2024-2025学年高二年级上册第三次月考数学试卷（含答案）

永州市第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知直线/:x=a(aeR),则直线的/倾斜角为()

A.OB.-C.71D.不存在

2

2.数列1,-3,5,-7,…的第9项是()

A.-19B.19C.-17D.17

3.下列可使非零向量b,工构成空间的一组基底的条件是()

A.方，b,守两两垂直

B.b=Ac

C.a=mb+nc

D.a+b+c=0

4.已知也｝是等比数列，若/=3,4=27,则.的值为()

A.9B.-9C.+9D.81

5.已知P(1，M为抛物线y2=8x上一点，R为抛物线的焦点，则|PF|=()

A.lB.2C.3D.4

6.已知直线/:x-y+l=O,从点4(-2,3)射出的光线经直线/反射后经过点5(2,4),则光

线从A到3的路程为()

A.2B.3C.5D.6

2〃+7

7.等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为S”和T,，若＞=则

4+23〃+6

I।^^20

=()

々+九

-1509'46-6

2222

8.已知椭圆G：*+==1('>4>0)和双曲线。,：^—3=1(小>0,4>0)有公共的

%a2b2

焦点，其中片为左焦点，尸是G与G在第一象限的公共点•线段P片的垂直平分线经过

坐标原点，若G的离心率为5,则。2的渐近线方程为（）

A4Sn工E「工向n工E

A.y=±xB.y=±------xC.y=±------xL）.y=±----x

3277

二、多项选择题

9.下列选项正确的是（）

A.过点（—1,3）且和直线3x+2y-7=0平行的直线方程是3x+2y-3=0

B.“=—1”是“直线心_丁+1=0与直线％_胡_2=0互相垂直”的充要条件

C.若直线（：x+2y+l=0与/,:2x+ay—2=0平行，则人与乙的距离为撞

一~5

D.直线xsina+y+2=0的倾斜角，的取值范围是0,£U兀］

10.已知公差不为0的等差数列｛a“｝的前〃项和为S“，且69=126,6是%与％o的等

比中项，则下列说法错误的是（）

A.%+%=28

B.ag-a7=4

C.当S“>0时，”的最大值为22

D.当s“取得最大值时，〃的值为n

11.在棱长为遂的正方体ABC。-A4Gq中，点P在正方形AD2A内（含边界）运

动，则下列结论正确的是（）.

A.若点P在AD,上运动，则PB±A｝D

B.若Pfi〃平面，则点尸在4。上运动

C.存在点P,使得平面P5D截该正方体的截面是五边形

D.若上4=2PD，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为1

三、填空题

12.已知公比不为1的等比数列｛a,｝,q=1且3q,24，生成等差，则％025-

13.已知圆柱与圆锥的高均为3,底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积

相等，则圆锥的体积为一.

14.“若点P为椭圆上的一点，耳，工为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平

22

分/4PE的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆c-土+匕=1，点P是椭圆上

164

的点，在点P处的切线为直线/,过左焦点耳作/的垂线，垂足为则|町|的最小

值为—.

四、解答题

15.已知等差数列｛q｝,记S“为其前”项和(〃eN*)，且为=-3,53=-15.

⑴求该等差数列｛4｝的通项公式；

(2)若等比数列也｝满足々=-4也=S,，求数列也｝的前n项和T”.

16.已知三点0(0,0),A(2,0),6(-记△495的外接圆为OC.

(1)求0c的方程；

⑵若直线/:%-y-1=0与0C交于两点，求△CAW的面积.

17.如图所示，平面四边形K4cB中，/上45为直角，△ABC为等边三角形，现把

沿着A5折起，使得平面APB与平面ABC垂直，且点”为A5的中点.

(1)求证：平面加8,平面PCM；

(2)若2B4=AB，求直线与平面PMC所成角的余弦值.

18.已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过M(2,0),N11,-日

两点.

(1)求C的方程.

(2)A,3是C上两个动点，。为C的上顶点，是否存在以。为顶点，为底边的

等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.

