2024-2025学年人教版高二数学上学期复习：空间向量与立体几何重难点突破（11类题型）解析版

空间向量与立体几何重难点突破（11类题型）

总览1题型解读

重点题型

【题型1】通过基底表示目标向量.................................................2

【题型2】共面问题..............................................................5

【题型3】夹角，数量积，投影计算...............................................9

中档题型

【题型4】利用空间向量求线段长................................................12

【题型5】立体图形中的极化恒等式..............................................18

【题型6】点到直线距离问题....................................................22

【题型7】点到平面距离问题....................................................24

【题型8】求线面角.............................................................31

【题型9】求面面角，二面角....................................................37

压轴题

【题型101利用空间向量求最值与范围...........................................48

【题型11】综合性问题（选填压轴）.............................................55

1/67

模块一I重点题型

【题型1】通过基底表示目标向量

基础知识

一般是插入相关点把向量拆分成基底相关的向量，在某些适当的时候也可以通过结合爪型图来拆分

向量

1.在正四面体/BCD中，尸是NC的中点，£是。尸的中点，若诙=£DB=b^DC=c^贝I

1f一1f

C.—Q+6H—cD.—Q+6H—c

4422

【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可.

【解析］屉=丽+瓦=_瓦+；丽=_丽+?3*+硝=；£_3+?

2.如图'M,N分别是四面体。胸的边。a5C的中点，E是的三等分点，且管小用

向量力，砺，反表示无为（）

—►1—►1―►1—►

A.OE=-OA+OB+OCB.OE=-OA+-OB+-OC

6333

C.OE=-OA+-OB+-OCD.OE=-OA+-OB+-OC

663633

2/67

【答案】D

【解析】因为工7=彳，所以NM=3NE,

NM3

所以加_而=3（砺_砺），即砺=]两+§丽，

又两=;弧而=g（砺+区），

―►1―►1—►1—►

所以QE=—CU+—0B+—OC.

633

故选：D

【巩固练习1】如图，已知空间四边形。43C,MN分别是。43C的中点，且为=",砺=刃，历=]

用〃,B,c表示向量A/N为（）

1-11-

A.—a+—b+—cB.—a——7b+—c

222222

1_1_1_1_1-1一

C.——a+—b+—cD.——a+—b——c

222222

【答案】C

【解析】如图所示，连搂ON,AN,贝L

3/67

o

—►1—►1—►1-1——►—►——»11-1

ON=-OB+-OC=-b+-c,所以MN=ON—OM=一一a+-b+-c.

2222222

【巩固练习2】如图，平行六面体44G2中，瓦尸分别为。2,5。的中点.若

FE=xAB+yAD+zAAx,贝！j(x,y,z)=()

D\G

【答案】A

【知识点】空间共面向量定理的推论及应用

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法，求得而=-万+；而+g京I,进而求得x,y,z的

值，即可求解.

【详解】因为平行六面体488-48。］。中，£,厂分别为8c的中点，

^T^FE=ZE-ZF=ZD+-Z4I-28--ZD=-Z8+-ZD+-Z4I,

2222

—•--—■—.11,、，1

又因为=,可得x=-l,y=—/=3,即(x/,z)=—l，w，E.

22\22y

【巩固练习3】在四面体O-/8C中，设方=扇砺=瓦。心=4,。为8C的中点，E为的中点,

贝卮=()

4/67

o

A.-a+-b+-cB.-a+-b--c

244232

C.-a+-b+-cD.-a--b+-c

344344

【答案】A

【解析】因为。为3c的中点，E为的中点,

^^OE=OA+AE=OA+^AD=OA+^x^(AB+AC)=OA+^x(OB-04+0C-OA)

1—1—»1—►11-1

=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c

244244

【题型2】共面问题

基础知识

1.空间向量基本定理

如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量，，存在有序实数组{x,%z},使得

p=xa+yb+zc.

2.四点共面

0为空间中一任意点，若丽=+y赤+2反，且x+y+z=l,则O,A,B,C四点共面

3,下列命题正确的是（）

A.^p=2x+3y,则万与无，下共面

B.若声=2疝+3标，则/,尸,48共面

C.若科+砺+反+历=0，则42c。共面

—1—5—1—■

D.若OP=—OA+—OB——OC,则P,42,C共面

5/67

【答案】ABD

【知识点】平面向量基本定理的应用、判定空间向量共面

【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此

法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对

—•1•5—•1——3—•5—

OP=-OA+-OB--OC,可以利用线性运算转化为尸C=-P4+-P8,再进行判断.

