安徽省省十联考2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

安徽省省十联考2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合M={x|x2A．{x|2<x<3} C．{x|−3<x<1} 2．已知i是虚数单位，若|1+ai|=5，则实数a=（）A．2 B．26 C．-2 D．±263．若向量a→=(1，0)，b→A．255 B．（45C．（455，254．“α=π6+2kπ，k∈ZA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．计算：cos105°A．32 B．−32 C．16．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（）A．34 B．2π−34 C．π−7．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，−π2<φ<0）的部分图象如图所示，x1，A．Asinφ B．ω C．φω 8．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2A．(22，32) B．(二、多选题9．下列命题正确的是（）A．设a，bB．若z1，z2C．设a，b是非零向量，若|D．设z1，z2是复数，若|10．已知正实数a、b满足a+b=2，则下列结论正确的是（）A．ab≤1 B．a+b≥2 C．a11．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“△ABC是直角三角形”的充分条件是（）A．sinA=cosBC．acosA=bcos12．已知0<x<πA．sin(sinx)<C．cos(cosx)<三、填空题13．已知向量a=(1，k)，b=(2，k−2)，若(a+14．求值：(lg5)15．已知tan(2α+β)=3，tan(α+16．△ABC中，AB⋅AC=AC2=12AB2，点P为△ABC所在平面内一点且四、解答题17．已知向量a=(−1，−1)，b=(0，1)，在①(t（1）若，求实数t的值；（2）若向量c=(x，y)，且c=−ya18．已知z是复数，z+2i和z1−i（1）求复数z的共轭复数z；（2）记z1=z+119．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P(x，y)，若点P位于x轴上方且（1）求sinθ−（2）求sin20．设函数f(x)（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x∈[0，π2]时，求实数m的值，使函数f(x)的值域恰为[121．如图，两个直角三角板拼在一起，∠ABC=45°，∠BCD=60°.（1）若记AB=a→，AC=b（2）若AC=1，求AE22．某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中AB=2百米，BC=1百米，AD=CD，AD⊥CD，草坪内需要规划4条人行道DM，DN，EM，EN以及两条排水沟AC，BD，其中M，N，E分别为边BC，AB，AC的中点．（1）若∠ABC=90°，求排水沟BD的长；（2）当∠ABC变化时，求4条人行道总长度的最大值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵集合M={x|xN={x|lg(则M∩N={x|2<x<3}故答案为：A.

【分析】结合函数图象解不等式，求出集合A、B，然后进行交集的运算即可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】∵|1+ai|=5，∴1解得a=±26故答案为：D

【分析】由复数模的计算公式求解，可得答案.3．【答案】B【解析】【解答】向量a→在向量b→上的投影向量为故答案为：B

【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解出答案.4．【答案】A【解析】【解答】若α=π6+2kπ若tanα=33，则故“α=π6+2kπ故答案为：A.

【分析】根据正切的函数值求出所对应的角，然后结合充分条件、必要条件的定义进行判定，即可得答案.5．【答案】B【解析】【解答】因为cos=−=−=−=−=−故答案为：B.

【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】因为勒洛三角形ABC的周长为π，所以每段圆弧长为l=π3r=即正三角形的边长为1，由题意可得S曲故答案为：C

【分析】由题意可得曲边三角形的面积为3个扇形面积减去2个三角形的面积，计算可得该勒洛三角形ABC的面积.7．【答案】D【解析】【解答】根据图象可知，函数f(x)的图象是由y=A由图可知f(x1所以x2x1=π−φ故答案为：D.

【分析】根据图象可知，函数f(x)的图象是由y=Asinωx向右平移−φω8．【答案】C【解析】【解答】由c2=a(a+b)，得c2∴a2+ab=a由正弦定理得sinA+2∵B=π−(A+C∴sinA+2即sinA=∵c2=a2+ab，∴又△ABC为锐角三角形，∴0<A<π∴A=C−A，解得C=2A，又0<A<π2，0<B=π−3A<π∴π6∴sinA∈(故答案为：C.

【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得C=2A，再求出A的范围，即可得sinA的取值范围.9．【答案】B,C【解析】【解答】A.设a，b是非零向量，则|a⋅b|=|aB.设z1=a+bi，a，b∈R，z1|=(|z1||C.设a，b是非零向量，若|aD.设z1=a+bi，a，b∈R，z1+z|z1+若|z1+又z1z2故答案为：BC

【分析】根据向量数量积的运算和向量模的运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,D【解析】【解答】因为正实数a、b满足a+b=2，对于A选项，ab≤(a+b2对于B选项，因为(a+b当且仅当a=b=1时，等号成立，B不符合题意；对于C选项，当a=32，b=1对于D选项，a2当且仅当a=b=1时，等号成立，D对.故答案为：AD.

