2024年中考数学二轮题型突破专练：三角形全等与相似（专项训练）

类型一三角形全等与相似（专题训练）

1.（2023・四川宜宾・统考中考真题）已知：如图，AB//DE,AB=DE,AF=DC.求证:

ZB=ZE.

【答案】见解析

【分析】根据平行线的性质得出ZA=ZD,然后证明AC=DF,证明△ABCmADEFlSAS）,

根据全等三角形的性质即可得证.

【详解】证明：

ZA=ZD,

'：AF=DC,

：.AF+CF=DC+CF

即AC=DF

在AABC与中

AC=DF

<ZA=ZD,

AB=DE

：.AABC^ADEF（SAS）,

；•ZB=ZE.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的

关键.

2.（2023・福建・统考中考真题）如图，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求证：AB=CD.

BD

【答案】见解析

【分析】根据已知条件得出NAO8=/COD,进而证明根据全等三角形的

性质即可得证.

【详解】证明：•.•NA8=NCOB,

ZAOD-NBOD=ZCOB-乙BOD,

即ZAOB^ZCOD.

在和△COD中，

OA=OC,

<NAOB=ZCOD,

OB=OD,

:.AAOB'COD

AB=CD.

【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、

推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

3.（2023・全国•统考中考真题）如图，点C在线段BO上，在“LBC和ADEC中，

ZA=ZZ）,AB=DE,NB=NE.

求证：AC^DC.

【分析】直接利用ASA证明△ABCTADEC,再根据全等三角形的性质即可证明.

【详解】解：在AABC和ADEC中，

ZA=ZD

<AB=DE

ZB=ZE

.".△ABC^ADEC(ASA)

AC^DC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关

键.

4.（2023•四川乐山•统考中考真题）如图，AB、CD相交于点O,AO=BO,AC〃DB.求证:

AC=BD.

【答案】见解析

【分析】要证明AC=BD,只要证明4AOC会△BOD,根据AC//DB可得/A=/B,/C=/D,

又知AO=BO,则可得到△AOC0△BOD,从而求得结论.

【详解】（方法一）

,."AC//DB,

.*.ZA=ZB,ZC=ZD.

在AAOC与4BOD中

VZA=ZB,ZC=ZD,AO=BO,

.♦.△AOC名△BOD.

/.AC=BD.

（方法二）VAC//DB,

/.ZA=ZB.

在AAOC-*5ABOD中，

Z=ZB

[AO=BO,

ZAOC=ZBOD

：.AAOC^ABOD.

；.AC=BD.

5.（2023・山东聊城统考中考真题）如图，在四边形ABC。中，点E是边BC上一点，且3E=C£>,

ZB=ZAED=ZC.

A

D

BEC

（1）求证：ZEAD=ZEDA-,

⑵若NC=60。，DE=4时，求△血）的面积.

【答案】（1）见解析

（2）473

【分析】（1）由=求出ZR4E=NCED,然后利用AAS证明ABAE三ACED,可得

EA=ED,再由等边对等角得出结论；

（2）过点E作防工AO于R根据等腰三角形的性质和含30。直角三角形的性质求出DF和

AD,然后利用勾股定理求出所，再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】（1）证明：=

/.180°-ZB=180°-ZAED,即ZBEA+ZBAE=ZBEA+ZCED,

：.ZBAE=ZCED,

ZB=ZC

在△&!£1和△CO中，＜/A4£=NC£D,

BE=CD

：.△BAE^ACED(AAS),

EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA；

(2)解：过点石作AD于尸,

由(1)知E4=XD,

,?ZAED=ZC=6Q0,

：.ZAEF=ZDEF=30°,

•IDE=4,

：.DF=-DE=2,

2

：.AD=2DF=4,EF=JDE?-DF2=收-于=25

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含

30。直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键.

6.如图，BD//AC,BD=BC,点E在BC上,且=求证：ZD=ZABC.

【答案】见解析

【分析】

由题意易得NEBD=NC,进而可证△EDBgzXABC,然后问题可求证.

