合体

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体

叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所

围成的几何体叫做圆锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，

简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

5、由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

三、表面积与体积计算公式

1、表面积公式

S直棱柱=+2s底

柱体

S斜棱柱=c，l+2s底(c‘为直截面周长)

2"

S圆锥=2万产+2万力=2兀y(r+/)64

S正棱锥+S底

锥体

表

S圆锥=冗卜+7irl=兀r(r+Z)坯

面4b

积

S正棱台="+a')h+S上+S卜.a

台体

22

S圆台=欣r'+r+r'l+rl)0M

球

S=4兀R?B

2、体积公式

/1

柱体4=S〃

体国

积

锥体vw=^sh

台体%=g(S+后'+S.

©

43

球

3

四、空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直

角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于

x轴的线段，在直观图中画成平行于。％,O'y',使/才。y=45（或135）,它们确定

的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于》轴的线

段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，

且长度变为原来的一般.可简化为“横不变，纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去犬轴、y'轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被

挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为也:4.

五、四个基本事实

基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论□:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论□:经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论□:经过两条平行直线，有且只有一个平面；

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线

共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

六、直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形/ZX7zS7工

符号ab-PaHbaa=A,b<^a,A^b

公共点个100

数

特征两条相交直线确定一个平两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何

面一个平面内

七、直线与平面的位置关系

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

//

符号lualf]a=P/□“

公共点个数无数个10

八、平面与平面的位置关系

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形

三a

LJ

a/3=1

符号a工B,aP=1

公共点个0无数个公共点且都在无数个公共点且都在

数唯一的一条直线上唯一的一条直线上

九、等角定理

1、定义：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

十、直线和平面平行

1、定义

直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作/口a

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果平面外的一条直线和这个平l//lx

面内的一条直线平行，那么这条6ua>=>/〃a

线口线nN__/IUa

直线和这个平面平行（简记为

线口面

“线线平行n线面平行

如果两个平面平行，那么在一个一&

a"B

平面内的所有直线都平行于另一aua

面口面n

个平面

线口面

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和一l//a

个平面平行，经过lu0>=>i//r

a/3=

这条直线的平面和

线□面n线□线

这个平面相交，那

么这条直线就和交

线平行

■*一、两个平面平行

1、定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和夕，若

a/?=0,则a口,

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定如果一个平面内有aua,bua,ab=P

理线口两条相交的直线都

allB，b〃B=a〃0

面n面平行于另一个平//

面，那么这两个平

□面

面平行（简记为“线

面平行n面面平行

线，面如果两个平面同垂2_____/_L，

n7>=>a□/?

n面口直于一条直线，那

面么这两个平面平行

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果两个平面平

面〃面=>

行，那么在一个平

a11B

线〃面面中的所有直线都>=>〃//

au%

平行于另外一个平

面

如果两个平行平面

同时和第三个平面

a//，

相交，那么他们的

性质定理aRiy=a'=a〃b.

交线平行（简记为

/Bny=b

“面面平行=>线面

平行”）

如果两个平面中有

面〃面=>

一个垂直于一条直/tva11[3

/./I.La

线，面线，那么另一个平

面也垂直于这条直

线

十二、直线与平面垂直

1、直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂

直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与♦

1

一个平面内

的两条相交a,bua

aLI

判断定理直线都垂7=>/_La

bU

直，则该直acb=P

线与此平面

垂直

两个平面垂

直，则在一

a工B

面口面口线口个平面内垂a(~\[3-a

1>=b_La

面直于交线的bu/3

bLa

直线与另一

个平面垂直

一条直线与

____L

平行与垂直

两平行平面a!1(3}n

aLa]

的关系中的一个平二口

面垂直，则

该直线与另

一个平面也

垂直

两平行直线ab

中有一条与

平行与垂直平面垂直，

的关系则另一条直a

线与该平面

也垂直

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一平ab

aLa\

性质定理面的两条直线

bLa]

平行

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一___a

垂直与平行a-La]

直线的两个a11/3

aL/3}

的关系/

平面平行J

如果一条直

线垂直于一

线垂直于面个平面，则

的性质该直线与平二

面内所有直

线都垂直

十三、平面与平面垂直

1、平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的

两条交线互相垂直.（如图所示，若acQ=CD,C"y,且

acy=AB,0cy=BE,ABLBE,贝Ua_L尸）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂

直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一b.La]

>=a_L尸

一个平面的垂

线，则这两个

平面垂直

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，则a工B

ac。=a

一个平面内垂直于}=匕J_a

bup

交线的直线与另一blaJ

个平面垂直

十四、直线与平面所成的角

1、定义

□斜线和斜足：如图，一条直线/与一个平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线

叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点/叫做斜足.

□斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点尸向平面a引垂线P。，过垂

足。和斜足力的

直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.

□斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直

线和这个平面所

成的角.

2、直线与平面所成的角的范围

□一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0。.

□一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90。.

□与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角。的范围是0。<6><90。.

□直线与平面所成的角。的取值范围是0。WOW90。.

