2024-2025学年江苏徐州初中下学期九年级开学摸底考数学试卷（解析版）

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷

数学•考试版

（考试时间：120分钟试卷满分：140分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共24分）

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼.已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单

位：小时）：1,1.5,1.4,2,1.5,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.1.5,1.5B.1.4,1.5C.1.48,1.5D.1,2

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可

【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1,1.4,1.5,1.5,2,

则中位数是1.5,

1.5出现次数最多，故众数是1.5.

故选：A.

4D2

2.如图，在48c中，DE//BC,且分别交48.4（'于点D,E,若,叱=二，则下列说法不正确的是

AB5

()

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ADAEAE2S,,11r4DE2

ABACEC35四必修c“£218c3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利

用相似三角形的性质解答问题.

根据题意可以得到乙,然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以

解答本题.

【详解】解：,：DEBC,

LADE=ZJ,Z.UD=ZC,

ADEsA48C,

故A说法正确，不符合题意；

ADAC

DEAD2

,777=—r=7,故D说法错误，符合题意；

oCAD5

4EAD2

•,•-=-=7,故B说法正确，不符合题意；

ECDB3

S"（叫_4

，亚｛AB）25'

S.Dr4

•••1——=77,故c说法正确，不符合题意;

故选：D.

3.我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一

托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量

竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿

长y尺，根据题意得（）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=大）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量

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竿，则绳比竿短5尺列方程组即可.

[x-y=5,

【详解】解：由题意得'1,

卜-广5.

故选A.

4.二次函数j=（K+2ml-1,当x«5时「随、的增大而减小，则，〃的取值范围是（）

5555

A.ni<-B.m>--C.m>-D./»<

2222

【答案】D

【解析】

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数「-W-八厂-：的性质是解答本题的关键.

当。>Q时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大;

当。<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随尤的增大而减小.

【详解】解：了=口+2加I-1开口向上，对称轴是直线x=2m,

•.•当X45时「随x的增大而减小，

/.2>5,

/.m<二.

2

故选D.

5.如图，。。是边长为44的等边三角形J/U.的外接圆，点。是。的中点，连接80,CD.以点。

为圆心，8。的长为半径在C。内画弧，则阴影部分的面积为（）

【答案】C

【解析】

【分析】过。作18c于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出N8。C=120°,利用

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弧、弦的关系证明8。=C。，利用三线合一性质求出BE=；8C=2",ZBD£=|ZBDC=60°,在

□中，利用正弦定义求出8。，最后利用扇形面积公式求解即可.

【详解】解：过。作OE18c于E,

A

D

是边长为44的等边三角形48C的外接圆,

二八4"，"=60°，ABDC+Z.A=180°,

AZBDC=120°,

；点D是6（的中点，

•••n=co，

：.BD=CD,

ABE=-BC=243,ZBDE=-ZBDC=60°,

22

.on_BE273_.

sinZSDEsin60°

.120^-4:16万

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直

角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键.

6.如图，在4x4的网格中，以点。为圆心作圆，点A,B,C都在圆周上，其中A,C为格点，则/IBC

的正切值为（）

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A.gB.—C.1D.不确定

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了求正切值，圆周角定理.取格点D,连接,则C。为圆。的直径，根据

正切的定义可得tanN/OC==-=l,再根据圆周角定理，即可求解.

【详解】解：如图，取格点连接」CCO,则C0为圆。的直径，

.CAD=90-,

根据题意得：AC=6+2,=26,AD=VFTF=2JI，

tan/-ADC-=1,

AD

:ABC=ADC,

tan/.ABC=1.

故选：C

7.在同一坐标系内，一次函数r=ui+6与二次函数+8x+A的图像可能是

【解析】

【分析】40,求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出。＞0,然后确

定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解.

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【详解】x=0时，两个函数的函数值产"

所以，两个函数图像与〉轴相交于同一点，故B、D选项错误；

由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，

所以，。＞0,

所以，一次函数尸or+b经过第一三象限，

所以，A选项错误，C选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关

系是解题的关键.

8.如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为。G

上一动点，CRLAE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为()

【答案】B

【解析】

【详解】分析：连接AC,AG,由0G垂直于AB,利用垂径定理得到。为AB的中点，由G的坐标确定

出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的

长，由CG+GO求出0C的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE,得

到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点

B时，COXAE,此时F与O重合；当E位于D时，CA±AE,此时F与A重合，可得出当点E从点B出

发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长jo,在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出/

ACO的度数，进而确定出」0所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的

长.