26322

【详解】选项A,根据共面向量基本定理可知，万与无，?共面；所以选项A是正确的；

选项B,根据共面向量基本定理可知，而，疝，而共面,由于它们有公共点M,

所以Af,P,A,8共面；

选项C,举反例说明，若O/,OB,0c是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量，

则它们的和向量是以O为起点的对角线向量，而0D是该对角线向量的相反向量，

此时显然四个点4B,C,。不在同一个平面上，所以C选项是错误的；

—►1—►5―►1―►_kk

选项D,由00=7。/+:05-彳℃可得6。尸二304+508—20。，

263

贝“0=3刀-3赤+5砺-5赤+2赤-2双，即6=32+5而+2。，

则定=|•方+|•丽，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的

4,若忖石,己｝构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为()

A.a,a+b;a+cB.a,b,a+2b

C.a,ct—c>cD.b,a+c,a+6+c

【答案】A

【知识点】判定空间向量共面

【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.

【详解】｛7■寸构成空间的一组基底，则己不共线，

假设a,a+b,a+c^面，则存在不全为零的实数sj,使a=s(a+b)+t(a+c),即

a=(s+t)a+sb+tc9

则s+%=0/3+疟=0,则s=T,B=1,与不共线矛盾，故扇N++1不共面；

a=(a+2b)-2-b,故点+共面；

a=(a-c)+c9故5,5—乙己共面；

a+b+c=(a+c)+b,故B,5+,,5+3+5共面.

6/67

—•1—•1—■—.

5.。为空间任意一点，^AP=--OA+-OB+tOC,若A,B,C,尸四点共面，贝旷=

48

【答案】|

O

【知识点】空间向量共面求参数

____,1___k1____,____________

【分析】将后=——9+―砺+/反化简为：OP^-OA+-OB+tOC,利用四点共面定理可得

4848

31

-+-+t=\,即可求解.

48

【详解】因为=OP—(24,4P=一~-OA+—OB+tOC,

48

所以丽-万二二方+!历+灰,

48

—►3―►1—►—►

即OP=—04+—+,

48

31

由于A,B,C,尸四点共面，则:十二+%=1,

48

解得：t=-

8

一7-11-3

6,右向量”(I,-%.，b=1),c=(0,1,-5)共面,则“=

【答案】2

【知识点】空间向量共面求参数

【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得.

-113-

【详解】由6=(5，-],1),c=(O,l,--),得儿己不共线，

________7113

由a,6,c共面，得。=xb+yc,x,yeR,即。，-〃，万)=工弓厂联口+双。[,-/),

1,-1

2

1

则＜一,x+y=f,解得x=2,y=—1/=2,

37

x----y=—

22

所以刘=2.

【巩固练习1】(多选)设x=a+b，y=b+cz=c+a，且｛。,正｝是空间的一个基底，给出下列

7/67

向量组：①｛。区尤｝；②｛x,y,z｝；③抄,c,z｝；④｛x,y,a+3+z｝,则其中可以作为空间的基底的向量

组有（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】BCD

【知识点】判定空间向量共面

【分析】利用空间向量为基底作出一个平行六面体，利用空间关系来观察是否共面，即可得出判

断.

【详解】

x=a+b,根据平面向量基本定理得：a,b,x共面，｛或2亍｝不能作为空间向量的一个基

底.所以①不符合；

x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛落尻己｝是空间的-一个基底,

由图可知，四点4练。，2不共面，所以-y,三不共面，低为科可作为空间向量的一个基

底.所以②符合

，由图可知，四点44，。,C不共面，所以刃，c,三不共面，｛反己,彳｝可作为空间向量的一个基底,

所以③符合

,•*a+b+z=x+z,

J由图可知，1+三与嚏共面于平面430,显然亍对应的直线ADX2平面平面48。，

所以x,y,5+石+三不共面，｛只5,1+3+2｝都可作为空间向量的一■个基底.所以④符合

故选;BCD.

【巩固练习2】已知动点。在△N5C所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点尸,

都有而=_2泊+5诟+加而，则实数加的值为（）

A.0B.2C.-1D.-2

【答案】B

8/67

【知识点】空间向量共面求参数

【分析】由三点共面得到系数之和为1,从而解出加的值.