十五、二面角

1、二面角的定义

□半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

口二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面

角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

□棱为面分别为a,£的二面角记作二面角如果棱记作/，那么这个二

面角记作二面角a

-I邛，如图(1).

□若在a,£内分别取不在棱上的点尸，Q,这个二面角可记作二面角尸-48-。，如果棱

记作/,那么这

个二面角记作二面角P-/-0,如图(2).

⑴

3、二面角的平面角

□自然语言

在二面角a-1-P的棱I上任取一点O,以点0为垂足，在半平面a和夕内分别作垂直于

棱/的射线0A和

0B,则射线0/和0B构成的口4。3叫做二面角的平面角.

□图形语言

□符号语言

an/3=l,OEI,0A(Za,0BU/3,OALl,OBLn口/03叫做二面角a-//的

平面角.

4、二面角大小的度量

□二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面

角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

□当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0。；当二面角的两个半平面合

成一个平面时，

规定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角'的范围是0。WaW180。.

名校模拟练

一、单选题

1.（2024・重庆•三模）若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为则该圆锥的侧

4

面积为（）

A.叵iB.2兀C.2正兀D.4兀

2.（2024•河北秦皇岛•三模）已知加，几表示两条不同的直线，。表示平面，则（）

A.若根cc,n//a,则B.若加a,m^_n,则〃_La

C.若根_La,mVn,贝!j〃〃aD.若zn_La,几ua,则机_L〃

3.（2024•新疆喀什三模）已知底面边长为2的正四棱柱A5CQ-AAG2的体积为

16,则直线AC与A出所成角的余弦值为（）

卜返B亚c叵D3M

'55'7（7'10

4.（2024•山东潍坊•三模）某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面

重合的圆锥组成.已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2,上圆锥的高与底面半径

相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）

AVioR1「应NA/15

5225

5.（2024•陕西•三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷

器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并

填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径

22.5cm,足径14.4cm,高3.8cm,其中底部圆柱高0.8cm,则黄地绿彩云龙纹盘的侧面

积约为（）（附：兀的值取3,J25.4025-5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

6.（2024・四川成都・模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱

体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底

面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的

截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V=g〃（S+4S°+S）,其中分别是上下

底面的面积，S。是中截面的面积，//为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两

底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长

宽比下底的长宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的

卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）

A.51车B.52车C.54车D.56车

7.（2024•天津河西•三模）如图，在三棱柱ABC-A4G中，E,尸分别为43,4C的中

点，平面石4G厂将三棱柱分成体积为匕，匕两部分，则匕：%=（）

A.1D1B.4D3C.6D5D.7D5

8.（2024・新疆•三模）设四棱台ABC。-A4GA的上、下底面积分别为耳，邑，侧面积

为S,若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（）

2

A.S=S&B.S=St+S2

C.S-2邪也D.直=£+病

9.（2024・天津北辰•三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家

能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”

到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创

新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱

组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其

内部注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

―3257r

C215兀D.------

,916

10.（2024•山东泰安•二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=4y[3,平面ABD_L平面BCD,则该球的表面积是（）

A.40TIB.80TIC.IOO71D.160兀

11.（2024•天津•二模）在如图所示的几何体中，底面ABC。是边长为4的正方形，

AA,,BG,CG,均与底面ABCD垂直，且朋=。6；=£>2=236=46，点&F

分别为线段BC、CG的中点，记该几何体的体积为V,平面AFE将该几何体分为两部

分，则体积较小的一部分的体积为（）

7

cD.

小22

12.（2024•江西鹰潭•三模）在菱形ABC。中，AB=2,AC=2®将一ABC沿对角线

AC折起，使点区到达&的位置，且二面角"-AC-。为直二面角，则三棱锥夕-ACD

的外接球的表面积为（）

A.5兀B.1671C.20兀D.100兀

二、多选题

13.（2024•山西•三模）将一个直径为10cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件

可以是（）

A.底面直径为8cm,高为6cm的圆柱体B.底面直径为8cm,高为8cm的圆锥

体

C.底面直径为7cm,高为9cm的圆锥体D.各棱长均为8cm的四面体

14.（2024•浙江•二模）正方体ABCD-44CQ中，E,P分别为棱AD和。2的中点,

则下列说法正确的是（）

A.A。//平面3EF

B.BCJ■平面

C.异面直线42与斯所成角为60°

D.平面3EF截正方体所得截面为等腰梯形

15.（2024•河南三门峡•模拟预测）已知正方体A8CD-ABGR的棱长为1,尸为8a的中

点，。为线段AC上一动点，贝IJ（）

A.异面直线AP与AR所成角为30

B.4"平面APB

C.平面平面叫

D.三棱锥A-QCtD的体积为定值

16.（2024•湖南长沙•三模）已知一圆锥的底面半径为G，该圆锥的母线长为2,A,B

为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（）

A.其侧面展开图是圆心角为后的扇形

B.该圆锥的体积为兀

C.从/点经过圆锥的侧面到达3点的最短距离为2A

D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2

17.（2024•河北保定•二模）如图1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFYAB,

CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,将四边形AEFD沿用进行折叠，使AD到达

AD位置，且平面AZXFE_L平面3CFE,连接AB,D,C,如图2,贝I］（）

A.BE±AD'B.平面A'£B〃平面ZXFC

jr

C.多面体AEBCD，尸为三棱台D.直线AD与平面BCFE所成的角为:

4

三、填空题

3

18.（2024・重庆•二模）将一个半径为£cm的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的

铁锭，若这个铁锭的底面边长为1cm和2cm,则它的高为cm.