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详解：连接AC,AG,

VGOXAB,

；.O为AB的中点，即AO=BO=-AB,

2

VG(0,1),即OG=1,

...在RtaAOG中，根据勾股定理得：AO=JAG'0G：-B

；.AB=2AO=2板，

又CO=CG+GO=2+1=3,

...在Rt^AOC中，根据勾股定理得：AC=〃(>+(?(>-2

VCFXAE,

•••△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，COXAE,此时F与O重合；当E位于D时，CAXAE,此时F与A重合,

当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长j(),

.40

中,。

RtAACOtanZACO==——-,

CO3

NACO=30。，

・・・]0度数为60°,

607rxV56

**•]0的长为—7t9

1803

点F所经过的路径长立;r.

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,

3

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故选B.

点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，

以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长是解

本题的关键.

第二部分(非选择题共116分)

二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分.

9.一元二次方程,1:-2025.V=0的解是.

【答案】x,=0,I.=2025

【解析】

【分析】本题主要考查解一元二次方程.运用因式分解法即可求出方程的解.

【详解】解：-2025.V=0，

2025)=0,

A.r=()，x2025=0，

io,v,=2025,

故答案为：(二。，v=2025.

10.圆锥的底面半径是4cm,母线长是6cm,则圆锥的侧面积是cm2(结果保留支).

【答案】24兀

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即

可.

【详解】解：•••圆锥的底面半径为4cm,

...圆锥的底面圆的周长=2兀・4=8兀，

圆锥的侧面积=।x8?rx6=24兀(cm2).

2

故答案为：2471.

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇

形的半径为圆锥的母线长.也考查了扇形的面积公式：S=l-1-R,Q为弧长).

2

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11.小红沿坡比为I的斜坡上走了120米，则她实际上升了米

【答案】60

【解析】

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键.根据题意设

铅直距离为x,则水平距离为,根据勾股定理求出、.的值，即可得到结果.

【详解】解：设铅直距离为x,则水平距离为,

根据题意得：/+(JJx)'=l20：,

解得：x=60,

则她实际上升了60米，

故答案为：60

12.如图，CO的半径是2,48是。。的弦，点C在。。外，连接」(.，BC,0C.若NB=30。，ZACB

=90°,则OC长的最大值为.

【答案】I•J：##

【解析】

【分析】当8c与CO交于点。时，连接04，0D,AD,过点。作于E,连接(?£,由圆周

角定理得到/AOD=2ZABC=60"则可证明^AOD是等边三角形，得到.4。=(〃=2,则£是,4。的

中点，AE=\,由勾股定理得到0£=曲6-"="，再由直角三角形的性质得到=根据

0C<0E+CE,可得当C、E、。三点共线，且点E在线段0C上时，0C有最大值，最大值为I+JT；,

当直线8C与。。交于点。，在优弧4。上取一点T,连接DT,连接0，，0D,AD,过点。作

0E1AD于E,连接CE，根据圆内接四边形对角互补求出「F=30\则:40。=2ZF=3(1"同理

可得CE=1,OE=6则0c<OE+CE<J5+1，据此可得答案.

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【详解】解：如图所示，当BC与CO交于点。时，连接0.hOD,U),过点。作OEL/。于E,连

接。£，

•••一-C=30°,

_.40。=2ZABC=60°,

■：0A=OD,

AOD是等边三角形，

JD=0A=2,

•：OE1AD,

是4。的中点，

VZ“0=90°,

C£==I,

2

0C<0E+CE,

...当C、£、。三点共线，且点E在线段OC上时，OC有最大值，最大值为1+6；

如图所示，当直线8c与00交于点。，在优弧40上取一点T,连接.JT,DT,连接0.4，OD,4D,

过点。作0E1于E,连接C£,

•••/ABC=30°,

；./48D=150°,

r=30°,

...AOD=2Zr=30°,

同理可得=OE=&，

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则OC<OE+CE<JJ+1；

故答案为：I+6.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，一点

到圆上一点的距离的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

13.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面4”,水面

上升3m时，水面的宽度为.

【答案】4

【解析】

【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关

键.根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把।=3代入抛物线解析式得出水面宽度,

即可得出答案.

【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴'.通过AB，纵轴「通过AB中点。且通过。点，则通过画图可

得知。为原点,

抛物线以「轴为对称轴，且经过A,8两点，0.4和08可求出为AB的一半，即4米，B(4,0)-4,0)

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抛物线顶点C坐标为（0,4），

通过以上条件可设顶点式F=ar，+4,其中u可通过代入'点坐标I4（））到抛物线解析式得出：a=-

所以抛物线解析式为v=-1.V2+4,

4

当水面上升3m,通过抛物线在图上的观察可转化为：

当J=3时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线,「=3与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把।=3代入抛物线解析式得出：

解得：x=±2,

所以水面的宽度为2+2=4m,

故答案为4.