【详解】因为而=-2万+5丽-机无，动点。在△ZBC所在平面内运动，所以-2+5-〃?=1,解得

m=2.

【巩固练习3】已知向量Z=（2,—1,3）,6=（-1,4,-2）,"=（1,3㈤，若b,工共面，则4=（）

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【知识点】空间向量共面求参数

【分析】根据共面定理得工=加Z+痛，即可代入坐标运算求解.

【详解】因为Q,b,°共面，所以存在两个实数加、〃，使得。=加。+〃3,

2m—n=1m=1

即（1,3,入）=加（2,-1,3）+〃（一1,4,一2）,即〈一加+4〃=3,解得<〃=1.

3m—2n=A4=1

【巩固练习4】如图，在空间四边形。43c中，G是△4BC的重心，若而=xE+y砺+z（^,则

x+y+z=.

C

。《匚二…卜…9〃

【答案】1

【知识点】三角形的心的向量表示、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量

【分析】结合G是△ABC的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出.

—■1—•1—.

【详解】。为N8中点，连接OD,CD,有。。=5。/+］。6,

9/67

G是ZUBC的重心，则G在C。上，且CG=2GQ,

即才=2①，则有赤-双=2(历-砺)，

——►2―►1—►2(1—­1—1—►1—►1―.1—.

所以OG=—OD+—。。=--OA+-OB\+-OC=-OA+-OB+-OC

333(22J3333

可得x=y=z=1,则有x+y+z=l.

【题型3】夹角，数量积，投影计算

基础知识

与平面向量公式一致

7.(多选)已知空间向量初=(1,2,4),前=(0,-2,1),则()

A.~BA-BC=Q

B.0在五上的投影向量为(0,2,-1)

C.若向量屁=(1,0,6),则点E在平面45C内

D.向量10,-20，字］是与打平行的一个单位向量

【答案】ABD

【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B.

【详解】由已知可得法=(1,2,4)，丁=(0,-2,1),瓦•前=0-4+4=0,A正确；

由于胡18C,所以。在无上的投影向量即为无=(0,2,-1),B正确；

若丽在平面ABC内，则存在实数x,y,使得'BE=xBA+yBC,而

10/67

BE=(1,0,6),BA=(1,2,4),BC=(0,-2,l),

l=x

所以＜0=2x-2九

6=4x+歹

上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误;

所以D正确.

8,已知Z，b,展是空间中两两垂直的单位向量，则帆+3-24=()

A.7l4B.14C.V2D.2

【答案】A

【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解.

【详解】依题意得，同=忖=同=1,a-b=a-c=c-b=0-,

所以B-2c\=^a+b-2c)2=yj9a2+b2+4c2+6a-b-na-c-4b-c=J9+1+4=V14,

【巩固练习1】已知Z=(2,3,l),b=[1,-2-2),则1在书上的投影向量为()

A.2bB.-2b

C.-bD.

3-京

【答案】D

【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.

a.b_(2,3,1).(1,-2,-2)_2-6-2_2

［详解］用=俨+(_2)2+(_2)2=-9—=一§'

故Z在B上的投影向量为

【巩固练习2】已知同=4,空间向量)为单位向量，值冲=望，则空间向量5在向量3方向上的

投影向量的模长为()

11/67

A.2B.—2C.—D.g

22

【答案】A

a,c

【分析】由空间向量3在向量G方向上的投影数量为词",运算即可得解.

T―

【详解】由题意，同=4,同=1,伍0=子，

则空间向量G在向量巨方向上的投影数量为匕=।"।3|_l|

=-4x=

W—R一〔”厂

所以所求投影向量的模长为2.

【巩固练习3】在空间四边形CM3C中，OB=OC,NAOB=NAOC,则cos（方，亥的值为（）

A.；B.C.—D.0

222

【答案】D

【分析】先利用题给条件求得方.前的值，进而求得cos（E,前）的值.

【详解】如图所示，

■：OABC^OA（J）C-OB）=OAOC-OA-OB

=网■|oc|cos^AOC-网■网cosZAOB,

又OB=OC,ZAOB=ZAOC,

则网•|oc|cosZAOC-网-西•cos/AOB=0

,《_L瑟，，前[=],cos（QA,BC^=0.

模块二中档题型

12/67

【题型4】利用空间向量求线段长

/核心•技巧/

先把所求线段拆分成基底的形式，再将等式两边同时平方

9.如图，在四棱锥P-NBCO中，底面4BCD是边长为1的正方形，侧棱尸N的长为2,且尸/与

AB、ND的夹角都等于60。，M是尸C的中点，设施=入AD=b，AP=c.

