高三一轮复习 正弦定理和余弦定理讲义

学思堂教育个性化教程教案

数学科教学设计

学生姓名教师姓名班主任

日期时间段年级课时

教学内容正弦定理和余弦定理

教学目标应用正弦定理和余弦定理解三角形

重点正弦定理和余弦定理

难点正弦定理和余弦定理

教学准备

正弦定理和余弦定理

知识梳理

1.正弦定理和余弦定理

在△4BC中，若角A,B,。所对的边分别是小b,c,则

正弦定理余弦定理

教

教a____b____c___〃=〃+/-2/JCCOSA

-学

内容sinAsinBsinCb1=a1-\-c1-2tzccosB

为外接圆半径)

学(R/\ABCc2=cr+Z?2-2abcosC效

果

(l)a=2RsinA,》=2Rsin3,

过

c=2RsinC；b2+c2-a2分

2bc;

常见变(2)sin4=2R,sinB=?R,

程a2+c2-Z?2析

cosB=；

形2ac

sinC=2^；

cr+kr—c2

cosJ2ab

(3)a:b:c=sinA：sinB：sin

C

(1)已知两明和任一边，求其他

(1)已知三边，求三个角；

解决的两边和一角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第

问题(2)已知两边和其中一边的对

三边和其他两角

角，求另一边和其他两角

2三角形中常用的面积公式

(1)S=；R?(/?表示这。上的高).

(2)S=；〃csin4=；a/?sinC=J〃csinB.

(3)S=1&+=+c)(r为△ABC内切圆半径).

考点一利用正弦、余弦定理解三角形

【例1】(1)(2013・湖南卷改编)在锐角△ABC中，角A,8所对的

教

教边长分别为。，若2好足8=小/%则角A等于.

(2)(2014・杭州模拟)在△A3。中,角A,B,C所对的边分别为4,学

学b,c,若。=1,c=4®B=450,则sinC=.效

果

过

分

程析

规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；

已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函

数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

【训练1]⑴在△A8C中,4=2小,c=2吸,4=60。，则C=

(2)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是。，b,c,若/一加

=y[3bc,sinC=2、/5sin3,则A=.

考点二判断三角形的形状

【例2】(2014・临沂一模)在△A5C中,a,b,c分别为内角A,B,

C的对边，且2asinA=(2/?—c)sinB+(2c—Z?)sinC.

(1)求角A的大小；

(2)若sin8+sinC=45,试判断△ABC的形状.

教

教

学

学效

果

过

分

程析

规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的

三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系

式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得

出三边的关系.另外，在变形过程中要注意A,B,。的范围对三

角函数值的影响.

【训练2】(1)(2013•山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角4,8,

。的对边分别为。，b,c,且2d=2/+2户+心则△ABC的形状

是_________三角形.(填“直角”、“钝角”或“锐角”等)

(2)在△ABC中，若32+〃)sin(A—8)=32—〃)sinC,则△ABC的

形状是_________三角形.(填“锐角”、“直角”、“等腰”或“等

腰或直角”)

考点三与三角形面积后关的问题

【例3】(2013•浙江卷)在锐角△ABC中，内角A,B,。的对边分

别为a,b,c,且2asmB=小匕.

(1)求角A的大小；

(2)若a=6,〃+c=8,求△ABC的面积.

教

教

学

学效

果

过

分

程析

规律方法在解决三角形问题中，面积公式S=^absinC=y/?csinA

=%c、sinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、

余弦定理联系起来.

【训练3】(2013・湖北卷)在AABC中，角A,B,。对应的边分别

是a,b,c.已知cos2A—3cos(8+C)=1.

(1)求角A的大小；

⑵若△A5C的面积S=5小,b=5,求sinBsinC的值.

I课堂小结I

1.在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解

题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止

出现增解或漏解.

2.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时

可相互转化.如层二加+^—2bccosA可以转化为sin2A345*789=sin2B+

sin2C-2sin6sinCeosA,利用这些变形可进行等式的化简与证明.

教

教

课堂巩固学

学一、填空题效

1.（2013・盐城模拟）在AABC中，若，一好+庐=由"，则C=

果

过

2.（2014•合肥模拟）在△ABC中,2=60°,23=2,且△A3C的面分

程积丹,则BC的长为.析

3.（2013•新课标全国II卷改编）△ABC的内角A,B,C的对边分别

为a,b,c,已知Z?=2,8=%C=与，则△A8C的面积为.

4.（2013・山东卷改编）ZSABC的内角A,B,。所对的边分别为外

b,c.若8=2A,。=1,b=币,则c=.

5.（2013•陕西卷改编）设△ABC的内角4,B,C所对的边分别为m

b,c,若bcosC+ccos3=〃sin4,则△ABC的形状为三

角形（填“直角”、“锐角”或“钝角”）.

6.在AABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,c,若a=也

b=2,sinB+cosB=p,则角A的大小为.

7.（2014・惠州模拟）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为小b,

c.若（4+^2—〃）tanB=，§ac,则角B的值为.

8.（2013・烟台一模）设△A8C的内角4,B,C的对边分别为mb,

c,且。=1,b=2,cosC=；,则sin3等于.

二、解答题

9.（2014•扬州质检）在△ABC中，a,b,c分别是角4,B,C所对

的边，且4=gc+Z?COSC.

(1)求角8的大小；

(2)若S.ABC=5,b=叵,求〃+c的值.

教

教学

效

学