14.二次函数1：3---w的图像与x轴有两个公共点，则，”的取值范围为

【答案】«<8

【解析】

【分析】本题考查抛物线与'.轴的交点坐标，二次函数与轴由两个公共点，即A>0,从而求出，”的范围,

即可求解.

【详解】解：二次函数I=h+h+m图像与*轴有两个公共点，

方程2r+%1戊=0有2个不等实数解，

A=/i-4dc=64-8ffl>0,

：.m<8,

故答案为M<8.

15.在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为

米

【答案】90

【解析】

【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离.

【详解】解：设A,B两地的实际距离为xcm,

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则,1：2000=4.5：x,

解得x=9000,

9000cm=90m.

故答案为：90.

【点睛】本题考查了比例尺的定义.要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算.

16.如图，.48。与是位似图形，点。是位似中心，08=I,若Su=2,则「

【解析】

【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方

BC

是解题的关键.根据位似图形的概念得到△ABC^^DEF,BC"EF,证明/OCs/OF,求出;二

EF

，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【详解】.­OB:BE=I,

OB:OE=\:1,

•：^ABC与ADEF是位似图形,

:“AMSADEF,BC■>!EF,

.j80csAEOF,

BCOBI

・'・---=----=-，

EFOE2

解得：s4：=s,

故答案为：8.

17.已知a是方程r-.r-3=0的一个根，则：!035-5「-5。的值为.

【答案】2020

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【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等

变式的方法是解决本题的关键.

首先根据a是方程3=U的一个根，可得广,°=3，再把代数式2035-5a：-5。进行恒等变式，

化为含有厂-u的式子，据此即可解答.

【详解】解：：。是方程「+3=(I的一个根，

..a'*a-3=0?

..。+a=3，

・•・2035-5a:-5a

=2035-5(A2+O)

=2035-5x3

=202(1,

故答案为：2020.

18.二次函数丫=2*2+6*+<:和一次函数y=mx+n的图像如图所示，贝ax2+bx+cWmx+n时，x的取值范围是

【分析】求关于x的不等式.二M“”的解集，实质上就是根据图像找出函数j，=a/+6+c的

值小于或等于Y="r+"的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围.

【详解】解：依题意得求关于x的不等式“：+鼻+cS+・的解集，

实质上就是根据图像找出函数j=a「+/N+c的值小于或等于丫mx+/i的值时x的取值范围，

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由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时X的取值范围是2<V<I.

故答案为：24x41.

三、解答题：本题共9小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

19.(1)计算：|-V3|-(ff-2025)°-2sin60°+^；

(2)解方程：「-41-5=Q.

【答案】(1)；C2).<I=>，»=5.

【解析】

【分析】本题主要考查实数的混合运算及特殊角的三角函数的计算，解一元二次方程，熟练掌握各个运算

法则是解题关键.

(1)先化简绝对值，零次幕及负整数指数幕的运算，代入特殊角的三角函数值，然后计算加减法即可；

(2)根据因式分解法求解一元二次方程即可.

【详解】解：⑴|-V31-(-2025)°-2sin600+f-1

=6-1-6+2

(2)V--4r-5=0,

因式分解得U+lllx5)=0,

/.x+1=0,x-5=0,

解得=-l,「='.

20.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试(满分100分).已知七、八年级各有200人,

现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：

七年级86947984719076839087

八年级88769078879375878779

整理如下：

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年级平均数中位数众数方差「

七年级84a如44.4

八年级8487db36.6

根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：a=,b=.

A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人

数；

(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.

【答案】(1)85,87,七；

(2)220(3)八年级，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；

(2)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；

(3)两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可.

【小问1详解】

解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,

84+86遁

根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为。=1-=85,

八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b=87,

A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；

故答案为：85,87,七；

【小问2详解】

—x200+—x200=220(人)

1010〈人3

答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；

【小问3详解】

我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，

理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以

八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好.

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【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计

算方法是解题的关键.

21.学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，

于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌（除牌面

数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，

小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,则小明胜；若和小于4,则小红胜；若和等于4,

则重复上述过程.

（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是;

（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

【答案】（1）g

（2）树状图见解析，该游戏对双方公平

【解析】

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：

（1）根据概率计算公式求解即可；

（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果,

再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论.