(1)试用a,3,c表示向量两7;

⑵求BM的长.

__1-1-1-

【答案］⑴-6—a+-c

222

⑵手

2

【分析】利用空间向量基本定理用基底表示函7;(2)在第一问的基础上运用空间向量数量积运算

法则进行运算.

【详解】(1)JM=BC+CM=AD+^CP=AD+^(CB+BA+AP)

—►1—►1—►1—►1一1一1-

=AD——AD——AB+-AP=-b——a+-c

222222

/、--2(11-1-丫>21-21-2--1--1--

(2)BM=—b—a+—c=—b+—a+—c—a-b+—c-b—a-c

(2221444222

=—+—+1-0+—x2xlx---x2xlx—=—,所以=逅则BM的长为.

4422222।।22

13/67

10.如图在平行六面体48CD-48'C'D'中，48=3,40=1,44'=2,

/BAD=90°,/B44'=ND44'=60°,则/C'的长是.

【知识点】空间向量数量积的应用

【分析】根据题意，由条件可得定=万+7万+N7,再由空间向量的模长公式，即可得到结果.

【详解】因为苑=与+而+五？，所以|而『=（万+而+五J）?=|诟（+|亚『+|五7『

+21网画cos90。+2网.网cos60。+2画.网cos60。=9+1+4+0

+2x3x2x；+2xlx2x；=22,则|%|=夜，所以4C'的长是后.

11.如图，二面角2-/-4等于120。，A、3是棱/上两点，BD>/C分别在半平面。、夕内,

ACLl,BDLI,且45=4,AC=6,BD=8,则CD的长等于.

【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、空间向量数量积的应用、空间向量加减运算的几何表

示

【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即

可.

【详解】由二面角的平面角的定义知（丽，元）=120。，

:.BD-AC=\BD\\AC\cos（BD,AC）=8x6xcosl20°=-24,

由/C_L/,BDLI,得就•茄=0,而.9=0,^DC=DB+BA+AC,

2►►・------►2►2►2*■,•►.”

M二（DB+BA+AC）2=DB+BA+AC+2DB•BA+2DB•AC+2BA,AC

14/67

=82+4?+62-2丽•就=96-2x(-24)=164,

所以|DC|=2同，即CO=2jZi

jr

12.(23-24高二上•重庆・期末)如图，在平行六面体Z8CD-48cA中，ZAlAD=~,

Z.AXAB=,7.BAD=,AB=6,AD=4,AA1=36.,/C与3D相交于点O.

⑴求方.疝5;

(2)求4。的长.

【答案】⑴12

(2)4

【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积

【分析】(1)根据万•通=|方4・cos(万,1万)，代入数值直接求得结果;

(2)化简可得|葩卜;刀+；石-五《，然后采用先平方再开方的方法求解出R4,则4O的长可

知.

【详解】(1)2B-HZ)=|ZB|.|2D|-COS(M^5)=6X4XCOS|=12.

(2)因为而=与_可=|■就一麴=g(益+而)_•=：万+g同一石,

+-AB-AD-AB-AA,-AA.-AD

211

=J—x36+—x16+18+—x6x4xcos--6X3A/2xcos--3A/2X4Xcos—

V442344

=j9+4+18+6-18-12=近

【巩固练习1】在平行六面体/BCD-中，48=2,AD=2,AA1=2,

NB44=ZDAA,=60°,/BAD=90°,则|/Cj=

15/67

【答案】2百

【知识点】空间向量数量积的应用

【分析】根据题意，由条件可得苑=池+石+您，再由空间向量的模长公式计算即可得.

【详解】因为花=7§+通+五彳，

所以|福卜西+而+而『=|-12+,『+|—12

+2画.画cos90。+2画.网cos60。+2画.画cos60°

=4+4+4+0+2x2x2x—+2x2x2xi=20,

22

故函=回=2后

故答案为：26.

【巩固练习2】如图在一个60。的二面角的棱上有两点/、B,线段/C、8。分别在这个二面角的两

个半平面内，且均与棱48垂直，若48=0,AC=1,BD=2,则8=.

【答案】45

【知识点】空间向量数量积的应用

【分析】利用刀，百，丽表示①，根据数量积的性质求|无|即可.

