2024年中考数学题型突破：函数的实际应用之抛物线型问题16题（专项训练）（学生版）

类型四抛物线型问题(专题训练)

1.(2023・浙江温州・统考中考真题)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，

球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面

3m.已知球门高08为2.44m,现以。为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向

正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

2.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以。为坐

标原点，以OE所在直线为x轴，以过点0垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根

据设计要求：OE=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.

L/X/)

匕x/m

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照

明灯.已知点A、B到OE的距离均为6m,求点A、B的坐标.

3.(2023・湖北武汉•统考中考真题)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验,

收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离无（单位：m）以、飞行高度y（单位：m）随飞

行时间f（单位：s）变化的数据如下表.

飞行时间〃S02468

飞行水平距离x/m010203040

飞行高度y/m022405464

探究发现：》与乙V与/之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于

，的函数解析式和>关于f的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）.

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航

模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.

U）若发射平台相对于安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

（2）在安全线上设置回收区域〃N,4W=125m,MN=5m.若飞机落到MN内（不包括端点

M,N）,求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.

4.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面OA4可视为抛物线的一部

分，在某一时刻，桥拱内的水面宽。4=8m,桥拱顶点8到水面的距离是4m.

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点0.4m时，桥下水

位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会

触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；

(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线＞="2+法+c(a=0),该抛物线在x轴下方部分

与桥拱054在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移机(加＞0)个

单位长度，平移后的函数图象在8VXV9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，

求机的取值范围.

5.(2023・河北・统考中考真题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学

题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1机长.嘉嘉在点A(6,l)处将沙包(看成点)

抛出，并运动路线为抛物线6：丫=。5-3）2+2的一部分，淇淇恰在点8（0,c）处接住，然后

1M

跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2:y=-弓/++c+i的一部分.

OO

（1）写出G的最高点坐标，并求。，c的值;

（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包,

求符合条件的n的整数值.

6.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训

练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，

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建立平面直角坐标系.图中的抛物线Cy=--x2+-x+l近似表示滑雪场地上的一座小山

1：126

坡，某运动员从点。正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-1x2+6尤+c运

O

动.

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C?的

函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖

直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求〃的取值范围.

7.（2023・河南・统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知

识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.

如图,在平面直角坐标系中，点A,C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m,C4=2m,

击球点尸在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离Mm)近似满足一次函

数关系y=-0.4%+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离Mm)近似满足二

次函数关系y=a(%-iy+3.2.

y-

y=a(x-\)2-\-32

y=-0.4x+2.8B

___________________I.

"^|AC*

⑴求点P的坐标和a的值.

(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,

请通过计算判断应选择哪种击球方式.

8.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且AB=8

dm,外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为丫轴，高度OC=8dm.现计划将此余料进行切

割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积;

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；

(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由.

9.(2023•内蒙古赤峰•统考中考真题)乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，

中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开

的.如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75

cm的高度,将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.

OCB

图①图②

乒乓球到球台的竖直高度记为V（单位：cm）,乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）.测

得如下数据：

水平距离x/cm0105090130170230

竖直高度y/cm28.7533454945330

（1）在平面直角坐标系无S中，描出表格中各组数值所对应的点（x，V）,并画出表示乒乓球运

行轨迹形状的大致图象；

j/cm

60

50

40

30

20

10

°102030405060708090100110120130140150160170180190200210220230240"cm

（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm,当乒乓球落在对面球台

上时，到起始点的水平距离是cm；

②求满足条件的抛物线解析式；

（3）技术分析：如果只上下调整击球高度。4,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒

乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出。4的取值范围，以利于有针对性的训

练.如图②.乒乓球台长为274cm,球网高8为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰

好过网的击球离度。4的值约为L27cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处

时，击球高度。4的值（乒乓球大小忽略不计）.

10.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛

物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆

坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022

年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度。4为66m,基准点K到起跳台的水平距离为

75m,高度为/zm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之

间的函数关系为丁=公2+匕%+或。工0).

1Q

⑵①若运动员落地点恰好到达K点，且此时〃=-而乃二木，求基准点K的高度h；

②若a=一5时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为;

(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超

过K点，并说明理由.

11.(2023.广东深圳.统考中考真题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，

它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆

上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以

看作矩形A3CD和抛物线A£D构成，其中AB=3m,BC=4m,取中点O,过点。作

线段8C的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以。点为原点，所在直线为x轴，OE

为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

⑴如图，抛物线AED的顶点仪0,4),求抛物线的解析式;

⑵如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,

SMNR,若FL=M?=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK,求

BK的长.

12.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

素材1

图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m,拱顶离水面

5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨L8m达到最高.

5iw

图I

素材2

为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距

离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为L6m；为了美观，要求

在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.

问题解决

任务1

确定桥拱形状

在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

任务2

探究悬挂范围

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值

范围.

任务3

拟定设计方案

给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬

挂点的横坐标.

13.如今我国的大棚(如图1)种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬

菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端

固定在离地面高2米的墙体8处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大

棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离无(米)之间的关系满足

y=~x2+bx+c,现测得A,8两墙体之间的水平距离为6米.

(1)直接写出6,。的值；

(2)求大棚的最高处到地面的距离；

(3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为《37米的竹竿支架若干，已知大棚内可以

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搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

14.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m,在距离D点6

米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m,以桥拱顶点。为原点，桥面为x轴建立平面

直角坐标系.

(1)求桥拱项部0离水面的距离.

(2)如图2,桥面上方有3