【小问1详解】

解：：一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，

.♦•小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是g,

故答案：~;

【小问2详解】

解：画树状图如下所示：

开始

小明123

/T\/N/K

小红123123123

和234345456

由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4

的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，

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3131

...小明获胜的概率为Z=彳，小红获胜的概率为二=一，

6262

...小明和小红获胜的概率相同，

该游戏对双方公平.

22.某农场拟建矩形饲养室.4SCO,一面靠现有墙（墙长为30m）,另外三面及中间用围栏围起来（中间

的围栏EF把矩形X8CD分成两个小矩形），并在如图所示的三处各留1”宽的门，已知可用围栏（不包括

门）的总长为54m，若建成的矩形饲养室月SCO总面积为,求围栏48的长.

【答案】围栏,48的长11米；

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程解决形积问题，根据总长表示出长宽，列方程求解即可得到答案;

【详解】解：由题意可得设宽为N米，则长为：54+33x=（57-3w米，由题意可得,

x157-3xI=264,

解得：内=8,工=11,

当.±=8时，573x=33>30不符合题意,

当天=11时，57-3*=24<30符合题意,

J5=11,

答：围栏48的长II米.

23.如图，等腰中，18=",。是BC中点，ZEDF=ZB.

(1)求证：△BDEsbDFE；

(2)已知8£=：!,=3,求OE的长.

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【答案】(1)见解析(2)£>E=C.

【解析】

【分析】本题考查相似三角形判定与性质.

BEDEBEBD

(1)先证明ABDEs△c「D得到比例式=等量代换得到不==/，由=从

CDDFDEDr

而证明出二8D£s△DFE；

BEDE

(2)由nBDE“'心DFE,推出不二="，代入数据计算即可求解.

DEEF

【小问1详解】

证明：*.•AB=AC,NEDF=/8，

Zfl=ZC=£EDF.

,."EDC=ZEDF+ZFDC=ZB*£BED,

AZSED=ZFDC,

BDE-iCFD,

.BEDE

*CD-DF'

又；BD=CD,

BEDEBEBD

..——---，即nn■—----,

BDDFDEDF

,/EDF=Zfi，

/.Hi)2岂DFE；

【小问2详解】

解:；ABDE。、心DFE,

.BEDE

"'DE~~EF'

；S「2,EF=3,

2DE

：.=——，

DE3

DE二瓜.

24.杨靖宇将军纪念馆是河南省文物保护单位、河南省中小学教育基地、河南省国防教育基地，纪念馆自开

放以来，平均年接待参观人数30余万人、参观团体数百个，较好发挥了爱国主义教育基地作用，为树立驻

马店良好形象做出了较大贡献.兴趣小组到杨靖宇将军纪念馆测量将军塑像的高度.如图所示，塑像DE在

高2r的基座区上，在A处测得塑像底部E的仰角为17。，再沿.4C方向前进0.85m到达B处，测得塑像

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顶部。的仰角为60c.

（1）求将军塑像。E的高度；

（2）对比铭牌数据，可知计算结果与实际高度稍有出入，请你写出一条减少误差的建议.（精确到（）1m.参

考数据：sinl7=0.29,cosl7«0.96,tan17O.3O，V3»1.73）

【答案】（1）将军塑像。E的高度约为8.1米

（2）多次测量求平均值（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角的问题，熟练掌握知识点是解题的关键.

CE2

⑴先解R—・，求得/八亦=前’6.67,则=再解RGC。，求

得C。10.07,即可求解；

（2）建议为：多次测量求平均值（答案不唯一）.

【小问1详解】

解：由题意得：Z£.-IC=l';,ZJSC=60,EC.48=0.85,ZJC£=90°,

CE

R1A.4CE中，AC==—»6.67

tan17°0.30

V.45=0.85,

8C=AB=5.82,

在Rt-C。中，tan600=——=,

BC

CD=&BC*1.73x5.82*10.07,

DE=CD-EC=10.07-2«8.1m.

第20页/共29页

答：将军塑像。E的高度约为8.1米.

【小问2详解】

解：建议为：多次测量求平均值（答案不唯一）.

25.如图，48是CO的直径，C是圆上的一点，CD1.4。于点。，4。交CO于点R连接.4C,若

AC平分/DAB，过点尸作FG，于点G,交.4C于点H.

（2）延长48与。。交于点E,若4BE，求——的值.