【详解】

证明：

；•/EBD=NC.

,:BD=BC,BE=AC,

：.AEDB^ABC(SAS).

：.ZD^ZABC.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

7.如图，点/、B、D、£在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证:

AABC^ADEF.

c

【答案】见解析

【分析】

根箍ACHDF,BCHEF,可以得到NA=NEDE,NA3C=/。防，然后根据题目中的条

件，利用/用证明乏△颂即可.

【详解】

证明：点4B,C,D,£在一条直线上

•；AC//DF,BC//EF

：.ZA=ZFDE,ZABC=ZDEF

在与△。即中

NCAB=ZFDE

<AB=DE

ZABC=NDEF

：.AABC^ADEF(ASA)

【点睛】

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS,ASA.

SAS.SSS,直角三角形可用班定理，但幽/、SSA,无法证明三角形全等，本题是一道较为

简单的题目.

8.如图，已知45=。。，ZA=ZD,AC与。3相交于点。，求证：ZOBC=ZOCB.

【答案】证明见解析

【分析】

根据全等三角形的性质，通过证明△A5O且△OCO,得05=0C,结合等腰三角形的性

质，即可得到答案.

【详解】

ZA=ZD

V<ZAOB=ZDOC,

AB=DC

：.AABO^ADCO(AAS),

OB=OC,

NOBC=NOCB.

【点睛】

本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角

形的性质，从而完成求解.

9.如图，点，在上，点£在力。上，AB=AC,ZB=ZC,求证：B氏CE

【答案】证明见详解.

【分析】

根据“力弘”证明△/哙△/四然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.

【详解】

证明：在△力跳'和△力切中，

Z=ZA

\AB=AC,

NB=NC

△ABE^AACD（ASA）,

：.AB=AD,

：.BD=AB-AD=AC-A^CE.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS,ASA.

4IS和班）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键.

10.如图，在四边形A3CD中，AD=3C,AC=应＞,AC与3。相交于点笈求证：

ZDAC=ZCBD.

【答案】见解析

【分析】

直接利用SSS证明匕△劭G即可证明.

【详解】

解：在△/徵和中，

AD=BC

<AC=BD,

CD=DC

：./\ACD^/\BDC(S5S),

J.ZDAOZCBD.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法.

n.如图，在△四C中,//%=90°,点£在然的延长线上，EDLAB于点、D,若BC=ED,

求证：CE=DB.

【分析】由“A4S”可证可得/£=力8,AC=AD,由线段的和差关系可得结论.

【解答】证明：•.•初，45,

：.ZADE=ZACB=90°,ZA=ZA,BC=DE,

：./\ABC^J\AED(MS),

：.AE=AB,AC=AD,

：.CE=BD.

12.如图，点。在线段劭上，且力员L〃?，DELBD,ACLCE,BC=DE.求证：AB=CD.

B

【分析】证明AZ阿丝△鹿(Z囹)，可得出结论.

【解答】证明：CABLED,EDLBD,ACLCE,

:・/ACE=/ABC=/CDE=9C,

：.ZACB+ZECD^90°,ZEC£h-ZCED^90°,

：.ZACB=ZCED.

在△2比和△。应中，

Z-ACB=MED

BC=DE,

/ABC=Z.CDE

:■△ABSACDE(ASA)f

：.AB=CD.

13.如图，点〃在Z6上，点片在/。上，AB=AQZB=ZG求证：BD=CE.

【分析】要证只要证明即可，而证明△/跆则可得小/£.

【解答】证明：在△力庞与△/缪中

Z.A=Z.A

AB=AC,

=zC

:.XAB-XACD.

：.AD=AE.

：.BD=CE.

14.如图，/B=NE,BF=EC,AC//DF.求证：△ABC^DEF.

BE

【分析】首先利用平行线的性质得出NZ*=N"无进而利用全等三角形的判定定理ASA,

进而得出答案.