19.若A是集合｛1,2,…㈤的非空子集，且满足N<min』x，则称A为九级好集，n

级好集的个数记为a〃.其中同表示集合A中元素的个数.

⑴求为；

(2)已知A是一个〃级好集，是否存在一个〃+2级好集3,满足：A中的元素之和

+网+〃+2=3中的元素之和？

⑶是否存在末位数是999的册?

参考答案

1.答案：B

解析：直线/:_r=a(aeR)与x轴垂直，其倾斜角为故选B.

2

2.答案：D

解析：观察数列1,-3,5,-7,…，可得其通项公式可以为%=(—1)用(2〃-1)，

所以色=(-L)i°(2x9—1)=17.

故选：D.

3.答案：A

解析：由基底定义可知只有非零向量方，b,工不共面时才能构成空间中的一组基底.

对于A,因为非零向量方，b,E两两垂直，

所以非零向量心b,C不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；

对于B,b=Ac,则5,E共线，

由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，

所以商与方，共面，故B错误；

对于C,由共面定理可知非零向量G,b,C共面，故C错误；

对于D,a+b+c=0

即日=-故由共面定理可知非零向量G,b,工共面，故D错误.

故选：A.

4.答案：A

解析：等比数列｛〃｝的公比为q,则印二打^＞。，又#=%%=3X27,

所以a=9.

故选：A

5.答案：C

解析：由题设，抛物线准线为1=—2,结合题设及抛物线定义，

则有|尸盟=1+2=3.

故选：C

6.答案：C

解析：设点4（-2,3）关于直线/的对称点为4（加,九）,

m—2n+3,

----------------+1二

0,m=2.

则有422解得

--n------3-^二T1，n=-1,

m+2

因为光线从A到B的路程即|A目的长，而14同=5.所以光线从A到B的路程为5.

故选：C.

解析：等差数列{%},{%}的前〃项和分别为S“和7；,务=要1,

4+23〃+6

a+a+a囚+不（q+〃2i）+〃2i3a+a3ox21QQ

"21x——

所以十41十a2。_2_____________=—x%十__x2______

4十九4+%32々+勿324±%_乂2321

2

23232x21+77

—___x___———___x_____________—___

14《1+2143x21+66'

故选：D

8.答案：B

解析：令线段尸耳的垂直平分线与尸身的交点为M

显然/是尸耳的中点，而。是耳鸟的中点，

则OM〃P6，而OMLP4，

因此，「耳，

附『+怛鸟『=|耳月『

JP£|+|P可=2%

忸耳卜忸闾|=2。2

22

则(26)2+(2%)2=2(1PFl\+\PF2|2)=21KBI,

令G与G的半焦距为c，

由一=一,得。|=一0,

4413

于是(|c)2+(2g)2=2(2C)2,

解得出=gc,则打=gc，

旦=叵

%2

所以。2的渐近线方程为＞=±浮札

故选：B

解析：对于A,因为所求直线与直线3x+2y-7=0平行,

则可设所求直线方程为3x+2y+左=0(左w-7)，

因为所求直线过点(—1,3)，所以—3+6+左=0，解得上=—3，

故所求直线方程为3x+2y-3=0,故A正确，

对于B,当。=0时，直线a?%—y+i=o为—y+i=o,

直线x—ay—2=0为x—2=0，止匕时两直线也互相垂直，

所以“a=_1”不是“直线a2x—y+i=o与直线工一④―2=0互相垂直”的充要条件,

故B错误，

对于C,因为直线(：x+2y+l=0与乙9工+呼一2=0平行,

所以:=£片子，解得。=4，此时直线6为2x+4y—2=0,即x+2y—1=0,

所以乙与/，的距离为"（—i）L拽,故c正确，

G5

对于D,直线xsin2+y+2=0的斜率为左二一sino，贝!1一1〈人〈1，

当-1/<0时，e的取值范围是7兀］,

当0W左W1时，0的取值范围为0,-,

_4_

故直线xsin（z+y+2=0的倾斜角，的取值范围是0,—U包,兀］，故D正确.