【详解】由已知可得而=0+方+而，所以西=向+方+西=+万+而丫，

因为线段NC、BD均与棱48垂直，所以刀_L。，,

因为二面角的大小为60。，所以（X,丽）=60°,

16/67

1-----►------►-------\2/>2.2»2.“

所以Q)CA+AB+BD^=g+AB+BD+2CABD,

因为AB=6,AC=l,BD=2,

所以CD+22+2xlx2x--=75

12J

【巩固练习3】在正四面体/BCD中，M,N分别为棱8C、的中点，设在=£,AC=b，

AD=c,用b,口表示向量力法=,异面直线。加与CN所成角的余弦值为.

1-1

【答案】-(«+/>-2c)-

26

【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,

由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案；

(2)设异面直线ZW与CN所成角为6,将方耘，国用基底万，乙表示，代入公式计算得出答案.

【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则

(1)DM=DA+AM=-c+-^(a+b)=^(a+b-2c).

(2)由(1)DM=^(a+b-2c),又CN=AN-AC==；(a-2E).

又=Q,C=RC=；.设异面直线DA/与CN所成角为6.

|2赢.2球\(a+b-2c)-(a-2b)\

贝Ucos0=

12DM|-|2CN|V3-V3

^a-2a-b+a-b-2b2-25-c+46-c|+--2-1+21

3-3~6

【巩固练习4]如图，在平行六面体43cz)-4_8]CQi中，AB=5,AD=3,AAX=4,

NDAB=90。，/B44]=/D44=60。,E是CQ的中点，设池=2,AD=bAAx=c.

17/67

(1)求/E的长；

⑵求方和就夹角的余弦值.

【答案】(1)3指

⑵班

9

【知识点】向量夹角的计算、空间向量数量积的应用

【分析】(1)根据空间向量基本定理得到亚=2+否+g",平方后结合空间数量积公式求出

次2=54,求出答案；

(2)先求出万•就=卜+6+；43=12,结合空间向量夹角余弦公式求出答案.

【详解】(1)由题意得方=益+数+屋=£+通+工西=2+1+工)，

22

文AB=5,AD=3,必=4,ZDAB=90°,^BAA}=ZDAA}=60°,

故万2=(a+b+-c]=a2+b2+-c2+2a-b+b-c+a-c

I2J4

=5?+32+；x42+2同.J,cos90°+J,-|c|cos60°+同•同cos60°

=25+9+4+2x5x3*0+3x4x1+5x4x1

22

=25+9+4+6+10=54,

故卜目=3指；

(2)=+==|«|-|&|cos90°+|fe|2+1|c|-|fe|cos600

11

=5x3x0+392+—x3x4x—=9+3=12,

22

18/67

AE-BC12276

则cosZE,sc-

HR376x3丁

【题型5】立体图形中的极化恒等式

/核心•技巧/

在三角形ABC中（M为BC的中点），则方.就=|/叫2一忸闾2

证明（基底法）：因为BC=2BM,

所以瓦.就=（屈+痴）.（屈+标）=|/闾2-忸叫2

13.如图，半径为1的球。是圆柱。02的内切球，线段是球。的一条直径，点P是圆柱。02表

面上的动点，则万.丽的取值范围为（）

A.[0,1]B.[0,73]

C.[0,2]D.[1,2]

【答案】A

【分析】先把刀，诙都用A0表示，再根据而的模长的范围求出数量积的范围即可.

【详解】-：PAPB=（Pd+OA）（Pd+OB）,

因为线段22是球O的一条直径，

19/67

..5=砺,网=幽=1,

222PO=

■.•JE4PB=（TO+a4）（P0-a4）=TO-O4=|to|-1,又而[M=1，\\MAX>:百.丽e[O,l]

14,已知所是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则标.砺的最小

值为.

【答案】-32

【分析】根据已知条件及正方体的体对角线为正方体外接球的直径，再利用平面向量的数量积的运

算，结合平面向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意可知，斯为棱长为8的正方体外接球的一条直径，。为球心，M为正方体表面上的

任意一点，如图所示

则球心O也就是正方体的中心，

所以正方体的中心O到正方体表面任意一点"的距离的最小值为正方体的内切球半径，它等于棱长

的一半为4,石尸的长为正方体的对角线长为J&2+8?+82=8力.

该诉=（彷+码.（布+而）=（布+历）.（荻一砺）=|而『一函2

=西-=|OA1|-48,所以标.加的最小值为4?-48=-32.