【分析】利用基本不等式可判断A、B、D；利用赋值法可判断C.11．【答案】B,D【解析】【解答】对于A选项，因为sinA=cosB>0且A、B∈(0若A为锐角，则sinA=cosB=此时A=π2−B若A为钝角，则sinA=cosB=此时A=π2+B综上所述，△ABC为直角三角形或钝角三角形，A不满足条件；对于B选项，因为sin2A+即sin==2sin即sinCcosC=sinC所以，cos(A−B)=即cosAcosB+所以，cosA=0或cos因为A、B∈(0，π)，则A或B为直角，故对于C选项，因为acosA=bcos整理可得(a2−b2故△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不满足条件；对于D选项，因为c=acosB=a⋅a所以，△ABC为直角三角形，D满足条件.故答案为：BD.

【分析】利用正弦函数的单调性可判断A；利用两角和与差的正弦公式可判断B；利用余弦定理可判断C、D.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】当0<x<π4时，0<sin对于A选项，cos(sinx)=所以，0<sin因为函数y=sinx在(0，对于B选项，因为0<x<π4，则因为sinx+cosx=因为函数y=sinx在(0，对于C选项，因为函数f(x)=π2−2且f(0)=π2−2<0所以，存在x0∈(0，π4此时，sin(对于D选项，因为0<x<π4，则因为sinx+cosx=因为函数y=sinx在(0，故答案为：ABD.

【分析】利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断B、D；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C.13．【答案】-2【解析】【解答】由题意得，a+因(a+b)∥a故答案为：-2.

【分析】根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出k的值.14．【答案】1【解析】【解答】(=故答案为：1.

【分析】利用对数的运算性质化简计算可得答案.15．【答案】−【解析】【解答】由tan(α+π4所以tan2α=tan=3+故答案为：−

【分析】由两角和的正切公式可求出tanα=2，再利用正切的二倍角公式可求出tan16．【答案】π2；【解析】【解答】因为AB⋅AC=AC2所以AC⊥CB，即又因为AC2=1由正弦定理可得sinB=22所以△ABC是等腰直角三角形，令AC=BC=2，则AB=22如图，以点C为原点，以CA，CB为x轴，y轴建立直角坐标系，设则A(2，AP=(x−2，y)，AB因为AP=λAB+μAC，所以因为PA⋅PB=0，则点P所以点P的轨迹方程为(x−1)所以(x−1)2≤2，即所以当x=1−2时，λ+μ=2−x2故答案为：π2；

【分析】由AB⋅AC=AC2得AC⋅CB=0，从而得到C=π2，由AC2=12AB2可得|AC|=22|AB|

，从而得到△ABC17．【答案】（1）解：ta+b=(−t，1−t)，a+tb=(−1，t−1)，选①：由(ta+b)⋅(a+tb)=0，得（2）解：(x，y)=所以x=yy=1−x+y，解得x=1y=1|c【解析】【分析】(1)根据题意表示ta+b=(−t，1−t)，a+tb=(−1，t−1)，选择①时，根据向量垂直的充要条件即可求出t的值；选择18．【答案】（1）解：设z=a+bi(a，b∈R)由z+2i为实数，则b+2=0，所以b=−2，由z1−i=a−2i1−i则z=2−2i，复数z的共轭复数z=2+2i（2）解：由（1）可知，z由z1对应的点在第三象限，得2m+1m<0解得−故实数m的取值范围为(−【解析】【分析】(1)先对已知复数进行化简，然后结合复数的定义可求出复数z的共轭复数z；

(2)结合共轭复数的概念及复数的几何意义可求出实数m的取值范围.19．【答案】（1）解：由三角函数的定义，cosθ+sinθ=两边平方，得co则2sinθcosθ=−3所以sinθ−cosθ>0，sinθ−（2）解：由（1）知，sinθsin【解析】【分析】（1）由三角函数的定义得cosθ+sinθ=12，sinθ>0，两边平方求出2sinθcosθ<0，可得20．【答案】（1）解：由题设f(所以，最小正周期T=2π（2）解：当x∈[0，π2]，则所以f(x)∈[m，此时f(x)=2sin(2x+π6)所以f(x)在R上的对称中心为(kπ2−【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式整理得f(x)=2sin(2x+π6)+m+1，从而由正弦型函数求其最小正周期；21．【答案】（1）解：由条件，得AC=BC，BD=3因为AC⊥BC，BC⊥BD，所以AC∥BD，可得BD=AD=CD=（2）解：由条件，得AC=BC=1，AB=2因为AC∥BD，所以AEED则AEADAE→则AE=3而a所以AE⋅【解析】【分析】(1)利用向量共线定理可得BD=3AC，再利用向量三角形法则即可求出a→，b→表示向量AD，CD；

22．【答案】（1）解：因为∠ABC=π2，AB=2，所以AC=5，所以CD=因为∠ABC=∠ADC=π所以：∠BAD+∠BCD=π，可得：cos∠BAD=−在△BCD中：BD在△BAD中：BD解得：BD=322，即排水沟BD（2）解：设∠ABC=α，∠BAC=β，∠ACB=γ，由余弦定理得：AC在△