【解答】证明：・・・力勿加；

/ACB=/DFE,

*：BF=CE,

：.BC=EF,

2B=乙E

在和△颂中，\BC=EF,

.^ACB=乙DFE

:■△ABSADEF(ASA).

15.如图，AC平分/BAD,AB=AD.求证：BC=DC.

【分析】由(iSASv可证△力比2△/%,可得比

【解答】证明：•・•〃:平分N为〃

：.ZBAC=ZDAQ

又•：AB=AD,AC^AC,

:.XABMXADC(SAS),

：.BC=CD.

16.如图，已知AB〃CD,AB=CD,BE=CF.

求证：

(1)XAB乂△DCE,,

(2)AF//DE.

B

【分析】

(1)先由平行线的性质得N6=NG从而利用弘S判定

(2)根据全等三角形的性质得//期=/庞4由等角的补角相等可得//也=/颇，再由

平行线的判定可得结论.

【解答】

证明：(1)-：AB//CD,

：.ZB=ZC,

,：BE=CF,

：.BE-EF=CF-EF,

即BF=CE,

在△/郎和△〃四中，

AB=CD

斗B=ZC,

、BF=CE

：.^ABF^/\DCE(S4S)；

(2),:XABF会XDCE,

：.AAFB=/DEC,

：.ZAFE=ADEF,

：.AF//DE.

17.如图，点C、E、F、6在同一直线上，点从〃在6。异侧，AB//CD,AE=DF,NA=ND.

(1)求证：AB=CD；

(2)若AB=CF,Z^=40°,求/〃的度数.

L

D

【分析】

(1)根据平行线的性质求出N8=NG根据阴S推出△/庞丝△〃爪根据全等三角形的性

质得出即可；

(2)根据全等得出/8=徽BE=CF,/B=/C,求出推出N-NCE9,即可求出

答案.

【解答】

(1)证明：YAB//CD,

：・/B=4C,

在△力庞和中，

乙4=乙D

Z-B=Z-C,

AE=DF

:.XAB的XDCF(A4S),

:.AB=CD；

(2)解：•:XAB恒XDCF,

：.AB=CD,BE=CF,/B=/C,

•・・N8=40°,

：.ZC=40°

•:AB=CF,

：.CF=CD,

：.AD=ZCFD=-X(180°-40°)=70°.

2

18.已知：如图，点6,〃在线段2£上，AD^BE,AC//EF,3/F.求证：BODF.

:.AB=ED9

AC//EF,

：.NZ=N£,

ZC=ZF

在和△应加中，＜ZA=ZE,

AB=ED

：./\ABC^^EDF(AAS),

：.BC=DF.

19.如图，AB=AD,BC=DC,点、E在AC上.

(1)求证：AC平分NBA。；

(2)求证：BE^DE.

【解析】

AB=AD

(1)在与△49C中，＜AC=AC

BC=DC

：./\ABC^^ADC(SSS),

ABAG-ADAC,

即AC平分/BAD.

(2)由(1)ZBAE=ZDAE,

BA=DA

在△掰£与△物£中，得＜NBAE=NDAE,

AE=AE

△胡正△加£(SAS),

:.BE=DE.

20.如图，在△板中，段是a'边上的中线，£是46边上一点，过点。作6F〃四交缪的

延长线于点F.

(1)求证：△BDE^XCDF；

(2)当ADLBC,AB=1,层2时，求4C的长.

【解析】

(1),/CF//AB,

：.ZB=ZFCD,ZBED=/F,

是5C边上的中线，.•.班＞=8,

:.△BDE^XCDF.

(2)V/\BDE^/\CDF,

：.BE=CF=2,

：.AB=AE+BE=1+2=3.

VADLBC,BD=CD,

：.AC=AB=3.

21.如图，BE是AABC的角平分线，在AB上取点D,使DB=DE.

(2)若NA=65。，ZAED=45°,求NEBC的度数.