15,正四面体羽CD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上的动点，当沙.而取得最小值时,

点尸到的距离为.

【分析】利用等体积法求得r=如，根据空间向量运算可得强.而二尸尸-,，则当尸E的长度最小

124

时，互5.所取得最小值，结合正四面体的结构特征运算求解.

【详解】设的中点为X,ABCD的中心为G,连接

20/67

即四面体4BCD的高为逅，则其体积为Lx^xlxlx也=

3322312

设正四面体48co内切球的半径为r,

由等体积可得4X!X』X1X1X——xr=,解得/=——,

3221212

如图，取力。的中点为后,

-----»-»------»-----»------»------»------2------------►------------►------------------2

则尸/.PZ)=(PE+E/>(PE+EZ))=PE+PE\EA+ED)+EA-EDPE

4

显然当PE的长度最小时，刀.而取得最小值.

设正四面体内切球的球心为o,可求得o/=1_"=Y5,

3124

V2

因为球心O到点E的距离d=yJOA2-AE2=

4

所以球。上的点尸到点E的最小距离为d-，=正一如=些-也

41212

即当莎•丽取得最小值时，点尸到AD的距离为36■一屈

3亚-布

故答案为:

~12

【巩固练习1】已知是正方体内切球的一条直径，点尸在正方体表面上运动，正方体的棱长是

2,则西7.丽的取值范围为（）

A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]

【答案】B

[分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得PM.PN=PO2-i，根据正方体的特点确定|PO|

最大值和最小值，即可求解

【解析】设正方体内切球的球心为。，则OM=ON=1,

21/67

---►---►/---►---»\/--►---»\---»2---►/---►---»\---►----

PM-PN=^PO+OMyyPO+ON^=PO+PO（OM+ON）+OMON,

因为是正方体内切球的一条直径，

所以而+加=0,OMON=-\,

所以两7・丽=丽2_1，

又点P在正方体表面上运动，

所以当户为正方体顶点时，po|最大，且最大值为百；

当尸为内切球与正方体的切点时，po1最小，且最小为1；

所以04所2-142，所以尸的取值范围为[0,2]

【巩固练习2】已知正方体N6CE>-44G。的棱长为4,球O是正方体的内切球，MN是球O的直

径，点G是正方体表面上的一个动点，则而.而的取值范围为（）

A.[0,8]B.[0,8）C.[0,4]D.[0,4）

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为球。是正方体的内切球，是球。的直径，

所以OM=ON=2,OM=-ON,OA/-O2V=2x2x（-l）=-4,

因为押•而=（诙+两卜（彷+而）=（彷+而>（彷_加）=诙2_丽2=|彷『_4,

又因为点G是正方体表面上的一•个动点，

所以当点G为正方体顶点时，修外有最大值，最大值为1542+4z+42=2小,

当点G为内切球与正方体的切点时，|诙|有最小值，最小值为2,

?P2<|GO|<2V3^>4<|GO|2<12^0<|GO|2-4<8,

22/67

即而.曲的取值范围为[0,8]

【巩固练习3】已知正方体/BCD-44G。的棱长为2,球。是正方体的内切球，点G是内切球。

表面上的一个动点，则无.沃1的取值范围为（)

【答案】D

【分析】根据题意，取3c中点为则面.品GH2-HC2=GH2-1＜再结合向量的运算，代入

计算，即可得到结果.

【详解】

取3c中点为〃，因为森=丽+丽，GC=GH+HC,

所以雷杳=罚一反2=痴一1­

又丽=诙+而，则曲2=诙2+而2+2的・而，

又正方体的棱长为2,则正方体的内切球半径为1,^|GO|=1,|OH|=V2,

所以GH2=3+2&COS®,OH）,

所以赤.沅=丽2-1=2+2缶0$（诙,丽），

所以当前，而反向时，cos（GO,O〃）=-l,^.岳有最小值为？-2】！;

当的，而同向时，cos（而，而）=1,而反1有最大值为2+2JI.

23/67

【题型6】点到直线距离问题

/核心•技巧/

点到直线的距离

已知直线1的单位方向向量为1,A是直线1上的定点，P是直线1外一点，设向量万=£在直线/

上的投影向量为Z。，则点P到直线1的距离为J/_(ZG)2(如图).

【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的

距离求得.

16.在空间直角坐标系中，已知4(14,-