L4jL4）

故选：ACD.

10.答案：BD

解析：设等差数列｛%｝的公差为d（dw0）,

又%是应与％0的等比中项，所以《=。4。10，

即（q+7d了=（q+3d）（q+9d），所以1+qd=0，

又d/0，所以q=—lid，又品=126,

所以Sg=96+2；—=—99d+36d=—63d=126，

解得d=-29=22,所以%=4+5_l）d=22_2（〃-l）=24_2〃，

所以6+%=18+10=28,故A正确；g—%=2d=—4,故B错误；

S/（22+2429=_/+23”,令3〉。，解得。<〃<23，

2

所以当S〃〉0时，”的最大值为22,故C正确；

因为S”=-“2+23”，所以当S“取得最大值时，〃的值为11或12,故D错误.

故选：BD.

11.答案：ABD

解析：A：因为Afi,平面ADQA，而ADu平面AD2A，

所以ABLAQ,而

AD10A3=A,AD］,ABu平面ABD1,所以，平面ABD,,

因为点P在A'上运动，

所以PBu平面因此所以本选项结论正确；

B：连接43，BD，因为3D//5Q1，皮）.平面耳C2，42<=平面4。2,

所以BD//平面B[CD[,同理平面B]CD],

而AXD^BD=D,AXD,5Du平面4BD,因止匕平面\BDII平面Bg,

当Pfi〃平面BCR，所以有点尸在4。上运动，因此本选项结论正确；

C：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，

所以本选项结论不正确；

D：正方体ABCD的面积为百义抬=3，当点尸在。2上时，高最长，

止匕时有：PA2=PD2+3>而B4=2PD，所以4P£>2MpQZ+snpDui，

所以p—ABCD的体积最大值为,x3xl=l，本选项结论正确，

3

故选：ABD

解析：由题知:，乃％,2名,生成等差,，4a2=3。]+%,又｛。“｝是公比不为1的等比数

列,旬=3+八4=3,4025=3加.故答案为32024

13.答案：—

16

解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为广，则圆柱的侧面积为2QX3=6”，

圆锥的表面积为兀厂2+兀小0?+产，

由圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等可得兀,+兀厂斤彳=6”，

22

化简得r+^3+r-6，解得，=：，

故圆锥体积V=兀/人=1x71x12Y^E.

33⑷X3=16

故答案为：啊

16

14.答案：4-20

22―

解析：因为椭圆c：L+2_=i,所以。=4，c2=16-4=12＞即c=2百，

164

如图，延长片M、F2P交于点N，由题意可知=NNPM,

又因为PM,打N,则M为耳N的中点，且忙耳|=|叩，

所以内N|=|网+归闾=|期|+归闾=2a=8，

11

又因为。为片鸟的中点，则|。叫=5优N|=QX8=4，

故点M的轨迹E为以。为原点，厂=4为半径的圆，圆的方程为/+_/=16,

易知点耳到圆心。的距离为耳|=°=26，

所以用的最小值为r-|0f；|=4-273.

故答案为：4-2百.

15.答案：（l）aa=2〃—9（〃eN*）；

（2）答案见解析.

解析：（1）在等差数列｛4｝中，«3=-3,S3=-15,设首项为四,公差为力

所以2d=-3,解得［%=-7,

3。］+3d=—15d=2

所以%=_7+2(〃-1),即an=2〃-9(〃£N*)

(2)由(1)得，an=2n-9,则=2x4—9=—1,

则=83+4=—16,

在等比数列｛a｝中,白=-4也=S4=-16,设公比为为

贝(Jb、­q2=-4/=-16,解得q=±2,

当好一2时，7，(1-0-4-(-2)")(_2广4,

“\-q1-(-2)3

当q=2时，八处卫1=也巧一+2+4，

"\-q1-2

综上，当q=—2时，雹―㈠门—为4*),

+2

当q=2时，Tn=-2"+4(neN*).