【答案】(1)见解析；(2)35°

【分析】

(1)直接利用角平分线的定义和等边对等角求出N班D=NEfiC,即可完成求证；

(2)先求出再利用平行线的性质求出/ABC,最后利用角平分线的定义即可完成求

解.

【详解】

解：(1)•••BE平分NABC,

二ZABE=NEBC.

DB=DE,

ZABE=ZBED,

ZBED=ZEBC,

二•DEIIBC.

(2)・・・ZA=65。，NAED=45。,

ZADE=180°-ZA-ZAED=70°.

・・,DE//BC.

ZABC=ZADE=70°.

BE平分NABC,

ZEBC=-ZABC=35°,

2

即NEBC=35°.

【点睛】

本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本

题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了

学生对基本概念的理解与掌握.

22.如图，在AABC中，/4=40。，点〃£分别在边加，ACh,BD=BC=CE,连结

CD,BE.

(1)若Z4BC=80。，求NBDC,/4BE的度数.

(2)写出N3EC与N3DC之间的关系，并说明理由.

【答案】(1)NBDC=50。；ZABE=200■,(2)"EC+ZBDC=110。,见解析

【分析】

(1)利用三角形的内角和定理求出NACB的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出

NBDC,ZABE.

(2)利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含NABE

分别表示N3EC,ZBDC,即可得到两角的关系.

【详解】

(1)-.-ZABC=80°,BD=BC,

:.NBDC=/BCD=50。.

在△ABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

•.•NA=40。，

.•.ZACB=60°,

•;CE=BC,

:.NEBC=60°.

ZABE=ZABC-ZEBC=20°.

(2)NBEC,的关系：ZBEC+ZBDC.

理由如下：没ZBEC=a,4BDC=/3.

在AAB石中，aZA+ZABE=40°+ZABE,

•;CE=BC,

Z.CBE—Z.BEC-a.

ZABC=ZABE+ACBE=ZA+2ZABE=400+2ZABE,

在ABDC中，BD=BC,

ZBDC+/BCD+ZDBC=2/+40。+2ZABE=180。.

”=70。—NABE.

,-,«+/?=40°+ZABE+700-ZABE=110°.

:.ZBEC+ZBDC^110°.

【点睛】

本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等

腰三角形的性质.三角形的内角和等于180。.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之

和.等腰三角形等边对等角.

23.如图，已知43=。。，ZA=ZD,AC与。R相交于点O,求证：NOBC=NOCB.

【答案】证明见解析

【分析】

根据全等三角形的性质，通过证明△A5O2△OCO,得Ofi=OC,结合等腰三角形的性

质，即可得到答案.

【详解】

Z=ND

•/<ZAOB=ZDOC,

AB=DC

：.AABO^ADCO（AAS）,

OB—OC,

ZOBC^ZOCB.

【点睛】

本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角

形的性质，从而完成求解.

24.（2023・湖南•统考中考真题）在Rt^A3c中，ABAC=90°,AD是斜边上的高.

（2）若钻=6,BC=IO,求8。的长.

【答案】（1）见解析

（2）BZ）=y

【分析】（1）根据三角形高的定义得出ZADB=9Q°,根据等角的余角相等,得出NBAD=NC,

结合公共角=即可得证；

（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：：/区4。=90。，AD是斜边2c上的高.

/.ZADB=90°,ZB+ZC=90°

/.ZB+ZBAD=90°,

：.ZBAD=ZC

又•：ZB=/B

/.AABD^ACBA,

（2）\*AABD^/\CBA

.ABBD

••百一法’

又AB=6,BC=10

・•・加=四=羽=史.

CB105

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的

关键.

25.（2023・湖南•统考中考真题）如图，CALAD,EDLAD,点8是线段AD上的一点，且

（1）证明：AABCS/^DEB.

（2）求线段的长.

【答案】（D见解析

⑵BD=3

【分析】（1）根据题意得出NA=/D=90°,NC+ZABC=90。，ZABC+ZEBD=90°,则

NC=NEBD,即可得证；

（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解.