AF

【答案】（1）见解析（2）g

【解析】

【分析】对于（1）,连接0C,根据等腰三角形的性质得LCAO=AACO,由角平分线定义得

^DCA=ZOJC,等量代换得Z0C/=/HCO,根据平行线得判定定理得到4。0C，由平行线得性

质得出答案；

对于（2）,设BE=x,则U=3x.J£=4x,即可得0E＜。的值，再根据勾股定理求出C£的值，证明

AAHFS.CE,可得答案.

【小问1详解】

连接0C,

•••AC平分，

AZD.4C=ZOAC

第21页/共29页

ZDJC=Z.4C0,

AADOC.

VCD1AD,

：.0C1CD.

•：0C是CO的半径，

.♦•CO是CO的切线；

【小问2详解】

•••一；屋.0「0B,

设8£=x,则：3;r.JE=4x,

：.•：<：OB\5x.OE=2.5.1.

•：oc1CE,

；•EC=>jOE--OC'=V(2.5x)2-(1.5x):=2.v.

•：FG1AB,

.•._.4GF=90°,

：.^AFG+Zf.4G=90°.

■：1COEiLE=90°,ZCOE=^DAB,

/.ZE=2AFH.

VZFAH=/.CAE,

••.A.WS.CE,

•FH_CE_2K_1

"7F~7E~7X~2'

【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线

的性质和判定等，连接圆心和圆上一点的线段是证明切线的常用方法.

26.在ABC中，点。在边48上，若CD：=4DDB，则称点。是点C的“关联点”.

⑴⑵

第22页/共29页

⑴如图(1),在/8C中，若乙4C8=9Q：.CD于点o.试说明：点。是点C的“关联点”.

(2)如图(2),已知点。在线段48上，用无刻度直尺和圆规作一个ABC,使其同时满足下列条件

①点。为点C的“关联点”；②是锐角(保留作图痕迹，不写作法).

(3)若.48C为钝角三角形，且点。为点C的“关联点”.设=2.DS=4,直接写出的取值范

围.

【答案】(1)证明见解析

⑵图见解析⑵2&<AC<2+26或16<AC<1

【解析】

【分析】(1)证A/ICD-'.CBD,根据“关联点”的定义即可得结论；

(2)以48为直径作00,过点。作48的垂线，交C0于尸，由圆周角定理可得乙4P8=90°,由(1)

可得DP：=，以。为圆心，0P为半径作圆，在直线DP左侧、点A的右侧的2。上取点C作

ABC即可得答案；

(3)分类讨论，根据第二问可得出钝角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可.

【小问1详解】

证明：VCDAB,

ZCD.-I=ZCDB=9尸，

ZAiZ.ACD=90°,

£ACB=90c,

:「BCD+£ACD=90°,

ZA=ZBCD,

•：LCDA=ZCDB=90c,

：'(!)■■.CBD,

CDAD

---=---,

BDCD

：.(D'=ADDB,

...点。是点C的“关联点”.

【小问2详解】

解：如图，①作线段18的垂直平分线，交48于点。；

②以。为圆心，0』为半径作圆；

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③过。作。户一48交00于点P；

④以。为圆心，DP为半径画圆，在直线DP左侧、点A的右侧的3。上取点。，连接』C、BC,

.48。即为所求,

在以18为直径的圆上运动,

:"APB=90°,又PD1AB,

由（1）可知：DP:=1DDB，

■：DC=DP,

：.CD'=ADDB,

点。为点C的“关联点”；

•.•点C在CD上且在直线P。的左侧、点A的右侧，

/...ICB是锐角三角形.

【小问3详解】

解：①如图，结合第（2）问，当点C在。。上且在直线DP右侧时，△4C8是钝角三角形,

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D\

4

:点。为点C的“关联点”，

：：C-=DADB,且ID=2.D8=4,

:DC：=DP：=8，

当点C与尸重合时，ZJCB=9。"

此时4c=AP=>JAD2+DP2="+8=2>/3；

当点C在线段8。上时，/.ACB=180°,

此时/C=M+DC=2+而=2+2应，

•*.273<JC<2+272；

②如图，当点C在点A的左侧时，△/C8是钝角三角形,

当4C，.48时，ZC.45=90c,此时J。。？一402=^77=2,

当点C在BX的延长线上时，/.CAB=180"此时JC=DC4。=?7

综上，满足条件的.4(?的取值范围为26</。<2+24或2JT2<

第25页/共29页

【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握

相关知识和正确理解题意，分类讨论和数形结合是解题的关键.

27.抛物线交x轴于A,B两点（A在8的左边），交y轴于C,直线「=7+4经过8,C

两点.