16.答案：(l)(%-l)2+(y+2)2=5

⑵庭

解析：(1)设℃的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=Q^

F=0,

由题意可知，M+2D+F=0,

1+1-D-E+F=Q,

解得Z>=—2,E=4,E=0,

所以x?+y?-2x+4y=0,

故OC的标准方程为(尤-l)2+(y+2)2=5.

⑵由⑴可知，C(l,—2)，半径r=6.

则圆心C到直线I的距离为d="尸=夜，

V2

所以河二2，9一/2=2d居2T也2=2>/3，

故△的的面积为％

17.答案：(1)证明见解析；

⑵名.

4

解析：(1)证明：因为平面平面ABC且交线为A5,

又ze钻为直角，

.•.上4,平面ABC,又QWu平面ABC，

:.PA±CM>

又•.•△ABC为等边三角形，点〃为A3的中点，

：.CM±AB^5LPA^AB=A，

.•.CM，平面B4B，又QWu平面PQW，

所以平面平面PQ0；

⑵设R4=a，则AB=2a.

设”为点§到平面PMC的距离，直线BC与平面PMC所成角为。，

由^P-MBC=%-PMC，倚—PA.S^MBC=§4.,△PMC

由(l)CM,平面B钻，PMu平面B钻，得。

即三角形PMC为直角三角形，

又PM=^P/^+AM-=y/a2+a2

2

S.PMr——•PM-MC=—xy[2axy/3a-a'

△PMC222

「1c6c百2

^AMBC=-x2ox—x2<7=—<7'

3232

32，

B2

0

直线BC与平面PMC所成角的正弦值.chQa日

sm6=-2R-=——=——

BC2a

直线5c与平面PMC所成角的余弦值cos6=1-

18.答案：(1)—+>2=1

4

(2)存在，3个

解析：（1）由题设椭圆。的方程为mx?=1（加>0,〃>0,mwn）,

（

因为椭圆过M（2,0）,N1-两点,

2

7

4m=1

所以3，得到m=—所以椭圆。的方程%+/"

—14

4

（2）由（1）知0（0,1）,易知直线。1,03的斜率均存在且不为0,

不妨设左DA=左（4〉0）,kDB=-—,直线八4为丁=区+1,直线。3为y=-工》+1,

kk

由椭圆的对称性知，当氏=1时，显然有|。叫=|。同，满足题意,

y=kx+1

当严声1时,由x22，消y得到，+左2）/+2依=0,

彳+y=

2

8k8k之i-4k8k1-4V

所以乙=-+1=—即A（-）,

1+4左2'“―1+4/1+4产1+4左2'1+4左2

8k左2一4

同理可得31）-

42+4’42+4

左2_41—4左2

（左2—4）（1+4左2）—（左2+4）（1—4左2）左21

所以加=4—

气8左（1+4左2+左2+4）5k

-o------1---------7

左2+41+4左2

8k8^

--------7H—9-----

1+4左2左？+4_124（左2一1）

设AB中点坐标为（%,为），

2（左2+4）（1+442）

1—4左2左2—4

--------7---7-----2

1+4左2左2+4-15k

y=

02（42+4）（1+4左2）

15k25k5124（4—1）

所以A3中垂线方程为y+

（/+4）（1+4左2）左2_]I（4?+4）（1+4左2）小

要使△ADfi为AB为底边的等腰直角三角形，则直A3中垂线方程过点（0,1）,

15k25k（m））,整理得到/一叱+「。，

所以1+

（左2+4）（1+4左2）k2-1

令t=k?,则/—7f+l=0,A=49-4>0,

所以。有两未艮4，t2,且4+/2=7〉0,中2=1>°，即/一7r+l=0有两个正木艮,

故有2个不同的42值，满足左4—7左2+1=0,

所以由椭圆的对称性知，当上2/1时，还存在2个符合题意的三角形，

综上所述，存在以。为顶点，A5为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个

⑵存在；

⑶存在