【详解】（1）证明：：AC，AREOLA。，

ZA=ND=90°,ZC+ZABC=90°,

'：CE1BE,

：.ZABC+ZEBD=90°,

：.ZC=ZEBD,

AABCSADEB；

(2).:公ABCs^DEB,

,ABAC

"~DE~~BD，

-：AB=8,AC=6,DE=4,

•

,•4-BD'

解得：BD—3.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的

关键.

26.（2023・四川眉山•统考中考真题）如图，YABCD中，点E是的中点，连接CE并延

长交54的延长线于点?

（1）求证：AF=AB；

（2）点G是线段AF上一点，满足/FCG=/FCD,CG交AD于点8,若AG=2,FG=6,求

G”的长.

【答案】（1）见解析

（2）1

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得至〃8,AB=CD,证明VAEF=VOEC（ASA）,

推出AF=C£>,即可解答；

（2）通过平行四边形的性质证明GC=G/=6,再通过（1）中的结论得到。C=AB=AF=8,

最后证明△AGASA。”，利用对应线段比相等，列方程即可解答.

【详解】（1）证明：••・四边形A8CD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

:.ZEAF^ZD,

•.•E是的中点,

AE=DE,

♦.・ZAEF=/CED,

:AAEF.DEC(AS0,

：.AF=CD,

.\AF=AB；

(2)解：•・・四边形ABC。是平行四边形，

,\DC=AB=AF=FG+GA=8fDC〃FA,

・•.ZDCF=NF,ZDCG=ZCGB,

・.・NFCG=NFCD,

.\ZF=ZFCG9

：.GC=GF=6,

・.・NDHC=ZAHG,

:./\AGH^ADCH,

.GHAG

'~CH~~DC'

^.HG=x^CH=CG-GH=6-x,

可得方程Y;=[2,

6-x8

解得尤q,

即的长为号.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键.

27.（2023・四川凉山・统考中考真题）如图，在YABCD中,对角线AC与8。相交于点。,

ZCAB=ZACB,过点B作交AC于点E.

D__________C

西

（1）求证：ACJ.BD；

⑵若A5=10,AC=16,求OE的长.

【答案】（1）见详解

（2）1

【分析】（1）可证AB=CB,从而可证四边形ABCD是菱形，即可得证;

（2）可求02=6,再证可得空=也，即可求解.

BOA0

【详解】（1）证明：•••NC4B=NACB,

/.AB=CB,

•••四边形ABC。是平行四边形，

「•四边形ABCD是菱形，

:.AC±BD.

（2）解：•.・四边形ABC。是平行四边形，

.\OA=-AC=S

2f

vACABD,BE上AB,

/.ZAOB=Z.BOE=ZABE=90°,

:.OB7AB2-OB2

=V102—82=6,

-,•ZEBO+ZBEO=90°,

ZABO-^-ZEBO=90°,

:./BEO=ZABO,

:AEBOS小BAO,

.EOBO

,•茄一茄’

.EO_6

9

解得：OE=-.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定

及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

28.（2023•江苏扬州・统考中考真题）如图，点乐F、G、”分别是YABCD各边的中点，连

接"、C石相交于点连接AG、⑦相交于点N.

H

AD

BFC

(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；

(2)若口4WCN的面积为4,求YABCD的面积.

【答案】(1)见解析

⑵12

【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG,四边形

AFCH均为平行四边形，进而得到：AM//CN,AN//CM,即可得证；

SHN1S1

(2)连接〃G,AC,跖，推出甘A皿NH=方^=3，/F”MC=5,进而得到

JAN”+S△尸MC=5(£ANC+S»MC)=]SOAMCN=2,求出

^uAFCH=S小.+S+MC+S口AMCN=2+4=6,再根据S口ABCD=2sQ4FC”，即可得解.

【详解】(1)证明：：YABC。，

AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,

•••点E、F、G、»分别是YABCD各边的中点，

Z.AE=-AB=-CD=CG,AE//CG,

22

.••四边形AECG为平行四边形，

同理可得：四边形A