19.（2024•浙江・三模）已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为5,侧面积为30无，

则圆台的高为.

20.（2024•贵州黔东南•二模）已知一个圆锥的底面半径为4,用一个平行于该圆锥底面

的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2,则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆

台的侧面积之比为.

21.（2024•上海奉贤二模）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图所

示.该模型为长方体ABCD-ABGA中挖去一个四棱锥O-EFG”,其中。为长方体的

中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=4cm,M=2cm,3D打印所

用原料密度为0.9g/cn?.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

S.

22.（2024•河南新乡•二模）在直三棱柱A4G—A8C中，AB±BC,ACl=2AAl=4,则

该三棱柱的体积的最大值为.

23.（2024・四川・三模）已知正四棱台ABC。-A4GA的上下底面边长分别为4,6,若

正四棱台的外接球的表面积为104兀，则正四棱台ABCD-ABGP的体积—

24.（2024・重庆•三模）已知一个表面积为4兀的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正

三棱柱的体积为.

25.（2024•山东济南・二模）将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲乙两个圆

锥的侧面，甲乙两个圆锥的侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为%和4.若萨=2,

则I.

26.（2024•河北秦皇岛•二模）已知正三棱台A8C-A4G的所有顶点都在表面积为65万

的球O的球面上，且AB=2A4=46，则正三棱台ABC-的体积为

参考答案与详细解析

:考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考口卷，

4

2023•新高考口卷,

14

2024•新高考口卷，

柱、锥、台体的表面积与体5

1.高考对立体几何初步的考

积2022•新高考口卷，

查，重点是掌握基本空间图形

11

及其简单组合体的概念和基本

2023•新高考口卷，

特征、解决多面体和球体的相

9

关计算问题。同时需要关注异

2023•新高考□卷，

面直线的判定和成角问题、空

14

间点线面的位置关系问题、夹

2022•新高考口卷，

角距离问题、截面问题。这些

8

问题对考生的空间想象能力要

2023•新高考□卷，

求有所提升，需要考生有强大球的切接问题

12

的逻辑推理能力。

2022•新高考口卷，

7

2022•新高考□卷，

9

夹角问题

2024•新高考口卷，

7

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，口卷考查了

以棱台为背景的线面角的求法，总的来说，基本立体图形的表面积和体积属于常考

点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式和提升计算能力比较重要。预计2025年

高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台体的表面积和体积

计算。

三：试题精讲

一、单选题

1.（2024新高考口卷-5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高

均为6,则圆锥的体积为（）

A.2扃B.3后C.6石兀D.9扃

【答案】B

【分析】设圆柱的底面半径为「，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径，•的方程，求

出解后可求圆锥的体积.

【详解】设圆柱的底面半径为「，则圆锥的母线长为尸口，

而它们的侧面积相等，所以2ax百=7irxg+/即2百=,3+5，

故r=3,故圆锥的体积为；畛9乂若=3石T.

故选：B.

52

2.（2024新高考口卷-7）已知正三棱台ABC-的体积为石，AB=6,A耳=2,

则AA与平面/3C所成角的正切值为（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高〃=递，做辅助线，结合正三

3

棱台的结构特征求得AM=乎，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三

棱台ABC-A与G补成正三棱锥P-ABC,AA与平面ABC所成角即为B4与平面ABC

所成角，根据比例关系可得/…c=18,进而可求正三棱锥P-ABC的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取BC6G的中点则AD=3"AR=6,

可知5板=］6、6、*9"54乌"*2、君=6

设正三棱台ABC-A与G的为跖

WOVABC-^BJC,=g（9A+6+,9代+6）/7=/,解得〃

如图，分别过A，2作底面垂线，垂足为M,N,设AM=X,

贝（J招=JAM2+4M2=y+与,DN=AD-AM-MN=26-x,

222

可得OR=ylDN+DtN=J（2V3-x）+y,

结合等腰梯形BCC再可得BB；［等［+DD；,

即/+g=（2右一尤『+g+4,解得尤=孚，

所以AA与平面ABC所成角的正切值为tan?AA。41M=1;

解法二：将正三棱台ABC-A与G补成正三棱锥P-ABC,

则4A与平面ABC所成角即为总与平面ABC所成角,

/—ABC1

因为，则

PAAB3^P-ABC27

可知匕BC-AB1G=2y^P-ABC=,则力-枷=18,

设正三棱锥P-ABC的高为d,贝！lL.c=*x；x6x6x#=18,解得d=2指,

取底面ABC的中心为。，贝!)尸。」底面ABC,且AO=2右,

PO

所以2与平面ABC所成角的正切值tanNPAO=^=L

故选：B.

高考真题练

一、单选题

1.(2022新高考口卷4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一

部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km，水

位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看

作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上